Partícula en una caja

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Modelo físico en mecánica cuántica que es analíticamente solvable

Algunas trayectorias de una partícula en una caja según las leyes de Newton de la mecánica clásica (A), y según la ecuación Schrödinger de la mecánica cuántica (B-F). En (B–F), el eje horizontal es la posición, y el eje vertical es la parte real (azul) e imaginario (rojo) de la función de onda. Los estados (B,C,D) son eigentales energéticos, pero (E,F) no lo son.

En la mecánica cuántica, el modelo partícula en una caja (también conocido como pozo de potencial infinito o pozo cuadrado infinito) describe un partícula libre para moverse en un pequeño espacio rodeado de barreras impenetrables. El modelo se utiliza principalmente como un ejemplo hipotético para ilustrar las diferencias entre los sistemas clásicos y cuánticos. En los sistemas clásicos, por ejemplo, una partícula atrapada dentro de una caja grande puede moverse a cualquier velocidad dentro de la caja y no es más probable que se encuentre en una posición que en otra. Sin embargo, cuando el pozo se vuelve muy estrecho (en la escala de unos pocos nanómetros), los efectos cuánticos se vuelven importantes. La partícula solo puede ocupar ciertos niveles de energía positiva. Del mismo modo, nunca puede tener energía cero, lo que significa que la partícula nunca puede "estar quieta". Además, es más probable que se encuentre en ciertas posiciones que en otras, dependiendo de su nivel de energía. Es posible que la partícula nunca se detecte en ciertas posiciones, conocidas como nodos espaciales.

El modelo de partícula en una caja es uno de los pocos problemas de la mecánica cuántica que puede resolverse analíticamente, sin aproximaciones. Debido a su simplicidad, el modelo permite conocer los efectos cuánticos sin necesidad de matemáticas complicadas. Sirve como una ilustración simple de cómo se producen las cuantizaciones de energía (niveles de energía), que se encuentran en sistemas cuánticos más complicados, como átomos y moléculas. Es uno de los primeros problemas de mecánica cuántica que se enseñan en los cursos de física de pregrado y se usa comúnmente como una aproximación para sistemas cuánticos más complicados.

Solución unidimensional

Las barreras fuera de una caja unidimensional tienen un potencial infinitamente grande, mientras que el interior de la caja tiene un potencial constante y cero. Shown es el bien cambiado, con

{textstyle x_{c}=L/2}

La forma más simple del modelo de partícula en una caja considera un sistema unidimensional. Aquí, la partícula solo puede moverse hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una línea recta con barreras impenetrables en cada extremo. Las paredes de una caja unidimensional pueden verse como regiones del espacio con una energía potencial infinitamente grande. Por el contrario, el interior de la caja tiene una energía potencial constante, cero. Esto significa que ninguna fuerza actúa sobre la partícula dentro de la caja y puede moverse libremente en esa región. Sin embargo, fuerzas infinitamente grandes repelen la partícula si toca las paredes de la caja, evitando que escape. La energía potencial en este modelo se da como

<math alttext="{displaystyle V(x)={begin{cases}0,&x_{c}-{tfrac {L}{2}}<xV()x)={}0,xc− − L2.x.xc+L2,JUEGO JUEGO ,de lo contrario,,{displaystyle V(x)={begin{cases}0, recurx_{c}-{tfrac {L}{2} Secuestró en el texto {L}{2},\\\infty mutuamente,}end{cases}}<img alt="{displaystyle V(x)={begin{cases}0,&x_{c}-{tfrac {L}{2}}<x

Lx_cxx_cx_cL

Función de onda de posición

En la mecánica cuántica, la función de onda da la descripción más fundamental del comportamiento de una partícula; las propiedades mensurables de la partícula (como su posición, impulso y energía) pueden derivarse de la función de onda. La función de onda $psi (x,t)$ se puede encontrar resolviendo la ecuación Schrödinger para el sistema

{displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}psi (x,t)=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}psi (x,t)+V(x)psi (x,t),}

hbar

m

i

t

Dentro de la caja, ninguna fuerza actúa sobre la partícula, lo que significa que la parte de la función de onda dentro de la caja oscila a través del espacio y el tiempo con la misma forma que una partícula libre:

{displaystyle psi (x,t)=left[Asin(kx)+Bcos(kx)right]e^{-iomega t},}

()1)

Donde $A$ y $B$ son números complejos arbitrarios. La frecuencia de las oscilaciones a través del espacio y el tiempo es dada por el número de onda $k$ y la frecuencia angular $omega$ respectivamente. Estos están relacionados con la energía total de la partícula por la expresión

{displaystyle E=hbar omega ={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}

{frac {p^{2}}{2m}}

p=hbar k

E={frac {p^{2}}{2m}}

E=T+V

Funciones iniciales de onda para los primeros cuatro estados en una partícula unidimensional en una caja

El tamaño (o amplitud) de la función de onda en una posición dada está relacionado con la probabilidad de encontrar una partícula allí por $P(x,t)=|psi (x,t)|^{2}$ . La función de onda debe desaparecer por todas partes más allá de los bordes de la caja. Además, la amplitud de la función de onda puede no "saltar" abruptamente de un punto a otro. Estas dos condiciones sólo están satisfechas por las funciones de onda con la forma

<math alttext="{displaystyle psi _{n}(x,t)={begin{cases}Asin left(k_{n}left(x-x_{c}+{tfrac {L}{2}}right)right)e^{-iomega _{n}t}quad &x_{c}-{tfrac {L}{2}}<x↑ ↑ n()x,t)={}Apecado⁡ ⁡ ()kn()x− − xc+L2))e− − i⋅ ⋅ ntxc− − L2.x.xc+L20de otra manera,{displaystyle psi _{n}(x,t)={begin{cases}Asin left(k_{n}left(x-x_{c}+{tfrac {L}{2}right)right)e^{-iomega - No. #x_{c}-{tfrac {L}{2} Secuestró en el texto {L}{2} âtext{otherwise}end{cases}}<img alt="{displaystyle psi _{n}(x,t)={begin{cases}Asin left(k_{n}left(x-x_{c}+{tfrac {L}{2}}right)right)e^{-iomega _{n}t}quad &x_{c}-{tfrac {L}{2}}<x

{displaystyle k_{n}={frac {npi }{L}},}

{displaystyle E_{n}=hbar omega _{n}={frac {n^{2}pi ^{2}hbar ^{2}}{2mL^{2}}},}

nx_cL

{displaystyle k_{n}=0}

A=0

{displaystyle psi (x)=0}

n

n

x=0

x=L

Finalmente, la constante desconocida $A$ puede encontrarse normalizando la función de onda para que la densidad total de probabilidad de encontrar la partícula en el sistema sea 1.

Matemáticamente,

{displaystyle int _{0}^{L}leftvert psi (x)rightvert ^{2}dx=1}

en alguna parte

Se sigue que

{displaystyle left|Aright|={sqrt {frac {2}{L}}}.}

Por lo tanto, A puede ser cualquier número complejo con valor absoluto √ 2/L; estos diferentes valores de A producen el mismo estado físico, por lo que A = √2/L se puede seleccionar para simplificar.

Se espera que el eigenvalues, es decir, la energía $E_{n}$ de la caja debe ser la misma independientemente de su posición en el espacio, pero $psi _{n}(x,t)$ cambios. Note que ${displaystyle x_{c}-{tfrac {L}{2}}}$ representa un cambio de fase en la función de onda. Este cambio de fase no tiene efecto al resolver la ecuación de Schrödinger, y por lo tanto no afecta a la eigenvalue.

Si establecemos el origen de las coordenadas en el centro del cuadro, podemos reescribir la parte espacial de la función de onda de manera sucinta como:

{displaystyle psi _{n}(x)={begin{cases}{sqrt {frac {2}{L}}}sin(k_{n}x)quad {}{text{for }}n{text{ even}}\{sqrt {frac {2}{L}}}cos(k_{n}x)quad {}{text{for }}n{text{ odd}}.end{cases}}}

Función de onda de impulso

La función de onda de impulso es proporcional a la transformación Fourier de la función de onda de posición. Con ${displaystyle k=p/hbar }$ (nota que el parámetro $k$ describir la función de onda de impulso a continuación no es exactamente el $k n$ arriba, vinculado a los eigenvalues de energía), la función de onda de impulso se da por

{displaystyle phi _{n}(p,t)={frac {1}{sqrt {2pi hbar }}}int _{-infty }^{infty }psi _{n}(x,t)e^{-ikx},dx={sqrt {frac {L}{pi hbar }}}left({frac {npi }{npi +kL}}right),operatorname {sinc} left({tfrac {1}{2}}(npi -kL)right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){tfrac {pi }{2}}}e^{-iomega _{n}t},}

sinc(x) = pecado(x)/ x

x c = 0

p

Se puede ver que el espectro de impulso en este paquete de ondas es continuo, y se puede concluir que para el estado energético descrito por el número de onda $k n$ , el impulso puede, cuando se mide, también alcanzar otros valores más allá $p=pm hbar k_{n}$ .

Por lo tanto, también parece que, puesto que la energía es ${textstyle E_{n}={frac {hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ para el neigenstat, la relación ${textstyle E={frac {p^{2}}{2m}}}$ no se mantiene estrictamente para el impulso medido $p$ ; la energía eigenstat $psi _{n}$ no es un impulso eigenstat, y, de hecho, ni siquiera una superposición de dos eigenstates de impulso, como uno podría ser tentado a imaginar de la ecuación (1) arriba: peculiarmente, no tiene un impulso bien definido antes de la medición!

Distribuciones de probabilidad de posición y momento

En la física clásica, la partícula se puede detectar en cualquier lugar de la caja con igual probabilidad. En la mecánica cuántica, sin embargo, la densidad de probabilidad para encontrar una partícula en una posición determinada se deriva de la función de onda como $P(x)=|psi (x)|^{2}.$ Para la partícula en una caja, la densidad de probabilidad para encontrar la partícula en una posición determinada depende de su estado, y es dada por

<math alttext="{displaystyle P_{n}(x,t)={begin{cases}{frac {2}{L}}sin ^{2}left(k_{n}left(x-x_{c}+{tfrac {L}{2}}right)right),&x_{c}-{frac {L}{2}}<xPn()x,t)={}2Lpecado2⁡ ⁡ ()kn()x− − xc+L2)),xc− − L2.x.xc+L2,0,de lo contrario,{displaystyle P_{n}(x,t)={begin{cases}{frac {2}{L}sin} ^{2}left(k_{n}left(x-x_{c}+{tfrac ¿Qué? {L}{2} {c}{x_{c}+{frac {L}}, â, âtext{otherwise,}}end{cases}}<img alt="{displaystyle P_{n}(x,t)={begin{cases}{frac {2}{L}}sin ^{2}left(k_{n}left(x-x_{c}+{tfrac {L}{2}}right)right),&x_{c}-{frac {L}{2}}<x

Así, por cualquier valor de n más grande que uno, hay regiones dentro de la caja $P(x)=0$ , indicando que nodos espaciales existen en los que no se puede encontrar la partícula.

En la mecánica cuántica, el valor promedio o esperado de la posición de una partícula viene dado por

{displaystyle langle xrangle =int _{-infty }^{infty }xP_{n}(x),mathrm {d} x.}

Para la partícula de estado estable en una caja, se puede demostrar que la posición promedio es siempre ${displaystyle langle xrangle =x_{c}}$ , independientemente del estado de la partícula. Para una superposición de estados, el valor de expectativa de la posición cambiará basado en el término transversal que es proporcional a $cos(omega t)$ .

La varianza en la posición es una medida de la incertidumbre en la posición de la partícula:

{displaystyle mathrm {Var} (x)=int _{-infty }^{infty }(x-langle xrangle)^{2}P_{n}(x),dx={frac {L^{2}}{12}}left(1-{frac {6}{n^{2}pi ^{2}}}right)}

La densidad de probabilidad para encontrar una partícula con un impulso dado se deriva de la función de onda como ${displaystyle P(x)=|phi (x)|^{2}}$ . Como con la posición, la densidad de probabilidad para encontrar la partícula en un impulso dado depende de su estado, y es dada por

{displaystyle P_{n}(p)={frac {L}{pi hbar }}left({frac {npi }{npi +kL}}right)^{2},{textrm {sinc}}^{2}left({tfrac {1}{2}}(npi -kL)right)}

{displaystyle k=p/hbar }

{displaystyle mathrm {Var} (p)=left({frac {hbar npi }{L}}right)^{2}}

Las incertidumbres en la posición y el impulso ( $Delta x$ y $Delta p$ ) se definen como iguales a la raíz cuadrada de sus respectivas diferencias, de modo que:

{displaystyle Delta xDelta p={frac {hbar }{2}}{sqrt {{frac {n^{2}pi ^{2}}{3}}-2}}}

Este producto aumenta con el aumento n, tener un valor mínimo para n=1. El valor de este producto para n=1 es casi igual a 0.568 $hbar$ que obedece al principio de incertidumbre Heisenberg, que establece que el producto será mayor o igual a $hbar /2$

Otra medida de la incertidumbre en la posición es la entropía de la información de la distribución de probabilidad H_x:

{displaystyle H_{x}=int _{-infty }^{infty }P_{n}(x)log(P_{n}(x)x_{0}),dx=log left({frac {2L}{e,x_{0}}}right)}

x₀

Otra medida de la incertidumbre en el impulso es la entropía de la información de la distribución de probabilidad H_p:

{displaystyle H_{p}(n)=int _{-infty }^{infty }P_{n}(p)log(P_{n}(p)p_{0}),dp}

{displaystyle lim _{nto infty }H_{p}(n)=log left({frac {4pi hbar ,e^{2(1-gamma)}}{L,p_{0}}}right)}

{displaystyle x_{0},p_{0}=hbar }

{displaystyle H_{x}+H_{p}(n)geq log(e,pi)approx 2.14473...}

Para ${displaystyle x_{0},p_{0}=hbar }$ , la suma de la posición y el impulso entropies produce:

{displaystyle H_{x}+H_{p}(infty)=log left(8pi ,e^{1-2gamma }right)approx 3.06974...}

que satisface el principio de incertidumbre entrópica cuántica.

Niveles de energía

La energía de una partícula en una caja (círculos negros) y una partícula libre (línea gris) dependen del número de onda de la misma manera. Sin embargo, la partícula en una caja sólo puede tener ciertos niveles de energía discretos.

Las energías que corresponden a cada uno de los números de onda permitidos pueden escribirse como

{displaystyle E_{n}={frac {n^{2}hbar ^{2}pi ^{2}}{2mL^{2}}}={frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}

n^{2}

Energía cero-punto

{displaystyle E_{1}={frac {hbar ^{2}pi ^{2}}{2mL^{2}}}.}

{displaystyle Delta xDelta pgeq {frac {hbar }{2}}}

{displaystyle E=p^{2}/(2m)}

Cajas de dimensiones superiores

Paredes (hiper)rectangulares

La función de onda de un pozo 2D con n_x=4 y n_Sí.= 4

Si una partícula está atrapada en una caja bidimensional, puede moverse libremente en la $x$ y $y$ - direcciones, entre barreras separadas por longitudes $L_{x}$ y $L_{y}$ respectivamente. Para una caja centrada, la función de onda de posición puede ser escrita incluyendo la longitud de la caja como ${displaystyle psi _{n}(x,t,L)}$ . Utilizando un enfoque similar al de la caja unidimensional, se puede demostrar que las funciones de onda y las energías para una caja centrada son dadas respectivamente por

{displaystyle psi _{n_{x},n_{y}}=psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}

{displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={frac {hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}

{displaystyle mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}mathbf {hat {x}} +k_{n_{y}}mathbf {hat {y}} ={frac {n_{x}pi }{L_{x}}}mathbf {hat {x}} +{frac {n_{y}pi }{L_{y}}}mathbf {hat {y}}.}

Para una caja tridimensional, las soluciones son

{displaystyle psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}

{displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={frac {hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}

{displaystyle mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}mathbf {hat {x}} +k_{n_{y}}mathbf {hat {y}} +k_{n_{z}}mathbf {hat {z}} ={frac {n_{x}pi }{L_{x}}}mathbf {hat {x}} +{frac {n_{y}pi }{L_{y}}}mathbf {hat {y}} +{frac {n_{z}pi }{L_{z}}}mathbf {hat {z}}.}

En general, para una caja de n dimensiones, las soluciones son

{displaystyle psi =prod _{i}psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}

Las funciones de onda de impulso n-dimensional también pueden ser representadas por ${displaystyle phi _{n}(x,t,L_{x})}$ y la función de onda de impulso para una caja centrada en n-dimensional es entonces:

{displaystyle phi =prod _{i}phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}

Una característica interesante de las soluciones anteriores es que cuando dos o más de las longitudes son las mismas (por ejemplo. $L_{x}=L_{y}$ ), hay múltiples funciones de onda correspondientes a la misma energía total. Por ejemplo, la función de onda con $n_{x}=2,n_{y}=1$ tiene la misma energía que la función de onda con $n_{x}=1,n_{y}=2$ . Esta situación se llama degeneración y para el caso en que exactamente dos funciones degeneradas de onda tienen la misma energía que se dice que el nivel de energía doblemente degenerado. La degeneración resulta de la simetría en el sistema. Para el caso anterior dos de las longitudes son iguales por lo que el sistema es simétrico con respecto a una rotación de 90°.

Formas de pared más complicadas

La función de onda para una partícula mecánica cuántica en una caja cuyas paredes tienen una forma arbitraria está dada por la ecuación de Helmholtz sujeta a la condición límite de que la función de onda se anula en las paredes. Estos sistemas se estudian en el campo del caos cuántico para formas de pared cuyas correspondientes mesas de billar dinámicas no son integrables.

Aplicaciones

Debido a su simplicidad matemática, el modelo de partículas en una caja se utiliza para encontrar soluciones aproximadas para sistemas físicos más complejos en los que una partícula queda atrapada en una región estrecha de bajo potencial eléctrico entre dos barreras de alto potencial. Estos sistemas de pozos cuánticos son especialmente importantes en optoelectrónica y se utilizan en dispositivos como el láser de pozos cuánticos, el fotodetector de infrarrojos de pozos cuánticos y el modulador de efecto Stark confinado cuánticamente. También se utiliza para modelar una red en el modelo de Kronig-Penney y para un metal finito con la aproximación de electrones libres.

Polienos conjugados

β-caroteno es un polieno conjugado

Los sistemas de polienos conjugados se pueden modelar usando partículas en una caja. El sistema conjugado de electrones se puede modelar como una caja unidimensional con una longitud igual a la distancia de enlace total de un extremo del polieno al otro. En este caso, cada par de electrones en cada enlace π corresponde a su nivel de energía. La diferencia de energía entre dos niveles de energía, n_f y n_i es:

{displaystyle Delta E={frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}}

La diferencia entre la energía del estado fundamental, n, y el primer estado excitado, n+1, corresponde a la energía necesaria para excitar el sistema. Esta energía tiene una longitud de onda específica, y por lo tanto un color de luz, relacionado por:

{displaystyle lambda ={frac {hc}{Delta E}}}

Un ejemplo común de este fenómeno es el β-caroteno. El β-caroteno (C₄₀H₅₆) es un polieno conjugado de color naranja y una longitud molecular de aproximadamente 3,8 nm (aunque la longitud de su cadena es de aproximadamente 2,4 nm). Debido al alto nivel de conjugación del β-caroteno, los electrones se dispersan a lo largo de la molécula, lo que permite modelarla como una partícula unidimensional en una caja. el β-caroteno tiene 11 dobles enlaces carbono-carbono en la conjugación; cada uno de esos dobles enlaces contiene dos electrones π, por lo tanto, el β-caroteno tiene 22 electrones π. Con dos electrones por nivel de energía, el β-caroteno se puede tratar como una partícula en una caja en el nivel de energía n=11. Por lo tanto, la energía mínima necesaria para excitar un electrón al siguiente nivel de energía se puede calcular, n=12, de la siguiente manera (recordando que la masa de un electrón es 9,109 × 10⁻³¹ kg):

{displaystyle Delta E={frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658times 10^{-19}{text{ J}}}

Usando la relación anterior de longitud de onda a energía, recordando tanto la constante h de Planck como la velocidad de la luz c:

{displaystyle lambda ={frac {hc}{Delta E}}=0.00000084{text{ m}}=840{text{ nm}}}

Esto indica que el β-caroteno absorbe principalmente la luz en el espectro infrarrojo, por lo que parecería blanco para el ojo humano. Sin embargo, la longitud de onda observada es de 450 nm, lo que indica que la partícula en una caja no es un modelo perfecto para este sistema.

Láser de pozo cuántico

El modelo de partículas en una caja se puede aplicar a los láseres de pozo cuántico, que son diodos láser que consisten en un material de "pozo" semiconductor intercalado entre otras dos capas semiconductoras de material diferente. Debido a que las capas de este sándwich son muy delgadas (la capa intermedia suele tener un grosor de aproximadamente 100 Å), se pueden observar efectos de confinamiento cuántico. La idea de que los efectos cuánticos podrían aprovecharse para crear mejores diodos láser se originó en la década de 1970. El láser de pozo cuántico fue patentado en 1976 por R. Dingle y C. H. Henry.

Específicamente, el comportamiento de los pozos cuánticos puede ser representado por la partícula en un modelo finito bien. Hay que seleccionar dos condiciones límite. La primera es que la función de onda debe ser continua. A menudo, la segunda condición de límite es elegida para ser el derivado de la función de onda debe ser continua a través del límite, pero en el caso del pozo cuántico las masas son diferentes a cada lado del límite. En cambio, la segunda condición de límite es elegida para conservar el flujo de partículas como ${displaystyle (1/m)dphi /dz}$ , que es consistente con el experimento. La solución a la partícula finita bien en una caja debe resolverse numéricamente, resultando en funciones de onda que son funciones sine dentro del pozo cuántico y funciones de decaimiento exponencial en las barreras. Esta cuantificación de los niveles de energía de los electrones permite que un láser de pozo cuántico emita luz más eficiente que los láseres semiconductores convencionales.

Debido a su pequeño tamaño, los puntos cuánticos no muestran las propiedades generales del semiconductor específico, sino que muestran estados de energía cuantizados. Este efecto se conoce como confinamiento cuántico y ha dado lugar a numerosas aplicaciones de puntos cuánticos, como el láser de pozo cuántico.

Investigadores de la Universidad de Princeton han construido recientemente un láser de pozo cuántico que no es más grande que un grano de arroz. El láser funciona con un solo electrón que pasa a través de dos puntos cuánticos; un punto cuántico doble. El electrón pasa de un estado de mayor energía a un estado de menor energía mientras emite fotones en la región de microondas. Estos fotones rebotan en los espejos para crear un haz de luz; el láser

El láser de pozo cuántico se basa en gran medida en la interacción entre la luz y los electrones. Esta relación es un componente clave en las teorías mecánicas cuánticas que incluyen la longitud de onda y la partícula en una caja de De Broglie. El punto cuántico doble permite a los científicos obtener un control total sobre el movimiento de un electrón que, en consecuencia, da como resultado la producción de un rayo láser.

Puntos cuánticos

Los puntos cuánticos son semiconductores extremadamente pequeños (en la escala de nanómetros). Muestran confinamiento cuántico en el sentido de que los electrones no pueden escapar del "punto", lo que permite utilizar aproximaciones de partículas en una caja. Su comportamiento se puede describir mediante ecuaciones de cuantización de energía tridimensionales de partículas en una caja.

La brecha energética de un punto cuántico es la brecha energética entre sus bandas de valencia y conducción. Esta brecha energética ${displaystyle Delta E(r)}$ es igual a la brecha del material a granel ${displaystyle E_{text{gap}}}$ más la ecuación de energía derivada partícula en caja, que da la energía para electrones y agujeros. Esto se puede ver en la siguiente ecuación, donde ${displaystyle m_{e}^{*}}$ y ${displaystyle m_{h}^{*}}$ son las masas efectivas del electrón y el agujero, $r$ es radio del punto, y $h$ es constante de Planck:

{displaystyle Delta E(r)=E_{text{gap}}+left({frac {h^{2}}{8r^{2}}}right)left({frac {1}{m_{e}^{*}}}+{frac {1}{m_{h}^{*}}}right)}

Por lo tanto, la brecha de energía del punto cuántico es inversamente proporcional al cuadrado de la "longitud de la caja", es decir, el radio del punto cuántico.

La manipulación de la brecha de banda permite la absorción y emisión de longitudes de onda de luz específicas, ya que la energía es inversamente proporcional a la longitud de onda. Cuanto más pequeño es el punto cuántico, mayor es la brecha de banda y, por lo tanto, más corta es la longitud de onda absorbida.

Se utilizan diferentes materiales semiconductores para sintetizar puntos cuánticos de diferentes tamaños y, por lo tanto, emiten diferentes longitudes de onda de luz. A menudo se utilizan materiales que normalmente emiten luz en la región visible y sus tamaños se ajustan con precisión para que se emitan ciertos colores. Las sustancias típicas utilizadas para sintetizar puntos cuánticos son el cadmio (Cd) y el selenio (Se). Por ejemplo, cuando los electrones de los puntos cuánticos de CdSe de dos nanómetros se relajan después de la excitación, se emite luz azul. De manera similar, la luz roja se emite en puntos cuánticos de CdSe de cuatro nanómetros.

Los puntos cuánticos tienen una variedad de funciones que incluyen, entre otras, tintes fluorescentes, transistores, LED, células solares e imágenes médicas a través de sondas ópticas.

Una función de los puntos cuánticos es su uso en el mapeo de los ganglios linfáticos, lo cual es factible debido a su capacidad única para emitir luz en la región del infrarrojo cercano (NIR). El mapeo de los ganglios linfáticos permite a los cirujanos rastrear si existen células cancerosas y dónde.

Los puntos cuánticos son útiles para estas funciones debido a su emisión de luz más brillante, excitación por una amplia variedad de longitudes de onda y mayor resistencia a la luz que otras sustancias.

Un modelo más general: partícula en una caja con un periodo potencial

Un modelo más general es la partícula en una caja con un modelo potencial de período: el interior de la caja tiene un potencial periódico y la caja contiene períodos de un número entero positivo en cada dimensión. Un potencial periódico se convierte en un potencial constante, y una onda de Bloch se convierte en una onda plana cuando los periodos involucrados se vuelven cero. El potencial periódico es más general que el potencial constante; la onda de Bloch es más general que la onda plana. Una nueva teoría reciente investigó este modelo basado en la teoría matemática de las ecuaciones diferenciales periódicas.

El problema puede considerarse confinamiento cuántico de ondas de Bloch, más general que el confinamiento cuántico de ondas planas discutido en secciones anteriores. La nueva teoría encontró que, en casos unidimensionales, el problema se puede resolver analíticamente. Además, en muchos casos multidimensionales esenciales y simples, el problema puede resolverse analíticamente basándose en teoremas matemáticos relevantes con la ayuda de razonamientos de intuiciones físicas. A continuación, sólo describimos brevemente algunas conclusiones esenciales. Los lectores interesados en razonamientos matemáticos y detalles más relevantes pueden consultar las publicaciones originales.

Casos unidimensionales

Consideramos una caja unidimensional con potencial periódico de finito longitud ${displaystyle L=Na}$ con dos extremos en $tau$ y ${displaystyle L+tau }$ () $a$ : período potencial, $N$ : un entero positivo). Nos interesan principalmente los casos en que las bandas de energía a granel tienen una brecha de banda entre dos bandas de energía consecutivas.

La nueva teoría encontró que dos tipos diferentes de estados existen en tal caja con un potencial periódico. Para cada banda de energía masiva, hay ${displaystyle N-1}$ estados en el cristal finito cuyas energías y propiedades depende de $N$ pero no $tau$ y mapear la banda de energía exactamente. Estos estados son los estados de Bloch estacionarios; Siempre hay un solo estado para cada franja de banda, cuya energía y propiedades dependen de $tau$ pero no $N$ . Este estado es un estado de banda o un estado de superficie en la brecha de banda.

La existencia misma de tal $tau$ - Los estados dependientes son la distinción fundamental del confinamiento cuántico de las ondas Bloch.

Estuches multidimensionales

La ecuación de Schrödinger con un potencial periódico multidimensional es una ecuación diferencial parcial; las matemáticas son más difíciles. Sin embargo, también se pueden obtener muchos conocimientos fundamentales.

En muchos casos esenciales y directos, confinamiento cuántico multidimensional ondas de bloque en una dirección específica $i$ entre $tau _{i}$ y ${displaystyle N_{i}a_{i}+tau _{i}}$ () $a_i$ : el período, $N_{i}$ : el entero positivo indicando el tamaño de la caja en el $i$ dirección) podría producir dos tipos de estados. Cada banda de energía a granel conduce a ${displaystyle N_{i}-1}$ estados cuya energía y propiedades dependen $N_{i}$ pero no $tau _{i}$ y un estado cuya energía y propiedades dependen $tau _{i}$ pero no $N_{i}$ . El $N_{i}$ - Los estados dependientes son fijos Bloch dice. La energía de la $tau _{i}$ - Estado dependiente siempre está por encima de lo pertinente $N_{i}$ - Estacionario dependiente Bloch dice.

Una vez más, la existencia misma de tal $tau _{i}$ - Los estados dependientes son una distinción fundamental del confinamiento cuántico de ondas Bloch multidimensionales.

Por ejemplo, en algunos casos más simples en una simple caja de una forma cuboide rectangular que tiene ${displaystyle N_{1},N_{2},N_{3}}$ períodos separados en tres dimensiones perpendiculares, para cada banda de energía a granel, hay ( ${displaystyle N_{1}-1}$ ) ${displaystyle N_{2}-1}$ ) ${displaystyle N_{3}-1}$ estados como el grueso, () ${displaystyle N_{1}-1}$ ) ${displaystyle N_{2}-1}$ ) $+$ () ${displaystyle N_{2}-1}$ ) ${displaystyle N_{3}-1}$ ) $+$ () ${displaystyle N_{3}-1}$ ) ${displaystyle N_{1}-1}$ ) estados como la superficie, () ${displaystyle N_{1}-1}$ ) $+$ () ${displaystyle N_{2}-1}$ ) $+$ () ${displaystyle N_{3}-1}$ ) estados como el borde y un estado parecido al vértice.

Las propiedades y la energía del estado parecido al vértice dependen de tres $tau _{i}$ , pero ninguno $N_{i}$ ; Las propiedades y la energía de cada estado similar al borde dependen de dos $tau _{i}$ y el otro $N_{i}$ , pero ninguno de los dos correspondientes $N_{i}$ ni el otro $tau _{i}$ ; Las propiedades y la energía de cada estado similar a la superficie dependen de dos $N_{i}$ y el otro $tau _{i}$ , pero ninguno de los dos correspondientes ${displaystyle tau _{i}}$ ni el otro ${displaystyle N_{i}}$ ; Las propiedades y la energía de cada estado tipo vracs dependen de tres $N_{i}$ , pero ninguno $tau _{i}$ .

Entre los estados anteriores de la misma banda de energía a granel, existen las siguientes relaciones generales:

La energía del estado tipo vértice > La energía de cada estado de borde > La energía de cada estado similar a una superficie relevante > La energía de cada estado de volumen relevante.

Esas relaciones generales conducen a algunas conclusiones que difieren de las que tradicionalmente se cree para la física en sistemas de baja dimensión (ver el teorema de Bloch).

Efectos relativistas

La densidad de probabilidad no llega a cero en los nodos si se tienen en cuenta los efectos relativistas a través de la ecuación de Dirac.

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