Perturbación singular

En matemáticas, un problema de perturbación singular es un problema que contiene un pequeño parámetro que no se puede aproximar estableciendo el valor del parámetro en cero. Más precisamente, la solución no puede aproximarse uniformemente mediante una expansión asintótica

${displaystyle varphi (x)approx sum _{n=0}delta _{n}(varepsilon)psi _{n}(x)}$

como ${displaystyle varepsilon to 0}$. Aquí. ${displaystyle varepsilon }$ es el pequeño parámetro del problema y ${displaystyle delta _{n}(varepsilon)}$ son una secuencia de funciones ${displaystyle varepsilon }$ of increasing order, such as ${displaystyle delta _{n}(varepsilon)=varepsilon ^{n}$. Esto contrasta con los problemas regulares de perturbación, para los cuales se puede obtener una aproximación uniforme de esta forma. Los problemas perturbados singularmente se caracterizan generalmente por dinámicas que operan en múltiples escalas. A continuación se describen varias clases de perturbaciones singulares.

El término "perturbación singular" era acuñado en la década de 1940 por Kurt Otto Friedrichs y Wolfgang R. Wasow.

Métodos de análisis

Un problema perturbado cuya solución se puede aproximar en todo el dominio del problema, ya sea espacio o tiempo, por una única expansión asintotica tiene una perturbación regular. Más a menudo en aplicaciones, una aproximación aceptable a un problema perturbado regularmente se encuentra simplemente reemplazando el pequeño parámetro ${displaystyle varepsilon }$ por cero en la declaración del problema. Esto corresponde a tomar sólo el primer término de la expansión, dando una aproximación que converge, quizás lentamente, a la verdadera solución como ${displaystyle varepsilon }$ disminuciones. La solución a un problema singularmente perturbado no puede ser aproximada de esta manera: Como se ve en los ejemplos siguientes, una perturbación singular generalmente ocurre cuando el pequeño parámetro del problema multiplica su operador más alto. Así, ingenuamente tomar el parámetro para ser cero cambia la misma naturaleza del problema. En el caso de ecuaciones diferenciales, las condiciones límite no pueden ser satisfechas; en ecuaciones algebraicas, el posible número de soluciones se disminuye.

La teoría de la perturbación singular es un área de exploración rica y continua para matemáticos, físicos y otros investigadores. Los métodos utilizados para abordar los problemas en este campo son muchos. Los más básicos incluyen el método de expansiones asintóticas emparejadas y la aproximación WKB para problemas espaciales y, en el tiempo, el método de Poincaré-Lindstedt, el método de escalas múltiples y el promedio periódico. Los métodos numéricos para resolver problemas de perturbaciones singulares también son muy populares.

Para libros sobre perturbación singular en EDO y PDE, consulte, por ejemplo, Holmes, Introducción a los métodos de perturbación, Hinch, Métodos de perturbación o Bender y Orszag, Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros.

Ejemplos de problemas perturbativos singulares

Cada uno de los ejemplos que se describen a continuación muestra cómo fallará un análisis ingenuo de perturbaciones, que supone que el problema es regular en lugar de singular. Algunos muestran cómo el problema puede resolverse mediante métodos singulares más sofisticados.

Coeficientes de fuga en ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales que contienen un pequeño parámetro que premultiplica el término de orden más alto generalmente exhiben capas límite, de modo que la solución evoluciona en dos escalas diferentes. Por ejemplo, considere el problema del valor límite

${displaystyle {begin{matrix}varepsilon u^{primeprime }(x)+u^{prime }(x)=-e^{-x}, 0 0 0 0 0 0 0,\u 0, u(1)=1.end{matrix}}}}}}}}}}}$

Su solución cuando ${displaystyle varepsilon =0.1}$ es la curva sólida que se muestra a continuación. Tenga en cuenta que la solución cambia rápidamente cerca del origen. Si nos fijamos ingenuamente ${displaystyle varepsilon =0}$, obtendríamos la solución etiquetada "outer" abajo que no modela la capa de límite, para la cual x está cerca de cero. Para más detalles que muestran cómo obtener la aproximación uniformemente válida, vea el método de las expansiones asintoticas coincidentes.

Ejemplos en el tiempo

Un robot manipulador accionado eléctricamente puede tener una dinámica mecánica más lenta y una dinámica eléctrica más rápida, exhibiendo así dos escalas de tiempo. En tales casos, podemos dividir el sistema en dos subsistemas, uno correspondiente a dinámicas más rápidas y otro correspondiente a dinámicas más lentas, y luego diseñar controladores para cada uno de ellos por separado. Mediante una técnica de perturbación singular, podemos hacer que estos dos subsistemas sean independientes entre sí, simplificando así el problema de control.

Considere una clase de sistema descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones:

$[displaystyle {dot {x}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2})+varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},varepsilon),,}$

${displaystyle varepsilon {dot {x}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+varepsilon g_{2}(x_{1},x_{2},varepsilon),,}$

${displaystyle x_{1}(0)=a_{1},x_{2}(0)=a_{2},,}$

con ${displaystyle 0 realizadasvarepsilon ll 1}$. La segunda ecuación indica que la dinámica de ${displaystyle x_{2}$ es mucho más rápido que el de ${displaystyle x_{1}}$. Un teorema debido a Tikhonov declara que, con las condiciones correctas en el sistema, inicialmente y muy rápidamente aproximará la solución a las ecuaciones

${displaystyle {dot {x}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),,}$

${displaystyle f_{2}(x_{1},x_{2}=0,,}$

${displaystyle x_{1}(0)=a_{1},,}$

en algún intervalo de tiempo y eso, como ${displaystyle varepsilon }$ disminuye hacia cero, el sistema se acercará más de cerca a la solución en ese mismo intervalo.

Ejemplos en el espacio

En mecánica de fluidos, las propiedades de un fluido ligeramente viscoso son dramáticamente diferentes fuera y dentro de una capa límite estrecha. Así, el fluido exhibe múltiples escalas espaciales.

Los sistemas de reacción-difusión en los que un reactivo se difunde mucho más lentamente que otro pueden formar patrones espaciales marcados por áreas donde existe un reactivo y áreas donde no, con transiciones bruscas entre ellas. En ecología, los modelos depredador-presa como

${displaystyle u_{t}=varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),,}$

${displaystyle v_{t}=v_{xx}+vh(u),,}$

Donde ${displaystyle u}$ es la presa y ${displaystyle v}$ es el depredador, se ha demostrado que exhiben tales patrones.

Ecuaciones algebraicas

Considere el problema de encontrar todas las raíces del polinomio ${displaystyle p(x)=varepsilon x^{3}-x^{2}+1}$. En el límite ${displaystyle varepsilon to 0}$, este cúbico degenera en el cuadrático ${displaystyle 1-x^{2}$ con raíces en ${displaystyle x=pm 1}$. Sustituyendo una serie regular de perturbaciones

${displaystyle x(varepsilon)=x_{0}+varepsilon x_{1}+varepsilon ^{2}x_{2}+cdots }$

en la ecuación y equiparación de poderes iguales ${displaystyle varepsilon }$ sólo produce correcciones a estas dos raíces:

${displaystyle x(varepsilon)=pm 1+{frac {1}{2}varepsilon {fnMicroc {5}{8}varepsilon ^{2}+cdots.}$

Para encontrar la otra raíz, se debe utilizar un análisis singular de perturbación. Debemos entonces tratar con el hecho de que la ecuación degenera en un cuadrático cuando dejamos ${displaystyle varepsilon }$ tienden a cero, en ese límite uno de las raíces escapa al infinito. Para evitar que esta raíz se vuelva invisible al análisis perturbador, debemos reescalificar ${displaystyle x}$ para seguir con esta raíz de escape para que en términos de las variables reescaladas, no escape. Definimos una variable reescalada ${displaystyle y=xvarepsilon }$ donde el exponente ${displaystyle nu }$ será elegido tal que reescala lo suficientemente rápido para que la raíz esté en un valor finito de ${displaystyle y}$ en el límite ${displaystyle varepsilon }$ a cero, pero tal que no colapsa a cero donde las otras dos raíces terminarán. En términos de ${displaystyle y}$ tenemos

${displaystyle Y... -1}y^{2}+varepsilon ^{3nu -1}=0.}$

Podemos verlo para ${displaystyle nu$ el ${displaystyle y^{3}$ está dominado por los términos de menor grado, mientras que en ${displaystyle nu =1}$ se vuelve tan dominante como el ${displaystyle y^{2}$ termino mientras ambos dominan el término restante. Este punto donde el término de orden más alto ya no desaparecerá en el límite ${displaystyle varepsilon }$ a cero al volverse igualmente dominante a otro término, se llama degeneración significativa; esto produce el rescaling correcto para hacer visible la raíz restante. Esta elección rinde

${displaystyle Y^{3}-y^{2}+varepsilon ^{2}=0.}$

Sustituyendo la serie de perturbaciones

${displaystyle y(varepsilon)=y_{0}+varepsilon ^{2}y_{1}+varepsilon ^{4}y_{2}+cdots }$

rendimiento

${displaystyle Sí.$

Entonces estamos interesados en la raíz en ${displaystyle Y...$; la doble raíz ${displaystyle Y...$ son las dos raíces que hemos encontrado encima de ese colapso a cero en el límite de un rescaling infinito. Calculando los primeros pocos términos de la serie entonces rinde

${displaystyle x(varepsilon)={frac {y(varepsilon)}{varepsilon }={frac {1}{varepsilon }-varepsilon -2varepsilon ^{3}+cdots.}$