Péndulo de Kater

El péndulo original de Kater, mostrando uso, del periódico 1818 de Kater. El período del péndulo fue templado comparando su oscilación con el péndulo en el reloj de precisión detrás de él. La vista (izquierda) se utilizó para evitar errores de paralaje.

Un péndulo de Kater es un péndulo de oscilación libre reversible inventado por el físico británico y capitán del ejército Henry Kater en 1817 para su uso como instrumento gravímetro para medir la aceleración local de la gravedad. Su ventaja es que, a diferencia de los gravímetros de péndulo anteriores, no es necesario determinar el centro de gravedad y el centro de oscilación del péndulo, lo que permite una mayor precisión. Durante aproximadamente un siglo, hasta la década de 1930, el péndulo de Kater y sus diversos refinamientos siguieron siendo el método estándar para medir la fuerza de la gravedad de la Tierra durante los estudios geodésicos. Ahora se usa solo para demostrar los principios del péndulo.

Descripción

Se puede usar un péndulo para medir la aceleración de la gravedad g porque para oscilaciones estrechas su período de oscilación T depende sólo de g y su longitud L:

T=2π π Lg()1){displaystyle T=2pi {sqrt {f}}qquad qquad qquad (1),}

Al medir la longitud L y el período T de un péndulo, se puede calcular g.

El péndulo de Kater consiste en una barra rígida de metal con dos puntos de pivote, uno cerca de cada extremo de la barra. Se puede suspender de cualquiera de los pivotes y girar. También tiene un peso ajustable que se puede mover hacia arriba y hacia abajo de la barra, o un pivote ajustable, para ajustar los períodos de balanceo. En uso, se gira desde un pivote, y se cronometra el período, y luego se le da la vuelta y se gira desde el otro pivote, y se cronometra el período. El peso móvil (o pivote) se ajusta hasta que los dos períodos sean iguales. En este punto, el período T es igual al período de un 'ideal' péndulo simple de longitud igual a la distancia entre los pivotes. A partir del período y la distancia medida L entre los pivotes, la aceleración de la gravedad se puede calcular con gran precisión a partir de la ecuación (1) anterior.

La aceleración debida a la gravedad por el péndulo de Kater está dada por,

g=8π π 2T12+T22l1+l2+T12− − T22l1− − l2{displaystyle g={frac {8pi }{2}{dfrac {T_{1} {2}}+{2} {2}}{2}}}}}+{dfrac} {ccc}}}} {cc}}}}} {cccH0}}}} {ccccH0}}}}}} {ccH0}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\ccccccccccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cccccccccccccccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {T_{1} {2}}}}

donde T1 y T2 son los periodos de tiempo de las oscilaciones cuando está suspendido de K1 y K2 respectivamente y l1 y l2 son las distancias de los filos de cuchillo K1 y K2 desde el centro de gravedad respectivamente.

Historia

Medición de la gravedad con péndulos

Un péndulo de Kater y soporte

La primera persona en descubrir que la gravedad variaba sobre la superficie de la Tierra fue el científico francés Jean Richer, quien en 1671 fue enviado en una expedición a Cayena, Guayana Francesa, por la Académie des Sciences francesa, a quien se le asignó la tarea de haciendo mediciones con un reloj de péndulo. A través de las observaciones que hizo en el año siguiente, Richer determinó que el reloj era 2½ minutos por día más lento que en París, o equivalentemente la longitud de un péndulo con una oscilación de un segundo había 1¼ París líneas, o 2,6 mm, más corto que en París. Los científicos de la época se dieron cuenta, y lo demostró Isaac Newton en 1687, de que esto se debía al hecho de que la Tierra no era una esfera perfecta sino ligeramente achatada; era más grueso en el ecuador debido a la rotación de la Tierra. Dado que la superficie estaba más alejada del centro de la Tierra en Cayenne que en París, la gravedad era más débil allí. Después de que se hizo ese descubrimiento, los péndulos de libre oscilación comenzaron a usarse como gravímetros de precisión, llevados en viajes a diferentes partes del mundo para medir la aceleración gravitatoria local. La acumulación de datos geográficos de gravedad dio como resultado modelos cada vez más precisos de la forma general de la Tierra.

Los péndulos se usaban tan universalmente para medir la gravedad que, en la época de Kater, la fuerza local de la gravedad generalmente no se expresaba por el valor de la aceleración g que ahora se usa, sino por la longitud en esa ubicación del segundo péndulo, un péndulo con un período de dos segundos, por lo que cada oscilación dura un segundo. Se puede ver en la ecuación (1) que para un péndulo de segundos, la longitud es simplemente proporcional a g:

g=π π 2L{displaystyle g=pi ^{2}L,}

Inexactitud de los péndulos gravímetros

En la época de Kater, el período T de los péndulos se podía medir con mucha precisión cronometrándolos con relojes de precisión establecidos por el paso de las estrellas en lo alto. Antes del descubrimiento de Kater, la precisión de las mediciones de g estaba limitada por la dificultad de medir con precisión el otro factor L, la longitud del péndulo. L en la ecuación (1) anterior era la longitud de un 'péndulo simple' matemático ideal; consiste en una masa puntual que se balancea en el extremo de una cuerda sin masa. Sin embargo, la 'longitud' de un péndulo real, un cuerpo rígido oscilante, conocido en mecánica como péndulo compuesto, es más difícil de definir. En 1673, el científico holandés Christiaan Huygens en su análisis matemático de péndulos, Horologium Oscillatorium, demostró que un péndulo real tenía el mismo período que un péndulo simple con una longitud igual a la distancia entre el punto de pivote y un punto llamado centro de oscilación, que está ubicado debajo del centro de gravedad del péndulo y depende de la distribución de masa a lo largo del péndulo. El problema era que no había forma de encontrar con precisión la ubicación del centro de oscilación en un péndulo real. En teoría, podría calcularse a partir de la forma del péndulo si las partes metálicas tuvieran una densidad uniforme, pero la calidad metalúrgica y las habilidades matemáticas de la época no permitían que el cálculo se hiciera con precisión.

Para solucionar este problema, la mayoría de los primeros investigadores de la gravedad, como Jean Picard (1669), Charles Marie de la Condamine (1735) y Jean-Charles de Borda (1792) se aproximaron a un péndulo simple usando una esfera de metal suspendida por un hilo de luz. Si el alambre tuviera una masa despreciable, el centro de oscilación estaría cerca del centro de gravedad de la esfera. Pero incluso encontrar con precisión el centro de gravedad de la esfera fue difícil. Además, este tipo de péndulo inherentemente no era muy preciso. La esfera y el alambre no se balanceaban de un lado a otro como una unidad rígida, porque la esfera adquiría un ligero momento angular durante cada oscilación. Además, el alambre se estiró elásticamente durante la oscilación del péndulo, cambiando L ligeramente durante el ciclo.

La solución de Kater

Sin embargo, en Horologium Oscillatorium, Huygens también había demostrado que el punto de pivote y el centro de oscilación eran intercambiables. Es decir, si cualquier péndulo se suspende boca abajo desde su centro de oscilación, tiene el mismo período de oscilación y el nuevo centro de oscilación es el antiguo punto de pivote. La distancia entre estos dos puntos conjugados era igual a la longitud de un péndulo simple con el mismo período.

Como parte de un comité designado por la Royal Society en 1816 para reformar las medidas británicas, la Cámara de los Comunes había contratado a Kater para determinar con precisión la longitud del péndulo de segundos en Londres. Se dio cuenta de Huygens' podría usarse para encontrar el centro de oscilación, y así la longitud L, de un péndulo rígido (compuesto). Si se colgara un péndulo boca abajo desde un segundo punto de pivote que pudiera ajustarse hacia arriba y hacia abajo en la varilla del péndulo, y el segundo pivote se ajustara hasta que el péndulo tuviera el mismo período que cuando se balanceaba con el lado derecho hacia arriba desde el primer pivote, el segundo pivote estaría en el centro de oscilación, y la distancia entre los dos puntos de pivote sería L.

Kater no fue la primera en tener esta idea. El matemático francés Gaspard de Prony propuso por primera vez un péndulo reversible en 1800, pero su trabajo no se publicó hasta 1889. En 1811, Friedrich Bohnenberger volvió a descubrirlo, pero Kater lo inventó de forma independiente y fue el primero en ponerlo en práctica.

Dibujo del péndulo de Kater
a) pivotes de borde de cuchillo opuestos de los cuales el péndulo está suspendido
b) ajuste fino peso movido ajustando tornillo
c) peso de ajuste grueso sujetado a varilla por conjunto
d) Bob
e) punteros para la lectura

El péndulo

Kater construyó un péndulo que consiste en una varilla de latón de aproximadamente 2 metros de largo, 1½ pulgadas de ancho y un octavo de pulgada de espesor, con un peso (d) en un extremo. Para un pivote de baja fricción, utilizó un par de "cuchillos" triangulares cortos. cuchillas unidas a la varilla. En uso, el péndulo se colgaba de un soporte en la pared, sostenido por los bordes de las hojas de los cuchillos que descansaban sobre placas planas de ágata. El péndulo tenía dos de estos pivotes de hoja de cuchillo (a), uno frente al otro, aproximadamente a un metro (40 pulgadas) de distancia, de modo que una oscilación del péndulo tomó aproximadamente un segundo cuando colgaba de cada pivote.

Kater descubrió que hacer uno de los pivotes ajustable causaba imprecisiones, lo que dificultaba mantener el eje de ambos pivotes exactamente paralelos. En su lugar, unió permanentemente las hojas del cuchillo a la varilla y ajustó los períodos del péndulo mediante un pequeño peso móvil (b,c) en el eje del péndulo. Dado que la gravedad solo varía un máximo del 0,5% sobre la Tierra, y en la mayoría de los lugares mucho menos que eso, el peso solo tuvo que ajustarse ligeramente. Mover el peso hacia uno de los pivotes disminuyó el período cuando se colgó de ese pivote y aumentó el período cuando se colgó del otro pivote. Esto también tenía la ventaja de que la medición de precisión de la separación entre los pivotes solo tenía que hacerse una vez.

Procedimiento experimental

Para usarlo, el péndulo se colgaba de un soporte en una pared, con los pivotes de la hoja del cuchillo apoyados en dos pequeñas placas horizontales de ágata, frente a un reloj de péndulo de precisión para cronometrar el período. Primero se balanceó desde un pivote y se cronometraron las oscilaciones, luego se invirtió y se balanceó desde el otro pivote, y las oscilaciones se cronometraron nuevamente. El peso pequeño (b) se ajustó con el tornillo de ajuste y el proceso se repitió hasta que el péndulo tuvo el mismo período cuando se balanceó de cada pivote. Al colocar el período medido T y la distancia medida entre las palas del pivote L en la ecuación del período (1), se podría calcular g con mucha precisión.

Kater realizó 12 ensayos. Midió el período de su péndulo con mucha precisión usando el péndulo del reloj por el método de las coincidencias; cronometrando el intervalo entre las coincidencias cuando los dos péndulos oscilaban en sincronismo. Midió la distancia entre las hojas de pivote con un comparador de microscopio, con una precisión de 10⁻⁴ pulgadas (2,5 μm). Al igual que con otras mediciones de la gravedad del péndulo, tuvo que aplicar pequeñas correcciones al resultado por una serie de factores variables:

• el ancho finito del columpio del péndulo, que aumentó el período
• temperatura, que causó que la longitud de la varilla variara debido a la expansión térmica
• presión atmosférica, que redujo la masa efectiva del péndulo por la flotabilidad del aire desplazado, aumentando el período
• altitud, que redujo la fuerza gravitatoria con distancia del centro de la Tierra. Las mediciones de gravedad siempre se refieren al nivel del mar.

Dio su resultado como la longitud del péndulo de segundos. Después de las correcciones, descubrió que la longitud media del péndulo de segundos solares en Londres, al nivel del mar, a 62 °F (17 °C), oscilando en el vacío, era de 39,1386 pulgadas. Esto equivale a una aceleración gravitatoria de 9,81158 m/s². La mayor variación de sus resultados con respecto a la media fue de 0,00028 pulgadas (7,1 μm). Esto representó una precisión de medición de la gravedad de 0,7 × 10⁻⁵ (7 miligramos).

En 1824, el parlamento británico convirtió la medida del péndulo de segundos de Kater en el estándar de respaldo oficial de longitud para definir el patio en caso de que el prototipo del patio fuera destruido.

Usar

Gráfico con variante del péndulo Repsold

El gran aumento en la precisión de la medición de la gravedad que hizo posible el péndulo de Kater estableció la gravimetría como una parte regular de la geodesia. Para ser útil, era necesario encontrar la ubicación exacta (latitud y longitud) de la 'estación' donde se tomó una medición de la gravedad, por lo que las mediciones del péndulo se convirtieron en parte de la topografía. Los péndulos de Kater se tomaron en los grandes levantamientos geodésicos históricos de gran parte del mundo que se estaban realizando durante el siglo XIX. En particular, los péndulos de Kater se utilizaron en el Gran Estudio Trigonométrico de la India.

Los péndulos reversibles siguieron siendo el método estándar utilizado para medir la gravedad absoluta hasta que fueron reemplazados por los gravímetros de caída libre en la década de 1950.

Péndulo Repsold–Bessel

Péndulo de Repsol.

Tomar el tiempo repetidamente cada período de un péndulo de Kater y ajustar los pesos hasta que fueran iguales requería mucho tiempo y era propenso a errores. Friedrich Bessel demostró en 1826 que esto era innecesario. Siempre que los períodos medidos desde cada pivote, T₁ y T₂, tengan un valor cercano, el período T del péndulo simple equivalente se puede calcular a partir de ellos:

T2=T12+T222+T12− − T222()h1+h2h1− − h2)()2){displaystyle T^{2}={frac {T_{1}{2}+T_{2} {2}}}+{frac}} {T_{1} {2}-T_{2} {2}}left({frac} {fnK} {fn} {fnK} {f}}} {fnK}}} {fn}}}}} {f} {f}} {f} {fnKf}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {h_{1}+h_{2} {h_{1}-h_{2}right),qquad qquad qquad (2)}

Aquí. h1{displaystyle h_{1},} y h2{displaystyle ¿Qué? son las distancias de los dos pivotes del centro de gravedad del péndulo. La distancia entre los pivotes, h1+h2{displaystyle ¿Qué?, se puede medir con gran precisión. h1{displaystyle h_{1},} y h2{displaystyle ¿Qué?, y por lo tanto su diferencia h1− − h2{displaystyle ¿Qué?, no se puede medir con precisión comparable. Se encuentran equilibrando el péndulo en un filo de cuchillo para encontrar su centro de gravedad, y midiendo las distancias de cada uno de los pivotes del centro de gravedad. Sin embargo, porque T12− − T22{displaystyle ¿Qué? es mucho más pequeño que T12+T22{displaystyle ¿Qué?, el segundo término en la derecha en la ecuación anterior es pequeño en comparación con el primero, así que h1− − h2{displaystyle ¿Qué? no tiene que ser determinado con alta precisión, y el procedimiento de equilibrio descrito anteriormente es suficiente para dar resultados precisos.

Por lo tanto, el péndulo no tiene que ser ajustable en absoluto, puede ser simplemente una barra con dos pivotes. Siempre que cada pivote esté cerca del centro de oscilación del otro, de modo que los dos períodos estén cerca, el período T del péndulo simple equivalente se puede calcular con la ecuación (2), y la gravedad se puede calcular a partir de T y L con (1).

Además, Bessel demostró que si el péndulo se hiciera con una forma simétrica, pero con un peso interno en un extremo, el error causado por los efectos de la resistencia del aire se cancelaría. Además, se podría cancelar otro error causado por el diámetro finito de los bordes de las cuchillas de pivote al intercambiar los bordes de las cuchillas.

Bessel no construyó un péndulo de este tipo, pero en 1864 Adolf Repsold, bajo contrato con la Comisión Geodésica Suiza, desarrolló un péndulo simétrico de 56 cm de largo con palas de pivote intercambiables, con un período de aproximadamente ¾ de segundo. El péndulo de Repsold fue utilizado ampliamente por las agencias geodésicas suiza y rusa, y en Survey of India. Charles Peirce y C. Defforges fabricaron otros péndulos de este diseño ampliamente utilizados.

Asociación Internacional de Geodesia

La Conferencia de Medición del Arco Europeo de 1875 trató sobre el mejor instrumento para ser utilizado para la determinación de la gravedad. La asociación se decidió por el péndulo de reversión y se resolvió rehacer en Berlín, en la estación donde Friedrich Wilhelm Bessel hizo sus famosas mediciones, la determinación de la gravedad por medio de aparatos de diversa índole empleados en diferentes países, con el fin de comparar y así tener la ecuación de sus escalas, luego de una profunda discusión en la que participó un académico estadounidense, Charles Sanders Peirce. De hecho, como la figura de la Tierra podía deducirse de las variaciones de la longitud del péndulo en segundos, la dirección de la Encuesta Costera de los Estados Unidos instruyó a Charles Sanders Peirce en la primavera de 1875 para que se dirigiera a Europa con el fin de realizar experimentos con el péndulo para principales estaciones iniciales para operaciones de este tipo, a fin de poner en comunicación las determinaciones de las fuerzas de gravedad en América con las de otras partes del mundo; y también con el propósito de hacer un estudio cuidadoso de los métodos de proseguir estas investigaciones en los diferentes países de Europa.

La determinación de la gravedad por el péndulo reversible estaba sujeta a dos tipos de error. Por un lado la resistencia del aire y por otro lado los movimientos que las oscilaciones del péndulo imparten a su plano de suspensión. Estos movimientos fueron particularmente importantes con el aparato diseñado por los hermanos Repsold sobre las indicaciones de Bessel, porque el péndulo tenía una gran masa para contrarrestar el efecto de la viscosidad del aire. Mientras Emile Plantamour realizaba una serie de experimentos con este dispositivo, Adolph Hirsch encontró una forma de demostrar los movimientos del plano de suspensión del péndulo mediante un ingenioso proceso de amplificación óptica. Isaac-Charles Élisée Cellérier, un matemático de Ginebra y Charles Sanders Peirce desarrollarían de forma independiente una fórmula de corrección que permitiera utilizar las observaciones realizadas con este tipo de gravímetro.

Presidente de la Comisión Permanente de Medición del Arco Europeo de 1874 a 1886, Carlos Ibáñez Ibáñez de Ibero se convirtió en el primer presidente de la Asociación Geodésica Internacional (1887–1891) tras la muerte de Johann Jacob Baeyer. Bajo la presidencia de Ibáñez, la Asociación Geodésica Internacional adquirió una dimensión global con la adhesión de Estados Unidos, México, Chile, Argentina y Japón. Como resultado del trabajo de la Asociación Geodésica Internacional, en 1901, Friedrich Robert Helmert encontró, principalmente por gravimetría, parámetros del elipsoide notablemente cercanos a la realidad.