Péndulo doble

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Péndulo con otro péndulo adjunto a su fin

Un péndulo doble consta de dos péndulos adjuntos al final.

En física y matemáticas, en el área de sistemas dinámicos, un péndulo doble también conocido como péndulo del caos es un péndulo con otro péndulo unido a su extremo, formando un sistema físico simple que exhibe un comportamiento dinámico rico con una fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales. El movimiento de un péndulo doble se rige por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas y es caótico.

Análisis e interpretación

Se pueden considerar varias variantes del péndulo doble; los dos miembros pueden ser de igual o diferente longitud y masa, pueden ser péndulos simples o péndulos compuestos (también llamados péndulos complejos) y el movimiento puede ser en tres dimensiones o restringido al plano vertical. En el siguiente análisis, los miembros se toman como péndulos compuestos idénticos de longitud $l$ y masa $m$ , y el movimiento está restringido a dos dimensiones.

Péndulo compuesto doble

Moción del péndulo compuesto doble (desde la integración numérica de las ecuaciones de movimiento)

En un péndulo compuesto, la masa se distribuye a lo largo de su longitud. Si la masa está distribuida uniformemente, entonces el centro de masa de cada miembro está en su punto medio y el miembro tiene un momento de inercia de $I = 1 / 12 ml 2$ sobre ese punto.

Es conveniente utilizar los ángulos entre cada miembro y la vertical como las coordenadas generalizadas que definen la configuración del sistema. Estos ángulos se denotan $θ 1$ y $θ 2$ . La posición del centro de masa de cada barra se puede escribir en términos de estas dos coordenadas. Si se considera que el origen del sistema de coordenadas cartesianas está en el punto de suspensión del primer péndulo, entonces el centro de masa de este péndulo está en:

{displaystyle {begin{aligned}x_{1}&={frac {l}{2}}sin theta _{1}\y_{1}&=-{frac {l}{2}}cos theta _{1}end{aligned}}}

y el centro de masa del segundo péndulo está en

{displaystyle {begin{aligned}x_{2}&=lleft(sin theta _{1}+{tfrac {1}{2}}sin theta _{2}right)\y_{2}&=-lleft(cos theta _{1}+{tfrac {1}{2}}cos theta _{2}right)end{aligned}}}

Esta es suficiente información para escribir el Lagrangiano.

Lagrangiano

El lagrangiano es

{displaystyle {begin{aligned}L&={text{kinetic energy}}-{text{potential energy}}\&={tfrac {1}{2}}mleft(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}right)+{tfrac {1}{2}}Ileft({{dot {theta }}_{1}}^{2}+{{dot {theta }}_{2}}^{2}right)-mgleft(y_{1}+y_{2}right)\&={tfrac {1}{2}}mleft({{dot {x}}_{1}}^{2}+{{dot {y}}_{1}}^{2}+{{dot {x}}_{2}}^{2}+{{dot {y}}_{2}}^{2}right)+{tfrac {1}{2}}Ileft({{dot {theta }}_{1}}^{2}+{{dot {theta }}_{2}}^{2}right)-mgleft(y_{1}+y_{2}right)end{aligned}}}

El primer término es la energía cinética lineal del centro de masa de los cuerpos y el segundo término es la energía cinética rotacional alrededor del centro de masa de cada barra. El último término es la energía potencial de los cuerpos en un campo gravitatorio uniforme. La notación de puntos indica la derivada temporal de la variable en cuestión.

Sustituyendo las coordenadas anteriores y reorganizando la ecuación se obtiene

{displaystyle L={tfrac {1}{6}}ml^{2}left({{dot {theta }}_{2}}^{2}+4{{dot {theta }}_{1}}^{2}+3{{dot {theta }}_{1}}{{dot {theta }}_{2}}cos(theta _{1}-theta _{2})right)+{tfrac {1}{2}}mglleft(3cos theta _{1}+cos theta _{2}right).}

Solo hay una cantidad conservada (la energía) y ningún momento conservado. Los dos momentos generalizados se pueden escribir como

{displaystyle {begin{aligned}p_{theta _{1}}&={frac {partial L}{partial {{dot {theta }}_{1}}}}={tfrac {1}{6}}ml^{2}left(8{{dot {theta }}_{1}}+3{{dot {theta }}_{2}}cos(theta _{1}-theta _{2})right)\p_{theta _{2}}&={frac {partial L}{partial {{dot {theta }}_{2}}}}={tfrac {1}{6}}ml^{2}left(2{{dot {theta }}_{2}}+3{{dot {theta }}_{1}}cos(theta _{1}-theta _{2})right).end{aligned}}}

Estas expresiones se pueden invertir para obtener

{displaystyle {begin{aligned}{{dot {theta }}_{1}}&={frac {6}{ml^{2}}}{frac {2p_{theta _{1}}-3cos(theta _{1}-theta _{2})p_{theta _{2}}}{16-9cos ^{2}(theta _{1}-theta _{2})}}\{{dot {theta }}_{2}}&={frac {6}{ml^{2}}}{frac {8p_{theta _{2}}-3cos(theta _{1}-theta _{2})p_{theta _{1}}}{16-9cos ^{2}(theta _{1}-theta _{2})}}.end{aligned}}}

Las ecuaciones de movimiento restantes se escriben como

{displaystyle {begin{aligned}{{dot {p}}_{theta _{1}}}&={frac {partial L}{partial theta _{1}}}=-{tfrac {1}{2}}ml^{2}left({{dot {theta }}_{1}}{{dot {theta }}_{2}}sin(theta _{1}-theta _{2})+3{frac {g}{l}}sin theta _{1}right)\{{dot {p}}_{theta _{2}}}&={frac {partial L}{partial theta _{2}}}=-{tfrac {1}{2}}ml^{2}left(-{{dot {theta }}_{1}}{{dot {theta }}_{2}}sin(theta _{1}-theta _{2})+{frac {g}{l}}sin theta _{2}right).end{aligned}}}

Estas últimas cuatro ecuaciones son fórmulas explícitas para la evolución temporal del sistema dado su estado actual. No es posible ir más allá e integrar estas ecuaciones a una expresión en forma cerrada, para obtener fórmulas para $θ 1$ y $θ 2$ como funciones del tiempo. Sin embargo, es posible realizar esta integración numéricamente utilizando el método de Runge Kutta o técnicas similares.

Movimiento caótico

Gráfico del tiempo para que el péndulo se voltee como una función de las condiciones iniciales

Larga exposición de doble péndulo mostrando movimiento caótico (traducido con un LED)

El péndulo doble sufre un movimiento caótico y muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales. La imagen de la derecha muestra la cantidad de tiempo transcurrido antes de que el péndulo se voltee, en función de la posición inicial cuando se suelta en reposo. Aquí, el valor inicial de $θ 1$ varía a lo largo del $x$ -dirección de −3.14 a 3.14. El valor inicial $θ 2$ varía a lo largo del $y$ , de −3.14 a 3.14. El color de cada píxel indica si el péndulo gira dentro:

${displaystyle {sqrt {frac {l}{g}}}}$ (negro)
${displaystyle 10{sqrt {frac {l}{g}}}}$ (red)
${displaystyle 100{sqrt {frac {l}{g}}}}$ (verde)
${displaystyle 1000{sqrt {frac {l}{g}}}}$ (azul) o
${displaystyle 10000{sqrt {frac {l}{g}}}}$ (puro).

Tres péndulos dobles con condiciones iniciales casi idénticas se sumergen con el tiempo mostrando la naturaleza caótica del sistema.

Condiciones iniciales que no conducen a una vuelta dentro ${displaystyle 10000{sqrt {frac {l}{g}}}}$ están manchados de blanco.

El límite de la región blanca central se define en parte por la conservación de energía con la siguiente curva:

{displaystyle 3cos theta _{1}+cos theta _{2}=2.}

Dentro de la región definida por esta curva, es decir, si

2,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">3#⁡ ⁡ Silencio Silencio 1+#⁡ ⁡ Silencio Silencio 2■2,{displaystyle 3cos theta _{1}+cos theta _{2} título2,}2,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ae60062cc37b30dde3bdb4d4adf68327ae4140" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.584ex; height:2.509ex;"/>

entonces es energéticamente imposible que cualquiera de los dos péndulos gire. Fuera de esta región, el péndulo puede girar, pero es una cuestión compleja determinar cuándo lo hará. Se observa un comportamiento similar para un péndulo doble compuesto por dos masas puntuales en lugar de dos barras con masa distribuida.

La falta de una frecuencia de excitación natural ha llevado al uso de sistemas de doble péndulo en diseños de resistencia sísmica en edificios, donde el edificio mismo es el péndulo invertido primario y se conecta una masa secundaria para completar el doble péndulo.

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