Péndulo de segundos

Un péndulo de segundos es un péndulo cuyo período es exactamente de dos segundos; un segundo para la oscilación en una dirección y un segundo para la oscilación de retorno, con una frecuencia de 0,5 Hz.

Un péndulo es un peso suspendido de un pivote de modo que pueda oscilar libremente. Cuando un péndulo se desplaza lateralmente desde su posición de equilibrio en reposo, queda sujeto a una fuerza restauradora debida a la gravedad que lo acelerará de regreso a la posición de equilibrio. Cuando se libera, la fuerza restauradora combinada con la masa del péndulo hace que oscile alrededor de la posición de equilibrio, oscilando hacia adelante y hacia atrás. El tiempo para un ciclo completo, un movimiento hacia la izquierda y un movimiento hacia la derecha, se denomina período. El período depende de la longitud del péndulo y también, en un pequeño grado, de su distribución de peso (el momento de inercia alrededor de su propio centro de masa) y de la amplitud (ancho) de la oscilación del péndulo.

Para una masa puntual en una cuerda ingrávida de longitud L que oscila con una amplitud infinitesimalmente pequeña, sin resistencia, la longitud de la cuerda de un péndulo de segundos es igual a L = g/π² donde g es la aceleración debida a la gravedad, con unidades de longitud por segundo al cuadrado, y L es la longitud de la cuerda en las mismas unidades. Usando la aceleración debida a la gravedad recomendada por el SI de g₀ = 9,80665 m/s², la longitud de la cuerda será aproximadamente 993,6 milímetros, es decir, menos de un centímetro menos que un metro en cualquier parte de la Tierra. Esto se debe a que el valor de g, expresado en m/s², es muy cercano a π².

El reloj de péndulo fue inventado en 1656 por el científico e inventor holandés Christiaan Huygens y patentado al año siguiente. Huygens encargó la construcción de sus diseños de relojes al relojero Salomon Coster, quien realmente construyó el reloj. Huygens se inspiró en las investigaciones sobre péndulos que Galileo Galilei realizó a partir de 1602. Galileo descubrió la propiedad clave que hace que los péndulos sean útiles como cronómetros: el isocronismo, lo que significa que el período de oscilación de un péndulo es aproximadamente el mismo para oscilaciones de diferentes tamaños. Galileo tuvo la idea de un reloj de péndulo en 1637, que fue construido parcialmente por su hijo en 1649, pero ninguno de los dos vivió para terminarlo. La introducción del péndulo, el primer oscilador armónico utilizado para medir el tiempo, aumentó enormemente la precisión de los relojes, de unos 15 minutos por día a 15 segundos por día, lo que llevó a su rápida difusión como los relojes de 'verge and foliot' existentes. Los relojes fueron equipados con péndulos.

Estos primeros relojes, gracias a sus escapes de verticilo, tenían amplias oscilaciones de péndulo de 80 a 100°. En su análisis de péndulos de 1673, Horologium Oscillatorium, Huygens demostró que las amplias oscilaciones hacían que el péndulo fuera impreciso, lo que hacía que su período, y por lo tanto la velocidad del reloj, variaran con las inevitables variaciones en la fuerza motriz proporcionada por el movimiento. La comprensión de los relojeros de que solo los péndulos con pequeñas oscilaciones de unos pocos grados son isócronos motivó la invención del escape de áncora alrededor de 1670, que redujo la oscilación del péndulo a 4-6°. El áncora se convirtió en el escape estándar utilizado en los relojes de péndulo. Además de una mayor precisión, la estrecha oscilación del péndulo del áncora permitió que la caja del reloj acomodara péndulos más largos y lentos, que necesitaban menos energía y causaban menos desgaste en el movimiento. El péndulo de segundos (también llamado péndulo real), de 0,994 m (39,1 pulgadas) de largo y con una oscilación de un segundo, se empezó a utilizar ampliamente en los relojes de calidad. Los relojes largos y estrechos construidos alrededor de estos péndulos, fabricados por primera vez por William Clement alrededor de 1680, se conocieron como relojes de pie. La mayor precisión resultante de estos avances hizo que el minutero, antes poco común, se añadiera a las esferas de los relojes a partir de 1690 aproximadamente.

La ola de innovación relojera de los siglos XVIII y XIX que siguió a la invención del péndulo trajo consigo muchas mejoras a los relojes de péndulo. El escape de marcha muerta inventado en 1675 por Richard Towneley y popularizado por George Graham alrededor de 1715 en sus relojes de precisión "reguladores" reemplazó gradualmente al escape de áncora y ahora se utiliza en la mayoría de los relojes de péndulo modernos. La observación de que los relojes de péndulo se ralentizaban en verano hizo que se comprendiera que la expansión y contracción térmica de la varilla del péndulo con los cambios de temperatura era una fuente de error. Esto se solucionó con la invención de los péndulos con compensación de temperatura: el péndulo de mercurio por George Graham en 1721 y el péndulo de rejilla por John Harrison en 1726. Con estas mejoras, a mediados del siglo XVIII los relojes de péndulo de precisión alcanzaron precisiones de unos pocos segundos por semana.

En aquella época, el segundo se definía como una fracción del tiempo de rotación de la Tierra o día solar medio y se determinaba mediante relojes cuya precisión se comprobaba mediante observaciones astronómicas. El tiempo solar es un cálculo del paso del tiempo basado en la posición del Sol en el cielo. La unidad fundamental del tiempo solar es el día. Hay dos tipos de tiempo solar: el tiempo solar aparente (tiempo del reloj de sol) y el tiempo solar medio (tiempo del reloj).

El tiempo solar medio es el ángulo horario del Sol medio más 12 horas. Este desfase de 12 horas se debe a la decisión de que cada día comience a medianoche para fines civiles, mientras que el ángulo horario o el Sol medio se mide desde el cenit (mediodía). La duración de la luz del día varía durante el año, pero la duración de un día solar medio es casi constante, a diferencia de la de un día solar aparente. Un día solar aparente puede ser 20 segundos más corto o 30 segundos más largo que un día solar medio. Los días largos o cortos se suceden, por lo que la diferencia se acumula hasta que el tiempo medio se adelanta al tiempo aparente en unos 14 minutos cerca del 6 de febrero y se retrasa en unos 16 minutos cerca del 3 de noviembre. La ecuación del tiempo es esta diferencia, que es cíclica y no se acumula de un año a otro.

El tiempo medio sigue al sol medio. Jean Meeus describe el sol medio de la siguiente manera:

"Considera una primera ficticia Sol viajando a lo largo del eclíptico con una velocidad constante y coincidiendo con el verdadero sol en el perigeo y el apogeo (cuando la Tierra está en perihelion y aphelion, respectivamente). Entonces considera un segundo ficticio Sol viajando a lo largo del Ecuador celestial a una velocidad constante y coincidiendo con la primera ficticia Sol en los equinoccios. Este segundo sol ficticio es el significa Sol..."

En 1936, astrónomos franceses y alemanes descubrieron que la velocidad de rotación de la Tierra es irregular. Desde 1967, los relojes atómicos definen el segundo.

La longitud de un péndulo de segundos fue determinada (en toesas) por Marin Mersenne en 1644. En 1660, la Royal Society propuso que fuera la unidad estándar de longitud. En 1671, Jean Picard midió esta longitud en el observatorio de París. Encontró el valor de 440,5 líneas de la toesa de Châtelet, que había sido recientemente renovada. Propuso una toesa universal (en francés: Toise universelle) que era el doble de la longitud del péndulo de segundos. Sin embargo, pronto se descubrió que la longitud de un péndulo de segundos varía de un lugar a otro: el astrónomo francés Jean Richer había medido la diferencia de longitud del 0,3% entre Cayena (en lo que hoy es la Guayana Francesa) y París.

Jean Richer y Giovanni Domenico Cassini midieron la paralaje de Marte entre París y Cayena en la Guayana Francesa cuando Marte estaba en su punto más cercano a la Tierra en 1672. Llegaron a una cifra para la paralaje solar de 9,5 segundos de arco, equivalente a una distancia Tierra-Sol de aproximadamente 22.000 radios terrestres. También fueron los primeros astrónomos en tener acceso a un valor preciso y fiable para el radio de la Tierra, que había sido medido por su colega Jean Picard en 1669 como 3269 mil toises. Las observaciones geodésicas de Picard se habían limitado a la determinación de la magnitud de la Tierra considerada como una esfera, pero el descubrimiento realizado por Jean Richer atrajo la atención de los matemáticos hacia su desviación de una forma esférica. Christiaan Huygens descubrió la fuerza centrífuga que explicaba las variaciones de la aceleración gravitatoria en función de la latitud. También descubrió que la longitud del péndulo de segundos era un medio para medir la aceleración gravitatoria. En el siglo XVIII, además de su importancia para la cartografía, la geodesia adquirió importancia como medio para demostrar empíricamente la teoría de la gravedad, que Émilie du Châtelet promovió en Francia en combinación con el trabajo matemático de Leibniz y porque el radio de la Tierra era la unidad a la que debían referirse todas las distancias celestes. De hecho, la Tierra resultó ser un esferoide achatado a través de estudios geodésicos en Ecuador y Laponia y estos nuevos datos pusieron en tela de juicio el valor del radio de la Tierra tal como lo había calculado Picard.

El físico inglés Sir Isaac Newton, que utilizó la medida de la Tierra de Picard para establecer su ley de la gravedad universal, explicó esta variación de la longitud del péndulo de segundos en sus Principia Mathematica (1687), en los que expuso su teoría y sus cálculos sobre la forma de la Tierra. Newton teorizó correctamente que la Tierra no era exactamente una esfera, sino que tenía una forma elipsoidal achatada, ligeramente achatada en los polos debido a la fuerza centrífuga de su rotación. Como la superficie de la Tierra está más cerca de su centro en los polos que en el ecuador, la gravedad es más fuerte allí. Utilizando cálculos geométricos, dio un argumento concreto sobre la forma elipsoidal hipotética de la Tierra.

El objetivo de los Principia no era proporcionar respuestas exactas a los fenómenos naturales, sino teorizar posibles soluciones a estos factores no resueltos en la ciencia. Newton presionó a los científicos para que investigaran más a fondo las variables inexplicadas. Dos investigadores destacados a los que inspiró fueron Alexis Clairaut y Pierre Louis Maupertuis. Ambos intentaron demostrar la validez de la teoría de Newton sobre la forma de la Tierra. Para ello, realizaron una expedición a Laponia en un intento de medir con precisión el arco meridiano. A partir de esas mediciones pudieron calcular la excentricidad de la Tierra, su grado de desviación de una esfera perfecta. Clairaut confirmó que la teoría de Newton de que la Tierra era elipsoidal era correcta, pero sus cálculos eran erróneos; escribió una carta a la Royal Society de Londres con sus hallazgos. La sociedad publicó un artículo en Philosophical Transactions al año siguiente, en 1737, que revelaba su descubrimiento. Clairaut demostró que las ecuaciones de Newton eran incorrectas y no demostró que la Tierra tuviera forma elipsoide. Sin embargo, corrigió los problemas de la teoría, lo que en efecto demostraría que la teoría de Newton era correcta. Clairaut creía que Newton tenía razones para elegir la forma que eligió, pero no la apoyó en los Principia. El artículo de Clairaut no proporcionó una ecuación válida para respaldar su argumento. Esto generó mucha controversia en la comunidad científica.

No fue hasta que Clairaut escribió su Teoría de la figura de la tierra en 1743 que se proporcionó una respuesta adecuada. En ella, promulgó lo que hoy se conoce más formalmente como el teorema de Clairaut. Al aplicar el teorema de Clairaut, Laplace descubrió a partir de 15 valores de gravedad que el aplanamiento de la Tierra era ⁠1/330⁠. Una estimación moderna es ⁠1/298,25642⁠.

En 1790, un año antes de que el metro se basara definitivamente en un cuadrante de la Tierra, Talleyrand propuso que el metro fuera la longitud del péndulo de segundos en una latitud de 45°. Esta opción, en la que un tercio de esta longitud definía el pie, también fue considerada por Thomas Jefferson y otros para redefinir la yarda en los Estados Unidos poco después de obtener la independencia de la Corona británica.

En lugar del método del péndulo de segundos, la comisión de la Academia Francesa de Ciencias –entre cuyos miembros se encontraban Lagrange, Laplace, Monge y Condorcet– decidió que la nueva medida debería ser igual a una diezmillonésima parte de la distancia desde el Polo Norte hasta el Ecuador (el cuadrante de la circunferencia de la Tierra), medida a lo largo del meridiano que pasa por París. Aparte de la obvia consideración de la seguridad de acceso para los topógrafos franceses, el meridiano de París también era una buena elección por razones científicas: una parte del cuadrante desde Dunkerque hasta Barcelona (unos 1.000 km, o una décima parte del total) podía ser medida con puntos de inicio y fin a nivel del mar, y esa parte estaba aproximadamente en el medio del cuadrante, donde se esperaba que los efectos de la achatamiento de la Tierra fueran mayores. La misión geodésica hispano-francesa combinada con una medición anterior del arco del meridiano de París y la misión geodésica de Laponia habían confirmado que la Tierra era un esferoide achatado. Además, se realizaron observaciones con un péndulo para determinar la aceleración local debida a la gravedad local y la aceleración centrífuga; y estas observaciones coincidieron con los resultados geodésicos al demostrar que la Tierra está achatada en los polos. La aceleración de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra, que se mide con el péndulo de segundos, se debe a los efectos combinados de la gravedad local y la aceleración centrífuga. La gravedad disminuye con la distancia desde el centro de la Tierra mientras que la fuerza centrífuga aumenta con la distancia desde el eje de rotación de la Tierra, de lo que se deduce que la aceleración resultante hacia el suelo es un 0,5% mayor en los polos que en el Ecuador y que el diámetro polar de la Tierra es menor que su diámetro ecuatorial.

La Academia de Ciencias se propuso inferir el achatamiento de la Tierra a partir de las diferencias de longitud entre las porciones meridionales correspondientes a un grado de latitud. Pierre Méchain y Jean-Baptiste Delambre combinaron sus mediciones con los resultados de la misión geodésica hispano-francesa y hallaron un valor de 1/334 para el achatamiento de la Tierra, y luego extrapolaron a partir de su medición del arco meridiano de París entre Dunkerque y Barcelona la distancia del Polo Norte al Ecuador, que era de 5 130 740 toesas. Como el metro debía ser igual a una diezmillonésima parte de esta distancia, se definió como 0,513074 toesas o 3 pies y 11,296 líneas de la toesa del Perú. La Toisa del Perú fue construida en 1735 como estandarte de referencia en la Misión Geodésica Hispano-Francesa, realizada en el actual Ecuador entre 1735 y 1744.

Jean-Baptiste Biot y François Arago publicaron en 1821 sus observaciones, que completaban las de Delambre y Mechain. Se trataba de un relato de la variación de la longitud de los grados de latitud a lo largo del meridiano de París, así como de un relato de la variación de la longitud del péndulo de segundos a lo largo del mismo meridiano entre Shetland y las Baleares. La longitud del péndulo de segundos es un medio para medir g, la aceleración local debida a la gravedad local y a la aceleración centrífuga, que varía en función de la posición de la persona en la Tierra (véase Gravedad de la Tierra).

La tarea de medir el arco meridiano de París duró más de seis años (1792-1798). Las dificultades técnicas no fueron los únicos problemas a los que tuvieron que enfrentarse los agrimensores en el convulso período posterior a la Revolución Francesa: Méchain y Delambre, y más tarde Arago, fueron encarcelados varias veces durante sus mediciones, y Méchain murió en 1804 de fiebre amarilla, que contrajo mientras intentaba mejorar sus resultados originales en el norte de España. Mientras tanto, la comisión de la Academia Francesa de Ciencias calculó un valor provisional a partir de mediciones anteriores de 443,44 líneas. Este valor fue fijado por ley el 7 de abril de 1795. Mientras Méchain y Delambre completaban su medición, la comisión había ordenado que se fabricaran una serie de barras de platino basadas en el metro provisional. Cuando se conoció el resultado final, se seleccionó la barra cuya longitud se aproximaba más a la definición meridional del metro y se colocó en los Archivos Nacionales el 22 de junio de 1799 (4 messidor An VII en el calendario republicano) como registro permanente del resultado. Esta barra estándar del metro pasó a conocerse como el metro de comité (en francés: Mètre des Archives).

• Péndulo (mecánica)
• Péndulo de Kater
• Metre Convention