Pendiente

Pendiente: ${displaystyle m={frac {Delta y}{Delta x}=tan(theta)}$

En matemáticas, la pendiente o gradiente de una línea es un número que describe tanto la dirección como la inclinación de la línea. La pendiente a menudo se denota con la letra m; no hay una respuesta clara a la pregunta de por qué la letra m se usa para la pendiente, pero su primer uso en inglés aparece en O'Brien (1844), quien escribió la ecuación de una línea recta como < span class="nowrap">"y = mx + b" y también puede ser encontrado en Todhunter (1888) quien lo escribió como "y = mx + c".

La pendiente se calcula encontrando la relación del "cambio vertical" al "cambio horizontal" entre (cualquiera) dos puntos distintos en una línea. A veces, la relación se expresa como un cociente ("aumento sobre carrera"), dando el mismo número para cada dos puntos distintos en la misma línea. Una línea que es decreciente tiene un "aumento" negativo. La línea puede ser práctica, tal como la establece un topógrafo de carreteras o en un diagrama que modela una carretera o un techo, ya sea como una descripción o como un plano.

La inclinación, la pendiente o el grado de una línea se mide por el valor absoluto de la pendiente. Una pendiente con un valor absoluto mayor indica una línea más empinada. La dirección de una línea es creciente, decreciente, horizontal o vertical.

• Una línea creciente si va arriba de izquierda a derecha. La pendiente es positivo, es decir. ${displaystyle m confía0}$.
• Una línea disminución si va abajo de izquierda a derecha. La pendiente es negativo, es decir. ${displaystyle m won0}$.
• Si una línea es horizontal la pendiente es cero. Esta es una función constante.
• Si una línea es vertical, la pendiente es indefinidos (véase infra).

La subida de una carretera entre dos puntos es la diferencia entre la altitud de la carretera en esos dos puntos, digamos y₁ y y₂, o en otras palabras, el aumento es (y₂ − y_{1) = Δy. Para distancias relativamente cortas, donde se puede despreciar la curvatura de la Tierra, el recorrido es la diferencia de distancia desde un punto fijo medido a lo largo de una línea horizontal nivelada, o en otras palabras, el recorrido es (x< /i>2 − x1) = Δx. Aquí, la pendiente de la carretera entre los dos puntos se describe simplemente como la relación entre el cambio de altitud y la distancia horizontal entre dos puntos cualesquiera de la línea.}

En lenguaje matemático, la pendiente m de la recta es

${displaystyle m={frac {y_{2}-y_{1} {x_{2}}}$

El concepto de pendiente se aplica directamente a pendientes o gradientes en geografía e ingeniería civil. A través de la trigonometría, la pendiente m de una recta se relaciona con su ángulo de inclinación θ mediante la función tangente

${displaystyle m=tan(theta)}$

Por lo tanto, una línea ascendente de 45° tiene una pendiente de +1 y una línea descendente de 45° tiene una pendiente de −1.

Como generalización de esta descripción práctica, las matemáticas del cálculo diferencial definen la pendiente de una curva en un punto como la pendiente de la recta tangente en ese punto. Cuando la curva está dada por una serie de puntos en un diagrama o en una lista de coordenadas de puntos, la pendiente puede calcularse no en un punto sino entre dos puntos dados cualesquiera. Cuando la curva se da como una función continua, tal vez como una expresión algebraica, entonces el cálculo diferencial proporciona reglas que dan una fórmula para la pendiente de la curva en cualquier punto en el medio de la curva.

Esta generalización del concepto de pendiente permite planificar y construir construcciones muy complejas que van mucho más allá de las estructuras estáticas que son horizontales o verticales, pero que pueden cambiar con el tiempo, moverse en curvas y cambiar según la tasa de cambio. de otros factores. Por lo tanto, la simple idea de pendiente se convierte en una de las principales bases del mundo moderno en términos de tecnología y entorno construido.

Definición

Pendiente ilustrada Sí. = (3/2)x − 1. Haga clic en para ampliar

Pendiente de una línea en el sistema de coordenadas, desde f()x) = −12x + 2 a f()x) = 12x + 2

La pendiente de una línea en el plano que contiene los ejes x e y generalmente se representa con la letra m y se define como el cambio en la coordenada y dividido por el cambio correspondiente en la coordenada x, entre dos puntos distintos en la línea. Esto se describe mediante la siguiente ecuación:

${displaystyle m={frac {Delta y}{ Delta.$

(La letra griega delta, Δ, se usa comúnmente en matemáticas para significar "diferencia" o "cambio").

Dado dos puntos ${displaystyle (x_{1},y_{1}}$ y ${displaystyle (x_{2},y_{2}}$, el cambio en ${displaystyle x}$ de uno a otro ${displaystyle x_{2}-x_{1}}$ ()Corre), mientras el cambio en ${displaystyle y}$ es ${displaystyle Y...$ ()ascenso). Sustituir ambas cantidades en la ecuación anterior genera la fórmula:

${displaystyle m={frac {y_{2}-y_{1} {x_{2}}}$

La fórmula falla para una línea vertical, paralela a la ${displaystyle y}$ axis (ver División por cero), donde la pendiente se puede tomar como infinita, por lo que la pendiente de una línea vertical se considera indefinida.

Ejemplos

Supongamos que una línea corre a través de dos puntos: P= (1, 2) y Q= (13, 8). Dividiendo la diferencia en ${displaystyle y}$-coordina por la diferencia en ${displaystyle x}$-coordinados, se puede obtener la pendiente de la línea:

${displaystyle m={frac {Delta Sí. Delta {y_{2}-y_{1} {x_{2}-x_{1}={frac}}= {frac} {8-2}{13-1}={frac {6}{12}={frac} {1}{2}}}$.

Puesto que la pendiente es positiva, la dirección de la línea está aumentando. Since confidencialidadmTENIDO 1, la inclinación no es muy empinada (inclina ANTE 45°).

Como otro ejemplo, considere una línea que pasa por los puntos (4, 15) y (3, 21). Entonces, la pendiente de la recta es

${displaystyle m={frac {21-15}{3-4}={frac} {6}=-6.}$

Puesto que la pendiente es negativa, la dirección de la línea está disminuyendo. Since confidencialidadm← 1, este declive es bastante empinado (decline √° 45°).

Álgebra y geometría

Pendientes de líneas paralelas y perpendiculares

Ejemplos

Por ejemplo, considere una línea que pasa por los puntos (2,8) y (3,20). Esta línea tiene una pendiente, m, de

${displaystyle {frac {(20-8)}{(3-2)}=12.}$

Entonces se puede escribir la ecuación de la línea, en forma de punto-pendiente:

${displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24.}$

o:

${displaystyle y=12x-16.}$

El ángulo θ entre −90° y 90° que forma esta línea con el eje x es

${displaystyle theta =arctan(12)approx 85.2^{circ }$

Considere las dos líneas: y = −3x + 1 y y = −3x − 2. Ambas rectas tienen pendiente m = −3. No son la misma línea. Entonces son rectas paralelas.

Considere las dos líneas y = −3x + 1 y < i>y = x/3 − 2. La pendiente de la primera línea es m₁ = −3. La pendiente de la segunda línea es m₂ = 1/3. El producto de estas dos pendientes es −1. Así que estas dos líneas son perpendiculares.

Estadísticas

En estadística, el gradiente de la línea de mejor ajuste de la regresión de mínimos cuadrados para una muestra dada de datos se puede escribir como:

${displaystyle m={frac {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$,

Esta cantidad m se llama como pendiente de regresión para la línea ${displaystyle Y=mx+c}$. La cantidad ${displaystyle r}$ es el coeficiente de correlación de Pearson, ${displaystyle s_{y}$ es la desviación estándar de los valores y ${displaystyle s_{x}$ es la desviación estándar de los valores x. Esto también puede ser escrito como una relación de covariancias:

${displaystyle m={frac {operatorname {y,X)}{operatorname {cov}}}}$

Pendiente de una carretera o vía férrea

Hay dos formas comunes de describir la inclinación de una carretera o vía férrea. Uno es por el ángulo entre 0° y 90° (en grados), y el otro es por la pendiente en porcentaje. Véase también ferrocarril de pendiente pronunciada y tren de cremallera.

Las fórmulas para convertir una pendiente dada en porcentaje en un ángulo en grados y viceversa son:

${displaystyle {text{angle}=arctan left({frac {text{slope}{100$ (esta es la función inversa del tangente; vea trigonometría)

y

${displaystyle {mbox{slope}}=100$

donde ángulo está en grados y las funciones trigonométricas operan en grados. Por ejemplo, una pendiente de 100% o 1000‰ es un ángulo de 45°.

Una tercera forma es dar una unidad de elevación en, digamos, 10, 20, 50 o 100 unidades horizontales, p. 1:10. 1:20, 1:50 o 1:100 (o "1 in 10", "1 in 20", etc..) Tenga en cuenta que 1:10 es más inclinado que 1:20. Por ejemplo, una pendiente del 20% significa 1:5 o una inclinación con un ángulo de 11,3°.

Las carreteras y vías férreas tienen tanto pendientes longitudinales como transversales.

• 

  Slope warning sign in the Netherlands

• 

  Signo de alerta de pendiente en Polonia

• 

  Una distancia de 1371 metros de un ferrocarril con una pendiente de 20. República Checa

• 

  Puesto de gradiente ferroviario de vapor que indica una pendiente en ambas direcciones en la estación de tren de Meols, Reino Unido

Cálculo

En cada punto, el derivado es la pendiente de una línea que es tangente a la curva en ese punto. Nota: el derivado en el punto A es positivo donde verde y dash-dot, negativo donde rojo y destrozado, y cero donde negro y sólido.

El concepto de pendiente es fundamental para el cálculo diferencial. Para funciones no lineales, la tasa de cambio varía a lo largo de la curva. La derivada de la función en un punto es la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto y, por lo tanto, es igual a la tasa de cambio de la función en ese punto.

Si dejamos que Δx y Δy sean las distancias (a lo largo de los ejes x e y, respectivamente) entre dos puntos en una curva, entonces la pendiente dada por la definición anterior,

${displaystyle m={frac {Delta y}{ Delta.$,

es la pendiente de una recta secante a la curva. Para una línea, la secante entre dos puntos cualesquiera es la línea misma, pero este no es el caso para ningún otro tipo de curva.

Por ejemplo, la pendiente de la secante que corta a y = x² en (0,0) y (3,9) es 3. (La pendiente de la tangente en x = 3⁄2 también es 3 − a consecuencia del teorema del valor medio).

Al acercar los dos puntos para que Δy y Δx disminuyan, la línea secante se aproxima más a una línea tangente a la curva y, como tal, la pendiente de la secante se aproxima a la de la tangente. Usando cálculo diferencial, podemos determinar el límite, o el valor al que se aproxima Δy/Δx como Δy y Δx acercarse a cero; se sigue que este límite es la pendiente exacta de la tangente. Si y depende de x, entonces es suficiente tomar el límite donde solo Δx tiende a cero. Por lo tanto, la pendiente de la tangente es el límite de Δy/Δx cuando Δx tiende a cero, o dy/dx. Llamamos a este límite la derivada.

${displaystyle {frac {fnK}=lim _{Delta xto 0}{frac} {fnK}}=m} {Delta y}{Delta x}}}$

Su valor en un punto de la función nos da la pendiente de la tangente en ese punto. Por ejemplo, sea y = x². Un punto en esta función es (−2,4). La derivada de esta función es dy⁄< abarcan clase="den">dx = 2x. Entonces, la pendiente de la línea tangente a y en (−2,4) es 2 ⋅ (−2) = −4. La ecuación de esta recta tangente es: y − 4 = (−4)(x − (−2)) o y = −4x − 4.

Diferencia de pendientes

Una extensión de la idea de ángulo se deriva de la diferencia de pendientes. Considere el mapeo de corte

${displaystyle (u,v)=(x,y){begin{pmatrix}1 limitv$