Partición de un intervalo
En matemáticas, una partición de un intervalo [a, b] en la línea real es una secuencia finita x0, x1, x2, …, xn de números reales tales que
- a = x0. x1. x2 Identificado xn = b.
En otros términos, una partición de un intervalo compacto I es una secuencia estrictamente creciente de números (que pertenecen al intervalo I mismo) comenzando desde el punto inicial de I y llegando al punto final de I.
Cada intervalo de la forma [xi, xi + 1] se conoce como un subintervalo de la partición x.
Refinamiento de una partición
Otra partición Q del intervalo dado [a, b] se define como un refinamiento de la partición P, si Q contiene todos los puntos de P y posiblemente también algunos otros puntos; se dice que la partición Q es “más fina” que P. Dadas dos particiones, P y Q, siempre se puede formar su refinamiento común, denotado P ∨ Q, que consta de todos los puntos de P y Q, en orden creciente.
Norma de una partición
La norma (o malla) de la partición
- x0. x1. x2 Identificado xn
es la longitud del más largo de estos subintervalos
- max{xi − xi−1Silencio: i = 1,... n }.
Aplicaciones
Las particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann, la integral de Riemann-Stieltjes y la integral regulada. Específicamente, cuando se consideran particiones más finas de un intervalo dado, su malla tiende a cero y la suma de Riemann basada en una partición dada se acerca a la integral de Riemann.
Particiones etiquetadas
Una partición etiquetada es una partición de un intervalo dado junto con una secuencia finita de números t0, …, tn − 1 sujeto a las condiciones que para cada i,
- xi ≤ ti ≤ xi + 1.
En otras palabras, una partición etiquetada es una partición junto con un punto distinguido de cada subintervalo: su malla se define de la misma manera que para una partición ordinaria. Es posible definir un orden parcial en el conjunto de todas las particiones etiquetadas diciendo que una partición etiquetada es más grande que otra si la más grande es un refinamiento de la más pequeña.
Supongamos que x0, …, xn junto con t0, …, tn − 1 es una partición etiquetada de [a, b], y que y0, …, ym junto con s0, …, sm − 1 es otra partición etiquetada de [a, b]. Decimos que y0, …, ym junto con s0,…, sm − 1 es un refinamiento de una partición etiquetada x0, …, xn junto con t0, …, tn − 1 si para cada número entero i con 0 ≤ i ≤ n, hay un número entero r(i) tal que xi = yr(i) y tal que ti = sj para algunos j con r(i) ≤ j ≤ r(i + 1) − 1. Dicho de manera más simple, un refinamiento de una partición etiquetada toma la partición inicial y agrega más etiquetas, pero no elimina ninguna.