Péndulo balístico

Un péndulo balístico es un dispositivo que mide el momento de una bala, a partir del cual es posible calcular la velocidad y la energía cinética. Los péndulos balísticos han quedado prácticamente obsoletos ante los cronógrafos modernos, que permiten medir directamente la velocidad del proyectil.

Aunque el péndulo balístico se considera obsoleto, se mantuvo en uso durante un período de tiempo considerable y condujo a grandes avances en la ciencia de la balística. El péndulo balístico todavía se encuentra en las aulas de física en la actualidad, debido a su simplicidad y utilidad para demostrar las propiedades del momento y la energía. A diferencia de otros métodos para medir la velocidad de una bala, los cálculos básicos para un péndulo balístico no requieren ninguna medición de tiempo, sino que se basan únicamente en medidas de masa y distancia.

Además de su uso principal para medir la velocidad de un proyectil o el retroceso de un arma, el péndulo balístico se puede utilizar para medir cualquier transferencia de momento. Por ejemplo, el físico C. V. Boys utilizó un péndulo balístico para medir la elasticidad de las pelotas de golf, y el físico Peter Guthrie Tait para medir el efecto que tenía el giro en la distancia recorrida por una pelota de golf.

El péndulo balístico fue inventado en 1742 por el matemático inglés Benjamin Robins (1707-1751) y publicado en su libro Nuevos principios de artillería, que revolucionó la ciencia de la balística, ya que proporcionó la primera forma de medir con precisión la velocidad de una bala.

Robins utilizó el péndulo balístico para medir la velocidad de un proyectil de dos maneras. La primera consistía en colocar el arma en el péndulo y medir el retroceso. Como el impulso del arma es igual al impulso del material expulsado y como el proyectil constituía (en esos experimentos) la mayor parte de la masa del material expulsado, se podía aproximar la velocidad de la bala. El segundo método, más preciso, consistía en medir directamente el impulso de la bala disparándola contra el péndulo. Robins experimentó con balas de mosquete de alrededor de una onza de masa (28 g), mientras que otros contemporáneos utilizaron sus métodos con balas de cañón de una a tres libras (0,5 a 1,4 kg).

El trabajo original de Robins utilizaba un péndulo de hierro pesado, revestido de madera, para atrapar la bala. Las reproducciones modernas, que se utilizan como demostraciones en las clases de física, generalmente utilizan un peso pesado suspendido de un brazo muy fino y liviano, e ignoran la masa del brazo del péndulo. El péndulo de hierro pesado de Robins no permitía esto, y el enfoque matemático de Robins era ligeramente más complejo. Utilizó el período de oscilación y la masa del péndulo (ambos medidos con la bala incluida) para calcular la inercia rotacional del péndulo, que luego se utilizó en los cálculos. Robins también utilizó un trozo de cinta, sujetado sin apretar con una abrazadera, para medir el recorrido del péndulo. El péndulo dibujaba una longitud de cinta igual a la cuerda del recorrido del péndulo.

El primer sistema que sustituyó a los péndulos balísticos con medidas directas de la velocidad de los proyectiles se inventó en 1808, durante las guerras napoleónicas, y utilizaba un eje que giraba rápidamente a una velocidad conocida con dos discos de papel sobre él; la bala se disparaba a través de los discos, paralelos al eje, y la diferencia angular en los puntos de impacto proporcionaba un tiempo transcurrido a lo largo de la distancia entre los discos. Una medida directa de relojería electromecánica apareció en 1848, con un reloj accionado por resorte que se ponía en marcha y se detenía mediante electroimanes, cuya corriente se interrumpía cuando la bala pasaba a través de dos mallas de cables finos, lo que proporcionaba de nuevo el tiempo necesario para recorrer la distancia dada.

La mayoría de los libros de texto de física ofrecen un método simplificado para calcular la velocidad de la bala, que utiliza la masa de la bala y el péndulo, así como la altura del recorrido del péndulo, para calcular la cantidad de energía y momento en el sistema formado por el péndulo y la bala. Los cálculos de Robins eran mucho más complejos y utilizaban una medida del período de oscilación para determinar la inercia rotacional del sistema.

Comenzamos con el movimiento del sistema bala-péndulo desde el instante en que el péndulo es golpeado por la bala.

Dado ${\displaystyle g}$, la aceleración debido a la gravedad, y ${\displaystyle h}$, la altura final del péndulo, es posible calcular la velocidad inicial del sistema de péndulo de bala utilizando la conservación de la energía mecánica (energía cinética + energía potencial). Que esta velocidad inicial sea denotada por ${\displaystyle v_{1}$. Supongamos que las masas de la bala y el péndulo son ${\displaystyle m_{b}$ y ${\displaystyle m_{p}$ respectivamente.

La energía cinética inicial del sistema ${\displaystyle K_{initial}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}\end{matrix} {m_{b}+m_{p}\cdot ¿Qué?$

Tomando la altura inicial del péndulo como referencia energética potencial ${\displaystyle (U_{initial}=0)}$, la energía potencial final cuando el sistema de péndulo de bala llega a una parada ${\displaystyle (K_{final}=0)}$ es dado por ${\displaystyle U_{final}=(m_{b}+m_{p}\cdot g\cdot h}$

Entonces, por la conservación de la energía mecánica, tenemos:

${\displaystyle K_{initial}=U_{final}\,}$

${\displaystyle {\begin{Matrix}{\frac} {1}{2}\end{matrix} {m_{b}+m_{p}\cdot v_{1} {2}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Resolver la velocidad para obtener: ${\displaystyle ¿Qué?$

Ahora podemos utilizar la conservación del impulso para el sistema de péndulo de bala para obtener la velocidad de la bala, ${\displaystyle V_{0}$, antes de que golpeó el péndulo. equiparando el impulso de la bala antes de que impacte el péndulo a la del sistema de péndulo de bala tan pronto como la bala golpee el péndulo (y utilizando ${\displaystyle ¿Qué?$ de arriba), obtenemos:

${\displaystyle m_{\textrm {b}\cdot v_{0}=(m_{\textrm {b}+m_{\textrm {p})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

Solving for ${\displaystyle V_{0}$:

${\displaystyle {\fnMicroc {\fnMicrosoft Sans Serif} {b}+m_{\textrm {p})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot {}{m_{\textrm {b}}=\left(1+{\frac} {m_{\textrm {p}{m_{\textrm} {b}}\right)\cdot {\fnK}$

• Caso de prueba con pistola de aire y rifle de aire
• Crosman 1377, cal..177, peso de la pellets 0.5 gramos, peso del bloque 45 gramos
• 
  Crosman 1377, energía 10.6 joules (10 especificado), velocidad de boquilla 206 metros por segundo
• Ekol Ultimate, cal..25, peso de pellets 1.15 gramos, peso del bloque 80 gramos
• 
  Ekol Ultimate: energía 26.6 joules (30 especificados), velocidad de boquilla 215 metros por segundo

El libro original de Robins contenía algunas suposiciones omitidas en la fórmula; por ejemplo, no incluía una corrección para tener en cuenta un impacto de bala que no coincidía con el centro de masa del péndulo. Una fórmula actualizada, con esta omisión corregida, se publicó en Philosophical Transactions of the Royal Society el año siguiente. El matemático suizo Leonhard Euler, que desconocía esta corrección, corrigió de forma independiente esta omisión en su traducción alemana comentada del libro. La fórmula corregida, que aparece en una edición de 1786 del libro, fue:

${\displaystyle v=614.58gc\cdot {\frac {p+b}{birn}}$

donde:

• ${\displaystyle v}$ es la velocidad de la bola en unidades por segundo
• ${\displaystyle b}$ es la masa de la bola
• ${\displaystyle p}$ es la masa del péndulo
• ${\displaystyle g}$ es la distancia del pivote al centro de gravedad
• ${\displaystyle i}$ es la distancia del pivote al punto del impacto de la bola
• ${\displaystyle c}$ es el acorde, medido por la cinta descrita en el aparato de Robins
• ${\displaystyle r}$ es el radio, o distancia del pivote el apego de la cinta
• ${\displaystyle n}$ es el número de oscilaciones hechas por el péndulo en un minuto

Robins utilizaba pies para la longitud y onzas para la masa, aunque se pueden utilizar otras unidades, como pulgadas o libras, siempre que se mantenga la coherencia.

El matemático francés Siméon Denis Poisson derivó una fórmula basada en la inercia rotacional similar a la de Robins y la publicó en The Mécanique Physique para medir la velocidad de la bala utilizando el retroceso del arma:

${\displaystyle mvcf=Mbk'{\sqrt {gh}$

donde:

• ${\displaystyle m}$ es la masa de la bala
• ${\displaystyle v}$ es la velocidad de la bala
• ${\displaystyle c}$ es la distancia del pivote a la cinta
• ${\displaystyle f}$ es la distancia del eje del agujero a punto de pivote
• ${\displaystyle M}$ es la masa combinada de arma y péndulo
• ${\displaystyle b}$ es el acorde medido por la cinta
• ${\displaystyle k'}$ es el radio de pivote al centro de masa de arma y péndulo (medido por oscilación, según Robins)
• ${\displaystyle g}$ es aceleración gravitacional
• ${\displaystyle h}$ es la distancia del centro de masa del péndulo al pivote

${\displaystyle k'}$ se puede calcular con la ecuación:

${\displaystyle T=\pi {\sqrt {\frac {k'^{2} {} {}}} {}} {}}}}} {}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}$

Donde ${\displaystyle T}$ es la mitad del período de oscilación.

En 1962, P.O. Ackley describió cómo construir y utilizar un péndulo balístico. El péndulo de Ackley utilizaba un mecanismo de paralelogramo, con un tamaño estandarizado que permitía un método simplificado para calcular la velocidad.

El péndulo de Ackley utilizaba brazos de péndulo de exactamente 66,25 pulgadas (168,3 cm) de longitud, de superficie de apoyo a superficie de apoyo, y utilizaba tensores ubicados en el medio de los brazos para proporcionar un medio de ajustar la longitud del brazo con precisión. Ackley también recomienda masas para el cuerpo del péndulo para varios calibres; 50 libras (22,7 kg) para calibres de percusión anular hasta el .22 Hornet, 90 libras (40,9 kg) para calibres desde .222 Remington hasta .35 Whelen y 150 libras (68,2 kg) para calibres de rifles magnum. El péndulo está hecho de un tubo de metal pesado, soldado en un extremo y empaquetado con papel y arena para detener la bala. El extremo abierto del péndulo estaba cubierto con una lámina de goma, para permitir que la bala entrara y evitar que el material se filtrara.

Para utilizar el péndulo, se coloca un dispositivo que mide la distancia horizontal de su oscilación, como una varilla ligera que se empuja hacia atrás por la parte trasera del péndulo a medida que se mueve. El tirador se sienta al menos a 15 pies (5 m) de distancia del péndulo (para reducir los efectos de la explosión del cañón sobre el péndulo) y se dispara una bala hacia el péndulo. Para calcular la velocidad de la bala dada la oscilación horizontal, se utiliza la siguiente fórmula:

${\displaystyle V={\frac 2018D }$

donde:

• ${\displaystyle V}$ es la velocidad de la bala, en pies por segundo
• ${\displaystyle Mp.$ es la masa del péndulo, en granos
• ${\displaystyle Mb.$ es la masa de la bala, en granos
• ${\displaystyle D}$ es el viaje horizontal del péndulo, en pulgadas

Para cálculos más precisos, se realizan varios cambios, tanto en la construcción como en el uso del péndulo. Los cambios de construcción implican la adición de una pequeña caja en la parte superior del péndulo. Antes de pesar el péndulo, la caja está llena de una serie de balas del tipo que se mide. Para cada inyección hecha, una bala se puede quitar de la caja, manteniendo así la masa de la constante del péndulo. El cambio de medición implica medir el período del péndulo. El péndulo se ha reducido, y el número de oscilaciones completas se mide durante un largo período de tiempo, de cinco a diez minutos. El tiempo se divide por el número de oscilaciones para obtener el período. Una vez hecho esto, la fórmula ${\displaystyle C={\frac {pi}{T12}}$ genera una constante más precisa para reemplazar el valor 0.2018 en la ecuación anterior. Como arriba, la velocidad de la bala se calcula utilizando la fórmula:

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}CD}$

• Benjamin Robins, James Wilson, Charles Hutton (1805). Nuevos principios de la artillería. F. Wingrave.
• "Péndulo balístico". Encyclopædia Britannica

• Calculadora de péndulo balístico
• Péndulo balístico demostrado por Walter Lewin