Péndulo (mecánica)

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Un péndulo simple, matemático o ideal es un cuerpo suspendido de un soporte fijo de manera que oscila libremente hacia adelante y hacia atrás bajo la influencia de la gravedad. Cuando un péndulo se desplaza lateralmente desde su posición de reposo y equilibrio, está sujeto a una fuerza de restauración debido a la gravedad que lo acelerará hacia la posición de equilibrio. Cuando se suelta, la fuerza restauradora que actúa sobre la masa del péndulo hace que oscile alrededor de la posición de equilibrio, haciéndolo oscilar de un lado a otro. Las matemáticas de los péndulos son en general bastante complicadas. Se pueden hacer suposiciones simplificadoras que, en el caso de un péndulo simple, permiten resolver analíticamente las ecuaciones de movimiento para oscilaciones de ángulo pequeño.

Péndulo de gravedad simple

Un péndulo de gravedad simple es un modelo matemático idealizado de un péndulo real. Este es un peso (o bob) en el extremo de una cuerda sin masa suspendida de un pivote, sin fricción. Dado que en este modelo no hay pérdida de energía por fricción, cuando se le da un desplazamiento inicial, oscilará de un lado a otro con una amplitud constante. El modelo se basa en estos supuestos:

La varilla o cuerda sobre la que se balancea la lenteja no tiene masa, es inextensible y siempre permanece tensa.
El bob es una masa puntual.
El movimiento se produce sólo en dos dimensiones, es decir, la lenteja no traza una elipse sino un arco.
El movimiento no pierde energía por fricción o resistencia del aire.
El campo gravitatorio es uniforme.
El soporte no se mueve.

La ecuación diferencial que representa el movimiento de un péndulo simple es

{displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{ell }}sin theta =0}

donde g es la magnitud del campo gravitacional, ℓ es la longitud de la varilla o cuerda y θ es el ángulo desde la vertical hasta el péndulo.

Derivación de "fuerza" de (Eq. 1)

Considere la Figura 1 a la derecha, que muestra las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple. Tenga en cuenta que la trayectoria del péndulo barre un arco de círculo. El ángulo θ se mide en radianes, y esto es crucial para esta fórmula. La flecha azul es la fuerza gravitacional que actúa sobre la lenteja, y las flechas violetas son esa misma fuerza resuelta en componentes paralelas y perpendiculares al movimiento instantáneo de la lenteja. La dirección de la velocidad instantánea de la lenteja siempre apunta a lo largo del eje rojo, que se considera el eje tangencial porque su dirección siempre es tangente al círculo. Considere la segunda ley de Newton,

donde

F es la suma de las fuerzas sobre el objeto,

m es la masa y

a es la aceleración. Debido a que solo nos interesan los cambios en la velocidad y debido a que la lenteja se ve obligada a permanecer en una trayectoria circular, aplicamos la ecuación de Newton solo al eje tangencial. La flecha violeta corta representa el componente de la fuerza gravitacional en el eje tangencial, y se puede usar la trigonometría para determinar su magnitud. De este modo,

{displaystyle {begin{alineado}F&=-mgsin theta =ma,qquad {text{so}}\a&=-gsin theta,end{alineado}}}

donde

g es la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la tierra. El signo negativo en el lado derecho implica que

θ y

a siempre apuntan en direcciones opuestas. Esto tiene sentido porque cuando un péndulo oscila más hacia la izquierda, esperaríamos que acelerara hacia la derecha.

Esta aceleración lineal a a lo largo del eje rojo se puede relacionar con el cambio en el ángulo θ mediante las fórmulas de longitud de arco; s es la longitud del arco:

{displaystyle {begin{aligned}s&=ell theta,\v&={frac {ds}{dt}}=ell {frac {dtheta }{dt}},\a&= {frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=ell {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}},end{alineado}}}

de este modo:

{displaystyle {begin{alineado}ell {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}&=-gsin theta,\{frac {d^{2 }theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{ell }}sin theta &=0.end{alineado}}}

Derivación de "par" de (Ec. 1)

La ecuación (1) se puede obtener utilizando dos definiciones de par.

{displaystyle {boldsymbol {tau }}=mathbf {r} times mathbf {F} ={frac {dmathbf {L} }{dt}}.}

Primero comience definiendo el par en la lenteja del péndulo usando la fuerza de la gravedad.

{displaystyle {boldsymbol {tau }}=mathbf {l} times mathbf {F}_{mathrm {g} },}

donde

l es el vector longitud del péndulo y

F _g es la fuerza debida a la gravedad.

Por ahora solo considere la magnitud del torque en el péndulo.

{displaystyle |{boldsymbol {tau}}|=-mgell sin theta,}

donde

m es la masa del péndulo,

g es la aceleración de la gravedad,

l es la longitud del péndulo y

θ es el ángulo entre el vector longitud y la fuerza de la gravedad.

A continuación, reescribe el momento angular.

{displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p} =mmathbf {r} times ({boldsymbol {omega }}times mathbf {r}).}

De nuevo, solo considere la magnitud del momento angular.

{displaystyle |mathbf {L} |=mr^{2}omega =mell ^{2}{frac {dtheta }{dt}}.}

y su derivada temporal

{displaystyle {frac {d}{dt}}|mathbf {L} |=mell ^{2}{frac {d^{2}theta }{dt^{2}}},}

Según τ =d L/dt, podemos obtener comparando las magnitudes

{displaystyle -mgell sin theta =mell ^{2}{frac {d^{2}theta }{dt^{2}}},}

de este modo:

que es el mismo resultado obtenido a través del análisis de fuerzas.

Derivación de "energía" de (Ec. 1)

También se puede obtener a través del principio de conservación de la energía mecánica: cualquier objeto que caiga una distancia vertical $h$ adquiriría una energía cinética igual a la que perdió en la caída. En otras palabras, la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética. El cambio en la energía potencial está dado por

{ estilo de visualización Delta U = mgh.}

El cambio en la energía cinética (cuerpo partiendo del reposo) está dado por

{displaystyle Delta K={tfrac{1}{2}}mv^{2}.}

Como no se pierde energía, la ganancia en uno debe ser igual a la pérdida en el otro

{displaystyle {tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}

El cambio de velocidad para un cambio de altura dado se puede expresar como

Usando la fórmula de longitud de arco anterior, esta ecuación se puede reescribir en términos dedθ/dt:

{displaystyle {begin{aligned}v=ell {frac {dtheta }{dt}}&={sqrt {2gh}},quad {text{so}}\{frac { dtheta {dt}}&={frac {sqrt {2gh}}{l}},end{alineado}}}

donde

h es la distancia vertical que cayó el péndulo. Mire la Figura 2, que presenta la trigonometría de un péndulo simple. Si el péndulo comienza a oscilar desde algún ángulo inicial

θ ₀, entonces

y ₀, la distancia vertical desde el tornillo, viene dada por

{displaystyle y_{0}=ell cos theta _{0}.}

De manera similar, para y ₁, tenemos

entonces h es la diferencia de los dos

{displaystyle h=ell left(cos theta -cos theta _{0}right).}

En términos dedθ/dtda

{displaystyle {frac {dtheta }{dt}}={sqrt {{frac {2g}{ell }}(cos theta -cos theta _{0})}}.}

Esta ecuación se conoce como la primera integral de movimiento, da la velocidad en términos de ubicación e incluye una constante de integración relacionada con el desplazamiento inicial (θ ₀). Podemos diferenciar, aplicando la regla de la cadena, con respecto al tiempo para obtener la aceleración

{displaystyle {begin{alineado}{frac {d}{dt}}{frac {dtheta}{dt}}&={frac {d}{dt}}{sqrt {{frac {2g}{ell }}left(cos theta -cos theta _{0}right)}},\{frac {d^{2}theta }{dt^{2} }}&={frac {1}{2}}{frac {-{frac {2g}{ell }}sin theta }{sqrt {{frac {2g}{ell }} (cos theta -cos theta _{0})}}}{frac {dtheta}{dt}}\&={frac {1}{2}}{frac {-{ frac {2g}{ell }}sin theta }{sqrt {{frac {2g}{ell }}(cos theta -cos theta _{0})}}}{ sqrt {{frac {2g}{ell }}(cos theta -cos theta _{0})}}=-{frac {g}{ell }}sin theta,\ {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}&+{frac {g}{ell }}sin theta =0,end{alineado}}}

que es el mismo resultado obtenido a través del análisis de fuerzas.

Aproximación de ángulo pequeño

La ecuación diferencial dada arriba no se resuelve fácilmente y no hay una solución que se pueda escribir en términos de funciones elementales. Sin embargo, agregar una restricción al tamaño de la amplitud de la oscilación da una forma cuya solución se puede obtener fácilmente. Si se supone que el ángulo es mucho menor que 1 radian (a menudo citado como menos de 0,1 radianes, aproximadamente 6°), o

luego sustituyendo el sen θ en la ecuación. 1 usando la aproximación de ángulo pequeño,

produce la ecuación para un oscilador armónico,

{displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{ell }}theta =0.}

El error debido a la aproximación es de orden θ(a partir de la expansión de Taylor para sen θ).

Sea el ángulo inicial θ ₀. Si se supone que el péndulo se suelta con velocidad angular cero, la solución se convierte en

{displaystyle theta (t)=theta _{0}cos left({sqrt {frac {g}{ell }}},tright)quad quad quad quad theta _{0}ll 1.}

El movimiento es un movimiento armónico simple donde θ ₀ es la amplitud de la oscilación (es decir, el ángulo máximo entre la barra del péndulo y la vertical). El período aproximado correspondiente del movimiento es entonces

{displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {frac {ell }{g}}}quad quad quad quad quad theta _{0}ll 1}

que se conoce como la ley de Christiaan Huygens para el período. Note que bajo la aproximación de ángulo pequeño, el período es independiente de la amplitud θ ₀; esta es la propiedad del isocronismo que descubrió Galileo.

Regla general para la longitud del péndulo

{displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {frac {ell }{g}}}}

{displaystyle ell ={frac {g}{pi ^{2}}}{frac {T_{0}^{2}}{4}}.}

Si se utilizan unidades del SI (es decir, se mide en metros y segundos), y suponiendo que la medición se realiza en la superficie de la Tierra, entonces g ≈ 9,81 m/s, ygramo/π≈ 1 m/s (0,994 es la aproximación a 3 decimales).

Por lo tanto, aproximaciones relativamente razonables para la duración y el período son:

{displaystyle {begin{alineado}ell &approx {frac {T_{0}^{2}}{4}},\T_{0}&approx 2{sqrt {ell }} end{alineado}}}

donde T ₀ es el número de segundos entre dos tiempos (un tiempo para cada lado del columpio), y l se mide en metros.

Período de amplitud arbitraria

Para amplitudes más allá de la aproximación del ángulo pequeño, se puede calcular el período exacto invirtiendo primero la ecuación de la velocidad angular obtenida del método de la energía (ecuación 2),

{displaystyle {frac {dt}{dtheta }}={sqrt {frac {ell {2g}}}{frac {1}{sqrt {cos theta -cos theta _ {0}}}}}

y luego integrando en un ciclo completo,

{displaystyle T=t(theta _{0}rightarrow 0rightarrow -theta _{0}rightarrow 0rightarrow theta _{0}),}

o el doble del medio ciclo

{displaystyle T=2t(theta _{0}rightarrow 0rightarrow -theta _{0}),}

o cuatro veces el cuarto de ciclo

{displaystyle T=4t(theta _{0}rightarrow 0),}

lo que lleva a

{displaystyle T=4{sqrt {frac {ell }{2g}}}int_{0}^{theta_{0}}{frac {dtheta}}{sqrt {cos theta -cos theta _{0}}}}.}

Tenga en cuenta que esta integral diverge cuando θ ₀ se acerca a la vertical

{ estilo de visualización lim _ { theta _ {0} to pi } T = infty,}

de modo que un péndulo con la energía adecuada para ir verticalmente nunca llegará allí. (Por el contrario, un péndulo cercano a su máximo puede tardar un tiempo arbitrariamente largo en caer).

Esta integral se puede reescribir en términos de integrales elípticas como

{displaystyle T=4{sqrt {frac {ell }{g}}}Fleft({frac {pi }{2}},sin {frac {theta _{0}} {2}}derecho)}

donde F es la integral elíptica incompleta de primera especie definida por

{displaystyle F(varphi,k)=int _{0}^{varphi }{frac {du}{sqrt {1-k^{2}sin ^{2}u}}},.}

O más concisamente por la sustitución

{displaystyle sin {u}={frac {sin {frac {theta }{2}}}{sin {frac {theta _{0}}{2}}}}}

expresando θ en términos de u,

${displaystyle T={frac {2T_{0}}{pi }}K(k),qquad {text{dónde}}quad k=sin {frac {theta _{0}} {2}}.}$ ecuación 3

Aquí K es la integral elíptica completa de primera clase definida por

{displaystyle K(k)=Fleft({frac {pi }{2}},kright)=int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {du}{sqrt {1-k^{2}sin^{2}u}}},.}

Para comparar la aproximación a la solución completa, considere el período de un péndulo de 1 m de longitud en la Tierra (g =9.806 65 m/s) en un ángulo inicial de 10 grados es

{displaystyle 4{sqrt {frac {1{text{ m}}}{g}}} Kleft(sin {frac {10^{circ }}{2}}right) aprox. 2,0102{texto{s}}.}

La aproximación lineal da

{displaystyle 2pi {sqrt {frac {1{text{ m}}}{g}}}approx 2,0064{text{ s}}.}

La diferencia entre los dos valores, inferior al 0,2%, es mucho menor que la provocada por la variación de g con la ubicación geográfica.

A partir de aquí hay muchas formas de proceder para calcular la integral elíptica.

Solución polinomial de Legendre para la integral elíptica

Ecuación dada . 3 y la solución polinomial de Legendre para la integral elíptica:

{displaystyle K(k)={frac {pi }{2}}sum _{n=0}^{infty}left({frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{n}right)^{2}}

donde n !! denota el factorial doble, una solución exacta al período de un péndulo simple es:

{displaystyle {begin{alignedat}{2}T&=2pi {sqrt {frac {ell }{g}}}left(1+left({frac {1}{2}} right)^{2}sin ^{2}{frac {theta _{0}}{2}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right)^{2}sin ^{4}{frac {theta _{0}}{2}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6 }}right)^{2}sin ^{6}{frac {theta _{0}}{2}}+cdots right)\&=2pi {sqrt {frac { ell {g}}}cdot sum _{n=0}^{infty}left(left({frac {(2n)!}{(2^{n}cdot n!) ^{2}}}right)^{2}cdot sin ^{2n}{frac {theta _{0}}{2}}right).end{alignedat}}}

La Figura 4 muestra los errores relativos utilizando la serie de potencias. T ₀ es la aproximación lineal, y T ₂ a T ₁₀ incluyen respectivamente los términos hasta las potencias 2 a 10.

Solución en serie de potencias para la integral elíptica

Se puede encontrar otra formulación de la solución anterior si la siguiente serie de Maclaurin:

{displaystyle sin {frac {theta _{0}}{2}}={frac {1}{2}}theta _{0}-{frac {1}{48}}theta _ {0}^{3}+{frac{1}{3,840}}theta _{0}^{5}-{frac {1}{645,120}}theta_{ 0}^{7}+cpuntos.}

se utiliza en la solución polinomial de Legendre anterior. La serie de potencias resultante es:

{displaystyle T=2pi {sqrt {frac {ell }{g}}}left(1+{frac {1}{16}}theta _{0}^{2}+{ frac {11}{3,072}}theta _{0}^{4}+{frac {173}{737,280}}theta _{0}^{6}+{frac {22,931}{1,321,205,760}}theta _{0}^{8}+{frac {1,319,183}{951,268,147 ,200}}theta _{0}^{10}+{frac {233,526,463}{2,009,078,326,886,400}}theta _ {0}^{12}+cdotsderecha),}

más fracciones disponibles en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras con OEIS: A223067 con los numeradores y OEIS: A223068 con los denominadores.

Solución media aritmético-geométrica para integral elíptica

Ecuación dada . 3 y la solución media aritmético-geométrica de la integral elíptica:

{displaystyle K(k)={frac {pi }{2M(1-k,1+k)}},}

donde M (x, y) es la media aritmético-geométrica de x e y.

Esto produce una fórmula alternativa y de convergencia más rápida para el período:

{displaystyle T={frac {2pi }{Mleft(1,cos {frac {theta _{0}}{2}}right)}}{sqrt {frac { ell {g}}}.}

La primera iteración de este algoritmo da

{displaystyle T_{1}={frac {2T_{0}}{1+cos {frac {theta _{0}}{2}}}}.}

Esta aproximación tiene un error relativo de menos del 1% para ángulos de hasta 96,11 grados. Dado ${textstyle {frac {1}{2}}left(1+cos left({frac {theta _{0}}{2}}right)right)=cos ^{2 }{frac{theta _{0}}{4}},}$ que la expresión se puede escribir de manera más concisa como

{displaystyle T_{1}=T_{0}seg^{2}{frac {theta_{0}}{4}}.}

La expansión de segundo orden de ${ estilo de visualización sec ^ {2} ( theta _ {0}/4)}$ reduce a ${textstyle Tapprox T_{0}left(1+{frac {theta_{0}^{2}}{16}}right).}$

Una segunda iteración de este algoritmo da

{displaystyle T_{2}={frac {4T_{0}}{1+cos {frac {theta _{0}}{2}}+2{sqrt {cos {frac { theta _{0}}{2}}}}}}={frac {4T_{0}}{left(1+{sqrt {cos {frac {theta_{0}}{2} }}}derecha)^{2}}}.}

Esta segunda aproximación tiene un error relativo de menos del 1% para ángulos de hasta 163,10 grados.

Fórmulas aproximadas para el período del péndulo no lineal

Aunque el período exacto $T$ se puede determinar, para cualquier ${ estilo de visualización theta _ {0} < pi}$ rad de amplitud finita, evaluando la integral elíptica completa correspondiente $K(k)$ , donde ${displaystyle kequivsin(theta _{0}/2)}$ , esto a menudo se evita en las aplicaciones porque no es posible expresar esta integral en una forma cerrada en términos de funciones elementales. Esto ha dado paso a la investigación de fórmulas aproximadas simples para el aumento del período del péndulo con la amplitud (útil en laboratorios de introducción a la física, mecánica clásica, electromagnetismo, acústica, electrónica, superconductividad, etc. Las fórmulas aproximadas encontradas por diferentes autores pueden clasificarse como sigue:

Fórmulas de 'ángulo no tan grande', es decir, aquellas que arrojan buenas estimaciones para amplitudes por debajo de $pi /2$ rad (un límite natural para una lenteja en el extremo de una cuerda flexible), aunque la desviación con respecto al período exacto aumenta monótonamente con la amplitud, siendo inadecuadas para amplitudes cercanas a $Pi$ rad. Una de las fórmulas más sencillas encontradas en la literatura es la siguiente de Lima (2006): ${textstyle Tapprox -,T_{0},{frac {ln {a}}{1-a}}}$ , donde ${displaystyle aequivcos {(theta _{0}/2)}}$ .
Fórmulas de 'ángulo muy grande', es decir, aquellas que aproximan asintóticamente el período exacto para amplitudes cercanas a $Pi$ rad, con un error que aumenta monótonamente para amplitudes más pequeñas (es decir, no adecuado para amplitudes pequeñas). Una de las mejores fórmulas de este tipo es la de Cromer, a saber:. ${textstyle Tapprox {frac {2}{pi }},T_{0},ln {(4/a)}}$

Por supuesto, el aumento de $T$ con amplitud es más evidente cuando ${ estilo de visualización pi / 2 < theta _ {0} < pi}$ , como se ha observado en muchos experimentos que utilizan una varilla rígida o un disco. Dado que los temporizadores y sensores precisos están actualmente disponibles incluso en los laboratorios de física introductoria, los errores experimentales que se encuentran en los experimentos de "ángulo muy grande" ya son lo suficientemente pequeños para una comparación con el período exacto y una muy buena concordancia entre la teoría y los experimentos en los que la fricción es se ha encontrado insignificante. Dado que esta actividad ha sido fomentada por muchos instructores, se buscó una fórmula aproximada simple para el período del péndulo válida para todas las amplitudes posibles, con la que se pudieran comparar los datos experimentales. En 2008, Lima derivó una fórmula de promedio ponderado con esta característica:

{displaystyle Tapprox {frac {r,a^{2},T_{text{Lima}}+k^{2},T_{text{Cromer}}}{r,a ^{2}+k^{2}}},}

donde ${ estilo de visualización r = 7,17}$ , que presenta un error máximo de solo 0.6% (en ${ estilo de visualización theta _ {0} = 95 ^ { circ}}$ ).

Serie de Fourier de desplazamiento angular de amplitud arbitraria

La expansión en serie de Fourier de $theta (t)$ está dada por

{displaystyle theta (t)=8sum _{ngeq 1{text{ impar}}}{frac {(-1)^{leftlfloor {n/2}rightrfloor} {n}}{frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}cos(nomega t)}

donde $q$ es el nomo elíptico, $q=exp(-pi K'/K)$ , y $omega =2pi /T$ la frecuencia angular.

Si uno define

{displaystyle epsilon ={frac {1-{sqrt {cos {frac {theta _{0}}{2}}}}}{2+2{sqrt {cos {frac { theta_{0}}{2}}}}}}}

$q$ se puede aproximar usando la expansión

{displaystyle q=varepsilon +2varepsilon ^{5}+15varepsilon ^{9}+150varepsilon ^{13}+1707varepsilon ^{17}+20910varepsilon ^{21}+cdots }

(ver OEIS: A002103). Tenga en cuenta que para ${ estilo de visualización theta _ {0} < pi}$ tenemos ${displaystylevarepsilon <{tfrac{1}{2}}}$ , por lo que la aproximación es aplicable incluso para grandes amplitudes.

Ejemplos

Las animaciones a continuación representan el movimiento de un péndulo simple (sin fricción) con cantidades crecientes de desplazamiento inicial de la lenteja, o una velocidad inicial equivalentemente creciente. El pequeño gráfico encima de cada péndulo es el diagrama del plano de fase correspondiente; el eje horizontal es el desplazamiento y el eje vertical es la velocidad. Con una velocidad inicial lo suficientemente grande, el péndulo no oscila de un lado a otro, sino que gira completamente alrededor del pivote.

Ángulo inicial de 0°, un equilibrio estable
Ángulo inicial de 45°
Ángulo inicial de 90°
Ángulo inicial de 135°
Ángulo inicial de 170°
Ángulo inicial de 180°, equilibrio inestable
Péndulo con energía apenas suficiente para un giro completo
Péndulo con energía suficiente para una oscilación completa

Péndulo compuesto

Un péndulo compuesto (o péndulo físico) es aquel en el que la barra no tiene masa y puede tener un tamaño extendido; es decir, un cuerpo rígido de forma arbitraria que gira sobre un pivote. En este caso, el período del péndulo depende de su momento de inercia I alrededor del punto de pivote.

La ecuación del par da:

dónde:

α es la aceleración angular.
τ es el par

El par es generado por la gravedad por lo que:

{ estilo de visualización tau = - mgL sin theta}

dónde:

m es la masa del cuerpo
L es la distancia desde el pivote hasta el centro de masa del objeto
θ es el ángulo desde la vertical

Por lo tanto, bajo la aproximación de ángulo pequeño sen θ ≈ θ,

{displaystyle alpha ={ddot {theta }}approx -{frac {mgLtheta}{I}}}

donde I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto de pivote.

La expresión para α tiene la misma forma que el péndulo simple convencional y da un período de

{displaystyle T=2pi {sqrt {frac {I}{mgL}}}}

y una frecuencia de

{displaystyle f={frac {1}{T}}={frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {mgL}{I}}}}

Si se tiene en cuenta el ángulo inicial (para amplitudes grandes), la expresión para $alfa$ se convierte en:

{displaystyle alpha ={ddot {theta }}=-{frac {mgLsin theta}{I}}}

y da un periodo de:

{displaystyle T=4operatorname {K} left(sin ^{2}{frac {theta _{0}}{2}}right){sqrt {frac {I}{mgL} }}}

donde θ ₀ es el ángulo máximo de oscilación (con respecto a la vertical) y K (k) es la integral elíptica completa de primera especie.

Interpretación física del período imaginario

La función elíptica jacobiana que expresa la posición de un péndulo en función del tiempo es una función doblemente periódica con un período real y un período imaginario. El período real es, por supuesto, el tiempo que tarda el péndulo en recorrer un ciclo completo. Paul Appell señaló una interpretación física del período imaginario: si θ ₀ es el ángulo máximo de un péndulo y 180° − θ ₀ es el ángulo máximo de otro, entonces el período real de cada uno es la magnitud del período imaginario del péndulo. otro.

Péndulo acoplado

Los péndulos acoplados pueden afectar el movimiento de cada uno, ya sea a través de una conexión de dirección (como un resorte que conecta las pesas) o mediante movimientos en una estructura de soporte (como una mesa). Las ecuaciones de movimiento para dos péndulos simples idénticos acoplados por un resorte que conecta las pesas se pueden obtener utilizando la Mecánica Lagrangiana.

La energía cinética del sistema es:

{displaystyle E_{text{K}}={frac {1}{2}}mL^{2}left({dot {theta }}_{1}^{2}+{dot {theta}}_{2}^{2}right)}

donde $metro$ es la masa de las pesas, $L$ es la longitud de las cuerdas y $theta _ {1}$ , $theta _ {2}$ son los desplazamientos angulares de las dos pesas desde el equilibrio.

La energía potencial del sistema es:

{displaystyle E_{text{p}}=mgL(2-cos theta_{1}-cos theta_{2})+{frac {1}{2}}kL^{2} (theta_{2}-theta_{1})^{2}}

donde $gramo$ es la aceleración gravitatoria, y $k$ es la constante del resorte. El desplazamiento ${ estilo de visualización L ( theta _ {2} - theta _ {1})}$ del resorte desde su posición de equilibrio asume la aproximación del ángulo pequeño.

El lagrangiano es entonces

{displaystyle {mathcal {L}}={frac {1}{2}}mL^{2}left({dot {theta }}_{1}^{2}+{dot { theta }}_{2}^{2}right)-mgL(2-cos theta _{1}-cos theta _{2})-{frac {1}{2}}kL ^{2}(theta_{2}-theta_{1})^{2}}

lo que conduce al siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas:

{displaystyle {begin{alineado}{ddot {theta }}_{1}+{frac {g}{L}}sin theta_{1}+{frac {k}{m} }(theta _{1}-theta _{2})&=0\{ddot {theta }}_{2}+{frac {g}{L}}sin theta_{ 2}-{frac {k}{m}}(theta _{1}-theta _{2})&=0end{alineado}}}

Sumando y restando estas dos ecuaciones a su vez, y aplicando la aproximación de ángulo pequeño, se obtienen dos ecuaciones de oscilador armónico en las variables ${ estilo de visualización theta _ {1} + theta _ {2}}$ y ${ estilo de visualización theta _ {1} - theta _ {2}}$ :

{displaystyle {begin{alineado}{ddot {theta }}_{1}+{ddot {theta }}_{2}+{frac {g}{L}}(theta_{ 1}+theta _{2})&=0\{ddot {theta }}_{1}-{ddot {theta }}_{2}+left({frac {g} {L}}+2{frac {k}{m}}right)(theta _{1}-theta _{2})&=0end{alineado}}}

con las soluciones correspondientes

{displaystyle {begin{alineado}theta_{1}+theta_{2}&=Acos(omega_{1}t+alpha)\theta_{1}-theta _ {2}&=Bcos(omega _{2}t+beta)end{alineado}}}

dónde

{displaystyle {begin{alineado}omega_{1}&={sqrt {frac {g}{L}}}\omega_{2}&={sqrt {{frac {g {L}}+2{frac {k}{m}}}}end{alineado}}}

y $A$ , $B$ , $alfa$ , $beta$ son constantes de integración.

Expresando las soluciones en términos de $theta _ {1}$ y $theta _ {2}$ solo:

{displaystyle {begin{alineado}theta _{1}&={frac {1}{2}}Acos(omega _{1}t+alpha)+{frac {1}{2 }}Bcos(omega _{2}t+beta)\theta _{2}&={frac {1}{2}}Acos(omega _{1}t+alpha) -{frac {1}{2}}Bcos(omega _{2}t+beta)end{alineado}}}

Si los bobs no reciben un empujón inicial, entonces la condición ${displaystyle {dot {theta }}_{1}(0)={dot {theta }}_{2}(0)=0}$ requiere $alfa =beta =0$ , lo que da (después de algunos reajustes):