Péndulo de foucault

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Dispositivo para demostrar la rotación de la Tierra

Péndulo de Foucault en el Panthéon, París

El péndulo de Foucault o péndulo de Foucault es un dispositivo sencillo que lleva el nombre del físico francés Léon Foucault, concebido como un experimento para demostrar el rotación. Un péndulo largo y pesado suspendido del techo alto sobre un área circular fue monitoreado durante un período de tiempo prolongado, lo que mostró que el plano de oscilación giraba.

El péndulo se introdujo en 1851 y fue el primer experimento que brindó evidencia simple y directa de la rotación de la Tierra. Los péndulos de Foucault hoy en día son exhibiciones populares en museos de ciencia y universidades.

Péndulo de Foucault original

Una impresión del péndulo Foucault, 1895

Foucault Pendulum en COSI Columbus golpeando una bola

La primera exposición pública de un péndulo Foucault tuvo lugar en febrero de 1851 en el Meridiano del Observatorio de París. Unas semanas más tarde, Foucault hizo su péndulo más famoso cuando suspendió un bob de plomo de 28 quilogramas (62 lb) con un cable de 67 metros de largo (220 pies) de la cúpula del Panthéon, París. El período adecuado del péndulo fue aproximadamente ${textstyle 2pi {sqrt {l/g}}approx 16.5,mathrm {s} }$ . Porque la latitud de su ubicación era ${displaystyle phi =mathrm {48^{circ }52'N} }$ , el plano del columpio del péndulo hizo un círculo completo en aproximadamente ${textstyle {frac {mathrm {23h56'} }{sin phi }}approx mathrm {31.8,h} ;(mathrm {31,h,50,min})}$ , girando en sentido de reloj aproximadamente 11.3° por hora.

Focault explicó sus resultados en un artículo de 1851 titulado Demostración física del movimiento de rotación de la Tierra por medio del péndulo, publicado en los Reportes semanales de las sesiones de la Academia de Ciencias. Él escribió que:

...un movimiento oscilatorio de la masa del péndulo sigue un arco de un círculo cuyo plano es bien conocido, y a que la inercia de la materia asegura una posición inmutable en el espacio. Si estas oscilaciones continúan durante cierto tiempo, el movimiento de la tierra, que continúa girando de oeste a este, se volverá sensible en contraste con la inmovilidad del plano de oscilación cuyo rastro en el suelo parecerá animado por un movimiento consistente con el movimiento aparente de la esfera celestial; y si las oscilaciones pudieran perpetuarse durante veinticuatro horas, el rastro de su plano ejecutaría entonces toda una revolución alrededor del proyecto vertical.

La melena original utilizada en 1851 en el Panthéon se trasladó en 1855 al Conservatoire des Arts et Métiers de París. Se realizó una segunda instalación temporal para el 50 aniversario en 1902.

Durante la reconstrucción del museo en la década de 1990, el péndulo original se exhibió temporalmente en el Panteón (1995), pero luego se devolvió al Musée des Arts et Métiers antes de que se reabriera en 2000. El 6 de abril de 2010, el cable que suspendía el La lenteja del Musée des Arts et Métiers se rompió, causando daños irreparables a la lenteja del péndulo y al piso de mármol del museo. La lenteja del péndulo original, ahora dañada, se muestra en una caja separada junto a la pantalla del péndulo actual.

Una copia exacta del péndulo original ha estado operando bajo la cúpula del Panteón de París desde 1995.

Explicación de la mecánica

Animación de un péndulo Foucault en el hemisferio norte, con la velocidad de rotación y amplitud de la Tierra enormemente exagerada. El trazo verde muestra el camino del bob péndulo sobre el suelo (un marco de referencia giratorio), mientras que en cualquier plano vertical. El plano real de oscilación parece girar en relación con la Tierra: sentado astridir el bob como un swing, la fuerza ficticia Coriolis desaparece: el observador está en una referencia "libre de rotación" donde, según la relatividad general, se deben utilizar métricas de espacio curvadas no Euclidean. El alambre debe ser el mayor tiempo posible: longitudes de 12 a 30 m (40 a 100 pies) son comunes.

Ya sea en el Polo Norte Geográfico o en el Polo Sur Geográfico, el plano de oscilación de un péndulo permanece fijo en relación con las masas distantes del universo mientras la Tierra gira debajo de él, tomando un día sideral para completar una rotación. Entonces, en relación con la Tierra, el plano de oscilación de un péndulo en el Polo Norte, visto desde arriba, experimenta una rotación completa en el sentido de las agujas del reloj durante un día; un péndulo en el Polo Sur gira en sentido antihorario.

Cuando un péndulo de Foucault se suspende en el ecuador, el plano de oscilación permanece fijo en relación con la Tierra. En otras latitudes, el plano de oscilación sufre una precesión con respecto a la Tierra, pero más lentamente que en el polo; la velocidad angular, $ω$ (medida en grados en el sentido de las agujas del reloj por día sideral), es proporcional al seno de la latitud, φ:

{displaystyle omega =360^{circ }sin varphi /mathrm {day}}

Usando suficiente longitud de cable, el círculo descrito puede ser lo suficientemente ancho como para que el desplazamiento tangencial a lo largo del círculo de medición entre dos oscilaciones sea visible a simple vista, lo que convierte al péndulo de Foucault en un experimento espectacular: por ejemplo, el péndulo de Foucault original en Panthéon se mueve circularmente, con una amplitud de péndulo de 6 metros, unos 5 mm en cada período.

Un péndulo Foucault en el Polo Norte: El péndulo oscila en el mismo plano que la Tierra gira bajo él.

Un extracto del suplemento ilustrado de la revista Le Petit Parisien fechada el 2 de noviembre de 1902, en el 50 aniversario del experimento de Léon Foucault demostrando la rotación de la tierra.

Un péndulo de Foucault requiere un montaje cuidadoso porque la construcción imprecisa puede causar un viraje adicional que enmascara el efecto terrestre. Como observó más tarde el premio Nobel Heike Kamerlingh Onnes, quien desarrolló una teoría más completa del péndulo de Foucault para su tesis doctoral (1879), la imperfección geométrica del sistema o la elasticidad del cable de soporte puede causar una interferencia entre dos modos horizontales de oscilación, que causó Onnes' péndulo para pasar de oscilación lineal a elíptica en una hora. El lanzamiento inicial del péndulo también es crítico; la forma tradicional de hacerlo es usar una llama para quemar un hilo que mantiene temporalmente la lenteja en su posición inicial, evitando así movimientos laterales no deseados (ver un detalle del lanzamiento en el 50 aniversario en 1902).

En particular, el viraje de un péndulo ya fue observado en 1661 por Vincenzo Viviani, un discípulo de Galileo, pero no hay evidencia de que conectara el efecto con la rotación de la Tierra; más bien, lo consideró como una molestia en su estudio que debería superarse suspendiendo el péndulo en dos cuerdas en lugar de una.

La resistencia del aire amortigua la oscilación, por lo que algunos péndulos de Foucault en los museos incorporan un impulso electromagnético o de otro tipo para mantener el balanceo de la lenteja; otros se reinician regularmente, a veces con una ceremonia de lanzamiento como atracción adicional. Además de la resistencia del aire (el uso de una lenteja simétrica pesada es para reducir las fuerzas de fricción, principalmente la resistencia del aire mediante una lenteja simétrica y aerodinámica), se dice que el otro problema principal de ingeniería al crear un péndulo de Foucault de 1 metro en la actualidad es garantizar que no haya dirección de giro.

La animación describe el movimiento de un péndulo Foucault a una latitud de 30°N. El plano de oscilación gira por un ángulo de −180° durante un día, por lo que después de dos días, el plano vuelve a su orientación original.

La precesión como forma de transporte paralelo

Transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle cerrado en la esfera: El ángulo por el que gira,

α

, es proporcional al área dentro del bucle.

En un marco casi inercial que se mueve en tándem con la Tierra, pero que no comparte la rotación de la Tierra sobre su propio eje, el punto de suspensión del péndulo traza una trayectoria circular durante un día sideral.

En la latitud de París, 48 grados 51 minutos norte, un ciclo completo de precesión tarda poco menos de 32 horas, por lo que después de un día sideral, cuando la Tierra vuelve a tener la misma orientación que un día sideral anterior, el plano de oscilación ha girado un poco más de 270 grados. Si el plano de oscilación era de norte a sur al principio, es de este a oeste un día sideral después.

Esto también implica que ha habido un intercambio de impulso; la Tierra y la lenteja del péndulo han intercambiado impulso. La Tierra es mucho más masiva que la lenteja del péndulo que el cambio de impulso de la Tierra es imperceptible. No obstante, dado que el plano de oscilación de la lenteja del péndulo se ha desplazado, las leyes de conservación implican que debe haber ocurrido un intercambio.

En lugar de seguir el cambio de momento, la precesión del plano de oscilación se puede describir de manera eficiente como un caso de transporte paralelo. Para ello, se puede demostrar, componiendo las rotaciones infinitesimales, que la tasa de precesión es proporcional a la proyección de la velocidad angular de la Tierra en la dirección normal a la Tierra, lo que implica que la traza del plano de oscilación sufrirá un transporte paralelo.. Después de 24 horas, la diferencia entre las orientaciones inicial y final del trazo en el marco de la Tierra es $α = -2 π sin φ$ , que corresponde al valor dado por el teorema de Gauss-Bonnet. $α$ también se denomina holonomía o fase geométrica del péndulo. Al analizar los movimientos terrestres, el marco de la Tierra no es un marco de inercia, sino que gira alrededor de la vertical local a una velocidad efectiva de 2π sin φ radianes por día. Se puede utilizar un método simple que emplea transporte paralelo dentro de conos tangentes a la superficie de la Tierra para describir el ángulo de rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault.

Desde la perspectiva de un sistema de coordenadas ligado a la Tierra (el círculo de medición y el espectador están limitados a la Tierra, también si el espectador no percibe la reacción del terreno a la fuerza de Coriolis cuando se mueve), utilizando un sistema de coordenadas rectangulares con su $x$ -eje apuntando hacia el este y su $y$ -eje que apunta al norte, la precesión del péndulo se debe a la fuerza de Coriolis (otras fuerzas ficticias como la gravedad y la fuerza centrífuga no tienen un componente directo de precesión, la fuerza de Euler es baja porque la velocidad de rotación de la Tierra es casi constante). Considere un péndulo plano con frecuencia natural constante $ω$ en la aproximación de ángulo pequeño. Hay dos fuerzas que actúan sobre la lenteja del péndulo: la fuerza restauradora proporcionada por la gravedad y el alambre, y la fuerza de Coriolis (la fuerza centrífuga, opuesta a la fuerza restauradora gravitatoria, puede despreciarse). La fuerza de Coriolis en la latitud $φ$ es horizontal en la aproximación de ángulo pequeño y está dada por

{displaystyle {begin{aligned}F_{c,x}&=2mOmega {dfrac {dy}{dt}}sin varphi \F_{c,y}&=-2mOmega {dfrac {dx}{dt}}sin varphi end{aligned}}}

Ω

F c, x

x

F c, Sí.

Sí.

La fuerza restauradora, en la aproximación de ángulo pequeño y despreciando la fuerza centrífuga, está dada por

{displaystyle {begin{aligned}F_{g,x}&=-momega ^{2}x\F_{g,y}&=-momega ^{2}y.end{aligned}}}

Gráficos de período de precesión y precesión por día sidereal vs latitud. El signo cambia a medida que un péndulo Foucault gira a la intemperie en el hemisferio sur y gira en el hemisferio norte. El ejemplo muestra que uno en París precesa 271° cada día sidereal, tomando 31.8 horas por rotación.

Usando las leyes de movimiento de Newton, esto conduce al sistema de ecuaciones

{displaystyle {begin{aligned}{dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-omega ^{2}x+2Omega {dfrac {dy}{dt}}sin varphi \{dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-omega ^{2}y-2Omega {dfrac {dx}{dt}}sin varphi.end{aligned}}}

Cambiando a coordenadas complejas $z = x + iy$ , las ecuaciones dicen

{displaystyle {frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2iOmega {frac {dz}{dt}}sin varphi +omega ^{2}z=0,.}

Al primer orden en $Ω / ω$ esta ecuación tiene la solución

{displaystyle z=e^{-iOmega sin varphi t}left(c_{1}e^{iomega t}+c_{2}e^{-iomega t}right),.}

Si el tiempo se mide en días, entonces $Ω = 2 π$ y el péndulo gira en un ángulo de $-2 π sin φ$ durante un día.

Sistemas físicos relacionados

El dispositivo descrito por Wheatstone.

Muchos sistemas físicos tienen una precesión similar a la de un péndulo de Foucault. Ya en 1836, el matemático escocés Edward Sang ideó y explicó la precesión de un trompo. En 1851, Charles Wheatstone describió un aparato que consiste en un resorte vibratorio montado encima de un disco de modo que forme un ángulo fijo $φ$ con el disco. Se golpea el resorte para que oscile en un plano. Cuando se gira el disco, el plano de oscilación cambia como el de un péndulo de Foucault en la latitud $φ$ .

Del mismo modo, considere una rueda de bicicleta que no gira y está perfectamente equilibrada montada en un disco de modo que su eje de rotación forme un ángulo $φ$ con el disco Cuando el disco realiza una revolución completa en el sentido de las agujas del reloj, la rueda de la bicicleta no volverá a su posición original, pero habrá experimentado una rotación neta de $2π sin φ$ .

La precesión similar a la de Foucault se observa en un sistema virtual en el que una partícula sin masa está obligada a permanecer en un plano giratorio que está inclinado con respecto al eje de rotación.

El giro de una partícula relativista que se mueve en una órbita circular tiene una precesión similar al plano de giro del péndulo de Foucault. El espacio de velocidad relativista en el espacio-tiempo de Minkowski se puede tratar como una esfera S³ en un espacio euclidiano de 4 dimensiones con un radio imaginario y una coordenada temporal imaginaria. El transporte paralelo de vectores de polarización a lo largo de dicha esfera da lugar a la precesión de Thomas, que es análoga a la rotación del plano oscilante del péndulo de Foucault debido al transporte paralelo a lo largo de una esfera S² en el espacio euclidiano tridimensional.

En física, la evolución de tales sistemas está determinada por fases geométricas. Matemáticamente se entienden a través del transporte paralelo.

Péndulos de Foucault en el mundo

Hay numerosos péndulos de Foucault en universidades, museos de ciencia y similares en todo el mundo. El edificio de la Asamblea General de las Naciones Unidas en la sede de las Naciones Unidas en la ciudad de Nueva York tiene uno. Se afirma que el péndulo del Centro de Convenciones de Oregón es el más grande, su longitud es de aproximadamente 27 m (89 ft), sin embargo, hay otros más grandes enumerados en el artículo, como el de Gamow Tower en la Universidad de Colorado (39,3 m). Solía haber péndulos mucho más largos, como el péndulo de 98 m (322 pies) en la Catedral de San Isaac, San Petersburgo, Rusia.

Foucault pendulum at the Musée des Arts et Métiers
Foucault pendulum at the Ranchi Science Centre
Péndulo Foucault en la Academia de Ciencias de California
Péndulo Foucault en la Doma Devonshire, Universidad de Derby

Polo Sur

El experimento también se ha llevado a cabo en el Polo Sur, donde se suponía que la rotación de la Tierra tendría el máximo efecto. Se instaló un péndulo en una escalera de seis pisos de una nueva estación en construcción en la estación Amundsen-Scott South Pole. Tenía una longitud de 33 m (108 pies) y la lenteja pesaba 25 kg (55 lb). La ubicación era ideal: ningún aire en movimiento podía perturbar el péndulo. Los investigadores confirmaron unas 24 horas como período de rotación del plano de oscilación.

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