Parámetro de ubicación

En las estadísticas, a parámetro de ubicación de una distribución de probabilidad es un parámetro de escalar o valor vectorial ${displaystyle x_{0}$, que determina la "ubicación" o el cambio de la distribución. En la literatura de estimación del parámetro de ubicación, las distribuciones de probabilidad con dicho parámetro se encuentran formalmente definidas en una de las siguientes formas equivalentes:

• ya sea teniendo una función de densidad de probabilidad o función de masa de probabilidad ${displaystyle f(x-x_{0}}$; o
• tener una función de distribución acumulativa ${displaystyle F(x-x_{0}}$; o
• siendo definido como resultado de la transformación variable aleatoria ${displaystyle x_{0}+X}$, donde ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria con una cierta, posiblemente desconocida, distribución (Ver también #Additive_noise).

Un ejemplo directo de un parámetro de ubicación es el parámetro ${displaystyle mu }$ de la distribución normal. Para ver esto, note que la función de densidad de probabilidad ${displaystyle f(x habitmusigma)}$ de una distribución normal ${displaystyle {mathcal {N}(musigma ^{2}}$ puede tener el parámetro ${displaystyle mu }$ y ser escrito como:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}{sigma {sqrt {2fnK} {fnMicroc {2}}left({frac {y}{sigma}}right)}}}}}}}}}}} {fnK}}}}}}} {fnK}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}$

cumpliendo así la primera de las definiciones dadas anteriormente.

La definición anterior indica, en el caso unidimensional, que si ${displaystyle x_{0}$ se aumenta, la densidad de probabilidad o la función de masa cambia rígidamente a la derecha, manteniendo su forma exacta.

Un parámetro de ubicación también se puede encontrar en familias que tienen más de un parámetro, como las familias de escala de ubicación. En este caso, la función de densidad de probabilidad o función de masa de probabilidad será un caso especial de la forma más general

${displaystyle f_{x_{0},theta }(x)=f_{theta }(x-x_{0})}$

Donde ${displaystyle x_{0}$ es el parámetro de ubicación, Silencio representa parámetros adicionales y ${displaystyle f_{theta}$ es una función parametrizada en los parámetros adicionales.

Ruido aditivo

Una forma alternativa de pensar en las familias de localización es a través del concepto de ruido aditivo. Si ${displaystyle x_{0}$ es una constante W es ruido aleatorio con densidad de probabilidad ${displaystyle f_{W}(w),}$ entonces ${displaystyle X=x_{0}+W}$ tiene densidad de probabilidad ${displaystyle f_{x_{0}(x)=f_{W}(x-x_{0}}$ por lo tanto, su distribución forma parte de una familia local.

Pruebas

Para el caso univariado continuo, considere una función de densidad de probabilidad ${displaystyle f(x habittheta),xin [a,b]subset mathbb {R}$, donde ${displaystyle theta }$ es un vector de parámetros. Un parámetro de ubicación ${displaystyle x_{0}$ se puede añadir definiendo:

${displaystyle g(x habitthetax_{0})=f(x-x_{0}Sobrevivirtheta),;xin [a-x_{0},b-x_{0}}$

puede probarse que ${displaystyle g}$ es una p.d.f. verificando si respeta las dos condiciones ${displaystyle g(x habitthetax_{0})geq 0}$ y ${displaystyle int _{-infty }{infty }g(x 'thetax_{0}dx=1}$. ${displaystyle g}$ se integra a 1 porque:

${displaystyle int _{-infty }{infty }g(x soportathetax_{0}dx=int - ¿Por qué? ¿Por qué?$

ahora haciendo el cambio variable ${displaystyle u=x-x_{0}$ y la actualización del intervalo de integración en consecuencia produce:

${displaystyle int _{a} {b}f(u sometidatheta)du=1}$

porque ${displaystyle f(x habittheta)}$ es una p.d.f. por hipótesis. ${displaystyle g(x habitthetax_{0})geq 0}$ A continuación ${displaystyle g}$ compartir la misma imagen ${displaystyle f}$, que es un p.d.f. por lo que su imagen está contenida en ${displaystyle [0,1]}$.