Partición de la unidad

En matemáticas, a partición de unidad de un espacio topológico ${displaystyle X}$ es un juego ${displaystyle R.$ de funciones continuas ${displaystyle X}$ al intervalo de unidad [0,1] tal que por cada punto ${displaystyle xin X}$:

• hay un barrio ${displaystyle x}$ donde todo menos un número finito de las funciones ${displaystyle R.$ son 0, y
• la suma de todos los valores de función ${displaystyle x}$ es 1, es decir, ${textstyle sum _{rho in R}rho (x)=1.}$

Una partición de unidad de un círculo con cuatro funciones. El círculo se desenrolla a un segmento de línea (la línea sólida inferior) para fines de graficado. La línea dashed en la parte superior es la suma de las funciones en la partición.

Las particiones de unidad son útiles porque a menudo permiten extender las construcciones locales a todo el espacio. También son importantes en la interpolación de datos, en el procesamiento de señales y en la teoría de funciones spline.

Existencia

La existencia de particiones de unidad asume dos formas distintas:

1. Dada cualquier cubierta abierta ${displaystyle {fnK} {fnfnfnfn}\fnfnfn}\\cH00\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH I}$ de un espacio, existe una partición ${displaystyle {rho ¿Qué? I}$ indexado sobre el mismo conjunto ${displaystyle Yo...$ tal que suponga ${displaystyle rho _{i}subseteq U_{i}.$ Tal partición se dice que subordinado a la cubierta abierta ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}$
2. Si el espacio está compuesto localmente, dada cualquier cubierta abierta ${displaystyle {fnK} {fnfnfnfn}\fnfnfn}\\cH00\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH I}$ de un espacio, existe una partición ${displaystyle {rho ¿Por qué? J.$ indexado sobre un índice posiblemente distinto ${displaystyle J}$ tal que cada uno ${displaystyle rho _{j}}$ tiene soporte compacto y para cada ${displaystyle jin J}$, supp ${displaystyle rho _{j}subseteq U_{i}$ para algunos ${displaystyle iin I}$.

Por lo tanto, uno elige tener los soportes indexados por la cubierta abierta o soportes compactos. Si el espacio es compacto, entonces existen particiones que satisfacen ambos requisitos.

Una cubierta abierta finita siempre tiene subordinada una partición continua de unidad, siempre que el espacio sea localmente compacto y Hausdorff. La paracompactidad del espacio es condición necesaria para garantizar la existencia de una partición de unidad subordinada a cualquier cubierta abierta. Dependiendo de la categoría a la que pertenezca el espacio, también puede ser una condición suficiente. La construcción utiliza suavizantes (funciones de choque), que existen en variedades continuas y uniformes, pero no en variedades analíticas. Así, para una cubierta abierta de una multiplicidad analítica, generalmente no existe una partición analítica de unidad subordinada a esa cubierta abierta. Ver continuación analítica.

Si ${displaystyle R.$ y ${displaystyle T}$ son particiones de unidad para los espacios ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$, respectivamente, entonces el conjunto de todos los pares ${displaystyle {rho otimes tau: rho in R, tau in T}$ es una partición de unidad para el espacio del producto cartesiano ${displaystyle Xtimes Y}$. El producto tensor de las funciones actúa como ${displaystyle (rho otimes tau)(x,y)=rho (x)tau (y). }$

Ejemplo

Podemos construir una partición de unidad en ${displaystyle S^{1}$ mirando un gráfico en el complemento de un punto ${displaystyle pin S^{1}$ envío ${displaystyle S^{1}-{p}$ a ${displaystyle mathbb {R}$ con centro ${displaystyle qin S^{1}$. Ahora, vamos. ${displaystyle Phi }$ ser una función de golpe en ${displaystyle mathbb {R}$ definidas por

$${displaystyle Phi (x)={begin{cases}exp left({frac {1}{x^{2}}}derecho)$$

${displaystyle 1-Phi }$

${displaystyle S^{1}$

${displaystyle Phi (p)=0}$

${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}$

${displaystyle S^{1}$

Definiciones de variantes

A veces se utiliza una definición menos restrictiva: la suma de todos los valores de función en un punto determinado sólo es necesaria para ser positiva, en lugar de 1, para cada punto en el espacio. Sin embargo, dadas esas funciones ${displaystyle{\fnfnfnMicrosoft\fnMicrosoft\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué?$ se puede obtener una partición de unidad en el sentido estricto dividiendo por la suma; la partición se convierte ${displaystyle {sigma ^{-1}psi ¿Qué?$ Donde ${textstyle sigma (x):=sum _{i=1}{infty }psi _{i}(x)}$, que está bien definido ya que en cada punto sólo un número finito de términos son no cero. Aún más, algunos autores abandonan el requisito de que los soportes sean localmente finitos, requiriendo sólo que ${textstyle sum _{i=1}{infty }psi _{i}(x)se hizoinfty }$ para todos ${displaystyle x}$.

Aplicaciones

Se puede usar una partición de unidad para definir la integral (con respecto a una forma de volumen) de una función definida sobre una variedad: primero se define la integral de una función cuyo soporte está contenido en un solo parche de coordenadas de la variedad; luego se usa una partición de la unidad para definir la integral de una función arbitraria; finalmente se muestra que la definición es independiente de la partición de unidad elegida.

Se puede usar una partición de la unidad para mostrar la existencia de una métrica riemanniana en una variedad arbitraria.

El método del descenso más pronunciado emplea una partición de la unidad para construir asintóticas de integrales.

El filtro Linkwitz-Riley es un ejemplo de implementación práctica de la partición de la unidad para separar la señal de entrada en dos señales de salida que contienen solo componentes de alta o baja frecuencia.

Los polinomios de Bernstein de un grado fijo m son una familia de m+1 polinomios linealmente independientes que son una partición de unidad para el intervalo de unidad ${displaystyle [0,1]}$.

Las particiones de unidad se utilizan para establecer aproximaciones uniformes globales para funciones de Sobolev en dominios acotados.