Plano complejo

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Representación geométrica de los números complejos

En matemáticas, el plano complejo es el plano formado por los números complejos, con un sistema de coordenadas cartesiano tal que el $x$ , llamado eje real, está formado por los números reales y el $El eje y$ , llamado eje imaginario, está formado por los números imaginarios.

El plano complejo permite una interpretación geométrica de los números complejos. Bajo suma, se suman como vectores. La multiplicación de dos números complejos se puede expresar más fácilmente en coordenadas polares: la magnitud o módulo del producto es el producto de los dos valores absolutos, o módulos, y el ángulo o argumento del producto es la suma de los dos ángulos o argumentos. En particular, la multiplicación por un número complejo de módulo 1 actúa como una rotación.

El plano complejo a veces se conoce como plano de Argand o plano de Gauss.

Convenciones de notación

Números complejos

En el análisis complejo, los números complejos se representan habitualmente con el símbolo z, que se puede separar en su real (x) e imaginario (y) partes:

{displaystyle z=x+iy}

por ejemplo: z = 4 + 5i, donde x y y son números reales, y i es la unidad imaginaria. En esta notación habitual, el número complejo z corresponde al punto (x, y) en el plano cartesiano.

En el plano cartesiano el punto (x, y) también se puede representar en coordenadas polares como

{displaystyle (x,y)=(rcos thetarsin theta)qquad (r,theta)=left({sqrt {x^{2}+y^{2}}},quad arctan {frac {y}{x}}right).}

En el plano cartesiano se puede suponer que la arcotangente toma valores de −π/2 a π/2 (en radianes), y se debe tener cuidado para definir la función arcotangente más completa para puntos (x, y) cuando x ≤ 0. En el plano complejo estas coordenadas polares toman la forma

{displaystyle z=x+iy=|z|left(cos theta +isin theta right)=|z|e^{itheta }}

dónde

{displaystyle |z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}};quad theta =arg(z)={frac {1}{i}}ln {frac {z}{|z|}}=-iln {frac {z}{|z|}}.}

Aquí |z| es el valor absoluto o módulo del número complejo z; θ, el argumento de z, generalmente se toma en el intervalo $0 \leq θ < 2 π$ ; y la última igualdad (to |z|e^iθ) se toma de la fórmula de Euler. Sin la restricción sobre el rango de θ, el argumento de z tiene varios valores, porque la función exponencial compleja es periódica, con período 2π i. Por lo tanto, si θ es un valor de arg(z), los otros valores vienen dados por $arg(z) = θ + 2 nπ$ , donde n es cualquier número entero distinto de cero.

Aunque raramente se utiliza explícitamente, la vista geométrica de los números complejos se basa implícitamente en su estructura de un espacio vectorial euclidiano de dimensión 2, donde el producto interno de números complejos $w$ y $z$ es dado por $Re (w{overline {z}})$ ; entonces para un número complejo $z$ su valor absoluto $Silencio z Silencio$ coincide con su norma euclidiana, y su argumento $arg(z)$ con el ángulo de giro de 1 a 1 $z$ .

La teoría de la integración de contornos comprende una parte importante del análisis complejo. En este contexto, la dirección de viaje alrededor de una curva cerrada es importante: invertir la dirección en la que se recorre la curva multiplica el valor de la integral por −1. Por convención, la dirección positiva es en sentido antihorario. Por ejemplo, el círculo unitario se recorre en la dirección positiva cuando comenzamos en el punto z = 1, luego viajamos hacia arriba y hacia la izquierda a través del punto z = i, luego hacia abajo y hacia la izquierda hasta −1, luego hacia abajo y hacia la derecha hasta −i, y finalmente hacia arriba y hacia la derecha hasta z = 1, donde empezamos.

Casi todo el análisis complejo tiene que ver con funciones complejas, es decir, con funciones que mapean algún subconjunto del plano complejo en algún otro subconjunto (posiblemente superpuesto o incluso idéntico) del plano complejo. Aquí se acostumbra hablar del dominio de f(z) como situado en el plano z, al referirse al rango de f(z) como un conjunto de puntos en el plano w. En símbolos escribimos

{displaystyle z=x+iy;qquad f(z)=w=u+iv}

y a menudo piensa en la función f como una transformación desde el plano z (con coordenadas (x, y)) en el plano w (con coordenadas (u, v)).

Notación de plano complejo

El plano complejo se denota como $mathbb {C}$ .

Diagrama de Argand

Representación geométrica del punto de valor complejo z = x + yi en el plano complejo. La distancia a lo largo de la línea desde el origen hasta el punto z = x + yi es modulus o valor absoluto de z. El ángulo Silencio es argumento de z.

Diagrama de Argand se refiere a un gráfico geométrico de números complejos como puntos $z = x + iy$ utilizando el eje x como eje real y el eje y como eje imaginario. Estas parcelas llevan el nombre de Jean-Robert Argand (1768–1822), aunque fueron descritas por primera vez por el agrimensor y matemático noruego-danés Caspar Wessel (1745–1818). Los diagramas de Argand se utilizan con frecuencia para trazar las posiciones de los ceros y polos de una función en el plano complejo.

Proyecciones estereográficas

Riemann esfera que mapea todos los puntos en una esfera excepto uno a todos los puntos en el plano complejo

Puede ser útil pensar en el plano complejo como si ocupara la superficie de una esfera. Dada una esfera de radio unitario, coloque su centro en el origen del plano complejo, orientada de manera que el ecuador de la esfera coincida con el círculo unitario del plano, y el polo norte esté "arriba" el avión.

Podemos establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos en la superficie de la esfera menos el polo norte y los puntos en el plano complejo de la siguiente manera. Dado un punto en el plano, dibuja una línea recta que lo conecte con el polo norte de la esfera. Esa línea cortará la superficie de la esfera exactamente en otro punto. El punto $z = 0$ se proyectará sobre el polo sur de la esfera. Dado que el interior del círculo unitario se encuentra dentro de la esfera, toda esa región ( $| z | < 1$ ) se mapeará en el hemisferio sur. El círculo unitario en sí ( $| z | = 1$ ) se asignará al ecuador y al exterior del círculo unitario ( $| z | > 1$ ) se asignará al hemisferio norte, menos el polo norte. Claramente, este procedimiento es reversible: dado cualquier punto en la superficie de la esfera que no sea el polo norte, podemos dibujar una línea recta que conecte ese punto con el polo norte y que corte el plano en exactamente un punto.

Bajo esta proyección estereográfica, el polo norte en sí no está asociado con ningún punto en el plano complejo. Perfeccionamos la correspondencia uno a uno agregando un punto más al plano complejo, el llamado punto en el infinito, e identificándolo con el polo norte de la esfera. Este espacio topológico, el plano complejo más el punto en el infinito, se conoce como plano complejo extendido. Hablamos de un solo "punto en el infinito" cuando se habla de análisis complejo. Hay dos puntos en el infinito (positivo y negativo) en la recta numérica real, pero solo hay un punto en el infinito (el polo norte) en el plano complejo extendido.

Imagínese por un momento lo que sucederá con las líneas de latitud y longitud cuando se proyecten desde la esfera al plano. Las líneas de latitud son todas paralelas al ecuador, por lo que se convertirán en círculos perfectos centrados en el origen $z = 0$ . Y las líneas de longitud se convertirán en líneas rectas que pasan por el origen (y también por el 'punto en el infinito', ya que pasan por los polos norte y sur de la esfera).

Esta no es la única situación estereográfica posible pero plausible de la proyección de una esfera sobre un plano que consta de dos o más valores. Por ejemplo, el polo norte de la esfera podría colocarse sobre el origen $z = -1$ en un plano tangente al círculo. Los detalles realmente no importan. Cualquier proyección estereográfica de una esfera sobre un plano producirá un 'punto en el infinito', y mapeará las líneas de latitud y longitud de la esfera en círculos y líneas rectas, respectivamente, en el plano.

Cortando el avión

Cuando se habla de funciones de una variable compleja, a menudo es conveniente pensar en un corte en el plano complejo. Esta idea surge naturalmente en varios contextos diferentes.

Relaciones multivaluadas y puntos de bifurcación

Considere la relación simple de dos valores

{displaystyle w=f(z)=pm {sqrt {z}}=z^{1/2}.}

Antes de que podamos tratar esta relación como una función de un solo valor, el rango del valor resultante debe restringirse de alguna manera. Cuando se trata de raíces cuadradas de números reales no negativos, esto se hace fácilmente. Por ejemplo, podemos simplemente definir

{displaystyle y=g(x)={sqrt {x}}=x^{1/2}}

para ser el número real no negativo y tal que $y 2 = x$ . Esta idea no funciona tan bien en el plano complejo bidimensional. Para ver por qué, pensemos en la forma en que el valor de f(z) varía a medida que el punto z se mueve alrededor de la unidad. círculo. Podemos escribir

{displaystyle z=re^{itheta }quad {text{and take}}quad w=z^{1/2}={sqrt {r}},e^{itheta /2}qquad (0leq theta leq 2pi).}

Evidentemente, mientras z se mueve alrededor del círculo, w solo traza la mitad del círculo. Entonces, un movimiento continuo en el plano complejo ha transformado la raíz cuadrada positiva e⁰ = 1 en la raíz cuadrada negativa $e iπ = -1$ .

Este problema surge porque el punto z = 0 tiene solo una raíz cuadrada, mientras que cualquier otro número complejo z ≠ 0 tiene exactamente dos raíces cuadradas. En la recta numérica real, podríamos sortear este problema erigiendo una "barrera" en el punto único x = 0. Se necesita una barrera más grande en el plano complejo, para evitar que cualquier contorno cerrado rodee completamente el punto de bifurcación z = 0. Esto es comúnmente hecho introduciendo un corte de rama; en este caso el "corte" podría extenderse desde el punto z = 0 a lo largo del eje real positivo hasta el punto en el infinito, de modo que el argumento de la variable z en el plano de corte se restringe al rango 0 ≤ arg(z) < 2π.

Ahora podemos dar una descripción completa de $w = z 1 ⁄ 2$ . Para hacerlo necesitamos dos copias del plano z, cada una de ellas cortada a lo largo del eje real. En una copia definimos la raíz cuadrada de 1 para que sea $e 0 = 1$ , y en la otra definimos el raíz cuadrada de 1 para ser e^iπ = −1. Llamamos a estas dos copias del plano de corte completo hojas. Haciendo un argumento de continuidad vemos que la función (ahora de un solo valor) $w = z 1 ⁄ 2$ mapea la primera hoja en la mitad superior del plano w, donde $0 \leq arg(w) < π$ , mientras asigna la segunda hoja a la mitad inferior del plano w (donde $π \leq arg(w) < 2 π$ ).

El corte de la rama en este ejemplo no tiene que estar a lo largo del eje real. Ni siquiera tiene que ser una línea recta. Cualquier curva continua que conecte el origen z = 0 con el punto en el infinito funcionaría. En algunos casos, el corte de la rama ni siquiera tiene que pasar por el punto en el infinito. Por ejemplo, considere la relación

{displaystyle w=g(z)=left(z^{2}-1right)^{1/2}.}

Aquí el polinomio z² − 1 desaparece cuando $z = \pm1$ , entonces g evidentemente tiene dos puntos de bifurcación. Podemos "cortar" el plano a lo largo del eje real, de −1 a 1, y obtenga una hoja en la que g(z) sea una función de un solo valor. Alternativamente, el corte puede ir desde z = 1 a lo largo del eje real positivo a través del punto en el infinito, luego continuar "hacia arriba" el eje real negativo al otro punto de bifurcación, z = −1.

Esta situación se visualiza más fácilmente utilizando la proyección estereográfica descrita anteriormente. En la esfera, uno de estos cortes recorre longitudinalmente el hemisferio sur, conectando un punto en el ecuador (z = −1) con otro punto en el ecuador (z = 1), y pasando por el polo sur (el origen, z = 0) en el camino. La segunda versión del corte corre longitudinalmente a través del hemisferio norte y conecta los mismos dos puntos ecuatoriales pasando por el polo norte (es decir, el punto en el infinito).

Restringiendo el dominio de las funciones meromórficas

Una función meromórfica es una función compleja que es holomorfa y, por lo tanto, analítica en todas partes de su dominio, excepto en un número finito o contablemente infinito de puntos. Los puntos en los que no se puede definir tal función se denominan polos de la función meromórfica. A veces, todos estos polos se encuentran en línea recta. En ese caso, los matemáticos pueden decir que la función es "holomórfica en el plano de corte". Aquí hay un ejemplo simple.

La función gamma, definida por

{displaystyle Gamma (z)={frac {e^{-gamma z}}{z}}prod _{n=1}^{infty }left[left(1+{frac {z}{n}}right)^{-1}e^{z/n}right]}

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni, y tiene polos simples en 0, −1, −2, −3,... porque exactamente un denominador en el producto infinito desaparece cuando z es cero o un entero negativo. Dado que todos sus polos se encuentran en el eje real negativo, desde z = 0 hasta el punto en el infinito, esta función podría describirse como "holomórfica en el plano de corte, el corte se extiende a lo largo del negativo eje real, desde 0 (inclusive) hasta el punto en el infinito."

Alternativamente, Γ(z) podría describirse como "holomórfico en el plano de corte con −π < arg(z) < π y excluyendo el punto z = 0."

Este corte es ligeramente diferente del corte de rama que ya hemos encontrado, porque en realidad excluye el eje real negativo del plano de corte. El corte de la rama dejó el eje real conectado con el plano de corte en un lado (0 ≤ θ), pero lo separó del plano de corte a lo largo del otro lado (θ < 2π).

Por supuesto, en realidad no es necesario excluir todo el segmento de línea de z = 0 a −∞ para construir un dominio en el que Γ(z) es holomorfa. Todo lo que realmente tenemos que hacer es pinchar el plano en un conjunto infinitamente numerable de puntos {0, −1, −2, −3,...}. Pero un contorno cerrado en el plano perforado podría rodear uno o más de los polos de Γ(z), dando una integral de contorno que no es necesariamente cero, por el teorema del residuo. Al cortar el plano complejo, no solo nos aseguramos de que Γ(z) sea holomorfa en este dominio restringido, sino que también nos aseguramos de que la integral de contorno de Γ sobre cualquier curva cerrada que se encuentre en el plano de corte sea idénticamente igual a cero.

Especificar regiones de convergencia

Muchas funciones complejas están definidas por series infinitas o por fracciones continuas. Una consideración fundamental en el análisis de estas expresiones infinitamente largas es identificar la porción del plano complejo en el que convergen a un valor finito. Un corte en el plano puede facilitar este proceso, como muestran los siguientes ejemplos.

Considere la función definida por la serie infinita

{displaystyle f(z)=sum _{n=1}^{infty }left(z^{2}+nright)^{-2}.}

Puesto que z² = (−z)² para cada número complejo z, está claro que f(z) es una función par de z, por lo que el análisis puede restringirse a uno la mitad del plano complejo. Y dado que la serie es indefinida cuando

{displaystyle z^{2}+n=0quad iff quad z=pm i{sqrt {n}},}

tiene sentido cortar el plano a lo largo de todo el eje imaginario y establecer la convergencia de esta serie donde la parte real de z no es cero antes de emprender la tarea más ardua de examinar f (z) cuando z es un número imaginario puro.

En este ejemplo, el corte es una mera conveniencia, porque los puntos en los que la suma infinita no está definida están aislados, y el plano cortado se puede reemplazar con un plano perforado adecuado > avión. En algunos contextos, el corte es necesario y no solo conveniente. Considere la fracción continua periódica infinita

{displaystyle f(z)=1+{cfrac {z}{1+{cfrac {z}{1+{cfrac {z}{1+{cfrac {z}{ddots }}}}}}}}.}

Se puede demostrar que f(z) converge a un valor finito si y solo si z no es un número real negativo tal que $z < - 1 ⁄ 4$ . En otras palabras, la región de convergencia para esta fracción continua es el plano de corte, donde el corte corre a lo largo del eje real negativo, desde −1 ⁄4 hasta el punto en el infinito.

Pegar el plano cortado de nuevo

Ya hemos visto cómo la relación

{displaystyle w=f(z)=pm {sqrt {z}}=z^{1/2}}

se puede convertir en una función de un solo valor dividiendo el dominio de f en dos hojas desconectadas. También es posible "pegar" esas dos hojas se vuelven a unir para formar una única superficie de Riemann en la que $f (z) = z 1/2$ se puede definir como una función holomorfa cuya imagen es todo el plano w (excepto el punto $w = 0$ ). Así es como funciona.

Imagina dos copias del plano complejo cortado, los cortes se extienden a lo largo del eje real positivo desde $z = 0$ hasta el punto en el infinito. En una hoja, defina $0 \leq arg(z) < 2 π$ , de modo que $1 1/2 = e 0 = 1$ , por definición. En la segunda hoja, defina $2 π \leq arg(z) < 4 π$ , de modo que $1 1/2 = e iπ = -1$ , de nuevo por definición. Ahora voltee la segunda hoja boca abajo, de modo que el eje imaginario apunte en la dirección opuesta al eje imaginario de la primera hoja, con ambos ejes reales apuntando en la misma dirección, y "pegue" las dos hojas juntas (de modo que el borde de la primera hoja con la etiqueta " $θ = 0$ " esté conectado al borde con la etiqueta " $θ < 4 π$ " en la segunda hoja, y el borde en la segunda hoja etiquetada " $θ = 2 π$ " está conectada al borde etiquetado " $θ < 2 π$ " en la primera hoja). El resultado es el dominio de superficie de Riemann en el que $f (z) = z 1/2$ tiene un solo valor y es holomorfo (excepto cuando $z = 0$ ).

Para entender por qué f tiene un solo valor en este dominio, imagina un circuito alrededor del círculo unitario, comenzando con $z = 1$ en la primera hoja. Cuando $0 \leq θ < 2 π$ todavía estamos en la primera hoja. Cuando $θ = 2 π$ hemos cruzado a la segunda hoja, y estamos obligados a hacer un segundo circuito completo alrededor el punto de ramificación $z = 0$ antes de volver a nuestro punto de partida, donde $θ = 4 π$ es equivalente a $θ = 0$ , debido a la forma en que pegamos las dos hojas. En otras palabras, como la variable z da dos vueltas completas alrededor del punto de bifurcación, la imagen de z en el plano w traza solo un círculo completo.

La diferenciación formal muestra que

{displaystyle f(z)=z^{1/2}quad Rightarrow quad f'(z)={tfrac {1}{2}}z^{-1/2}}

de donde podemos concluir que la derivada de f existe y es finita en todas partes de la superficie de Riemann, excepto cuando $z = 0$ (es decir, f es holomorfo, excepto cuando $z = 0$ ).

¿Cómo puede la superficie de Riemann para la función

{displaystyle w=g(z)=left(z^{2}-1right)^{1/2},}

también discutido anteriormente, se construirá? Una vez más comenzamos con dos copias del plano z, pero esta vez cada una se corta a lo largo del segmento de línea real que se extiende desde $z = -1$ a $z = 1$ – estos son los dos puntos de bifurcación de g( z). Damos la vuelta a uno de estos, de modo que los dos ejes imaginarios apunten en direcciones opuestas, y pegamos los bordes correspondientes de las dos hojas cortadas. Podemos verificar que g es una función de un solo valor en esta superficie trazando un circuito alrededor de un círculo de radio unitario centrado en $z = 1$ . Comenzando en el punto $z = 2$ en la primera hoja, giramos a la mitad del círculo antes de encontrar el corte en $z = 0$ . El corte nos obliga a pasar a la segunda hoja, de modo que cuando z haya trazado una vuelta completa alrededor del punto de bifurcación $z = 1$ , w ha tomado solo la mitad de una vuelta completa, el signo de w se ha invertido (ya que $e iπ = -1$ ), y nuestro camino nos ha llevado al punto $z = 2$ en la segunda hoja de la superficie. Continuando por otra media vuelta nos encontramos con el otro lado del corte, donde $z = 0$ , y finalmente llegamos a nuestro punto de partida ( $z = 2$ en la hoja primera) después de dar dos vueltas completas alrededor del punto de bifurcación.

La forma natural de etiquetar $θ = arg(z)$ en este ejemplo es establecer −π < θ ≤ π en la primera hoja, con $π < θ \leq 3 π$ en el segundo. Los ejes imaginarios de las dos hojas apuntan en direcciones opuestas, de modo que se conserva el sentido contrario a las agujas del reloj de rotación positiva cuando un contorno cerrado se mueve de una hoja a la otra (recuerde, la segunda hoja está al revés). Imagine esta superficie incrustada en un espacio tridimensional, con ambas láminas paralelas al plano xy. Luego parece haber un agujero vertical en la superficie, donde se unen los dos cortes. ¿Qué pasa si el corte se hace desde $z = -1$ hacia abajo del eje real hasta el punto en el infinito, y desde $z = 1$ , hacia arriba del eje real hasta que el corte se encuentre consigo mismo? De nuevo se puede construir una superficie de Riemann, pero esta vez el "agujero" es horizontal Topológicamente hablando, ambas versiones de esta superficie de Riemann son equivalentes: son superficies bidimensionales orientables de género uno.

Uso en teoría de control

En la teoría del control, un uso del plano complejo es conocido como el s-plane. Se utiliza para visualizar las raíces de la ecuación describiendo gráficamente el comportamiento de un sistema (la ecuación característica). La ecuación se expresa normalmente como un polinomio en el parámetro 's' de la transformación de Laplace, por lo tanto el nombre 's' plano. Los puntos en el plano toman el formulario ${displaystyle s=sigma +jomega }$ , donde 'j ' se utiliza en lugar de lo habitual 'i ' para representar el componente imaginario.

Otro uso relacionado del plano complejo es con el criterio de estabilidad de Nyquist. Este es un principio geométrico que permite determinar la estabilidad de un sistema de retroalimentación de bucle cerrado mediante la inspección de un diagrama de Nyquist de su respuesta de fase y magnitud de bucle abierto en función de la frecuencia (o función de transferencia de bucle) en el plano complejo.

El plano z es una versión de tiempo discreto del plano s, donde se utilizan transformadas z en lugar de la transformación de Laplace.

Espacios cuadráticos

El plano complejo está asociado con dos espacios cuadráticos distintos. Para un punto $z = x + i$ en el plano complejo, la función de squaring z² y la norma $x^2 + y^2$ ambos son formas cuadráticas. El primero se descuida con frecuencia a raíz del uso de este último en establecer una métrica en el plano complejo. Estas distintas caras del plano complejo como un espacio cuadrático surgen en la construcción de álgebras sobre un campo con el proceso Cayley-Dickson. Ese procedimiento se puede aplicar a cualquier campo, y se producen diferentes resultados para los campos R y Ccuando R es el campo de despegue, entonces C se construye con la forma cuadrática ${displaystyle x^{2}+y^{2},}$ pero el proceso también puede comenzar con C y z², y ese caso genera álgebras que difieren de los derivados de R. En cualquier caso, los álgebras generados son álgebras de composición; en este caso el plano complejo es el punto fijado para dos álgebras de composición distintas.

Otros significados de "plano complejo"

Las secciones anteriores de este artículo tratan del plano complejo en términos de una representación geométrica de los números complejos. Aunque este uso del término "plano complejo" tiene una historia larga y matemáticamente rica, de ninguna manera es el único concepto matemático que puede caracterizarse como "el plano complejo". Hay al menos tres posibilidades adicionales.

Espacio vectorial complejo bidimensional, un "plano complejo" en el sentido de que es un espacio vectorial bidimensional cuyas coordenadas son números complejos. Vea también: Complejo espacio de afinidad § Dos dimensiones.
(1 + 1)-dimensional Minkowski espacio, también conocido como el plano split-complex, es un "plano complejo" en el sentido de que los números algebraicos split-complex se pueden separar en dos componentes reales que se asocian fácilmente con el punto $() x, Sí.)$ en el avión cartesiano.
El conjunto de números duales sobre los reales también se puede colocar en una correspondencia única con los puntos $() x, Sí.)$ del plano cartesiano, y representan otro ejemplo de un "plano complejo".

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