Parte fraccional

El parte fraccional o decimal part de un número real no negativo ${displaystyle x}$ es el exceso más allá de la parte entero de ese número. Este último se define como el entero más grande no mayor que el x, llamado planta baja de x o ${displaystyle lfloor xrfloor }$. Entonces, la parte fraccional se puede formular como una diferencia:

${displaystyle operatorname {frac} (x)=x-lfloor xrfloor;x confianza0}$.

Para un número positivo escrito en un sistema de numeración posicional convencional (como binario o decimal), su parte fraccionaria corresponde a los dígitos que aparecen después del punto de base. El resultado es un número real en el intervalo medio abierto [0, 1).

Para números negativos

Sin embargo, en caso de números negativos, existen varias formas conflictivas de extender la función de la parte fraccional a ellos: O se define de la misma manera que para números positivos, es decir, por ${displaystyle operatorname {frac} (x)=x-lfloor xrfloor }$ (Graham, Knuth & Patashnik 1992), o como parte del número a la derecha del punto del ráx ${displaystyle operatorname {frac} (x)= sufrimientox...$ (Daintith 2004), o por la función extraña:

${displaystyle operatorname {frac} (x)={begin{cases}x-lfloor xrfloor &xgeq 0x-lceil xrceil & x}}}}$

con ${displaystyle lceil xrceil }$ como el más pequeño entero no menos que x, también llamado el techo de x. Por consiguiente, podemos obtener, por ejemplo, tres valores diferentes para la parte fraccional de uno solo x: que sea −1.3, su parte fraccional será 0,7 según la primera definición, 0,3 según la segunda definición, y −0.3 de acuerdo a la tercera definición, cuyo resultado también se puede obtener de manera directa

${displaystyle operatorname {frac} (x)=x-lfloor TENX VENDIDOrfloor cdot operatorname {sgn}(x)}$.

El ${displaystyle x-lfloor xrfloor }$ y las definiciones de "función fidedigna" permiten la descomposición única de cualquier número real x a la suma de sus partes enteros y fraccionales, donde "parte inferior" se refiere ${displaystyle lfloor xrfloor }$ o ${displaystyle lfloor tenciónx eternarfloor cdot operatorname {sgn}(x)}$ respectivamente. Estas dos definiciones de función fraccional-parte también proporcionan idempotencia.

La parte fraccionaria definida mediante la diferencia de ⌊⌋ generalmente se indica entre llaves:

${displaystyle {x}:=x-lfloor xrfloor.}$

Relación con fracciones continuas

Cada número real puede representarse esencialmente de forma única como una fracción continua, es decir, como la suma de su parte entera y el recíproco de su parte fraccionaria, que se escribe como la suma de su parte entera y la recíproco de su parte fraccionaria, y así sucesivamente.