Perímetro

El perímetro es la distancia alrededor de una forma bidimensional, una medición de la distancia alrededor de algo; la longitud del límite.

Un perímetro es un camino cerrado que abarca, rodea o perfila una forma bidimensional o una longitud unidimensional. El perímetro de un círculo o una elipse se llama su circunferencia.

Calcular el perímetro tiene varias aplicaciones prácticas. Un perímetro calculado es la longitud de la cerca requerida para rodear un patio o jardín. El perímetro de una rueda/círculo (su circunferencia) describe cuánto rodará en una revolución. De manera similar, la cantidad de cuerda enrollada alrededor de un carrete está relacionada con el perímetro del carrete; si la longitud de la cuerda fuera exacta, sería igual al perímetro.

Fórmulas

forma	fórmula	variables
círculo	2π π r=π π d{displaystyle 2pi r=pid}	Donde r{displaystyle r} es el radio del círculo y d{displaystyle d} es el diámetro.
triángulo	a+b+c{displaystyle a+b+c,}	Donde a{displaystyle a}, b{displaystyle b} y c{displaystyle c} son las longitudes de los lados del triángulo.
cuadrado/rhombus	4a{displaystyle 4a}	Donde a{displaystyle a} es la longitud lateral.
rectángulo	2()l+w){displaystyle 2(l+w)}	Donde l{displaystyle l} es la longitud y w{displaystyle w} es el ancho.
polígono equilátero	n× × a{displaystyle ntimes a,}	Donde n{displaystyle n} es el número de lados y a{displaystyle a} es la longitud de uno de los lados.
polígono regular	2nbpecado⁡ ⁡ ()π π n){displaystyle 2nbsin left({frac {pi }right)}	Donde n{displaystyle n} es el número de lados y b{displaystyle b} es la distancia entre el centro del polígono y uno de los vértices del polígono.
polígono general	a1+a2+a3+⋯ ⋯ +an=.. i=1nai{displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots +a_{n}=sum ¿Qué?	Donde ai{displaystyle A_{i} es la longitud de la i{displaystyle i}-a (1a, 2a, 3a... nt) lado de un n- poligonal.

cardoid γ γ :[0,2π π ]→ → R2{displaystyle gamma:[0,2pi ]to mathbb {R} } {2}
(Robando con a=1{displaystyle a=1})
x()t)=2a#⁡ ⁡ ()t)()1+#⁡ ⁡ ()t)){displaystyle x(t)=2acos(t)(1+cos(t)}
Sí.()t)=2apecado⁡ ⁡ ()t)()1+#⁡ ⁡ ()t)){displaystyle y(t)=2asin(t)(1+cos(t)}
L=∫ ∫ 02π π x.()t)2+Sí..()t)2dt=16a{displaystyle L=int ################################################################################################################################################################################################################################################################

El perímetro es la distancia alrededor de una forma. Los perímetros para formas más generales se pueden calcular, como cualquier camino, con ∫ ∫ 0Lds{textstyle int ¿Qué?, donde L{displaystyle L. es la longitud del camino y ds{displaystyle ds} es un elemento de línea infinitesimal. Ambos deben ser reemplazados por formas algebraicas para ser prácticamente calculados. Si el perímetro se da como una curva plana lisa cerrada a mano γ γ :[a,b]→ → R2{displaystyle gamma:[a,b]to mathbb {R} ^{2} con

γ γ ()t)=()x()t)Sí.()t)){displaystyle gamma (t)={begin{pmatrix}x(t)y(t)end{pmatrix}}}

entonces su longitud L{displaystyle L. se puede calcular de la siguiente manera:

L=∫ ∫ abx.()t)2+Sí..()t)2dt{displaystyle L=int _{a}{b}{sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}},mathrm {d} t}

Una noción generalizada del perímetro, que incluye hipersuperficies que atan volúmenes en n{displaystyle n}-dimensional Espacios euclidianos, se describe por la teoría de los conjuntos de Caccioppoli.

Polígonos

Perímetro de un rectángulo.

Los polígonos son fundamentales para determinar los perímetros, no solo porque son las formas más simples, sino también porque los perímetros de muchas formas se calculan aproximándolos con secuencias de polígonos que tienden a estas formas. El primer matemático que se sabe que usó este tipo de razonamiento es Arquímedes, quien aproximó el perímetro de un círculo rodeándolo de polígonos regulares.

El perímetro de un polígono equivale a la suma de las longitudes de sus lados (edges). En particular, el perímetro de un rectángulo de ancho w{displaystyle w} y longitud l l {displaystyle ell } iguales 2w+2l l .{displaystyle 2w+2ell.}

Un polígono equilátero es un polígono que tiene todos los lados de la misma longitud (por ejemplo, un rombo es un polígono equilátero de 4 lados). Para calcular el perímetro de un polígono equilátero, se debe multiplicar la longitud común de los lados por el número de lados.

Un polígono regular puede caracterizarse por el número de sus lados y por su circunradio, es decir, la distancia constante entre su centro y cada uno de sus vértices. La longitud de sus lados se puede calcular usando trigonometría. Si R es el radio de un polígono regular y n es el número de sus lados, entonces su perímetro es

2nRpecado⁡ ⁡ ()180∘ ∘ n).{displaystyle 2nRsin left({frac {180^{circ - Sí.

Un divisor de un triángulo es una ceviana (un segmento desde un vértice hasta el lado opuesto) que divide el perímetro en dos longitudes iguales, denominándose a esta longitud común el semiperímetro del triángulo. Los tres divisores de un triángulo se cortan entre sí en el punto de Nagel del triángulo.

Una cuchilla de un triángulo es un segmento desde el punto medio de un lado de un triángulo hasta el lado opuesto de modo que el perímetro se divide en dos longitudes iguales. Las tres cuchillas de un triángulo se intersecan entre sí en el centro Spieker del triángulo.

Circunferencia de un círculo

Si el diámetro de un círculo es 1, su circunferencia iguala π.

El perímetro de un círculo, a menudo llamado circunferencia, es proporcional a su diámetro y su radio. Es decir, existe un número constante pi, π (la p griega para perímetro), tal que si P es el perímetro del círculo y D su diámetro entonces,

P=π π ⋅ ⋅ D.{displaystyle P=picdot {D}

En términos del radio r del círculo, esta fórmula se convierte en,

P=2π π ⋅ ⋅ r.{displaystyle P=2picdot r.}

Para calcular el perímetro de un círculo, basta con conocer su radio o diámetro y el número π. El problema es que π no es racional (no se puede expresar como el cociente de dos enteros), ni es algebraico (no no es una raíz de una ecuación polinomial con coeficientes racionales). Por lo tanto, obtener una aproximación precisa de π es importante en el cálculo. El cálculo de los dígitos de π es relevante para muchos campos, como el análisis matemático, la algorítmica y la informática.

Percepción del perímetro

Cuanto más corta esta forma, menor es el área y mayor es el perímetro. El casco convexo sigue siendo el mismo.

El perímetro de fortificación de Neuf-Brisach es complicado. El camino más corto a su alrededor es a lo largo de su casco convexo.

El perímetro y el área son dos medidas principales de figuras geométricas. Confundirlos es un error común, así como creer que cuanto mayor es uno de ellos, mayor debe ser el otro. De hecho, una observación común es que una ampliación (o una reducción) de una forma hace que su área crezca (o disminuya) tanto como su perímetro. Por ejemplo, si se dibuja un campo en un mapa a escala 1/10.000, el perímetro real del campo se puede calcular multiplicando el perímetro del dibujo por 10.000. El área real es 10 000² veces el área de la forma en el mapa. Sin embargo, no existe relación entre el área y el perímetro de una forma ordinaria. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo de ancho 0,001 y largo 1000 está ligeramente por encima de 2000, mientras que el perímetro de un rectángulo de ancho 0,5 y largo 2 es 5. Ambas áreas son iguales a 1.

Proclo (siglo V) informó que los campesinos griegos "bastante" campos divididos apoyándose en sus perímetros. Sin embargo, la producción de un campo es proporcional a su área, no a su perímetro, por lo que muchos campesinos ingenuos pueden haber obtenido campos con perímetros largos pero áreas pequeñas (por lo tanto, pocas cosechas).

Si uno quita una pieza de una figura, su área disminuye pero su perímetro puede que no. En el caso de formas muy irregulares, puede surgir confusión entre el perímetro y el casco convexo. El casco convexo de una figura puede visualizarse como la forma formada por una banda elástica estirada a su alrededor. En la imagen animada de la izquierda, todas las figuras tienen el mismo casco convexo; el primer hexágono grande.

Isoperimetría

El problema isoperimétrico consiste en determinar la figura de mayor área entre las que tienen un perímetro dado. La solución es intuitiva; es el circulo. En particular, esto se puede usar para explicar por qué las gotas de grasa en la superficie de un caldo son circulares.

Este problema puede parecer simple, pero su demostración matemática requiere algunos teoremas sofisticados. El problema isoperimétrico a veces se simplifica restringiendo el tipo de figuras a utilizar. En particular, para encontrar el cuadrilátero, o el triángulo, u otra figura particular, con el área más grande entre las que tienen la misma forma y tienen un perímetro dado. La solución al problema isoperimétrico del cuadrilátero es el cuadrado, y la solución al problema del triángulo es el triángulo equilátero. En general, el polígono con n lados que tienen el área más grande y un perímetro dado es el polígono regular, que está más cerca de ser un círculo que cualquier otro. polígono irregular con el mismo número de lados.

Etimología

La palabra proviene del griego περίμετρος perimetros, de περί peri "alrededor" y μέτρον metron "medida".