Partículas idénticas

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Concepto en mecánica cuántica de partículas perfectamente sustituibles

En mecánica cuántica, las partículas idénticas (también llamadas indistinguibles o partículas indiscernibles) son partículas que no se pueden distinguir entre sí, incluso en principio. Las especies de partículas idénticas incluyen, entre otras, partículas elementales (como los electrones), partículas subatómicas compuestas (como los núcleos atómicos), así como átomos y moléculas. Las cuasipartículas también se comportan de esta manera. Aunque todas las partículas indistinguibles conocidas solo existen en la escala cuántica, no existe una lista exhaustiva de todos los tipos posibles de partículas ni un límite claro de aplicabilidad, como se explora en las estadísticas cuánticas.

Hay dos categorías principales de partículas idénticas: los bosones, que pueden compartir estados cuánticos, y los fermiones, que no pueden (como se describe en el principio de exclusión de Pauli). Ejemplos de bosones son fotones, gluones, fonones, núcleos de helio-4 y todos los mesones. Ejemplos de fermiones son electrones, neutrinos, quarks, protones, neutrones y núcleos de helio-3.

El hecho de que las partículas puedan ser idénticas tiene consecuencias importantes en la mecánica estadística, donde los cálculos se basan en argumentos probabilísticos, que son sensibles a si los objetos que se estudian son idénticos o no. Como resultado, las partículas idénticas exhiben un comportamiento estadístico marcadamente diferente al de las partículas distinguibles. Por ejemplo, la indistinguibilidad de las partículas se ha propuesto como una solución a Gibbs' paradoja de la mezcla.

Distinguir entre partículas

Hay dos métodos para distinguir entre partículas. El primer método se basa en las diferencias en las propiedades físicas intrínsecas de las partículas, como la masa, la carga eléctrica y el espín. Si existen diferencias, es posible distinguir entre las partículas midiendo las propiedades relevantes. Sin embargo, es un hecho empírico que las partículas microscópicas de la misma especie tienen propiedades físicas completamente equivalentes. Por ejemplo, cada electrón del universo tiene exactamente la misma carga eléctrica; por eso es posible hablar de algo como 'la carga del electrón'.

Incluso si las partículas tienen propiedades físicas equivalentes, queda un segundo método para distinguir entre partículas, que es rastrear la trayectoria de cada partícula. Siempre que la posición de cada partícula pueda medirse con una precisión infinita (incluso cuando las partículas chocan), entonces no habrá ambigüedad sobre qué partícula es cuál.

El problema con el segundo enfoque es que contradice los principios de la mecánica cuántica. De acuerdo con la teoría cuántica, las partículas no poseen posiciones definidas durante los períodos entre mediciones. En cambio, se rigen por funciones de onda que dan la probabilidad de encontrar una partícula en cada posición. A medida que pasa el tiempo, las funciones de onda tienden a dispersarse y superponerse. Una vez que esto sucede, se vuelve imposible determinar, en una medición posterior, cuál de las posiciones de las partículas corresponde a las medidas anteriores. Entonces se dice que las partículas son indistinguibles.

Descripción de la mecánica cuántica

Estados simétricos y antisimétricos

Función de onda antisimétrica para un estado de 2 partículas (fermiónico) en un potencial cuadrado infinito.

Función de onda simétrica para un estado de 2 partículas (bosónico) en un potencial cuadrado infinito.

Lo que sigue es un ejemplo para concretar la discusión anterior, utilizando el formalismo desarrollado en el artículo sobre la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Sea n un conjunto completo de números cuánticos (discretos) para especificar estados de una sola partícula (por ejemplo, para el problema de partículas en una caja, tome n como sea el vector de onda cuantificado de la función de onda). Para simplificar, considere un sistema compuesto por dos partículas que no interactúan entre sí. Supongamos que una partícula está en el estado n₁ y la otra está en el estado n₂. El estado cuántico del sistema se denota por la expresión

|n_{1}rangle |n_{2}rangle

donde el orden del producto tensor importa (si ${displaystyle |n_{2}rangle |n_{1}rangle }$ , entonces la partícula 1 ocupa el estado n₂ mientras que la partícula 2 ocupa el estado n₁). Esta es la forma canónica de construir una base para un espacio de producto tensor $Hotimes H$ del sistema combinado de los espacios individuales. Esta expresión es válida para partículas distinguibles, sin embargo, no es apropiada para partículas indistinguibles ya que ${displaystyle |n_{1}rangle |n_{2}rangle }$ y ${displaystyle |n_{2}rangle |n_{1}rangle }$ como resultado del intercambio de partículas son generalmente estados diferentes.

"la partícula 1 ocupa n₁ estado y la partícula 2 ocupa el n₂ estado " la partícula 1 ocupa el n₂ estado y la partícula 2 ocupa el n₁ estado".

Dos estados son físicamente equivalentes solo si difieren como máximo en un factor de fase complejo. Para dos partículas indistinguibles, un estado antes del intercambio de partículas debe ser físicamente equivalente al estado después del intercambio, por lo que estos dos estados difieren como máximo por un factor de fase complejo. Este hecho sugiere que un estado para dos partículas indistinguibles (y que no interactúan) viene dado por las siguientes dos posibilidades:

|n_{1}rangle |n_{2}rangle pm |n_{2}rangle |n_{1}rangle

Los estados donde es una suma se conocen como simétricos, mientras que los estados que involucran la diferencia se denominan antisimétricos. Más completamente, los estados simétricos tienen la forma

|n_{1},n_{2};Srangle equiv {mbox{constant}}times {bigg (}|n_{1}rangle |n_{2}rangle +|n_{2}rangle |n_{1}rangle {bigg)}

mientras que los estados antisimétricos tienen la forma

|n_{1},n_{2};Arangle equiv {mbox{constant}}times {bigg (}|n_{1}rangle |n_{2}rangle -|n_{2}rangle |n_{1}rangle {bigg)}

Tenga en cuenta que si n₁ y n₂ son iguales, la expresión antisimétrica da cero, lo que no puede ser un vector de estado ya que no se puede normalizar. En otras palabras, más de una partícula idéntica no puede ocupar un estado antisimétrico (un estado antisimétrico solo puede ser ocupado por una partícula). Esto se conoce como el principio de exclusión de Pauli, y es la razón fundamental detrás de las propiedades químicas de los átomos y la estabilidad de la materia.

Intercambio de simetría

La importancia de los estados simétricos y antisimétricos se basa en última instancia en la evidencia empírica. Parece ser un hecho de la naturaleza que las partículas idénticas no ocupan estados de simetría mixta, como

|n_{1},n_{2};?rangle ={mbox{constant}}times {bigg (}|n_{1}rangle |n_{2}rangle +i|n_{2}rangle |n_{1}rangle {bigg)}

En realidad, hay una excepción a esta regla, que se discutirá más adelante. Por otro lado, se puede demostrar que los estados simétricos y antisimétricos son especiales en cierto sentido, examinando una simetría particular de los estados de múltiples partículas conocida como simetría de intercambio.

Defina un operador lineal P, llamado operador de intercambio. Cuando actúa sobre un producto tensorial de dos vectores de estado, intercambia los valores de los vectores de estado:

P{bigg (}|psi rangle |phi rangle {bigg)}equiv |phi rangle |psi rangle

P es a la vez hermitiano y unitario. Debido a que es unitario, puede considerarse como un operador de simetría. Esta simetría puede describirse como la simetría bajo el intercambio de etiquetas unidas a las partículas (es decir, a los espacios de Hilbert de una sola partícula).

Claramente, $P^{2}=1$ (el operador de identidad), por lo que los eigenvalues P son +1 y −1. Los eigenvectores correspondientes son los estados simétricos y antisimétricos:

P|n_{1},n_{2};Srangle =+|n_{1},n_{2};Srangle

P|n_{1},n_{2};Arangle =-|n_{1},n_{2};Arangle

En otras palabras, los estados simétricos y antisimétricos esencialmente no cambian con el intercambio de etiquetas de partículas: solo se multiplican por un factor de +1 o −1, en lugar de "rotar" en otro lugar del espacio de Hilbert. Esto indica que las etiquetas de partículas no tienen significado físico, de acuerdo con la discusión anterior sobre la indistinguibilidad.

Se recordará que P es hermitiano. Como resultado, puede considerarse como un observable del sistema, lo que significa que, en principio, se puede realizar una medición para saber si un estado es simétrico o antisimétrico. Además, la equivalencia de las partículas indica que el hamiltoniano se puede escribir de forma simétrica, como

H={frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})

Es posible demostrar que tales hamiltonianos satisfacen la relación de conmutación

left[P,Hright]=0

Según la ecuación de Heisenberg, esto significa que el valor de P es una constante de movimiento. Si el estado cuántico es inicialmente simétrico (antisimétrico), seguirá siendo simétrico (antisimétrico) a medida que el sistema evolucione. Matemáticamente, esto dice que el vector de estado está confinado a uno de los dos espacios propios de P, y no se permite que se extienda por todo el espacio de Hilbert. Por lo tanto, ese espacio propio también podría tratarse como el espacio de Hilbert real del sistema. Esta es la idea detrás de la definición del espacio de Fock.

Fermiones y bosones

La elección de simetría o antisimetría está determinada por la especie de partícula. Por ejemplo, siempre se deben usar estados simétricos cuando se describen fotones o átomos de helio-4, y estados antisimétricos cuando se describen electrones o protones.

Las partículas que exhiben estados simétricos se llaman bosones. La naturaleza de los estados simétricos tiene consecuencias importantes para las propiedades estadísticas de los sistemas compuestos por muchos bosones idénticos. Estas propiedades estadísticas se describen como estadísticas de Bose-Einstein.

Las partículas que exhiben estados antisimétricos se llaman fermiones. La antisimetría da lugar al principio de exclusión de Pauli, que prohíbe que fermiones idénticos compartan el mismo estado cuántico. Las estadísticas de Fermi-Dirac describen sistemas de muchos fermiones idénticos.

También son posibles las paraestadísticas.

En ciertos sistemas bidimensionales, puede ocurrir una simetría mixta. Estas partículas exóticas se conocen como anyons y obedecen a la estadística fraccionaria. Existe evidencia experimental de la existencia de anyones en el efecto Hall cuántico fraccional, un fenómeno observado en los gases de electrones bidimensionales que forman la capa de inversión de los MOSFET. Hay otro tipo de estadística, conocida como estadística trenzada, que está asociada con partículas conocidas como plektons.

El teorema de las estadísticas de espín relaciona la simetría de intercambio de partículas idénticas con su espín. Afirma que los bosones tienen espín entero y los fermiones tienen espín semientero. Anyons posee espín fraccional.

Partículas N

La discusión anterior se generaliza fácilmente al caso de N partículas. Supongamos que hay N partículas con números cuánticos n₁, n₂,..., n_N. Si las partículas son bosones, ocupan un estado totalmente simétrico, que es simétrico bajo el intercambio de cualesquiera dos etiquetas de partículas:

{displaystyle |n_{1}n_{2}cdots n_{N};Srangle ={sqrt {frac {prod _{n}m_{n}!}{N!}}}sum _{p}left|n_{p(1)}rightrangle left|n_{p(2)}rightrangle cdots left|n_{p(N)}rightrangle }

Aquí, la suma se toma sobre todos los diferentes estados bajo permutaciones p que actúan sobre N elementos. La raíz cuadrada que queda de la suma es una constante de normalización. La cantidad m_n representa el número de veces que cada uno de los estados de una sola partícula n aparece en el N -estado de partícula. Tenga en cuenta que Σ_n m_n = N.

En la misma línea, los fermiones ocupan estados totalmente antisimétricos:

{displaystyle |n_{1}n_{2}cdots n_{N};Arangle ={frac {1}{sqrt {N!}}}sum _{p}operatorname {sgn} (p)left|n_{p(1)}rightrangle left|n_{p(2)}rightrangle cdots left|n_{p(N)}rightrangle }

Aquí, $sgn(p)$ es el signo de cada permutación (es decir, $+1$ si $p$ se compone de un número uniforme de transposiciones, y $-1$ si es raro). Note que no hay $Pi _{n}m_{n}$ término, porque cada estado de partículas individuales puede aparecer sólo una vez en un estado fermiónico. De lo contrario, la suma volvería a ser cero debido a la antisimetría, representando así un estado físicamente imposible. Este es el principio de exclusión de Pauli para muchas partículas.

Estos estados se han normalizado para que

langle n_{1}n_{2}cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}cdots n_{N};Srangle =1,qquad langle n_{1}n_{2}cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}cdots n_{N};Arangle =1.

Medición

Suponga que hay un sistema de N bosones (fermiones) en el estado simétrico (antisimétrico)

|n_{1}n_{2}cdots n_{N};S/Arangle

y se realiza una medición en algún otro conjunto de observables discretos, m. En general, esto produce algún resultado m₁ para una partícula, m₂ para otra partícula, y así sucesivamente.. Si las partículas son bosones (fermiones), el estado después de la medición debe permanecer simétrico (antisimétrico), es decir

|m_{1}m_{2}cdots m_{N};S/Arangle

La probabilidad de obtener un resultado particular para la medición de m es

{displaystyle P_{S/A}left(n_{1},ldotsn_{N}rightarrow m_{1},ldotsm_{N}right)equiv {big |}leftlangle m_{1}cdots m_{N};S/A,|,n_{1}cdots n_{N};S/Arightrangle {big |}^{2}}

Se puede demostrar que

{displaystyle sum _{m_{1}leq m_{2}leq dots leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},ldotsn_{N}rightarrow m_{1},ldotsm_{N})=1}

lo que verifica que la probabilidad total es 1. La suma debe restringirse a valores ordenados de m₁,..., m_N para garantizar que cada estado de varias partículas no se cuente más de una vez.

Representación de función de onda

Hasta ahora, la discusión ha incluido solo observables discretos. Se puede extender a observables continuos, como la posición x.

Recuerde que un estado propio de un observable continuo representa un rango infinitesimal de valores del observable, no un solo valor como con los observables discretos. Por ejemplo, si una partícula está en un estado |ψ⟩, la probabilidad de encontrarla en una región de volumen d³ x que rodea alguna posición x es

|langle x|psi rangle |^{2};d^{3}x

Como resultado, los estados propios continuos |x⟩ se normalizan a la función delta en lugar de a la unidad:

langle x|x'rangle =delta ^{3}(x-x')

Los estados multipartícula simétricos y antisimétricos se pueden construir a partir de estados propios continuos de la misma manera que antes. Sin embargo, es habitual utilizar una constante de normalización diferente:

{displaystyle {begin{aligned}|x_{1}x_{2}cdots x_{N};Srangle &={frac {prod _{j}n_{j}!}{N!}}sum _{p}left|x_{p(1)}rightrangle left|x_{p(2)}rightrangle cdots left|x_{p(N)}rightrangle \|x_{1}x_{2}cdots x_{N};Arangle &={frac {1}{N!}}sum _{p}mathrm {sgn} (p)left|x_{p(1)}rightrangle left|x_{p(2)}rightrangle cdots left|x_{p(N)}rightrangle end{aligned}}}

Se puede escribir una función de onda de muchos cuerpos,

{displaystyle {begin{aligned}Psi _{n_{1}n_{2}cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},ldotsx_{N})&equiv langle x_{1}x_{2}cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}cdots n_{N};Srangle \[4pt]&={sqrt {frac {prod _{j}n_{j}!}{N!}}}sum _{p}psi _{p(1)}(x_{1})psi _{p(2)}(x_{2})cdots psi _{p(N)}(x_{N})\[10pt]Psi _{n_{1}n_{2}cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},ldotsx_{N})&equiv langle x_{1}x_{2}cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}cdots n_{N};Arangle \[4pt]&={frac {1}{sqrt {N!}}}sum _{p}mathrm {sgn} (p)psi _{p(1)}(x_{1})psi _{p(2)}(x_{2})cdots psi _{p(N)}(x_{N})end{aligned}}}

donde las funciones de onda de una sola partícula se definen, como de costumbre, por

psi _{n}(x)equiv langle x|nrangle

La propiedad más importante de estas funciones de onda es que el intercambio de dos de las variables coordinadas cambia la función de onda solo por un signo más o menos. Esta es la manifestación de simetría y antisimetría en la representación de la función de onda:

{displaystyle {begin{aligned}Psi _{n_{1}cdots n_{N}}^{(S)}(cdots x_{i}cdots x_{j}cdots)=Psi _{n_{1}cdots n_{N}}^{(S)}(cdots x_{j}cdots x_{i}cdots)\[3pt]Psi _{n_{1}cdots n_{N}}^{(A)}(cdots x_{i}cdots x_{j}cdots)=-Psi _{n_{1}cdots n_{N}}^{(A)}(cdots x_{j}cdots x_{i}cdots)end{aligned}}}

La función de onda de muchos cuerpos tiene el siguiente significado: si el sistema se encuentra inicialmente en un estado con números cuánticos n₁,..., n_N, y se realiza una medición de posición, la probabilidad de encontrar partículas en volúmenes infinitesimales cerca de x₁, x₂,..., x_N es

{displaystyle N!;left|Psi _{n_{1}n_{2}cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},ldotsx_{N})right|^{2};d^{3N}!x}

¡El factor de N! proviene de nuestra constante de normalización, que se ha elegido de modo que, por analogía con las funciones de onda de una sola partícula,

{displaystyle int !int !cdots !int ;left|Psi _{n_{1}n_{2}cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},ldotsx_{N})right|^{2}d^{3}!x_{1}d^{3}!x_{2}cdots d^{3}!x_{N}=1}

Debido a que cada integral se ejecuta sobre todos los valores posibles de x, ¡cada estado de múltiples partículas aparece como N! veces en la integral. En otras palabras, la probabilidad asociada con cada evento se distribuye uniformemente entre N. puntos equivalentes en el espacio integral. Debido a que normalmente es más conveniente trabajar con integrales no restringidas que con restringidas, se ha elegido la constante de normalización para reflejar esto.

Finalmente, la función de onda antisimétrica se puede escribir como el determinante de una matriz, conocido como determinante de Slater:

{displaystyle Psi _{n_{1}cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},ldotsx_{N})={frac {1}{sqrt {N!}}}left|{begin{matrix}psi _{n_{1}}(x_{1})&psi _{n_{1}}(x_{2})&cdots &psi _{n_{1}}(x_{N})\psi _{n_{2}}(x_{1})&psi _{n_{2}}(x_{2})&cdots &psi _{n_{2}}(x_{N})\vdots &vdots &ddots &vdots \psi _{n_{N}}(x_{1})&psi _{n_{N}}(x_{2})&cdots &psi _{n_{N}}(x_{N})\end{matrix}}right|}

El enfoque del operador y las paraestadísticas

El espacio Hilbert para $n$ partículas es dada por el producto tensor ${textstyle bigotimes _{n}H}$ . El grupo de permutación $S_n$ actúa en este espacio permutando las entradas. Por definición los valores de expectativa para un observable $a$ de $n$ Las partículas indistinguibles deben ser invariantes bajo esta permutación. Esto significa que para todos ${displaystyle psi in H}$ y $sigma in S_n$

{displaystyle (sigma Psi)^{t}a(sigma Psi)=Psi ^{t}aPsi}

o equivalente para cada $sigma in S_n$

{displaystyle sigma ^{t}asigma =a}

Dos estados son equivalentes cuando sus valores de expectativa coinciden con todos los observables. Si restringimos a los observables $n$ partículas idénticas, y por lo tanto observables que satisfacen la ecuación anterior, encontramos que los siguientes estados (después de la normalización) son equivalentes

{displaystyle Psi sim sum _{sigma in S_{n}}lambda _{sigma }sigma Psi }

Las clases de equivalencia están en relación bijetiva con subespacios irreducibles de ${textstyle bigotimes _{n}H}$ menores $S_n$ .

Dos subespacios irreductibles obvios son el subespacio unidimensional simétrico/bosónico y el subespacio antisimétrico/fermiónico. Sin embargo, hay más tipos de subespacios irreducibles. Los estados asociados con estos otros subespacios irreducibles se denominan estados paraestadísticos. Los cuadros jóvenes proporcionan una forma de clasificar todos estos subespacios irreductibles.

Propiedades estadísticas

Efectos estadísticos de la indistinguibilidad

La indistinguibilidad de las partículas tiene un profundo efecto en sus propiedades estadísticas. Para ilustrar esto, considere un sistema de N partículas distinguibles que no interactúan. Una vez más, deje que n_j denote el estado (es decir, los números cuánticos) de la partícula j. Si las partículas tienen las mismas propiedades físicas, las n_j's se ejecutan en el mismo rango de valores. Sea ε(n) la energía de una partícula en el estado n. Como las partículas no interactúan, la energía total del sistema es la suma de las energías de las partículas individuales. La función de partición del sistema es

{displaystyle Z=sum _{n_{1},n_{2},ldotsn_{N}}exp left{-{frac {1}{kT}}left[varepsilon (n_{1})+varepsilon (n_{2})+cdots +varepsilon (n_{N})right]right}}

donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. Esta expresión se puede factorizar para obtener

Z=xi ^{N}

dónde

xi =sum _{n}exp left[-{frac {varepsilon (n)}{kT}}right].

Si las partículas son idénticas, esta ecuación es incorrecta. Considere un estado del sistema, descrito por los estados de una sola partícula [n₁,..., n_N]. En la ecuación para Z, cada permutación posible de los n's ocurre una vez en la suma, aunque cada una de estas permutaciones describe el mismo estado multipartícula. Por lo tanto, el número de estados se ha contado en exceso.

Si se desprecia la posibilidad de superposición de estados, lo cual es válido si la temperatura es alta, entonces el número de veces que se cuenta cada estado es aproximadamente N!. La función de partición correcta es

Z={frac {xi ^{N}}{N!}}.

Tenga en cuenta que esta "temperatura alta" la aproximación no distingue entre fermiones y bosones.

La discrepancia en las funciones de partición de partículas distinguibles e indistinguibles se conocía desde el siglo XIX, antes del advenimiento de la mecánica cuántica. Conduce a una dificultad conocida como la paradoja de Gibbs. Gibbs demostró que en la ecuación Z = ξ^N, la entropía de un gas ideal clásico es

S=Nkln left(Vright)+Nf(T)

donde V es el volumen del gas y f es alguna función de T solo. El problema con este resultado es que S no es extensivo: si N y V se duplican, S no doble en consecuencia. Tal sistema no obedece a los postulados de la termodinámica.

Gibbs también demostró que usar Z = ξ^N/N! altera el resultado a

S=Nkln left({frac {V}{N}}right)+Nf(T)

que es perfectamente extenso. Sin embargo, la razón de esta corrección de la función de partición permaneció oscura hasta el descubrimiento de la mecánica cuántica.

Propiedades estadísticas de bosones y fermiones

Existen diferencias importantes entre el comportamiento estadístico de los bosones y los fermiones, que se describen mediante las estadísticas de Bose-Einstein y las estadísticas de Fermi-Dirac, respectivamente. En términos generales, los bosones tienden a agruparse en el mismo estado cuántico, que subyace en fenómenos como el láser, la condensación de Bose-Einstein y la superfluidez. Los fermiones, por otro lado, tienen prohibido compartir estados cuánticos, dando lugar a sistemas como el gas de Fermi. Esto se conoce como el principio de exclusión de Pauli y es responsable de gran parte de la química, ya que los electrones en un átomo (fermiones) llenan sucesivamente los muchos estados dentro de las capas en lugar de estar todos en el mismo estado de energía más bajo.

Las diferencias entre el comportamiento estadístico de fermions, bosons y partículas distinguibles pueden ilustrarse usando un sistema de dos partículas. Las partículas son designadas A y B. Cada partícula puede existir en dos estados posibles, etiquetados $|0rangle$ y $|1rangle$ , que tienen la misma energía.

El sistema compuesto puede evolucionar en el tiempo, interactuando con un ambiente ruidoso. Porque... $|0rangle$ y $|1rangle$ Los estados son energéticamente equivalentes, ni el estado es favorecido, por lo que este proceso tiene el efecto de aleatorizar los estados. (Esto se discute en el artículo sobre el enredamiento cuántico.) Después de algún tiempo, el sistema compuesto tendrá la misma probabilidad de ocupar cada uno de los estados disponibles. Los estados de partículas se miden entonces.

Si A y B son bosones idénticos, entonces el sistema compuesto tiene sólo tres estados distintos: $|0rangle |0rangle$ , $|1rangle |1rangle$ , y ${frac {1}{sqrt {2}}}(|0rangle |1rangle +|1rangle |0rangle)$ . Cuando se realiza el experimento, la probabilidad de obtener dos partículas en los $|0rangle$ estado es ahora 0.33; la probabilidad de obtener dos partículas en los $|1rangle$ estado es 0.33; y la probabilidad de obtener una partícula en el $|0rangle$ estado y el otro en el $|1rangle$ estado es 0.33. Tenga en cuenta que la probabilidad de encontrar partículas en el mismo estado es relativamente mayor que en el caso diferenciable. Esto demuestra la tendencia de los bosons a "clump".

Si A y B son fermions idénticos, sólo hay un estado disponible para el sistema compuesto: el estado totalmente antisimétrico ${frac {1}{sqrt {2}}}(|0rangle |1rangle -|1rangle |0rangle)$ . Cuando se realiza el experimento, una partícula siempre está en el $|0rangle$ el estado y el otro está en el $|1rangle$ estado.

Los resultados se resumen en la Tabla 1:

Cuadro 1: Estadísticas de dos partículas
Partículas	Ambos	Ambos 1	Uno 0 y uno 1
Distinguible	0,25	0,25	0.5
Bosons	0.33	0.33	0.33
Fermions	0	0	1

Como puede verse, incluso un sistema de dos partículas exhibe diferentes comportamientos estadísticos entre partículas distinguibles, bosones y fermiones. En los artículos sobre estadística de Fermi-Dirac y estadística de Bose-Einstein, estos principios se extienden a un gran número de partículas, con resultados cualitativamente similares.

La clase de homotopía

Para entender por qué las estadísticas de partículas funcionan de la manera que hacen, note primero que las partículas son excitaciones lucalizadas por puntos y que las partículas que son separadas por el espacio no interactúan. En un piso $d$ - espacio dimensional $M$ , en cualquier momento dado, la configuración de dos partículas idénticas se puede especificar como elemento de $M \times M$ . Si no hay superposición entre las partículas, de modo que no interactúen directamente, entonces sus ubicaciones deben pertenecer al espacio $[M \times M * {puntos de accidente},$ el subespacio con puntos coincidentes eliminados. El elemento $() x, Sí.)$ describe la configuración con la partícula I $x$ y la partícula II $Sí.$ , mientras $() Sí., x)$ describe la configuración intercambiada. Con partículas idénticas, el estado descrito por $() x, Sí.)$ debe ser indistinguible del estado descrito por $() Sí., x)$ . Ahora considere la clase de homotopy de caminos continuos desde $() x, Sí.)$ a $() Sí., x)$ , dentro del espacio $[M \times M # {puntos de accidente}$ . Si $M$ es ${mathbb R}^{d}$ Donde $d \geq 3$ , entonces esta clase de homotopy sólo tiene un elemento. Si $M$ es $mathbb {R} ^{2}$ , entonces esta clase de homotopy tiene muchos elementos (es decir, un cambio en sentido contrario a la hora de media vuelta, un cambio en sentido contrario por una y media vueltas, dos y media vueltas, etc., un intercambio en sentido de reloj por medio turno, etc.). En particular, un cambio en sentido contrario a la media vuelta es no homotopic a un intercambio de agujas del reloj a media vuelta. Por último, si $M$ es $mathbb {R}$ , entonces esta clase de homotopy está vacía.

Suponga primero que $d \geq 3$ . El espacio de cobertura universal de $[M \times M] {puntos coincidentes},$ que no es otro que $[M \times M] {puntos coincidentes}$ en sí mismo, solo tiene dos puntos que son físicamente indistinguibles de $(x, y)$ , a saber, $(x, y)$ y $(y, x)$ . Entonces, el único intercambio permitido es intercambiar ambas partículas. Este intercambio es una involución, por lo que su único efecto es multiplicar la fase por una raíz cuadrada de 1. Si la raíz es +1, entonces los puntos tienen estadística de Bose, y si la raíz es –1, los puntos tienen estadística de Fermi.

En el caso ${displaystyle M=mathbb {R} ^{2},}$ el espacio universal de cobertura $[M \times M # {puntos de accidente}$ tiene infinitamente muchos puntos que son físicamente indistinguibles $() x, Sí.)$ . Esto es descrito por el grupo cíclico infinito generado por hacer un cambio de media vuelta en sentido contrario. A diferencia del caso anterior, realizar este intercambio dos veces seguidas no recupera el estado original, por lo que este intercambio puede resultar genéricamente en una multiplicación por $exp(i)$ para cualquier real $Silencio$ (por unidad, el valor absoluto de la multiplicación debe ser 1). Esto se llama estadística de cualquier tipo. De hecho, incluso con dos diferenciable partículas, aunque $() x, Sí.)$ ahora se distingue físicamente de $() Sí., x)$ , el espacio de cobertura universal todavía contiene infinitamente muchos puntos que son físicamente indistinguibles desde el punto original, ahora generado por una rotación en sentido contrario por un giro completo. Este generador, entonces, resulta en una multiplicación por $exp(iφ)$ . Este factor de fase aquí se llama las estadísticas mutuas.

Por último, en el caso ${displaystyle M=mathbb {R}}$ el espacio $[M \times M # {puntos de accidente}$ no está conectado, así que incluso si la partícula I y la partícula II son idénticas, todavía pueden distinguirse a través de etiquetas como "la partícula de la izquierda" y "la partícula de la derecha". Aquí no hay simetría de intercambio.

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