Péndulo esférico: ángulos y velocidades. En física, un péndulo esférico es un análogo de dimensiones superiores del péndulo. Consiste en una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera. Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad.
Debido a la geometría esférica del problema, se utilizan coordenadas esféricas para describir la posición de la masa en términos de () r , Silencio Silencio , φ φ ) {displaystyle (r,thetaphi)} r se fija tal que r = l {displaystyle r=l}
Mecánica lagrangiana Rutinamente, para escribir el cinético T = 1 2 m v 2 {displaystyle T={tfrac {2}mv^{2} V {displaystyle V} L = T − − V {displaystyle L=T-V.
x = l pecado Silencio Silencio # φ φ {displaystyle x=lsin theta cos phi } Sí. = l pecado Silencio Silencio pecado φ φ {displaystyle y=lsin theta sinphi } z = l () 1 − − # Silencio Silencio ) {displaystyle z=l(1-cos theta)} A continuación, se toman las derivadas temporales de estas coordenadas para obtener velocidades a lo largo de los ejes.
x Í Í = l # Silencio Silencio # φ φ Silencio Silencio Í Í − − l pecado Silencio Silencio pecado φ φ φ φ Í Í {displaystyle {dot {x}=lcos theta cos phi ,{dot {theta }-lsin theta sin phi ,{dot {phi }} Sí. Í Í = l # Silencio Silencio pecado φ φ Silencio Silencio Í Í + l pecado Silencio Silencio # φ φ φ φ Í Í {displaystyle {dot {}=lcos theta sin phi ,{dot {theta }+lsin theta cos phi phi ,{dot {phi } z Í Í = l pecado Silencio Silencio Silencio Silencio Í Í {displaystyle {dot {}=lsin theta ,{dot {theta } Así,
v 2 = x Í Í 2 + Sí. Í Í 2 + z Í Í 2 = l 2 () Silencio Silencio Í Í 2 + pecado 2 Silencio Silencio φ φ Í Í 2 ) {displaystyle v^{2}={dot {x}{2}+{dot {y}{2}+{dot {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}} {f}} {f}}} {fn}}}}}} {f}}}} {fn}}}} {fn}}} {f}}}}}}}}}}l}=l}=l}l}l}l} {l} {l}}l}l}l} {m}l}l}l}}l}l}l}l}l}l}l}l}l}l}l}l}l}}}}l}l}l}l}l}l}l}l}}l}l}l}l}l}l}}}l}}l}l}l}l}}l}l}l}l}}l}l} }{2}+sin ^{2}theta ,{dot {phi }^{2}right)} y
T = 1 2 m v 2 = 1 2 m l 2 () Silencio Silencio Í Í 2 + pecado 2 Silencio Silencio φ φ Í Í 2 ) {displaystyle T={tfrac {1} {2}}mv^{2}={tfrac {1}ml^{2}left({dot {thetat} {thetat} {} {}} {c} {c} {c} {c}}ml} {c} {c}ml} {c}ml} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}} {c} {c} {c} {cc}}}}}}}}}}}mvvvvvv}} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {cc} {ccccc} {c} {c} {c} {c} {c} {ccc}}}}} {c} {c}} }{2}+sin ^{2}theta ,{dot {phi }^{2}right)} V = m g z = m g l () 1 − − # Silencio Silencio ) {displaystyle V=mg,z=mg,l(1-cos theta)} El lagrangiano, sin partes constantes, es
L = 1 2 m l 2 () Silencio Silencio Í Í 2 + pecado 2 Silencio Silencio φ φ Í Í 2 ) + m g l # Silencio Silencio . {displaystyle L={frac {1} {2}ml^{2}left({dot {theta }{2}+sin ^{2}theta {dot {fi - Sí. La ecuación Euler-Lagrange que implica el ángulo polar Silencio Silencio {displaystyle theta }
d d t ∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio Í Í L − − ∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio L = 0 {displaystyle {frac {}{dt}{frac} {fnMicroc} {f}}} {fn}}}} {fn}} {fnMicroc}}}}}} {fnMicroc}}}} {f}}}}}}}}} { {partial }{partial { dot {theta # L-{partial }{partial theta }L=0} da
d d t () m l 2 Silencio Silencio Í Í ) − − m l 2 pecado Silencio Silencio ⋅ ⋅ # Silencio Silencio φ φ Í Í 2 + m g l pecado Silencio Silencio = 0 {displaystyle {frac {dt}left(ml^{2}{dot} {theta }right)-ml^{2}sin theta cdot cos theta ,{dot {phi }}{2}+mglsin theta =0} y
Silencio Silencio .. = pecado Silencio Silencio # Silencio Silencio φ φ Í Í 2 − − g l pecado Silencio Silencio {displaystyle {ddot {theta }=sin theta cos theta {fnMicrosoft {fnMicrosoft} - Sí. Cuando φ φ Í Í = 0 {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }=0}
Del mismo modo, la ecuación Euler-Lagrange que implica el azimut φ φ {displaystyle phi }
d d t ∂ ∂ ∂ ∂ φ φ Í Í L − − ∂ ∂ ∂ ∂ φ φ L = 0 {displaystyle {frac {}{dt}{frac} {fnMicroc} {f}}} {fn}}}} {fn}} {fnMicroc}}}}}} {fnMicroc}}}}}}} {f}}}}} {fnMicroc}} {f}}}}}}} {partial }{partial {fnMicrosoft {fnMicrosoft} }L-{frac {partial }{partial phi }L=0} da
d d t () m l 2 pecado 2 Silencio Silencio ⋅ ⋅ φ φ Í Í ) = 0 {displaystyle {frac {d}left(ml^{2}sin ^{2}theta cdot {dot {fi }right)=0} La última ecuación muestra que el impulso angular alrededor del eje vertical, Silencio L z Silencio = l pecado Silencio Silencio × × m l pecado Silencio Silencio φ φ Í Í {displaystyle ¦Mathbf {L} _{z} arrest=lsin theta times mlsin theta ,{dot {phi } m l 2 pecado 2 Silencio Silencio {displaystyle ml^{2}sin ^{2}theta }
La segunda orden diferencial ecuación determinar la evolución de φ φ {displaystyle phi }
φ φ .. pecado Silencio Silencio = − − 2 Silencio Silencio Í Í φ φ Í Í # Silencio Silencio {displaystyle {ddot {f},sin theta =-2,{dot {theta },{dot {f}},cos theta } El azimut φ φ {displaystyle phi }
El péndulo cónico se refiere a las soluciones especiales donde Silencio Silencio Í Í = 0 {displaystyle { dot {theta }=0} φ φ Í Í {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }
Mecánica hamiltoniana El hamiltoniano es
H = P Silencio Silencio Silencio Silencio Í Í + P φ φ φ φ Í Í − − L {displaystyle H=P_{theta}{dot {theta - ¿Qué? - Sí. donde están los momentos conjugados
P Silencio Silencio = ∂ ∂ L ∂ ∂ Silencio Silencio Í Í = m l 2 ⋅ ⋅ Silencio Silencio Í Í {displaystyle P_{theta ##={frac {partial L}{dot {theta {}}=ml^{2}cdot {dot {theta } y
P φ φ = ∂ ∂ L ∂ ∂ φ φ Í Í = m l 2 pecado 2 Silencio Silencio ⋅ ⋅ φ φ Í Í {displaystyle P_{f}={frac {partial L}{partial {dot {fnfnhf}= {fnf}fnfnh}fnfnhfnfn\fnhfn\fnfnh00fnh00}\fnfnh}\fnh}\fn\\fnKfnfnKfnKfnKfnh}\fnh00}\\\\\\fnK\fnh}fnh}\\\fnKfnfnh}\\fnK\\fnK\fnh00}fnKfnKfn}fnh00\\\fn\\\\\\\ }}=ml^{2}sin ^{2}!theta cdot {dot {fiff} } En términos de coordenadas y momentos se lee
H = [ 1 2 m l 2 Silencio Silencio Í Í 2 + 1 2 m l 2 pecado 2 Silencio Silencio φ φ Í Í 2 ] ⏟ ⏟ T + [ − − m g l # Silencio Silencio ] ⏟ ⏟ V = P Silencio Silencio 2 2 m l 2 + P φ φ 2 2 m l 2 pecado 2 Silencio Silencio − − m g l # Silencio Silencio {displaystyle H=underbrace {fnMicroc {2}ml^{2}{dot} {theta ####### {2} {2}sin ^{2}theta {dot {fnh} {fnf} {fnK} {f}fnK} {fn}fnK}f}f}fnK}f}f}fnKfnK}f}f}f}f}}f}\\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn}f}f}f}f}\f}f}\\\\fn}\\fn}\f}f}\\\\\fn}\\fn}\\\fn}fn}\\\\\fn}\\fn - Sí. ################################################################################################################################################################################################################################################################ {bigg [}-mglcos theta {bigg}} ################################################################################################################################################################################################################################################################ }
Las ecuaciones de Hamilton darán la evolución temporal de las coordenadas y los momentos en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden
Silencio Silencio Í Í = P Silencio Silencio m l 2 {displaystyle { dot {theta }={_{theta } over ml^{2}} φ φ Í Í = P φ φ m l 2 pecado 2 Silencio Silencio {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }={_{fi} over ml^{2}sin ^{2}theta } P Silencio Silencio Í Í = P φ φ 2 m l 2 pecado 3 Silencio Silencio # Silencio Silencio − − m g l pecado Silencio Silencio {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft\\fnMicrosoft\\fnMicrosoft\\\\fnMicrosoft\\\\\fnMicrosoft\\\\fnMicrosoft\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\fn }={f} {2} over ml^{2}sin ^{3}theta }cos theta -mglsin theta } P φ φ Í Í = 0 {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}\fnMicrosoft {\\fn\\\\fn\\\\fn\\\fn\\\\fn\\\\fnfn\\\\\\fn\\fn\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\fn\\\fn\\fn\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\ }=0} Momentum P φ φ {displaystyle P_{phi}}
Trayectoria Trayectoria de un péndulo esférico. La trayectoria de la masa en la esfera se puede obtener a partir de la expresión de la energía total
E = [ 1 2 m l 2 Silencio Silencio Í Í 2 + 1 2 m l 2 pecado 2 Silencio Silencio φ φ Í Í 2 ] ⏟ ⏟ T + [ − − m g l # Silencio Silencio ] ⏟ ⏟ V {displaystyle E=underbrace {fnMicroc {2}ml^{2}{dot} {theta ####### {2} {2}sin ^{2}theta {dot {fnh} {fnf} {fnK} {f}fnK} {fn}fnK}f}f}fnK}f}f}fnKfnK}f}f}f}f}}f}\\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn}f}f}f}f}\f}f}\\\\fn}\\fn}\f}f}\\\\\fn}\\fn}\\\fn}fn}\\\\\fn}\\fn - Sí. ################################################################################################################################################################################################################################################################ {bigg [}-mglcos theta {bigg}} ¿Qué? notando que el componente horizontal del impulso angular L z = m l 2 pecado 2 Silencio Silencio φ φ Í Í {displaystyle ¿Qué?
Por lo tanto
E = 1 2 m l 2 Silencio Silencio Í Í 2 + 1 2 L z 2 m l 2 pecado 2 Silencio Silencio − − m g l # Silencio Silencio {displaystyle E={2}ml}{2}{2}{dot {theta {fnK} {f} {fnK} {f}} {f} {f}} {ml} {2}sin ^{2}theta }-mglcos theta } () d Silencio Silencio d t ) 2 = 2 m l 2 [ E − − 1 2 L z 2 m l 2 pecado 2 Silencio Silencio + m g l # Silencio Silencio ] {displaystyle left({frac {dtheta}{dt}right)^{2}={frac {2} {ml^{2}}left[E-{frac} {1}{2} {frac {L_{2}{2}{2}sin ^{2}theta }}+mglcos theta right]} que conduce a una integral elíptica del primer tipo para Silencio Silencio {displaystyle theta }
t () Silencio Silencio ) = 1 2 m l 2 ∫ ∫ [ E − − 1 2 L z 2 m l 2 pecado 2 Silencio Silencio + m g l # Silencio Silencio ] − − 1 2 d Silencio Silencio {fnMicroc {}ml^{2}}}}int left[E-{frac} {fnMicroc} {fn0}} {fn0}}fnK}}fnunci} {2}{2} {fn} {f} {fn} {fn}}sin } {2}theta} {f} {fn}} {f}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {f} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f} {f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f }+mglcos theta right]^{-{frac {1}},dtheta } y una integral elíptica del tercer tipo para φ φ {displaystyle phi }
φ φ () Silencio Silencio ) = L z l 2 m ∫ ∫ pecado − − 2 Silencio Silencio [ E − − 1 2 L z 2 m l 2 pecado 2 Silencio Silencio + m g l # Silencio Silencio ] − − 1 2 d Silencio Silencio {displaystyle phi (theta)={frac {L_{z}{l{sqrt {2m}}}int sin ^{-2}theta left[E-{frac}}}int {2}{2} {fn} {f} {fn} {fn}}sin } {2}theta} {f} {fn}} {f}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {f} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f} {f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f }+mglcos theta right]^{-{frac {1}},dtheta } El ángulo Silencio Silencio {displaystyle theta }
E ■ 1 2 L z 2 m l 2 pecado 2 Silencio Silencio − − m g l # Silencio Silencio {fnMicrosoft} {fnK} {fnMicroc} {f} {f}} {ml}ml^{2}sin ^{2}theta }-mglcos theta } Más resultados...
![{displaystyle H=underbrace {left[{frac {1}{2}}ml^{2}{dot {theta }}^{2}+{frac {1}{2}}ml^{2}sin ^{2}theta {dot {phi }}^{2}right]} _{T}+underbrace {{bigg [}-mglcos theta {bigg ]}} _{V}={P_{theta }^{2} over 2ml^{2}}+{P_{phi }^{2} over 2ml^{2}sin ^{2}theta }-mglcos theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4b7476a113f2067241e09d80ffab01076fbd3b)
![{displaystyle E=underbrace {left[{frac {1}{2}}ml^{2}{dot {theta }}^{2}+{frac {1}{2}}ml^{2}sin ^{2}theta {dot {phi }}^{2}right]} _{T}+underbrace {{bigg [}-mglcos theta {bigg ]}} _{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7c71e33f8c8fec5de31a3f9ead6918ad2eac4f)
![{displaystyle left({frac {dtheta }{dt}}right)^{2}={frac {2}{ml^{2}}}left[E-{frac {1}{2}}{frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}sin ^{2}theta }}+mglcos theta right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743df9be7b10527d8ce22bb907390d1bc09d3309)
![{displaystyle t(theta)={sqrt {{tfrac {1}{2}}ml^{2}}}int left[E-{frac {1}{2}}{frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}sin ^{2}theta }}+mglcos theta right]^{-{frac {1}{2}}},dtheta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e232c62317bab07efd86d2c4c851acbf6139155)
![{displaystyle phi (theta)={frac {L_{z}}{l{sqrt {2m}}}}int sin ^{-2}theta left[E-{frac {1}{2}}{frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}sin ^{2}theta }}+mglcos theta right]^{-{frac {1}{2}}},dtheta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129038d5e92ee236cab05e797bff7e66c5ceec20)
