Partícula en un anillo

En la mecánica cuántica, el caso de un partícula en un anillo unidimensional es similar a la partícula en una caja. La ecuación Schrödinger para una partícula libre que se limita a un anillo (técnicamente, cuyo espacio de configuración es el círculo S1{displaystyle S^{1}) es

− − ▪ ▪ 22mSilencio Silencio 2↑ ↑ =E↑ ↑ {displaystyle - ¿Qué?.

Función de onda

Usando coordenadas polares en el anillo unidimensional de radio R, la función de onda depende sólo de la coordenada angular, por lo que

Silencio Silencio 2=1R2∂ ∂ 2∂ ∂ Silencio Silencio 2{displaystyle nabla ^{2}={frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}}{partial theta ^{2}}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {

Requiriendo que la función de onda sea periódica en Silencio Silencio {displaystyle theta } con un período 2π π {displaystyle 2pi} (de la demanda de que las funciones de onda sean de valor único en el círculo), y que sean normalizadas conduce a las condiciones

∫ ∫ 02π π Silencio↑ ↑ ()Silencio Silencio )Silencio2dSilencio Silencio =1{displaystyle int _{0}{2pi }left durablepsi (theta)right WordPress^{2},dtheta =1},

y

↑ ↑ ()Silencio Silencio )=↑ ↑ ()Silencio Silencio +2π π ){displaystyle psi (theta)= psi (theta +2pi)}

Bajo estas condiciones, la solución de la ecuación de Schrödinger viene dada por

↑ ↑ ± ± ()Silencio Silencio )=12π π e± ± iR▪ ▪ 2mESilencio Silencio {displaystyle psi _{pm }(theta)={frac {1}{sqrt {2pi}}},e^{pm i{frac} {R}{hbar} {sqrt {2mE}theta }

Valores propios de energía

Los valores energéticos E{displaystyle E} se cuantizan debido a las condiciones de los límites periódicos, y están obligados a satisfacer

e± ± iR▪ ▪ 2mESilencio Silencio =e± ± iR▪ ▪ 2mE()Silencio Silencio +2π π ){displaystyle e^{pm i{frac} {R}{hbar} {sqrt {2mE}theta ¿Qué?, o

e± ± i2π π R▪ ▪ 2mE=1=ei2π π n{displaystyle e^{pm i2pi {fnMicroc {R}{hbar} {sqrt {2mE}=1=e^{i2pi} No.

La función propia y las energías propias son

↑ ↑ ()Silencio Silencio )=12π π e± ± inSilencio Silencio {displaystyle psi (theta)={frac {1}{sqrt {2pi}},e^{pm intheta }

En=n2▪ ▪ 22mR2{displaystyle ¿Qué?. Donde n=0,± ± 1,± ± 2,± ± 3,...... {displaystyle n=0,pm 1,pm 2,pm 3,ldots }

Por lo tanto, hay dos estados cuánticos degenerados por cada valor de 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> (correspondiente a e± ± inSilencio Silencio {displaystyle e^{pm entheta }). Por lo tanto, hay 2n+1 estados con energías hasta una energía indexada por el número n.

El caso de una partícula en un anillo unidimensional es un ejemplo instructivo al estudiar la cuantificación del momento angular de, por ejemplo, un electrón que orbita alrededor del núcleo. Las funciones de onda azimutales en este caso son idénticas a las funciones propias de energía de la partícula en un anillo.

La afirmación de que cualquier función de onda para la partícula en un anillo se puede escribir como una superposición de funciones propias de energía es exactamente idéntica al teorema de Fourier sobre el desarrollo de cualquier función periódica en una serie de Fourier.

Este modelo simple se puede utilizar para encontrar niveles de energía aproximados de algunas moléculas de anillo, como el benceno.

Aplicación

En la química orgánica, los compuestos aromáticos contienen anillos atómicos, como anillos de benceno (la estructura de Kekulé) compuestos de cinco o seis, generalmente carbono, átomos. También lo hace la superficie de "bolones de dinero" (buckminsterfullerene). Este anillo se comporta como una guía de onda circular, con los electrones de valence orbitando en ambas direcciones. Para llenar todos los niveles de energía hasta n requiere 2× × ()2n+1)=4n+2{displaystyle 2times (2n+1)=4n+2} electrones, como electrones tienen adicionalmente dos posibles orientaciones de sus giros. Esto da estabilidad excepcional ("aromática"), y se conoce como la regla de Hückel.

Más adelante en espectroscopía rotacional, este modelo se puede utilizar como una aproximación de los niveles de energía rotacional.