Plano inclinado

Ramera de silla de ruedas, Hotel Montescot, Chartres, Francia

Demostración plano inclinado utilizado en la educación, Museo Galileo, Florencia.

Un plano inclinado, también conocido como rampa, es una superficie de apoyo plana inclinada en un ángulo con respecto a la dirección vertical, con un extremo más alto que el otro, utilizada como ayuda para subir o bajar una carga. El plano inclinado es una de las seis máquinas simples clásicas definidas por los científicos del Renacimiento. Los planos inclinados se utilizan para mover cargas pesadas sobre obstáculos verticales. Los ejemplos varían desde una rampa utilizada para cargar mercancías en un camión, hasta una persona que camina por una rampa para peatones, hasta un automóvil o un tren que sube una pendiente.

Mover un objeto hacia arriba en un plano inclinado requiere menos fuerza que levantarlo hacia arriba, a costa de un aumento en la distancia recorrida. La ventaja mecánica de un plano inclinado, el factor por el cual se reduce la fuerza, es igual a la relación entre la longitud de la superficie inclinada y la altura que abarca. Debido a la conservación de la energía, se requiere la misma cantidad de energía mecánica (trabajo) para levantar un objeto dado una distancia vertical dada, sin tener en cuenta las pérdidas por fricción, pero el plano inclinado permite que se realice el mismo trabajo con una fuerza menor ejercida sobre una distancia mayor

El ángulo de fricción, también llamado a veces ángulo de reposo, es el ángulo máximo en el que una carga puede permanecer inmóvil en un plano inclinado debido a la fricción sin deslizarse hacia abajo. Este ángulo es igual al arcotangente del coeficiente de fricción estática μ_s entre las superficies.

A menudo se considera que otras dos máquinas simples se derivan del plano inclinado. La cuña se puede considerar un plano inclinado en movimiento o dos planos inclinados conectados en la base. El tornillo consiste en un plano inclinado angosto envuelto alrededor de un cilindro.

El término también puede referirse a una implementación específica; una rampa recta cortada en una ladera empinada para el transporte de mercancías hacia arriba y hacia abajo de la colina. Esto puede incluir carros sobre rieles o tirados por un sistema de cable; un funicular o teleférico, como el plano inclinado de Johnstown.

Usos

Los planos inclinados son muy utilizados en forma de rampas de carga para cargar y descargar mercancías en camiones, barcos y aviones. Las rampas para sillas de ruedas se utilizan para permitir que las personas en sillas de ruedas superen obstáculos verticales sin exceder su fuerza. Las escaleras mecánicas y las cintas transportadoras inclinadas también son formas de un plano inclinado. En un funicular o teleférico, un vagón de ferrocarril se sube por un plano inclinado empinado utilizando cables. Los planos inclinados también permiten que los objetos pesados y frágiles, incluidos los humanos, se bajen de forma segura a una distancia vertical mediante el uso de la fuerza normal del plano para reducir la fuerza gravitacional. Los toboganes de evacuación de aeronaves permiten que las personas lleguen al suelo de forma rápida y segura desde la altura de un avión de pasajeros.

Usando rampas para cargar un coche en un camión

Carga un camión en un barco con una rampa

diapositiva de evacuación de emergencia aérea

rampa de silla de ruedas en autobús japonés

Carga rampa en un camión

Otros planos inclinados se construyen en estructuras permanentes. Las carreteras para vehículos y los ferrocarriles tienen planos inclinados en forma de pendientes graduales, rampas y calzadas para permitir que los vehículos superen obstáculos verticales como colinas sin perder tracción en la superficie de la carretera. Del mismo modo, los caminos y aceras para peatones tienen rampas suaves para limitar su pendiente, para garantizar que los peatones puedan mantener la tracción. Los planos inclinados también se utilizan como entretenimiento para que las personas se deslicen hacia abajo de forma controlada, en toboganes de juegos, toboganes acuáticos, pistas de esquí y parques de patinetas.

Earth ramp (derecho) construido por romanos en 72 dC para invadir Masada, Israel

rampa peatonal, Palacio do Planalto, Brasilia

Johnstown Inclined Plane, un ferrocarril funicular.

Burma Road, Assam, India, a través de Birmania a China, c.1945

Aviones en un parque de skateboard

Historia

Prueba de Stevin

En 1586, el ingeniero flamenco Simon Stevin (Stevinus) obtuvo la ventaja mecánica del plano inclinado por un argumento que utilizó una cadena de cuentas. Imaginó dos planos inclinados de igual altura pero diferentes pistas, colocados de vuelta a espalda (arriba) como en un prisma. Un bucle de cuerda con cuentas a intervalos iguales se envuelve sobre los planos inclinados, con parte de la cuerda colgando abajo. Las cuentas que descansan en los aviones actúan como cargas en los aviones, sostenidas por la fuerza de tensión en la cuerda en el punto T. El argumento de Stevin es así: La cuerda debe ser estacionaria, en equilibrio estático. Si la cadena era más pesada en un lado que el otro, y comenzó a deslizarse a la derecha o a la izquierda bajo su propio peso, cuando cada cuentas se había movido a la posición de la cuenta anterior la cadena sería indistinguible desde su posición inicial y por lo tanto seguiría siendo desequilibrada y deslizada. Este argumento podría repetirse indefinidamente, dando lugar a un movimiento circular perpetuo, que es absurdo. Por lo tanto, es estacionario, con las fuerzas en los dos lados a punto T ()arribaigual. La porción de la cadena colgando debajo de los planos inclinados es simétrica, con un número igual de cuentas en cada lado. ejerce una fuerza igual en cada lado de la cuerda. Por lo tanto, esta parte de la cuerda se puede cortar en los bordes de los planos (puntos S y V), dejando sólo las cuentas descansando en los planos inclinados, y esta parte restante seguirá en equilibrio estático. Dado que las cuentas están a intervalos iguales en la cadena, el número total de cuentas soportadas por cada plano, la carga total, es proporcional a la longitud del plano. Puesto que la fuerza de soporte de entrada, la tensión en la cuerda, es la misma para ambos, la ventaja mecánica de cada plano es proporcional a su longitud inclinada Como señaló Dijksterhuis, el argumento de Stevin no es completamente estricto. Las fuerzas ejercidas por la parte colgante de la cadena no necesitan ser simétricas porque la parte colgante necesidad no retener su forma cuando te sueltes. Incluso si la cadena se libera con un impulso angular cero, el movimiento incluyendo oscilaciones es posible a menos que la cadena esté inicialmente en su configuración de equilibrio, una suposición que haría circular el argumento.

Las personas han utilizado planos inclinados desde tiempos prehistóricos para mover objetos pesados. Los caminos inclinados y calzadas construidas por civilizaciones antiguas como los romanos son ejemplos de planos inclinados tempranos que han sobrevivido y muestran que entendieron el valor de este dispositivo para mover cosas cuesta arriba. Se cree que las piedras pesadas utilizadas en estructuras de piedra antiguas como Stonehenge se movieron y colocaron en su lugar usando planos inclinados hechos de tierra, aunque es difícil encontrar evidencia de tales rampas de construcción temporales. Las pirámides egipcias se construyeron utilizando planos inclinados, las rampas de asedio permitieron a los ejércitos antiguos superar las murallas de las fortalezas. Los antiguos griegos construyeron una rampa pavimentada de 6 km (3,7 millas) de largo, la Diolkos, para arrastrar barcos por tierra a través del istmo de Corinto.

Sin embargo, el plano inclinado fue la última de las seis máquinas simples clásicas en ser reconocida como una máquina. Esto probablemente se deba a que es un dispositivo pasivo e inmóvil (la carga es la parte móvil), y también a que se encuentra en la naturaleza en forma de laderas y colinas. Aunque entendieron su uso para levantar objetos pesados, los antiguos filósofos griegos que definieron las otras cinco máquinas simples no incluyeron el plano inclinado como una máquina. Esta opinión persistió entre algunos científicos posteriores; Todavía en 1826, Karl von Langsdorf escribió que un plano inclinado "... no es más una máquina que la ladera de una montaña". El problema de calcular la fuerza requerida para empujar un peso hacia arriba de un plano inclinado (su ventaja mecánica) fue intentado por los filósofos griegos Herón de Alejandría (c. 10 - 60 EC) y Pappus de Alejandría (c. 290 - 350 EC), pero sus soluciones eran incorrectas.

No fue hasta el Renacimiento que el plano inclinado se resolvió matemáticamente y se clasificó con las demás máquinas simples. El primer análisis correcto del plano inclinado apareció en la obra del autor del siglo XIII Jordanus de Nemore, sin embargo, su solución aparentemente no fue comunicada a otros filósofos de la época. Girolamo Cardano (1570) propuso la solución incorrecta de que la fuerza de entrada es proporcional al ángulo del plano. Luego, a fines del siglo XVI, Michael Varro (1584), Simon Stevin (1586) y Galileo Galilei (1592) publicaron tres soluciones correctas en diez años. Aunque no fue la primera, la derivación del ingeniero flamenco Simon Stevin es la más conocida, por su originalidad y uso de un collar de cuentas (ver recuadro). En 1600, el científico italiano Galileo Galilei incluyó el plano inclinado en su análisis de máquinas simples en Le Meccaniche ("Sobre la mecánica"), mostrando su similitud subyacente con las otras máquinas como una fuerza amplificador.

Las primeras reglas elementales del rozamiento por deslizamiento en un plano inclinado fueron descubiertas por Leonardo da Vinci (1452-1519), pero quedaron inéditas en sus cuadernos. Fueron redescubiertos por Guillaume Amontons (1699) y desarrollados por Charles-Augustin de Coulomb (1785). Leonhard Euler (1750) demostró que la tangente del ángulo de reposo en un plano inclinado es igual al coeficiente de fricción.

Terminología

Pendiente

La ventaja mecánica de un plano inclinado depende de su pendiente, es decir, su gradiente o pendiente. Cuanto menor sea la pendiente, mayor será la ventaja mecánica y menor la fuerza necesaria para levantar un peso dado. La pendiente s de un plano es igual a la diferencia de altura entre sus dos extremos, o "rise", dividida por su longitud horizontal o "ejecutar". También se puede expresar por el ángulo que forma el plano con la horizontal, θ.

La geometría del plano inclinado se basa en un triángulo derecho. La longitud horizontal se llama a veces Corre, el cambio vertical en altura Levántate..

Silencio Silencio =#− − 1⁡ ⁡ ()Levántate.Corre){displaystyle theta =tan ^{-1}{bigg (}{frac {text{Rise}{text{Run}}}{bigg)},}

Ventaja mecánica

La ventaja mecánica MA de una máquina simple se define como la relación entre la fuerza de salida ejercida sobre la carga y la fuerza de entrada aplicada. Para el plano inclinado, la fuerza de carga de salida es solo la fuerza gravitacional del objeto de carga en el plano, su peso F_w. La fuerza de entrada es la fuerza F_i ejercida sobre el objeto, paralelo al plano, para moverlo hacia arriba en el plano. La ventaja mecánica es

MA=FwFi{displaystyle mathrm {MA} ={frac} {fnK} {f}fnMicrosoft}}

La MA de un plano inclinado ideal sin fricción se denomina a veces ventaja mecánica ideal (IMA), mientras que la MA cuando se incluye la fricción se denomina ventaja mecánica real (AMA).

Plano inclinado sin fricción

Plano inclinado instrumental utilizado para la educación física, alrededor de 1900. El peso izquierdo proporciona la fuerza de carga F_w. El peso derecho proporciona la fuerza de entrada F_i Tirando el rodillo del avión.

Si no hay fricción entre el objeto que se mueve y el plano, el dispositivo se denomina plano inclinado ideal. Esta condición podría acercarse si el objeto está rodando como un barril, o si está apoyado sobre ruedas o ruedecillas. Debido a la conservación de la energía, para un plano inclinado sin fricción, el trabajo realizado sobre la carga que lo levanta, W_fuera, es igual al trabajo realizado por la fuerza de entrada, W_in

Wout=Win{displaystyle ¿Qué? {in},}

El trabajo se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento que mueve un objeto. El trabajo realizado sobre la carga es igual a su peso multiplicado por el desplazamiento vertical que sube, que es el "ascenso" del plano inclinado

Wout=Fw⋅ ⋅ Levántate.{displaystyle ¿Qué? {text{Rise},}

El trabajo de entrada es igual a la fuerza F_i sobre el objeto por la longitud de la diagonal del plano inclinado.

Win=Fi⋅ ⋅ Duración{displaystyle W_{rm {in}=F_{i}cdot {text{Length},}

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior de conservación de la energía y reorganizando

MA=FwFi=DuraciónLevántate.{displaystyle {text{MA}={frac} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}}}f}}fnf}}}fnfnfnK}}}

Para expresar la ventaja mecánica por el ángulo θ del plano, se puede ver en el diagrama (arriba) que

pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio =Levántate.Duración{displaystyle sin theta ¿Qué?

Entonces

MA=FwFi=1pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio {displaystyle {text{MA}={frac} {fnK} {f} {fnMicroc}}} {fnMicroc}}} {f}} {f} {f}}}}}}} {f} {fnMicroc}}}} {f}} {f}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f} {f}} {f}f}}}}}f}f}f}}}}}}f}f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}}}}}f} {f} {f} {f} {f}f} {f}f}f} {1}{sin theta },}

Entonces, la ventaja mecánica de un plano inclinado sin fricción es igual al recíproco del seno del ángulo de inclinación. La fuerza de entrada F_i de esta ecuación es la fuerza necesaria para mantener la carga inmóvil en el plano inclinado, o empujarla hacia arriba a una constante velocidad. Si la fuerza de entrada es mayor que esto, la carga acelerará hacia arriba en el plano. Si la fuerza es menor, acelerará hacia abajo del avión.

Plano inclinado con fricción

Donde hay fricción entre el plano y la carga, como por ejemplo cuando una caja pesada se desliza por una rampa, parte del trabajo aplicado por la fuerza de entrada se disipa como calor por fricción, W _fric, por lo que se realiza menos trabajo en la carga. Debido a la conservación de la energía, la suma del trabajo de salida y las pérdidas de energía por fricción es igual al trabajo de entrada.

Wdentro=Wfric+WFuera.{displaystyle ¿Qué?

Por lo tanto, se requiere más fuerza de entrada y la ventaja mecánica es menor que si no hubiera fricción. Con fricción, la carga solo se moverá si la fuerza neta paralela a la superficie es mayor que la fuerza de fricción F_f que se opone a ella. La fuerza máxima de rozamiento está dada por

Ff=μ μ Fn{displaystyle F_{f}=mu F_{n},}

donde F_n es la fuerza normal entre la carga y el plano, dirigida normal a la superficie, y μ es el coeficiente de fricción estática entre las dos superficies, que varía con el material. Cuando no se aplica ninguna fuerza de entrada, si el ángulo de inclinación θ del plano es menor que un valor máximo φ, la componente de la fuerza gravitatoria paralela al plano será demasiado pequeña para venza la fricción y la carga permanecerá inmóvil. Este ángulo se denomina ángulo de reposo y depende de la composición de las superficies, pero es independiente del peso de la carga. A continuación se muestra que la tangente del ángulo de reposo φ es igual a μ

φ φ =#− − 1⁡ ⁡ μ μ {displaystyle phi =tan ^{-1}mu,}

Con la fricción, siempre hay algún rango de fuerza de entrada F_i para el cual la carga es estacionaria, sin deslizarse hacia arriba o hacia abajo del plano, mientras que con un plano inclinado sin fricción solo hay un valor particular de fuerza de entrada para el cual la carga es estacionaria.

Análisis

Clave: F_n = N = Fuerza normal perpendicular al plano, F_i = f = fuerza de entrada, F_w = mg = peso de la carga, donde m = masa, g = gravedad

Una carga que descansa sobre un plano inclinado, cuando se considera como un cuerpo libre, tiene tres fuerzas que actúan sobre él:

• La fuerza aplicada, F_i ejercido sobre la carga para moverla, que actúa paralelamente al plano inclinado.
• El peso de la carga, F_w, que actúa verticalmente hacia abajo
• La fuerza del avión en la carga. Esto se puede resolver en dos componentes:
  • La fuerza normal F_n del plano inclinado sobre la carga, apoyándolo. Esto se dirige perpendicular (normal) a la superficie.
  • La fuerza friccional, F_f del plano sobre la carga actúa paralelamente a la superficie, y siempre está en una dirección opuesta al movimiento del objeto. Es igual a la fuerza normal multiplicada por el coeficiente de fricción estática μ entre las dos superficies.

Usando la segunda ley de movimiento de Newton, la carga estará estacionaria o en movimiento constante si la suma de las fuerzas sobre ella es cero. Dado que la dirección de la fuerza de fricción es opuesta para el caso de movimiento cuesta arriba y cuesta abajo, estos dos casos deben considerarse por separado:

• Moción ascendente: La fuerza total en la carga es hacia el lado cuesta arriba, por lo que la fuerza friccional está dirigida hacia abajo el plano, oponiéndose a la fuerza de entrada.

La ventaja mecánica es

MA=FwFi=#⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio +φ φ ){displaystyle mathrm {MA} ={frac} {fnK} {f} {fnMicroc}}} {fnMicroc}}} {f}} {f} {f}}}}}}} {f}}} {fnMicroc}} {f}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}f}}}}}}}}}}}} {f}} {f}f}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f}f} {f} {f}}}f}f}f} {cos phi }{sin(theta +phi)},}

Donde φ φ =#− − 1⁡ ⁡ μ μ {displaystyle phi =tan ^{-1}mu,}. Esta es la condición movimiento inminente arriba del avión inclinado. Si la fuerza aplicada F_i es mayor que dado por esta ecuación, la carga subirá el plano.

• Movimiento de descenso: La fuerza total en la carga es hacia el lado cuesta abajo, por lo que la fuerza friccional está dirigida hacia arriba el plano.

La ventaja mecánica es

MA=FwFi=#⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − φ φ ){displaystyle mathrm {MA} ={frac} {fnK} {f} {fnMicroc}}} {fnMicroc}}} {f}} {f} {f}}}}}}} {f}}} {fnMicroc}} {f}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}f}}}}}}}}}}}} {f}} {f}f}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f}f} {f} {f}}}f}f}f} {cos phi }{sin(theta -phi)},}

Esta es la condición para el movimiento inminente en el plano; si la fuerza aplicada F_i es menos que dado en esta ecuación, la carga se deslizará por el plano. Hay tres casos:

1. <math alttext="{displaystyle theta Silencio Silencio .φ φ {displaystyle theta >)<img alt="theta : La ventaja mecánica es negativa. En ausencia de la fuerza aplicada, la carga permanecerá inmóvil, y requiere cierta fuerza aplicada negativa (bajo cuesta) para deslizarse hacia abajo.
2. Silencio Silencio =φ φ {displaystyle theta =phi ,}: El "ángulo de reposo". La ventaja mecánica es infinita. Sin fuerza aplicada, la carga no se deslizará, pero la fuerza negativa más leve (bajo cuesta) hará que se deslice.
3. phi ,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silencio Silencio ■φ φ {displaystyle theta confidencialphi ,}phi ," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aec7466157fd11437c1c9ff6a695a5f349affba" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.961ex; height:2.509ex;"/>: La ventaja mecánica es positiva. En ausencia de la fuerza aplicada la carga se deslizará por el plano, y requiere una fuerza positiva (uphill) para mantenerlo inmóvil

Ventaja mecánica usando potencia

Clave: N = Fuerza normal perpendicular al plano, W=mg, donde m = masa, g = gravedad, y θ (theta) = Ángulo de inclinación del plano

La ventaja mecánica de un plano inclinado es la relación entre el peso de la carga en la rampa y la fuerza requerida para subirla. Si la energía no se disipa ni se almacena en el movimiento de la carga, esta ventaja mecánica puede calcularse a partir de las dimensiones de la rampa.

Para mostrar esto, deje que la posición r de un vagón a lo largo de la rampa con un ángulo, θ, sobre la horizontal esté dada por

r=R()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ,pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ),{displaystyle mathbf {r} =R(cos thetasin theta),}

donde R es la distancia a lo largo de la rampa. La velocidad del automóvil en la rampa es ahora

v=V()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ,pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ).{displaystyle mathbf {v} =V(cos thetasin theta).}

Debido a que no hay pérdidas, la potencia utilizada por la fuerza F para subir la carga por la rampa es igual a la potencia de salida, que es la elevación vertical del peso W de la carga

La potencia de entrada que jala el automóvil por la rampa está dada por

Pin=FV,{fnMicrosoft Sans Serif}

y el corte de energía es

Pout=W⋅ ⋅ v=()0,W)⋅ ⋅ V()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ,pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio )=WVpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle P_{mathrm} }=mathbf {W} cdot mathbf {v} =(0,W)cdot V(cos thetasin theta)=WVsin theta.}

Igualar la potencia de entrada a la potencia de salida para obtener la ventaja mecánica como

MA=WF=1pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle mathrm {MA} ={frac} {W} {F}={frac} {1}{sin theta }}

La ventaja mecánica de un plano inclinado también se puede calcular a partir de la relación entre la longitud de la rampa L y su altura H, porque el seno del ángulo del rampa está dada por

pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio =HL,{displaystyle sin theta ¿Qué?

por lo tanto,

MA=WF=LH.{displaystyle mathrm {MA} ={frac} {W} {F}={frac} {L} {H}}.

Diseño del sistema de transmisión por cable para el avión inclinado de Liverpool Minard.

Ejemplo: si la altura de una rampa es H = 1 metro y su longitud es L = 5 metros, entonces la ventaja mecánica es

MA=WF=5,{displaystyle mathrm {MA} ={frac} {W}=5,}

lo que significa que una fuerza de 20 lb levantará una carga de 100 lb.

El plano inclinado Liverpool Minard tiene las dimensiones 1804 metros por 37,50 metros, lo que proporciona una ventaja mecánica de

MA=WF=1804/37.50=48.1,{displaystyle mathrm {MA} ={frac} {W}=1804/37.50=48.1,}

Entonces, una fuerza de tensión de 100 lb en el cable levantará una carga de 4810 lb. El grado de esta pendiente es del 2%, lo que significa que el ángulo θ es lo suficientemente pequeño como para que sen θ=tan θ.