Partícula libre

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Partícula que no está sujeta por una fuerza externa

En física, una partícula libre es una partícula que, en algún sentido, no está limitada por una fuerza externa o, equivalentemente, no está en una región donde su energía potencial varía. En física clásica, esto significa que la partícula está presente en un entorno "libre de campo". espacio. En mecánica cuántica, significa que la partícula está en una región de potencial uniforme, generalmente establecido en cero en la región de interés, ya que el potencial puede establecerse arbitrariamente en cero en cualquier punto del espacio.

Partícula libre clásica

La partícula libre clásica se caracteriza por una velocidad fija v. El impulso está dado por

{displaystyle mathbf {p} =mmathbf {v} }

{displaystyle E={frac {1}{2}}mv^{2}={frac {p^{2}}{2m}}}

Partícula libre cuántica

Descripción matemática

Una partícula libre con masa ${displaystyle m}$ en la mecánica cuántica no relativista se describe por la ecuación gratuita Schrödinger:

{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2} psi (mathbf {r}t)=ihbar {frac {partial }{partial t}}psi (mathbf {r}t)}

donde ψ es la función de onda de la partícula en la posición r y el tiempo t. La solución para una partícula con momento p o vector de onda k, a frecuencia angular ω o energía E, es dado por una onda plana compleja:

{displaystyle psi (mathbf {r}t)=Ae^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)}=Ae^{i(mathbf {p} cdot mathbf {r} -Et)/hbar }}

con amplitud A y tiene dos reglas diferentes según su masa:

si la partícula tiene masa ${displaystyle m}$ : ${textstyle omega ={frac {hbar k^{2}}{2m}}}$ (o equivalente) ${textstyle E={frac {p^{2}}{2m}}}$ ).
si la partícula es una partícula sin masa: ${displaystyle omega =kc}$ .

El espectro eigenvalue es infinitamente degenerado ya que para cada eigenvalue E√0, corresponde un número infinito de funciones eigen correspondientes a diferentes direcciones de ${displaystyle mathbf {p} }$ .

Las relaciones de De Broglie: ${displaystyle mathbf {p} =hbar mathbf {k} }$ , ${displaystyle E=hbar omega }$ aplicar. Puesto que la energía potencial es cero, la energía total E es igual a la energía cinética, que tiene la misma forma que en la física clásica:

{displaystyle E=T,rightarrow,{frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=hbar omega }

En cuanto a Todos partículas cuánticas libres o límites, los principios de incertidumbre de Heisenberg ${textstyle Delta p_{x}Delta xgeq {frac {hbar }{2}}}$ aplicar. Está claro que dado que la onda de avión tiene un impulso definido (energía definitiva), la probabilidad de encontrar la ubicación de la partícula es uniforme y insignificante en todo el espacio. En otras palabras, la función de onda no es normalizable en un espacio euclidiano, estos estados estacionarios no pueden corresponder a estados realizables físicos.

Medición y cálculos

La integral de la función de densidad de probabilidad

{displaystyle rho (mathbf {r}t)=psi ^{*}(mathbf {r}t)psi (mathbf {r}t)=|psi (mathbf {r}t)|^{2}}

donde * denota conjugado complejo, en todo el espacio es la probabilidad de encontrar la partícula en todo el espacio, que debe ser la unidad si la partícula existe:

{displaystyle int _{mathrm {all,space} }|psi (mathbf {r}t)|^{2}d^{3}mathbf {r} =1}

Esta es la condición de normalización para la función de onda. La función de onda no es normalizable para una onda plana, pero sí para un paquete de ondas.

Aumentar las cantidades de localización de paquetes de ondas, lo que significa que la partícula se vuelve más localizada.

En el límite ▪ → 0, la posición y el impulso de la partícula se conocen exactamente.

Interpretación de la función de onda para una partícula spin-0 en una dimensión. Las funciones de onda que se muestran son continuas, finitas, de valor único y normalizadas. La opacidad del color (%) de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad (que puede medir en %) de encontrar la partícula en los puntos del eje x.

Descomposición de Fourier

La función de onda de partícula libre puede representarse mediante una superposición de funciones propias de momento, con coeficientes dados por la transformada de Fourier de la función de onda inicial:

{displaystyle psi (mathbf {r}t)={frac {1}{({sqrt {2pi }})^{3}}}int _{mathrm {all,mathbf {k},space} }{hat {psi }}_{0}(mathbf {k})e^{i(mathbf {k} cdot mathbf {r} -omega t)}d^{3}mathbf {k} }

donde la integral está sobre todo k- espacio y ${textstyle omega =omega (mathbf {k})={frac {hbar mathbf {k} ^{2}}{2m}}}$ (para asegurar que el paquete de onda es una solución de la ecuación de Schrödinger de partículas libres). Aquí. ${displaystyle psi _{0}}$ es el valor de la función de onda a la hora 0 y ${displaystyle {hat {psi }}_{0}}$ es la transformación de Fourier ${displaystyle psi _{0}}$ . (La transformación Fourier) ${displaystyle {hat {psi }}_{0}(mathbf {k})}$ es esencialmente la función de onda de impulso de la función de onda de posición ${displaystyle psi _{0}(mathbf {r})}$ , pero escrito como una función ${displaystyle mathbf {k} }$ en lugar de ${displaystyle mathbf {p} =hbar mathbf {k} }$ )

El valor esperado del momento p para la onda plana compleja es

{displaystyle langle mathbf {p} rangle =leftlangle psi left|-ihbar nabla right|psi rightrangle =hbar mathbf {k}}

y para el paquete de ondas general es

{displaystyle langle mathbf {p} rangle =int _{mathrm {all,space} }psi ^{*}(mathbf {r}t)(-ihbar nabla)psi (mathbf {r}t)d^{3}mathbf {r} =int _{mathrm {all,{textbf {k}},space} }hbar mathbf {k} |{hat {psi }}_{0}(mathbf {k})|^{2}d^{3}mathbf {k}.}

El valor esperado de la energía E es

{displaystyle langle Erangle =leftlangle psi left|-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}right|psi rightrangle =int _{text{all space}}psi ^{*}(mathbf {r}t)left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}right)psi (mathbf {r}t)d^{3}mathbf {r}.}

Velocidad de grupo y velocidad de fase

Propagación de un paquete de onda, con el movimiento de un único pico tocado en púrpura. Los picos se mueven a la velocidad de fase mientras que el paquete general se mueve a la velocidad del grupo.

La velocidad de fase se define como la velocidad a la que se propaga una solución de onda plana, es decir

{displaystyle v_{p}={frac {omega }{k}}={frac {hbar k}{2m}}={frac {p}{2m}}.}

Note que ${displaystyle {frac {p}{2m}}}$ es no la velocidad de una partícula clásica con impulso ${displaystyle p}$ ; más bien, es la mitad de la velocidad clásica.

Mientras tanto, supongamos que la función de onda inicial ${displaystyle psi _{0}}$ es un paquete de ondas cuya transformación Fourier ${displaystyle {hat {psi }}_{0}}$ se concentra cerca de un vector de onda particular ${displaystyle mathbf {k} }$ . Entonces la velocidad del grupo de la onda de avión se define como

{displaystyle v_{g}=nabla omega (mathbf {k})={frac {hbar mathbf {k} }{m}}={frac {mathbf {p} }{m}},}

que concuerda con la fórmula de la velocidad clásica de la partícula. La velocidad de grupo es la velocidad (aproximada) a la que se propaga todo el paquete de ondas, mientras que la velocidad de fase es la velocidad a la que se mueven los picos individuales del paquete de ondas. La figura ilustra este fenómeno, con los picos individuales dentro del paquete de ondas propagándose a la mitad de la velocidad del paquete total.

Difusión del paquete de ondas

La noción de velocidad de grupo se basa en una aproximación lineal a la relación dispersión ${displaystyle omega (k)}$ cerca de un valor particular ${displaystyle k}$ . En esta aproximación, la amplitud del paquete de onda se mueve a una velocidad igual a la velocidad del grupo sin cambiar la forma. Este resultado es una aproximación que no capta ciertos aspectos interesantes de la evolución una partícula cuántica libre. Notablemente, el ancho del paquete de onda, medido por la incertidumbre en la posición, crece linealmente en el tiempo para grandes momentos. Este fenómeno se llama la propagación del paquete de onda para una partícula libre.

Específicamente, no es difícil calcular una fórmula exacta para la incertidumbre ${displaystyle Delta _{psi (t)}X}$ como función del tiempo, donde ${displaystyle X}$ es el operador de posición. Trabajando en una dimensión espacial para la simplicidad, tenemos:

{displaystyle (Delta _{psi (t)}X)^{2}={frac {t^{2}}{m^{2}}}(Delta _{psi _{0}}P)^{2}+{frac {2t}{m}}left(leftlangle {tfrac {1}{2}}({XP+PX})rightrangle _{psi _{0}}-leftlangle Xrightrangle _{psi _{0}}leftlangle Prightrangle _{psi _{0}}right)+(Delta _{psi _{0}}X)^{2},}

{displaystyle psi _{0}}

{displaystyle X}

{displaystyle P}

Así, por grandes tiempos positivos, la incertidumbre en ${displaystyle X}$ crece linealmente, con el coeficiente de ${displaystyle t}$ iguales ${displaystyle (Delta _{psi _{0}}P)/m}$ . Si el impulso de la función de onda inicial ${displaystyle psi _{0}}$ es altamente localizado, el paquete de onda se extenderá lentamente y la aproximación de la velocidad del grupo permanecerá buena durante mucho tiempo. Intuitivamente, este resultado dice que si la función de onda inicial tiene un impulso muy definido, entonces la partícula tiene una velocidad marcadamente definida y se propagará (a buena aproximación) a esta velocidad durante mucho tiempo.

Partícula libre cuántica relativista

Hay una serie de ecuaciones que describen partículas relativistas: ver ecuaciones de onda relativista.

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