Paridad de cero

En matemáticas, el cero es un número par. En otras palabras, su paridad (la cualidad de un entero de ser par o impar) es par. Esto se puede verificar fácilmente con base en la definición de "par": el cero es un múltiplo entero de 2, específicamente 0 × 2. Como resultado, el cero comparte todas las propiedades que caracterizan a los números pares: por ejemplo, el 0 está junto a ambos lados de los números impares, cualquier entero decimal tiene la misma paridad que su último dígito; por lo tanto, como 10 es par, el 0 será par, y si y es par, entonces y + x tiene la misma paridad que x; de hecho, 0 + x y x siempre tienen la misma paridad.El cero también se ajusta a los patrones formados por otros números pares. Las reglas de paridad de la aritmética, como par − par = par, requieren que el cero sea par. El cero es el elemento identidad aditivo del grupo de los enteros pares y el caso de partida a partir del cual se definen recursivamente otros números naturales pares. Las aplicaciones de esta recursión, desde la teoría de grafos hasta la geometría computacional, se basan en que el cero es par. El cero no solo es divisible por 2, sino también por cualquier potencia de 2, lo cual es relevante para el sistema de numeración binario utilizado por las computadoras. En este sentido, el cero es el número "más par" de todos.Entre el público general, la paridad del cero puede ser fuente de confusión. En experimentos de tiempo de reacción, la mayoría de las personas tardan más en identificar el 0 como par que el 2, el 4, el 6 o el 8. Algunos profesores —y algunos alumnos de matemáticas— creen que el cero es impar, o par e impar, o ninguno de los dos. Investigadores en educación matemática proponen que estas ideas erróneas pueden convertirse en oportunidades de aprendizaje. Estudiar igualdades como 0 × 2 = 0 puede resolver las dudas de los estudiantes sobre cómo llamar al 0 un número y usarlo en aritmética. Los debates en clase pueden ayudar a los estudiantes a apreciar los principios básicos del razonamiento matemático, como la importancia de las definiciones. Evaluar la paridad de este número excepcional es un ejemplo temprano de un tema omnipresente en matemáticas: la abstracción de un concepto familiar a un entorno desconocido.La definición estándar de "número par" puede usarse para demostrar directamente que cero es par. Un número se llama "par" si es un múltiplo entero de 2. Por ejemplo, 10 es par porque es igual a 5 × 2. De la misma manera, cero es un múltiplo entero de 2, es decir, 0 × 2, por lo que cero es par.

También es posible explicar por qué el cero es par sin recurrir a definiciones formales. Las siguientes explicaciones dan sentido a la idea de que el cero es par en términos de conceptos numéricos fundamentales. A partir de esta base, se puede justificar la propia definición y su aplicabilidad al cero.

Dado un conjunto de objetos, se usa un número para describir cuántos hay en el conjunto. Cero es el recuento de ningún objeto; en términos más formales, es el número de objetos en el conjunto vacío. El concepto de paridad se utiliza para formar grupos de dos objetos. Si los objetos de un conjunto se pueden separar en grupos de dos, sin que sobre ninguno, entonces el número de objetos es par. Si sobresale un objeto, entonces el número de objetos es impar. El conjunto vacío contiene cero grupos de dos, y no sobresale ningún objeto de esta agrupación, por lo que cero es par.Estas ideas se pueden ilustrar dibujando objetos en pares. Es difícil representar grupos de dos sin objetos ni enfatizar la inexistencia de un objeto sobrante, por lo que resulta útil dibujar otras agrupaciones y compararlas con cero. Por ejemplo, en el grupo de cinco objetos, hay dos pares. Más importante aún, hay un objeto sobrante, por lo que 5 es impar. En el grupo de cuatro objetos, no hay ningún objeto sobrante, por lo que 4 es par. En el grupo de un solo objeto, no hay pares y hay un objeto sobrante, por lo que 1 es impar. En el grupo de cero objetos, no hay ningún objeto sobrante, por lo que 0 es par.Existe otra definición concreta de uniformidad: si los objetos de un conjunto pueden clasificarse en dos grupos de igual tamaño, entonces el número de objetos es par. Esta definición es equivalente a la primera. Nuevamente, cero es par porque el conjunto vacío puede dividirse en dos grupos de cero elementos cada uno.Los números también pueden visualizarse como puntos en una recta numérica. Al distinguir entre números pares e impares, su patrón se hace evidente, especialmente si se incluyen números negativos:

Los números pares e impares se alternan. A partir de cualquier número par, al contar de dos en dos, se llega a los demás números pares, y no hay razón para saltarse el cero.Con la introducción de la multiplicación, la paridad puede abordarse de forma más formal mediante expresiones aritméticas. Todo entero tiene la forma (2 × ▢) + 0 o (2 × ▢) + 1; los primeros son pares y los segundos impares. Por ejemplo, 1 es impar porque 1 = (2 × 0) + 1 y 0 es par porque 0 = (2 × 0) + 0. Al crear una tabla con estos datos, se refuerza la imagen de la recta numérica anterior.

La definición precisa de un término matemático, como "par", que significa "múltiplo entero de dos", es, en última instancia, una convención. A diferencia de "par", algunos términos matemáticos se construyen a propósito para excluir casos triviales o degenerados. Los números primos son un ejemplo famoso. Antes del siglo XX, las definiciones de primalidad eran inconsistentes, y matemáticos importantes como Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley y Kronecker escribieron que el 1 era primo. La definición moderna de "número primo" es "entero positivo con exactamente 2 factores", por lo que el 1 no es primo. Esta definición puede racionalizarse observando que se ajusta mejor a los teoremas matemáticos que se refieren a los primos. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética es más fácil de enunciar cuando el 1 no se considera primo.Sería posible redefinir de forma similar el término «par» de forma que ya no incluyera el cero. Sin embargo, en este caso, la nueva definición dificultaría el enunciado de teoremas relativos a los números pares. El efecto ya se puede observar en las reglas algebraicas que rigen los números pares e impares. Las reglas más relevantes se refieren a la suma, la resta y la multiplicación:

incluso ± hasta =

extraño ± raro = incluso

incluso × entero = incluso

Al insertar los valores apropiados en el lado izquierdo de estas reglas, se puede obtener un 0 en el lado derecho:

2 - 2 = 0

−3 + 3 = 0

4 × 0 = 0

Por lo tanto, las reglas anteriores serían incorrectas si el cero no fuera par. En el mejor de los casos, tendrían que modificarse. Por ejemplo, una guía de estudio para un examen afirma que los números pares se caracterizan como múltiplos enteros de dos, pero el cero no es ni par ni impar. Por consiguiente, las reglas de la guía para números pares e impares contienen excepciones:

incluso ± hasta = (o cero)

extraño ± raro = incluso (o cero)

incluso × nonzero entero = incluso

Hacer una excepción para el cero en la definición de paridad obliga a hacer tales excepciones en las reglas para los números pares. Desde otra perspectiva, tomar las reglas que cumplen los números pares positivos y exigir que se mantengan para los enteros obliga a la definición habitual y a la paridad del cero.Innumerables resultados en teoría de números invocan el teorema fundamental de la aritmética y las propiedades algebraicas de los números pares, por lo que las decisiones anteriores tienen consecuencias de gran alcance. Por ejemplo, el hecho de que los números positivos tengan factorizaciones únicas significa que se puede determinar si un número tiene un número par o impar de factores primos distintos. Dado que 1 no es primo ni tiene factores primos, es un producto de 0 primos distintos; como 0 es un número par, 1 tiene un número par de factores primos distintos. Esto implica que la función de Möbius toma el valor μ(1) = 1, necesario para que sea una función multiplicativa y para que la fórmula de inversión de Möbius funcione.

Un número n es impar si existe un entero k tal que n = 2k + 1. Una forma de demostrar que cero no es impar es por contradicción: si 0 = 2k + 1, entonces k = −1/2, que no es un entero. Dado que cero no es impar, si se demuestra que un número desconocido es impar, entonces no puede ser cero. Esta observación, aparentemente trivial, puede proporcionar una demostración conveniente y reveladora de por qué un número impar es distinto de cero.

Un resultado clásico de la teoría de grafos establece que un grafo de orden impar (con un número impar de vértices) siempre tiene al menos un vértice de grado par. (La propia afirmación requiere que cero sea par: el grafo vacío tiene un orden par y un vértice aislado tiene un grado par). Para demostrar esta afirmación, es más fácil demostrar un resultado más sólido: cualquier grafo de orden impar tiene un número impar de vértices de grado par. La aparición de este número impar se explica por un resultado aún más general, conocido como el lema del apretón de manos: cualquier grafo tiene un número par de vértices de grado impar. Finalmente, el número par de vértices impares se explica naturalmente por la fórmula de la suma de grados.El lema de Sperner es una aplicación más avanzada de la misma estrategia. El lema establece que cierto tipo de coloración en una triangulación de un símplex tiene un subsímplex que contiene todos los colores. En lugar de construir directamente dicho subsímplex, es más conveniente demostrar que existe un número impar de tales subsímplex mediante un argumento de inducción. Un enunciado más sólido del lema explica entonces por qué este número es impar: se descompone naturalmente como (n + 1) + n cuando se consideran las dos posibles orientaciones de un símplex.

El hecho de que el cero sea par, junto con la alternancia de números pares e impares, es suficiente para determinar la paridad de cualquier otro número natural. Esta idea puede formalizarse en una definición recursiva del conjunto de números naturales pares:

• 0 es incluso.
• ()n + 1) es incluso si y sólo si n Ni siquiera.

Esta definición tiene la ventaja conceptual de basarse únicamente en los fundamentos mínimos de los números naturales: la existencia del 0 y de sus sucesores. Por lo tanto, resulta útil para sistemas de lógica computacional como LF y el demostrador del teorema de Isabelle. Con esta definición, la paridad del cero no es un teorema, sino un axioma. De hecho, «cero es un número par» puede interpretarse como uno de los axiomas de Peano, de los cuales los números naturales pares son un modelo. Una construcción similar extiende la definición de paridad a los números ordinales transfinitos: todo ordinal límite es par, incluido el cero, y los sucesores de los ordinales pares son impares.

La clásica prueba del punto en un polígono, proveniente de la geometría computacional, aplica las ideas anteriores. Para determinar si un punto se encuentra dentro de un polígono, se proyecta un rayo desde el infinito hasta el punto y se cuenta el número de veces que el rayo cruza la arista del polígono. El número de cruces es par si y solo si el punto está fuera del polígono. Este algoritmo funciona porque si el rayo nunca cruza el polígono, entonces su número de cruces es cero, que es par, y el punto está fuera. Cada vez que el rayo cruza el polígono, el número de cruces alterna entre par e impar, y el punto en su extremo alterna entre exterior e interior.

En teoría de grafos, un grafo bipartito es un grafo cuyos vértices se dividen en dos colores, de modo que los vértices vecinos tienen colores diferentes. Si un grafo conexo no tiene ciclos impares, se puede construir una bipartición eligiendo un vértice base v y coloreando cada vértice de negro o blanco, dependiendo de si su distancia a v es par o impar. Dado que la distancia entre v y él mismo es 0, y 0 es par, el vértice base se colorea de forma diferente a sus vecinos, que se encuentran a una distancia de 1.

En álgebra abstracta, los enteros pares forman diversas estructuras algebraicas que requieren la inclusión del cero. El hecho de que la identidad aditiva (cero) sea par, junto con la paridad de las sumas y los inversos aditivos de los números pares, y la asociatividad de la adición, significa que los enteros pares forman un grupo. Además, el grupo de enteros pares bajo la adición es un subgrupo del grupo de todos los enteros; este es un ejemplo elemental del concepto de subgrupo. La observación anterior de que la regla «par − par = par» obliga a que 0 sea par forma parte de un patrón general: cualquier subconjunto no vacío de un grupo aditivo cerrado bajo la resta debe ser un subgrupo y, en particular, debe contener la identidad.Dado que los enteros pares forman un subgrupo de los enteros, estos se dividen en clases laterales. Estas clases laterales pueden describirse como las clases de equivalencia de la siguiente relación de equivalencia: x ~ y si (x − y) es par. En este caso, la paridad del cero se manifiesta directamente como la reflexividad de la relación binaria ~. Solo hay dos clases laterales de este subgrupo (los números pares y los impares), por lo que su índice es 2.

Análogamente, el grupo alternado es un subgrupo de índice 2 en el grupo simétrico de n letras. Los elementos del grupo alternado, llamados permutaciones pares, son el producto de un número par de transposiciones. La función identidad, un producto vacío de ninguna transposición, es una permutación par, ya que el cero es par; es el elemento identidad del grupo.La regla «par × entero = par» significa que los números pares forman un ideal en el anillo de los enteros, y la relación de equivalencia anterior puede describirse como equivalencia módulo este ideal. En particular, los enteros pares son exactamente aquellos enteros k donde k ≡ 0 (mod 2). Esta formulación es útil para investigar los ceros enteros de los polinomios.

Orden 2-adic

En cierto sentido, algunos múltiplos de 2 son "más pares" que otros. Los múltiplos de 4 se llaman doblemente pares, ya que pueden dividirse entre 2 dos veces. El cero no solo es divisible entre 4, sino que tiene la propiedad única de ser divisible por cualquier potencia de 2, por lo que supera a todos los demás números en "paridad".Una consecuencia de este hecho es la ordenación invertida de bits de los tipos de datos enteros que utilizan algunos algoritmos informáticos, como la transformada rápida de Fourier de Cooley-Tukey. Esta ordenación tiene la propiedad de que cuanto más a la izquierda aparezca el primer 1 en la expansión binaria de un número, o cuantas más veces sea divisible por 2, más pronto aparecerá. La inversión de bits del cero sigue siendo cero; puede dividirse por 2 cualquier número de veces, y su expansión binaria no contiene ningún 1, por lo que siempre aparece primero.Aunque 0 es divisible por 2 más veces que cualquier otro número, no es sencillo cuantificar con exactitud cuántas veces lo es. Para cualquier entero distinto de cero n, se puede definir el orden 2-ádico de n como el número de veces que n es divisible por 2. Esta descripción no funciona para 0; independientemente de cuántas veces se divida por 2, siempre se puede volver a dividir por 2. En cambio, la convención habitual es establecer el orden 2 de 0 como infinito como un caso especial. Esta convención no es exclusiva del orden 2; es uno de los axiomas de una valoración aditiva en álgebra superior.Las potencias de dos (1, 2, 4, 8,...) forman una secuencia simple de números de orden 2 creciente. En los números 2-ádicos, estas secuencias convergen a cero.

Educación

El tema de la paridad del cero se suele tratar durante los dos o tres primeros años de educación primaria, a medida que se introduce y desarrolla el concepto de números pares e impares.

Conocimiento de los estudiantes

El gráfico de la derecha muestra las creencias de los niños sobre la paridad del cero, a medida que progresan del primer año (5-6 años) al sexto año (10-11 años) del sistema educativo inglés. Los datos provienen de Len Frobisher, quien realizó un par de encuestas a escolares ingleses. Frobisher se interesó en cómo el conocimiento de la paridad de un solo dígito se traduce en el conocimiento de la paridad de varios dígitos, y el cero ocupa un lugar destacado en los resultados.En una encuesta preliminar a casi 400 niños de siete años, el 45 % eligió par en lugar de impar al preguntarles sobre la paridad del cero. Una investigación posterior ofreció más opciones: ninguno, ambos y no sé. En esta ocasión, el número de niños del mismo rango de edad que identificaron el cero como par se redujo al 32 %. El éxito al decidir que el cero es par se dispara inicialmente y luego se estabiliza en torno al 50 % entre el 3.º y el 6.º curso. A modo de comparación, la tarea más sencilla, identificar la paridad de un solo dígito, se estabiliza en torno al 85 % de éxito.En las entrevistas, Frobisher examinó el razonamiento de los estudiantes. Un estudiante de quinto año decidió que el 0 era par porque figuraba en la tabla del 2. Un par de estudiantes de cuarto año se dieron cuenta de que el cero se puede dividir en partes iguales. Otro estudiante de cuarto año razonó: «El 1 es impar y si bajo, es par». Las entrevistas también revelaron los conceptos erróneos detrás de las respuestas incorrectas. Un estudiante de segundo año estaba «bastante convencido» de que el cero era impar, basándose en que «es el primer número que se cuenta». Un estudiante de cuarto año se refirió al 0 como «ninguno» y pensó que no era ni par ni impar, ya que «no es un número». En otro estudio, Annie Keith observó una clase de 15 alumnos de segundo grado que se convencían mutuamente de que el cero era un número par basándose en la alternancia par-impar y en la posibilidad de dividir un grupo de ceros en dos grupos iguales.Esther Levenson, Pessia Tsamir y Dina Tirosh realizaron investigaciones más exhaustivas al entrevistar a dos estudiantes de sexto grado en EE. UU. que obtenían un alto rendimiento en matemáticas. Un estudiante prefería las explicaciones deductivas de las afirmaciones matemáticas, mientras que el otro prefería ejemplos prácticos. Ambos estudiantes pensaron inicialmente que el 0 no era ni par ni impar, por diferentes razones. Levenson et al. demostraron cómo el razonamiento de los estudiantes reflejaba sus conceptos de cero y división.

Reclamaciones hechas por estudiantes
"Cero no es ni siquiera extraño."
"Cero podría ser incluso."
"Cero no es extraño."
"Cero tiene que ser uniforme."
"Cero no es un número."
"Zero siempre va a ser un número uniforme."
"Zero no siempre va a ser un número uniforme."
"Cero es incluso."
"Cero es especial."

Deborah Loewenberg Ball analizó las ideas de estudiantes estadounidenses de tercer grado sobre los números pares, impares y el cero, que acababan de discutir con un grupo de estudiantes de cuarto grado. Los estudiantes hablaron sobre la paridad del cero, las reglas para los números pares y cómo se hacen las matemáticas. Las afirmaciones sobre el cero adoptaron diversas formas, como se ve en la lista de la derecha. Ball y sus coautores argumentaron que el episodio demostró cómo los estudiantes pueden "hacer matemáticas en la escuela", en contraposición a la reducción habitual de la disciplina a la solución mecánica de ejercicios.Uno de los temas recurrentes en la literatura de investigación es la tensión entre las imágenes conceptuales de paridad que tienen los estudiantes y sus definiciones conceptuales. Los estudiantes de sexto grado de Levenson et al. definieron los números pares como múltiplos de 2 o números divisibles por 2, pero inicialmente no pudieron aplicar esta definición al cero, ya que no estaban seguros de cómo multiplicar o dividir cero por 2. El entrevistador finalmente los llevó a concluir que cero era par; los estudiantes tomaron diferentes caminos para llegar a esta conclusión, basándose en una combinación de imágenes, definiciones, explicaciones prácticas y explicaciones abstractas. En otro estudio, David Dickerson y Damien Pitman examinaron el uso de definiciones por parte de cinco estudiantes de matemáticas de grado avanzado. Descubrieron que los estudiantes eran en gran medida capaces de aplicar la definición de "par" al cero, pero aún no estaban convencidos de este razonamiento, ya que entraba en conflicto con sus imágenes conceptuales.

Conocimiento de los maestros

Investigadores de educación matemática de la Universidad de Michigan han incluido la pregunta de verdadero o falso "0 es un número par" en una base de datos de más de 250 preguntas diseñadas para medir el conocimiento del contenido del profesorado. Para ellos, la pregunta ejemplifica el "conocimiento común... que cualquier adulto con buena educación debería tener", y es "ideológicamente neutral", ya que la respuesta no varía entre las matemáticas tradicionales y las reformadas. En un estudio realizado entre 2000 y 2004 con 700 profesores de primaria en Estados Unidos, el rendimiento general en estas preguntas predijo significativamente mejoras en las puntuaciones de los estudiantes en las pruebas estandarizadas tras cursar las clases de los profesores. En un estudio más exhaustivo de 2008, los investigadores encontraron una escuela donde todos los profesores pensaban que el cero no era ni par ni impar, incluyendo a un profesor ejemplar en todos los demás aspectos. La idea errónea había sido difundida por un tutor de matemáticas en su centro.No se sabe con certeza cuántos profesores tienen ideas erróneas sobre el cero. Los estudios de Michigan no publicaron datos de preguntas individuales. Betty Lichtenberg, profesora asociada de educación matemática en la Universidad del Sur de Florida, en un estudio de 1972, informó que, cuando a un grupo de futuros profesores de primaria se les aplicó una prueba de verdadero o falso que incluía la pregunta «El cero es un número par», la encontraron una «pregunta difícil», ya que aproximadamente dos tercios respondieron «Falso».

Implications for instruction

Matemáticamente, demostrar que el cero es par es simplemente aplicar una definición, pero se necesita más explicación en el contexto educativo. Un problema se refiere a los fundamentos de la demostración; la definición de «par» como «múltiplo entero de 2» no siempre es apropiada. Un alumno de los primeros años de educación primaria puede no haber aprendido aún qué significa «entero» o «múltiplo», y mucho menos cómo multiplicar por 0. Además, establecer una definición de paridad para todos los números enteros puede parecer un atajo conceptual arbitrario si los únicos números pares investigados hasta ahora han sido positivos. Puede ser útil reconocer que, a medida que el concepto de número se extiende de los enteros positivos a cero y los enteros negativos, las propiedades numéricas como la paridad también se extienden de forma significativa.

Cognición numérica

Los adultos que creen que el cero es par pueden, sin embargo, no estar familiarizados con la idea de que es par, lo suficiente como para ralentizarlos considerablemente en un experimento de tiempo de reacción. Stanislas Dehaene, pionero en el campo de la cognición numérica, dirigió una serie de experimentos similares a principios de la década de 1990. Se muestra un número al sujeto en un monitor, y una computadora registra el tiempo que tarda en pulsar uno de dos botones para identificar el número como par o impar. Los resultados mostraron que el 0 era más lento de procesar que otros números pares. Algunas variantes del experimento encontraron retrasos de hasta 60 milisegundos, o aproximadamente el 10 % del tiempo de reacción promedio: una diferencia pequeña, pero significativa.Los experimentos de Dehaene no se diseñaron específicamente para investigar el 0, sino para comparar modelos competitivos sobre cómo se procesa y extrae la información de paridad. El modelo más específico, la hipótesis del cálculo mental, sugiere que las reacciones al 0 deberían ser rápidas; el 0 es un número pequeño, y es fácil calcular 0 × 2 = 0. (Se sabe que los sujetos calculan y nombran el resultado de la multiplicación por cero más rápido que la multiplicación de números distintos de cero, aunque son más lentos para verificar resultados propuestos como 2 × 0 = 0). Los resultados de los experimentos sugirieron que algo muy diferente estaba sucediendo: la información de paridad aparentemente se recordaba de la memoria junto con un conjunto de propiedades relacionadas, como ser primo o una potencia de dos. Tanto la secuencia de potencias de dos como la secuencia de números pares positivos 2, 4, 6, 8,... son categorías mentales bien diferenciadas cuyos miembros son prototípicamente pares. El cero no pertenece a ninguna de las listas, de ahí las respuestas más lentas.Experimentos repetidos han demostrado un retraso en el cero en sujetos de diversas edades y orígenes nacionales y lingüísticos, al ser confrontados con nombres de números en forma numérica, deletreados y escritos en espejo. El grupo de Dehaene sí encontró un factor diferenciador: la pericia matemática. En uno de sus experimentos, los estudiantes de la Escuela Normal Superior se dividieron en dos grupos: aquellos de estudios literarios y aquellos de matemáticas, física o biología. El retraso en el cero se observó "esencialmente en el grupo [literario]", y de hecho, "antes del experimento, algunos sujetos L no estaban seguros de si el cero era par o impar y se les tuvo que recordar la definición matemática".Esta fuerte dependencia de la familiaridad vuelve a socavar la hipótesis del cálculo mental. El efecto también sugiere que es inapropiado incluir el cero en experimentos donde se comparan números pares e impares como grupo. Como lo expresa un estudio: «La mayoría de los investigadores parecen coincidir en que el cero no es un número par típico y no debería investigarse como parte de la recta numérica mental».

Contextos cotidianos

Algunos contextos donde aparece la paridad del cero son puramente retóricos. El lingüista Joseph Grimes reflexiona que preguntar "¿Es el cero un número par?" a parejas casadas es una buena manera de lograr su desacuerdo. Quienes piensan que el cero no es ni par ni impar pueden usar la paridad del cero como prueba de que toda regla tiene un contraejemplo, o como ejemplo de una pregunta capciosa.Alrededor del año 2000, los medios de comunicación notaron un par de hitos inusuales: el 19/11/1999 fue la última fecha del calendario compuesta exclusivamente por dígitos impares que ocurriría durante mucho tiempo, y el 02/02/2000 fue la primera fecha compuesta exclusivamente por dígitos pares en mucho tiempo. Dado que estos resultados utilizan el 0 como par, algunos lectores discreparon con la idea.En los exámenes estandarizados, si una pregunta indaga sobre el comportamiento de los números pares, puede ser necesario tener en cuenta que el cero es par. Las publicaciones oficiales de los exámenes GMAT y GRE indican que el cero es par.La paridad del cero es relevante para el racionamiento de días pares e impares, en el que los automóviles pueden circular o comprar gasolina en días alternos, según la paridad del último dígito de sus matrículas. La mitad de los números en un rango dado terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la otra mitad en 1, 3, 5, 7, 9, por lo que tiene sentido incluir el 0 con los demás números pares. Sin embargo, en 1977, un sistema de racionamiento en París generó confusión: en un día solo impar, la policía evitó multar a los conductores cuyas matrículas terminaran en 0, porque desconocía si el 0 era par. Para evitar esta confusión, la legislación pertinente a veces estipula que el cero es par; leyes similares se han aprobado en Nueva Gales del Sur y Maryland.En los buques de la Armada de los EE. UU., los compartimentos pares se encuentran a babor, pero el cero se reserva para los compartimentos que intersecan la línea central. Es decir, los números se leen 6-4-2-0-1-3-5 de babor a estribor.En la ruleta, el número 0 no cuenta como par ni impar, lo que le da al casino una ventaja en estas apuestas. De igual manera, la paridad del cero puede afectar las ganancias en las apuestas paralelas cuando el resultado depende de si un número aleatorio es par o impar y resulta ser cero.El juego de pares e impares también se ve afectado: si ambos jugadores no tienen dedos, el número total de dedos es cero, por lo que el jugador par gana. Un manual para profesores sugiere jugar a este juego para introducir a los niños al concepto de que 0 es divisible entre 2.

Referencias

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3. ^ Ball, Lewis & Támesis (2008, p. 15) discutir este desafío para el maestro de primaria, que quiere dar razones matemáticas para los hechos matemáticos, pero cuyos estudiantes no utilizan la misma definición, ni lo entendería si se introdujo.
4. ^ Comparar Lichtenberg (1972, pág. 535) Fig. 1
5. ^ Lichtenberg 1972, págs. 535 a 536 "...números responden a la pregunta ¿Cuántos? para el conjunto de objetos... cero es la propiedad número del conjunto vacío... Si los elementos de cada conjunto están marcados en grupos de dos... entonces el número de ese conjunto es un número uniforme".
6. ^ Lichtenberg 1972, págs. 535 a 536 "Los grupos zero de dos estrellas están rodeados. No quedan estrellas. Por lo tanto, cero es un número uniforme".
7. ^ Dickerson " Pitman 2012, pág. 191.
8. ^ Lichtenberg 1972, pág. 537; compare su Fig. 3. "Si los números son identificados de alguna manera especial... no hay ninguna razón para omitir cero del patrón."
9. ^ Lichtenberg 1972, págs. 537 a 538 "En un nivel más avanzado ... números expresados como (2 × ▢) + 0 son números... cero encaja bien en este patrón."
10. ^ Caldwell " Xiong 2012, págs. 5 a 6.
11. ^ Gowers 2002, pág. 118 "La exclusión aparentemente arbitraria de 1 de la definición de una primera ... no expresa un hecho profundo acerca de los números: simplemente resulta ser una convención útil, adoptada por lo que sólo hay una manera de factorizar cualquier número dado en los primeros." Para una discusión más detallada, vea Caldwell & Xiong (2012).
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39. ^ Frobisher 1999, pp. 40–42, 47; estos resultados son del estudio de febrero de 1999, incluyendo 481 niños, de tres escuelas en diversos niveles de logro.
40. ^ Frobisher 1999, p. 41, atribuido a "Jonathan"
41. ^ Frobisher 1999, p. 41, atribuido a "José"
42. ^ Frobisher 1999, p. 41, atribuido a "Richard"
43. ^ Keith 2006, págs. 35 a 68 "Había poco desacuerdo sobre la idea de cero siendo un número uniforme. Los estudiantes convencieron a los pocos que no estaban seguros con dos argumentos. El primer argumento fue que los números van en un patrón...odd, even, odd, even, odd, even... and since two is even and one is odd then the number before one, that is not a fraction, would be cero. Así que cero tendría que ser uniforme. El segundo argumento fue que si una persona tiene cero cosas y las ponen en dos grupos iguales, entonces habría cero en cada grupo. Los dos grupos tendrían la misma cantidad, cero"
44. ^ Levenson, Tsamir " Tirosh 2007, págs. 83 a 95
45. ^ a b Ball, Lewis & Támesis 2008, p. 27, Figura 1.5 "Reclamaciones matemáticas sobre cero".
46. ^ Ball, Lewis " Thames 2008, pág. 16.
47. ^ Levenson, Tsamir " Tirosh 2007; Dickerson " Pitman 2012
48. ^ Dickerson & Pitman 2012.
49. ^ Ball, Hill & Bass 2005, págs. 14 a 16
50. ^ Hill et al. 2008, pp. 446-447.
51. ^ Lichtenberg 1972, pág. 535
52. ^ Ball, Lewis " Thames 2008, pág. 15. Vea también la nota clave de Ball para discutir más a fondo las definiciones apropiadas.
53. ^ As concluded by Levenson, Tsamir " Tirosh (2007, pág. 93), referencing Freudenthal (1983, pág. 460)
54. ^ Nuerk, Iversen " Willmes (2004, pág. 851): "También se puede ver que cero difiere fuertemente de todos los otros números, independientemente de si se responde con la izquierda o la derecha. (Vea la línea que separa cero de los otros números.)"
55. ^ Ver datos en todo Dehaene, Bossini & Giraux (1993), y resumen de Nuerk, Iversen & Willmes (2004, pág. 837).
56. ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, págs. 374 a 376
57. ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, págs. 376 a 377
58. ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993, pág. 376 "En algún sentido intuitivo, la noción de paridad es familiar sólo para números mayores de 2. De hecho, antes del experimento, algunos sujetos L no estaban seguros de si 0 era extraño o incluso y tenía que ser recordado de la definición matemática. La evidencia, en resumen, sugiere que en lugar de ser calculado sobre la mosca utilizando un criterio de divisibilidad por 2, la información de paridad se recupera de la memoria junto con una serie de otras propiedades semánticas... Si se accede a una memoria semántica en juicios de paridad, entonces se deben encontrar diferencias interindividuales dependiendo de la familiaridad de los sujetos con conceptos de número."
59. ^ Nuerk, Iversen " Willmes 2004, págs. 838, 860 a 861
60. ^ Grimes 1975, p. 156 "...uno puede plantear las siguientes preguntas a las parejas casadas de su conocido: (1) ¿Es cero un número uniforme?... Muchas parejas discrepan..."
61. ^ Wilden " Hammer 1987, pág. 104
62. ^ Snow 2001; Morgan 2001
63. ^ Steinberg 1999; Siegel 1999; Stingl 2006
64. ^ Sones & Sones 2002 "Se sigue que el cero es incluso, y que el 2/20/2000 se rompe bien el rompecabezas. Sin embargo, siempre es sorprendente cuánta gente se molesta llamando a cero incluso..."; Columna 8 lectores 2006a "'...según matemáticos, el número cero, junto con números negativos y fracciones, no es ni siquiera ni extraño", escribe Etan..."; Columna 8 lectores 2006b "Estoy de acuerdo en que cero es incluso, pero es profesor Bunder sabio para 'probar' al afirmar que 0 = 2 x ¿0? Por esa lógica (de un doctorado en lógica matemática, no menos), como 0 = 1 x 0, también es extraño!' El prof disputará esto y, lógicamente, tiene una base sólida para hacerlo, pero podemos estar usando este tema un poco delgado..."
65. ^ Kaplan Staff 2004, págs. 227
66. ^ Graduate Management Admission Council 2005, pp. 108, 295–297; Educational Testing Service 2009, pág. 1
67. ^ Arsham 2002; La cita se atribuye a la Heute transmisión del 1 de octubre de 1977. La cuenta de Arsham es repetida por Crumpacker (2007, p. 165).
68. ^ Sones & Sones 2002 "El matemático estatal George Andrews, que recuerda un tiempo de racionamiento de gas en Australia... Entonces alguien en el Parlamento de Nueva Gales del Sur afirmó que esto significaba que las placas que terminan en cero nunca podrían conseguir gas, porque 'cero no es ni extraño ni siquiera. Así que el Parlamento de Nueva Gales del Sur dictaminó que para fines de racionamiento de gas, cero es un número uniforme!'"
69. ^ Una ley de Maryland de 1980 especifica, "(a) En fechas de calendario incluso numeradas la gasolina sólo será comprada por operadores de vehículos que llevan placas de registro personalizadas sin números y placas de registro con el último dígito finalizando en un número uniforme. Esto no incluirá placas de operador de radio de jamón. Cero es un número uniforme; (b) En fechas de calendario numeradas extrañas..." Partial quote taken from Department of Legislative Reference (1974), Laws of the State of Maryland, Volumen 2, págs. 3236, recuperado 2013-06-02
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Más lectura

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Enlaces externos

• Medios relacionados con la Paridad de cero en Wikimedia Commons
• - Numéfilo, video con James Grime, Universidad de Nottingham