Péndulo invertido

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Péndulo con centro de masa sobre el pivote

Un péndulo invertido es un péndulo que tiene su centro de masa sobre su punto de pivote. Es inestable y sin ayuda adicional se caerá. Se puede suspender de manera estable en esta posición invertida usando un sistema de control para monitorear el ángulo del poste y mover el punto de pivote horizontalmente hacia atrás debajo del centro de masa cuando comienza a caerse, manteniéndolo balanceado. El péndulo invertido es un problema clásico en dinámica y teoría de control y se utiliza como punto de referencia para probar estrategias de control. A menudo se implementa con el punto de pivote montado en un carro que puede moverse horizontalmente bajo el control de un servosistema electrónico como se muestra en la foto; esto se llama aparato de carro y poste. La mayoría de las aplicaciones limitan el péndulo a 1 grado de libertad fijando el eje a un eje de rotación. Mientras que un péndulo normal es estable cuando cuelga hacia abajo, un péndulo invertido es inherentemente inestable y debe equilibrarse activamente para permanecer erguido; esto se puede hacer aplicando un par en el punto de pivote, moviendo el punto de pivote horizontalmente como parte de un sistema de retroalimentación, cambiando la velocidad de rotación de una masa montada en el péndulo en un eje paralelo al eje de pivote y generando así un par neto en el péndulo, o haciendo oscilar el punto de pivote verticalmente. Se logra una demostración simple de cómo mover el punto de pivote en un sistema de retroalimentación balanceando un palo de escoba hacia arriba en la punta del dedo.

Un segundo tipo de péndulo invertido es un inclinómetro para estructuras altas, que consta de un cable anclado a la parte inferior de los cimientos y conectado a un flotador en una piscina de aceite en la parte superior de la estructura que tiene dispositivos para medir el movimiento. de la posición neutra del flotador lejos de su posición original.

Resumen

Un péndulo con su lenteja colgando directamente debajo del pivote de soporte se encuentra en un punto de equilibrio estable; no hay torque en el péndulo, por lo que permanecerá inmóvil y, si se desplaza de esta posición, experimentará un torque restaurador que lo devuelve a la posición de equilibrio. Un péndulo con su lenteja en posición invertida, sostenido sobre una varilla rígida directamente sobre el pivote, a 180° de su posición de equilibrio estable, está en un punto de equilibrio inestable. Nuevamente en este punto no hay torque en el péndulo, pero el más mínimo desplazamiento fuera de esta posición causará un torque de gravitación en el péndulo que lo acelerará fuera del equilibrio y caerá.

Para estabilizar un péndulo en esta posición invertida, se puede usar un sistema de control de retroalimentación, que monitorea el ángulo del péndulo y mueve la posición del punto de pivote hacia los lados cuando el péndulo comienza a caer, para mantener se equilibró. El péndulo invertido es un problema clásico en dinámica y teoría de control y es ampliamente utilizado como punto de referencia para probar algoritmos de control (controladores PID, representación de espacio de estado, redes neuronales, control difuso, algoritmos genéticos, etc.). Las variaciones de este problema incluyen múltiples enlaces, que permiten controlar el movimiento del carro mientras se mantiene el péndulo y equilibrar el sistema carro-péndulo en un balancín. El péndulo invertido está relacionado con la guía de cohetes o misiles, donde el centro de gravedad se encuentra detrás del centro de arrastre provocando inestabilidad aerodinámica. La comprensión de un problema similar puede mostrarse mediante robótica simple en forma de un carro de equilibrio. Equilibrar un palo de escoba boca arriba en la punta del dedo es una demostración simple, y el problema se resuelve con transportadores personales autoequilibrados como el Segway PT, el hoverboard autoequilibrado y el monociclo autoequilibrado.

Otra forma de estabilizar un péndulo invertido, sin ningún mecanismo de retroalimentación o control, es haciendo oscilar el pivote rápidamente hacia arriba y hacia abajo. Esto se llama péndulo de Kapitza. Si la oscilación es lo suficientemente fuerte (en términos de aceleración y amplitud), el péndulo invertido puede recuperarse de las perturbaciones de una manera sorprendentemente contraria a la intuición. Si el punto impulsor se mueve en un movimiento armónico simple, el movimiento del péndulo se describe mediante la ecuación de Mathieu.

Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de movimiento de los péndulos invertidos dependen de las restricciones que se imponen al movimiento del péndulo. Los péndulos invertidos se pueden crear en varias configuraciones que dan como resultado una serie de ecuaciones de movimiento que describen el comportamiento del péndulo.

Punto de pivote estacionario

En una configuración en la que el punto de pivote del péndulo está fijo en el espacio, la ecuación de movimiento es similar a la de un péndulo no invertido. La siguiente ecuación de movimiento asume que no hay fricción ni ninguna otra resistencia al movimiento, una barra rígida sin masa y la restricción al movimiento bidimensional.

{ddot {theta }}-{g over ell }sin theta =0

Donde ${ddot {theta }}$ es la aceleración angular del péndulo, $g$ es la gravedad estándar en la superficie de la Tierra, $ell$ es la longitud del péndulo, y $theta$ es el desplazamiento angular medido desde la posición del equilibrio.

Cuando ${ddot {theta }}$ a ambos lados, tendrá el mismo signo que el término de aceleración angular:

{ddot {theta }}={g over ell }sin theta

Por lo tanto, el péndulo invertido acelerará alejándose del equilibrio inestable vertical en la dirección inicialmente desplazada, y la aceleración es inversamente proporcional a la longitud. Los péndulos altos caen más lentamente que los cortos.

Derivación usando torque y momento de inercia:

Un dibujo esquemático del péndulo invertido en un carrito. La vara es considerada sin masa. La masa del carro y la masa del punto al final de la varilla son denotados por M y m. La varilla tiene una longitud l.

Se supone que el péndulo consiste en una masa de punto, de masa $m$ , fijado al final de una barra rígida sin masa, de longitud $ell$ , unido a un punto de pivote al final frente a la masa de punto.

El par neto del sistema debe ser igual al momento de inercia multiplicado por la aceleración angular:

{boldsymbol {tau }}_{mathrm {net} }=I{ddot {theta }}

El par debido a la gravedad que proporciona el par neto:

{boldsymbol {tau }}_{mathrm {net} }=mgell sin theta ,!

Donde $theta$ es el ángulo medido desde la posición de equilibrio invertido.

La ecuación resultante:

I{ddot {theta }}=mgell sin theta ,!

El momento de inercia de una masa puntual:

I=mR^{2}

En el caso del péndulo invertido el radio es la longitud de la barra, $ell$ .

Sustitución $I=mell ^{2}$

mell ^{2}{ddot {theta }}=mgell sin theta ,!

Mass and $ell ^{2}$ se divide de cada lado que resulta en:

{ddot {theta }}={g over ell }sin theta

Péndulo invertido sobre carro

Un péndulo invertido en un carrito consiste en una masa $m$ en la parte superior de un polo de longitud $ell$ pivotado en una base horizontalmente en movimiento como se muestra en la imagen adyacente. El carrito está restringido a movimiento lineal y está sujeto a fuerzas que resultan en movimiento o dificultan.

Fundamentos de estabilización

Los elementos esenciales para estabilizar el péndulo invertido se pueden resumir cualitativamente en tres pasos.

1. Si el ángulo de inclinación $theta$ es a la derecha, el carro debe acelerar a la derecha y viceversa.

2. La posición del carrito $x$ relativo al centro de seguimiento se estabiliza mediante una modulación leve del ángulo nulo (el error de ángulo que el sistema de control intenta anular) por la posición del carrito, es decir, ángulo nulo $=theta +kx$ Donde $k$ es pequeño. Esto hace que el polo desee inclinarse ligeramente hacia el centro de pista y estabilizarse en el centro de pista donde el ángulo de inclinación es exactamente vertical. Cualquier compensación en el sensor de inclinación o la pendiente de pista que de otra manera causar inestabilidad se traduce en un offset de posición estable. Una compensación adicional da control de posición.

3. Un péndulo normal sujeto a un punto de pivote en movimiento, como una carga levantada por una grúa, tiene una respuesta máxima en la frecuencia de péndulo radiano $omega _{p}={sqrt {g/ell }}$ . Para evitar cambios incontrolados, el espectro de frecuencias del movimiento pivote debe suprimirse cerca $omega _{p}$ . El péndulo invertido requiere el mismo filtro de supresión para lograr la estabilidad.

Tenga en cuenta que, como consecuencia de la estrategia de modulación de ángulo nulo, la retroalimentación de posición es positiva, es decir, un comando repentino para moverse a la derecha producirá un movimiento de carro inicial a la izquierda seguido de un movimiento a la derecha para reequilibrar el péndulo. La interacción de la inestabilidad del péndulo y la inestabilidad de la retroalimentación de posición positiva para producir un sistema estable es una característica que hace que el análisis matemático sea un problema interesante y desafiante.

De las ecuaciones de Lagrange

Las ecuaciones de movimiento pueden derivarse usando las ecuaciones de Lagrange. Nos referimos al dibujo a la derecha donde $theta (t)$ es el ángulo del péndulo de longitud $l$ con respecto a la dirección vertical y las fuerzas que actúan son la gravedad y una fuerza externa F en la dirección x. Define $x(t)$ para ser la posición del carrito.

La energía cinética $T$ del sistema es:

{displaystyle T={frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{frac {1}{2}}mv_{2}^{2},}

Donde $v_{1}$ es la velocidad del carro y $v_{2}$ es la velocidad de la masa de punto $m$ . $v_{1}$ y $v_{2}$ se puede expresar en términos de x y $theta$ escribiendo la velocidad como el primer derivado de la posición;

{displaystyle v_{1}^{2}={dot {x}}^{2},}

{displaystyle v_{2}^{2}=left({frac {rm {d}}{{rm {d}}t}}{left(x-ell sin theta right)}right)^{2}+left({frac {rm {d}}{{rm {d}}t}}{left(ell cos theta right)}right)^{2}.}

Simplificar la expresión para $v_{2}$ conduce a:

{displaystyle v_{2}^{2}={dot {x}}^{2}-2ell {dot {x}}{dot {theta }}cos theta +ell ^{2}{dot {theta }}^{2}.}

La energía cinética ahora viene dada por:

{displaystyle T={frac {1}{2}}left(M+mright){dot {x}}^{2}-mell {dot {x}}{dot {theta }}cos theta +{frac {1}{2}}mell ^{2}{dot {theta }}^{2}.}

Las coordenadas generalizadas del sistema son $theta$ y $x$ , cada uno tiene una fuerza generalizada. En el $x$ axis, la fuerza generalizada $Q_x$ se puede calcular a través de su trabajo virtual

{displaystyle Q_{x}delta x=Fdelta x,quad Q_{x}=F,}

sobre $theta$ axis, la fuerza generalizada ${displaystyle Q_{theta }}$ también se puede calcular a través de su trabajo virtual

{displaystyle Q_{theta }delta theta =mglsin theta delta thetaquad Q_{theta }=mglsin theta.}

Según las ecuaciones de Lagrange, las ecuaciones de movimiento son:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{partial {T} over partial {dot {x}}}-{partial {T} over partial x}=F,}

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{partial {T} over partial {dot {theta }}}-{partial {T} over partial theta }=mglsin theta}

sustitución $T$ en estas ecuaciones y simplificación conduce a las ecuaciones que describen el movimiento del péndulo invertido:

{displaystyle left(M+mright){ddot {x}}-mell {ddot {theta }}cos theta +mell {dot {theta }}^{2}sin theta =F,}

{displaystyle ell {ddot {theta }}-gsin theta ={ddot {x}}cos theta.}

Estas ecuaciones no son lineales, pero como el objetivo de un sistema de control sería mantener el péndulo recto las ecuaciones pueden ser linealizadas alrededor $theta approx 0$ .

De las ecuaciones de Euler-Lagrange

Las fuerzas generalizadas pueden ser escritas como energía potencial $V_x$ y ${displaystyle V_{theta }}$ ,

Fuerzas generales	Energía potencial
${displaystyle Q_{x}=F}$	${displaystyle V_{x}=int _{t_{0}}^{t}F{dot {x}} {rm {d}}t}$
${displaystyle Q_{theta }=mglsin theta }$	${displaystyle V_{theta }=mglcos theta }$

Según el principio de D'Alembert's, las fuerzas generalizadas y la energía potencial están conectadas:

{displaystyle Q_{j}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{frac {partial V}{partial {dot {q}}_{j}}}-{frac {partial V}{partial q_{j}}},,}

Sin embargo, bajo ciertas circunstancias, la energía potencial no es accesible, solo las fuerzas generalizadas están disponibles.

Después de conseguir el Lagrangian ${displaystyle {mathcal {L}}=T-V}$ , también podemos utilizar la ecuación Euler-Lagrange para resolver para ecuaciones de movimiento:

{displaystyle {frac {partial {mathcal {L}}}{partial x}}-{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {x}}}}right)=0}

{displaystyle {frac {partial {mathcal {L}}}{partial theta }}-{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}left({frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {theta }}}}right)=0}

La única diferencia es si incorporar las fuerzas generalizadas en la energía potencial $V_{j}$ o escribirlos explícitamente $Q_{j}$ en el lado derecho, todos conducen a las mismas ecuaciones en la final.

De la segunda ley de Newton

A menudo es beneficioso usar la segunda ley de Newton en lugar de las ecuaciones de Lagrange porque las ecuaciones de Newton dan las fuerzas de reacción en la unión entre el péndulo y el carro. Estas ecuaciones dan lugar a dos ecuaciones para cada cuerpo; uno en la dirección x y el otro en la dirección y. Las ecuaciones de movimiento del carro se muestran a continuación, donde LHS es la suma de las fuerzas sobre el cuerpo y RHS es la aceleración.

{displaystyle F-R_{x}=M{ddot {x}}}

{displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}

En las ecuaciones anteriores $R_{x}$ y $R_{y}$ son fuerzas de reacción en la articulación. $F_{N}$ es la fuerza normal aplicada al carrito. Esta segunda ecuación sólo depende de la fuerza de reacción vertical, por lo que la ecuación puede ser utilizada para resolver la fuerza normal. La primera ecuación se puede utilizar para resolver la fuerza de reacción horizontal. Para completar las ecuaciones de movimiento, se debe computar la aceleración de la masa de punto adjunta al péndulo. La posición de la masa punto se puede dar en coordenadas inerciales como

{displaystyle {vec {r}}_{P}=(x-ell sin theta){hat {x}}_{I}+ell cos theta {hat {y}}_{I}}

Al tomar dos derivadas se obtiene el vector de aceleración en el marco de referencia inercial.

{displaystyle {vec {a}}_{P/I}=({ddot {x}}+ell {dot {theta }}^{2}sin theta -ell {ddot {theta }}cos theta){hat {x}}_{I}+(-ell {dot {theta }}^{2}cos theta -ell {ddot {theta }}sin theta){hat {y}}_{I}}

Entonces, usando la segunda ley de Newton, se pueden escribir dos ecuaciones en la dirección x y en la dirección y. Tenga en cuenta que las fuerzas de reacción son positivas cuando se aplican al péndulo y negativas cuando se aplican al carro. Esto se debe a la Tercera Ley de Newton.

{displaystyle R_{x}=m({ddot {x}}+ell {dot {theta }}^{2}sin theta -ell {ddot {theta }}cos theta)}

{displaystyle R_{y}-mg=m(-ell {dot {theta }}^{2}cos theta -ell {ddot {theta }}sin theta)}

La primera ecuación permite otra manera de calcular la fuerza de reacción horizontal en el caso de la fuerza aplicada $F$ no se sabe. La segunda ecuación se puede utilizar para resolver la fuerza de reacción vertical. La primera ecuación del movimiento se deriva por sustitución ${displaystyle F-R_{x}=M{ddot {x}}}$ en ${displaystyle R_{x}=m({ddot {x}}+ell {dot {theta }}^{2}sin theta -ell {ddot {theta }}cos theta)}$ que rinde

{displaystyle left(M+mright){ddot {x}}-mell {ddot {theta }}cos theta +mell {dot {theta }}^{2}sin theta =F}

Por inspección, esta ecuación es idéntica al resultado del método de Lagrange. Para obtener la segunda ecuación, la ecuación de movimiento del péndulo se debe salpicar con un vector unitario que corre perpendicular al péndulo en todo momento y generalmente se indica como la coordenada x del marco del cuerpo. En coordenadas inerciales, este vector se puede escribir usando una transformación de coordenadas 2-D simple

{displaystyle {hat {x}}_{B}=cos theta {hat {x}}_{I}+sin theta {hat {y}}_{I}}

La ecuación del péndulo del movimiento escrito en forma vectorial es ${displaystyle sum {vec {F}}=m{vec {a}}_{P/I}}$ . Dotting ${displaystyle {hat {x}}_{B}}$ con ambas partes cede lo siguiente en el LHS (nota que un transpose es el mismo que un producto de puntos)

{displaystyle ({hat {x}}_{B})^{T}sum {vec {F}}=({hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{hat {x}}_{I}+R_{y}{hat {y}}_{I}-mg{hat {y}}_{I})=({hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{hat {y}}_{B}-mg{hat {y}}_{I})=-mgsin theta }

En la ecuación anterior se utiliza la relación entre los componentes del marco corporal de las fuerzas de reacción y los componentes del marco inercial de las fuerzas de reacción. La suposición de que la barra que conecta la masa de punto al carro es in masa implica que esta barra no puede transferir ninguna carga perpendicular a la barra. Así, los componentes inerciales del marco de las fuerzas de reacción se pueden escribir simplemente como ${displaystyle R_{p}{hat {y}}_{B}}$ lo que significa que la barra sólo puede transferir cargas a lo largo del eje de la barra misma. Esto da lugar a otra ecuación que se puede utilizar para resolver la tensión en la varilla misma

{displaystyle R_{p}={sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}

El RHS de la ecuación se computó de forma similar por la apuesta ${displaystyle {hat {x}}_{B}}$ con la aceleración del péndulo. El resultado (después de alguna simplificación) se muestra a continuación.

{displaystyle m({hat {x}}_{B})^{T}({vec {a}}_{P/I})=m({ddot {x}}cos theta -ell {ddot {theta }})}

Combinando el LHS con el RHS y dividiendo por m se obtiene

ell {ddot {theta }}-gsin theta ={ddot {x}}cos theta

que nuevamente es idéntico al resultado del método de Lagrange. La ventaja de utilizar el método de Newton es que se revelan todas las fuerzas de reacción para garantizar que no se dañe nada.

Variantes

Lograr la estabilidad de un péndulo invertido se ha convertido en un desafío de ingeniería común para los investigadores. Hay diferentes variaciones del péndulo invertido en un carro que van desde una varilla en un carro hasta un péndulo invertido de múltiples segmentos en un carro. Otra variación coloca la varilla del péndulo invertido o la varilla segmentada en el extremo de un conjunto giratorio. En ambos, (carro y sistema giratorio) el péndulo invertido solo puede caer en un plano. Se puede requerir que los péndulos invertidos en estos proyectos mantengan el equilibrio solo después de que se logre una posición de equilibrio o que puedan lograr el equilibrio por sí mismos. Otra plataforma es un péndulo invertido de equilibrio de dos ruedas. La plataforma de dos ruedas tiene la capacidad de girar en el lugar ofreciendo una gran maniobrabilidad. Otra variación se equilibra en un solo punto. Un trompo, un monociclo o un péndulo invertido sobre una bola esférica, todo el equilibrio en un solo punto.

Péndulo de Kapitza

Un péndulo invertido en el que el pivote oscila rápidamente hacia arriba y hacia abajo puede permanecer estable en la posición invertida. Esto se llama péndulo de Kapitza, en honor al físico ruso Pyotr Kapitza, quien lo analizó por primera vez. La ecuación de movimiento de un péndulo conectado a una base oscilante sin masa se obtiene de la misma manera que con el péndulo en el carro. La posición de la masa puntual ahora está dada por:

left(-ell sin thetay+ell cos theta right)

y la velocidad se encuentra tomando la primera derivada de la posición:

v^{2}={dot {y}}^{2}-2ell {dot {y}}{dot {theta }}sin theta +ell ^{2}{dot {theta }}^{2}.

El Lagrangiano para este sistema se puede escribir como:

L={frac {1}{2}}mleft({dot {y}}^{2}-2ell {dot {y}}{dot {theta }}sin theta +ell ^{2}{dot {theta }}^{2}right)-mgleft(y+ell cos theta right)

y la ecuación de movimiento se sigue de:

{mathrm {d} over mathrm {d} t}{partial {L} over partial {dot {theta }}}-{partial {L} over partial theta }=0

resultando en:

ell {ddot {theta }}-{ddot {y}}sin theta =gsin theta.

Si Sí. representa un simple movimiento armónico, $y=Asin omega t$ , la siguiente ecuación diferencial es:

{ddot {theta }}-{g over ell }sin theta =-{A over ell }omega ^{2}sin omega tsin theta.

Esta ecuación no tiene soluciones básicas de forma cerrada, pero se puede explorar de diversas maneras. Es muy aproximado por la ecuación de Mathieu, por ejemplo, cuando la amplitud de las oscilaciones son pequeñas. Los analistas muestran que el péndulo permanece recto para oscilaciones rápidas. La primera trama muestra que cuando $y$ es una oscilación lenta, el péndulo se cae rápidamente cuando se perturba de la posición vertical. El ángulo $theta$ supera 90° después de poco tiempo, lo que significa que el péndulo ha caído sobre el suelo. Si $y$ es una oscilación rápida que el péndulo puede mantenerse estable alrededor de la posición vertical. La segunda parcela muestra que cuando se perturba desde la posición vertical, el péndulo comienza ahora una oscilación alrededor de la posición vertical (pág. $theta =0$ ). La desviación de la posición vertical se mantiene pequeña, y el péndulo no cae.

Ejemplos

Posiblemente, el ejemplo más frecuente de un péndulo invertido estabilizado es un ser humano. Una persona de pie actúa como un péndulo invertido con los pies como pivote, y sin constantes pequeños ajustes musculares se caería. El sistema nervioso humano contiene un sistema de control de retroalimentación inconsciente, el sentido del equilibrio o reflejo de enderezamiento, que utiliza la información propioceptiva de los ojos, los músculos y las articulaciones, y la información de orientación del sistema vestibular que consta de los tres canales semicirculares en el oído interno, y dos órganos otolitos, para hacer pequeños ajustes continuos a los músculos esqueléticos para mantenernos erguidos. Caminar, correr o mantener el equilibrio sobre una pierna impone exigencias adicionales a este sistema. Ciertas enfermedades y la intoxicación por alcohol o drogas pueden interferir con este reflejo, causando mareos y desequilibrio, una incapacidad para mantenerse erguido. Una prueba de sobriedad de campo utilizada por la policía para evaluar a los conductores en busca de la influencia del alcohol o las drogas, prueba este reflejo de deterioro.

Algunos ejemplos simples incluyen el equilibrio de escobas o reglas de metro a mano.

El péndulo invertido se ha empleado en varios dispositivos y tratar de equilibrarlo presenta un problema de ingeniería único para los investigadores. El péndulo invertido fue un componente central en el diseño de varios de los primeros sismómetros debido a su inestabilidad inherente que resultaba en una respuesta medible a cualquier perturbación.

El modelo de péndulo invertido se ha utilizado en algunos vehículos de transporte personal recientes, como los scooters autoequilibrados de dos ruedas y los monociclos eléctricos de una sola rueda. Estos dispositivos son cinemáticamente inestables y utilizan un servosistema de retroalimentación electrónica para mantenerlos en posición vertical.

Hacer oscilar un péndulo en un carrito en su estado de péndulo invertido se considera un problema/punto de referencia de control óptimo tradicional.

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