Paradoja gemela

En física, la paradoja de los gemelos es un experimento mental en relatividad especial que involucra a gemelos idénticos, uno de los cuales hace un viaje al espacio en un cohete de alta velocidad y regresa a casa para encontrar que el gemelo que permanecido en la Tierra ha envejecido más. Este resultado parece desconcertante porque cada gemelo ve al otro gemelo moviéndose, y así, como consecuencia de una aplicación incorrecta e ingenua de la dilatación del tiempo y el principio de la relatividad, cada uno debería encontrar paradójicamente que el otro ha envejecido menos. Sin embargo, este escenario se puede resolver dentro del marco estándar de la relatividad especial: la trayectoria del gemelo viajero involucra dos marcos inerciales diferentes, uno para el viaje de ida y otro para el viaje de regreso. Otra forma de verlo es darse cuenta de que el gemelo que viaja experimenta una aceleración, lo que lo convierte en un observador no inercial. En ambas vistas no hay simetría entre los caminos del espacio-tiempo de los gemelos. Por lo tanto, la paradoja de los gemelos no es en realidad una paradoja en el sentido de una contradicción lógica.

A partir de Paul Langevin en 1911, ha habido varias explicaciones de esta paradoja. Estas explicaciones "pueden agruparse en aquellas que se enfocan en el efecto de diferentes estándares de simultaneidad en diferentes marcos, y aquellas que designan la aceleración [experimentada por el gemelo viajero] como la razón principal". Max von Laue argumentó en 1913 que, dado que el gemelo viajero debe estar en dos marcos inerciales separados, uno de ida y otro de regreso, este cambio de marco es la razón de la diferencia de envejecimiento. Las explicaciones presentadas por Albert Einstein y Max Born invocaron la dilatación del tiempo gravitacional para explicar el envejecimiento como un efecto directo de la aceleración. Sin embargo, se ha demostrado que ni la relatividad general, ni siquiera la aceleración, son necesarias para explicar el efecto, ya que el efecto aún se aplica si dos astronautas se cruzan en el punto de giro y sincronizan sus relojes en ese punto. Dicho observador se puede considerar como un par de observadores, uno que se aleja del punto de partida y otro que viaja hacia él, pasando uno al lado del otro donde estaría el punto de retorno. En este momento, la lectura del reloj del primer observador se traslada al segundo, manteniendo ambos la velocidad constante, sumándose ambos tiempos de viaje al final de su recorrido.

Historia

En su famoso artículo sobre la relatividad especial de 1905, Albert Einstein dedujo que cuando dos relojes se juntaban y sincronizaban, y luego se alejaba uno y se volvía a traer, se encontraba que el reloj que había realizado el viaje iba retrasado. el reloj que se había quedado quieto. Einstein consideró que esto era una consecuencia natural de la relatividad especial, no una paradoja como algunos sugirieron, y en 1911 reafirmó y elaboró este resultado de la siguiente manera (con los comentarios del físico Robert Resnick siguiendo los de Einstein):

Einstein: Si colocamos un organismo vivo en una caja... uno podría arreglar que el organismo, después de cualquier vuelo arbitrario largo, podría ser devuelto a su lugar original en una condición apenas alterada, mientras que los organismos correspondientes que habían permanecido en sus posiciones originales ya habían pasado mucho tiempo desde que se dirigían a las nuevas generaciones. Para el organismo en movimiento, el largo tiempo del viaje fue un mero instante, siempre que el movimiento tuvo lugar con aproximadamente la velocidad de la luz.
Resnick: Si el organismo estacionario es un hombre y el viajero es su gemelo, entonces el viajero vuelve a casa para encontrar a su hermano gemelo mucho envejecido en comparación con él mismo. La paradoja se centra en la afirmación de que, en la relatividad, el gemelo podría considerar al otro como el viajero, en cuyo caso cada uno debe encontrar al otro más joven, una contradicción lógica. Esta afirmación supone que las situaciones de los gemelos son simétricas e intercambiables, una suposición que no es correcta. Además, se han realizado los experimentos accesibles y apoyan la predicción de Einstein.

En 1911, Paul Langevin dio un "ejemplo sorprendente" describiendo la historia de un viajero que hace un viaje con un factor de Lorentz de γ = 100 (99,995 % de la velocidad de la luz). El viajero permanece en un proyectil durante un año de su tiempo y luego cambia de dirección. A su regreso, el viajero se encontrará con que ha envejecido dos años, mientras que en la Tierra han pasado 200 años. Durante el viaje, tanto el viajero como la Tierra continúan enviándose señales a un ritmo constante, lo que sitúa la historia de Langevin entre las versiones de desplazamiento Doppler de la paradoja de los gemelos. Los efectos relativistas sobre las tasas de señal se utilizan para tener en cuenta las diferentes tasas de envejecimiento. La asimetría que ocurrió porque solo el viajero experimentó aceleración se usa para explicar por qué hay alguna diferencia, porque "cualquier cambio de velocidad o cualquier aceleración tiene un significado absoluto".

Max von Laue (1911, 1913) elaboró la explicación de Langevin. Utilizando el formalismo del espacio-tiempo de Hermann Minkowski, Laue pasó a demostrar que las líneas de mundo de los cuerpos que se mueven inercialmente maximizan el tiempo adecuado transcurrido entre dos eventos. También escribió que el envejecimiento asimétrico se explica por completo por el hecho de que el gemelo astronauta viaja en dos marcos separados, mientras que el gemelo terrestre permanece en un marco, y el tiempo de aceleración puede hacerse arbitrariamente pequeño en comparación con el tiempo de movimiento inercial.. Eventualmente, Lord Halsbury y otros eliminaron cualquier aceleración introduciendo el "tres hermanos" Acercarse. El gemelo viajero transfiere la lectura de su reloj a un tercero, viajando en la dirección opuesta. Otra forma de evitar los efectos de aceleración es el uso del efecto Doppler relativista (ver § Cómo se ve: el cambio Doppler relativista a continuación).

Ni Einstein ni Langevin consideraron que tales resultados fueran problemáticos: Einstein solo los llamó "peculiar" mientras que Langevin lo presentó como consecuencia de la aceleración absoluta. Ambos hombres argumentaron que, a partir de la diferencia de tiempo ilustrada por la historia de los gemelos, no se podía construir ninguna autocontradicción. En otras palabras, ni Einstein ni Langevin vieron la historia de los gemelos como un desafío a la autoconsistencia de la física relativista.

Ejemplo específico

Considere una nave espacial que viaja desde la Tierra al sistema estelar más cercano: una distancia d = 4 años luz de distancia, a una velocidad v = 0,8c (es decir, el 80 % de la velocidad de la luz).

Para simplificar los números, se supone que el barco alcanza la velocidad máxima en un tiempo insignificante después de la salida (aunque en realidad tardaría alrededor de 9 meses acelerando a 1 g para alcanzar la velocidad). De manera similar, al final del viaje de ida, se supone que el cambio de dirección necesario para iniciar el viaje de regreso ocurre en un tiempo despreciable. Esto también se puede modelar suponiendo que el barco ya está en movimiento al comienzo del experimento y que el evento de retorno se modela mediante una distribución delta de aceleración de Dirac.

Las partes observarán la situación de la siguiente manera:

Perspectiva de la Tierra

Las razones del control de la misión terrestre sobre el viaje de esta manera: el viaje de ida y vuelta tomará t = 2d/v = 10 años en el tiempo de la Tierrai.e. todo el mundo en la Tierra será 10 años mayor cuando el barco regrese). La cantidad de tiempo medida en los relojes del barco y el envejecimiento de los viajeros durante su viaje se reducirá por el factor α α =1− − v2/c2{displaystyle alpha =scriptstyle {1-v^{2}/c^{2}}}, el recíproco del factor Lorentz (dilatación de tiempo). En este caso α = 0,6 y los viajeros sólo han envejecido 0,6 × 10 = 6 años cuando regresen.

Viajeros' perspectiva

Los miembros de la tripulación del barco también calculan los detalles de su viaje desde su perspectiva. Saben que el sistema estelar distante y la Tierra se mueven en relación con la nave a una velocidad v durante el viaje. En su marco de reposo, la distancia entre la Tierra y el sistema estelar es α d = 0,6 × 4 = 2,4 años luz (longitud de contracción), para ambos los viajes de ida y vuelta. Cada mitad del viaje toma α d / v = 2.4 / 0.8 = 3 años, y el viaje de ida y vuelta toma el doble siempre (6 años). Sus cálculos muestran que llegarán a casa con 6 años de edad. Los viajeros' el cálculo final sobre su envejecimiento está totalmente de acuerdo con los cálculos de los que están en la Tierra, aunque viven el viaje de manera muy diferente a los que se quedan en casa.

Conclusión

No importa qué método utilicen para predecir las lecturas del reloj, todo el mundo estará de acuerdo con ellas. Si los gemelos nacen el día que zarpa el barco, y uno se va de viaje mientras el otro se queda en la Tierra, se volverán a encontrar cuando el viajero tenga 6 años y el que se queda en casa tenga 10 años.

Resolución de la paradoja en relatividad especial

El aspecto paradójico de los gemelos' La situación surge del hecho de que, en un momento dado, el reloj del gemelo viajero está atrasado en el sistema de inercia del gemelo terrestre, pero con base en el principio de relatividad, se podría argumentar igualmente que el reloj del gemelo terrestre el reloj va lento en el marco inercial del gemelo viajero. Una resolución propuesta se basa en el hecho de que el gemelo terrestre está en reposo en el mismo marco de inercia durante todo el viaje, mientras que el gemelo viajero no lo está: en la versión más simple del experimento mental, el gemelo viajero cambia en el punto medio del viaje. viaje de estar en reposo en un marco inercial que se mueve en una dirección (alejándose de la Tierra) a estar en reposo en un marco inercial que se mueve en la dirección opuesta (hacia la Tierra). En este enfoque, es crucial determinar qué observador cambia de marco y cuál no. Aunque ambos gemelos pueden afirmar legítimamente que están en reposo en su propio marco, solo el gemelo que viaja experimenta aceleración cuando se encienden los motores de la nave espacial. Esta aceleración, medible con un acelerómetro, hace que su sistema de reposo sea temporalmente no inercial. Esto revela una asimetría crucial entre los gemelos & # 39; Perspectivas: aunque podemos predecir la diferencia de envejecimiento desde ambas perspectivas, necesitamos usar métodos diferentes para obtener resultados correctos.

Papel de la aceleración

Aunque algunas soluciones atribuyen un papel crucial a la aceleración del gemelo viajero en el momento de dar la vuelta, otras señalan que el efecto también surge si se imaginan dos viajeros separados, uno de ida y otro de vuelta, que pasan entre sí y sincronizar sus relojes en el punto correspondiente a "turnaround" de un solo viajero. En esta versión, la aceleración física del reloj viajero no juega un papel directo; "el problema es qué tan largas son las líneas de mundo, no qué tan dobladas". La longitud a la que se hace referencia aquí es la longitud invariante de Lorentz o "intervalo de tiempo adecuado" de una trayectoria que corresponde al tiempo transcurrido medido por un reloj que sigue esa trayectoria (consulte la Sección Diferencia en el tiempo transcurrido como resultado de las diferencias en las trayectorias del espacio-tiempo de los gemelos a continuación). En el espacio-tiempo de Minkowski, el gemelo viajero debe sentir una historia de aceleraciones diferente a la del gemelo terrestre, incluso si esto solo significa aceleraciones del mismo tamaño separadas por diferentes cantidades de tiempo, sin embargo, incluso este papel de la aceleración puede eliminarse en formulaciones de la paradoja de los gemelos en el espacio-tiempo curvo, donde los gemelos pueden caer libremente a lo largo de las geodésicas del espacio-tiempo entre encuentros".

Relatividad de la simultaneidad

Diagrama de Minkowski de la paradoja gemela. Hay una diferencia entre las trayectorias de los gemelos: la trayectoria de la nave está igualmente dividida entre dos marcos inerciales diferentes, mientras que el gemelo terrestre permanece en el mismo marco inercial.

Para entender momento a momento cómo se desarrolla la diferencia horaria entre los gemelos, hay que entender que en la relatividad especial no existe el concepto de presente absoluto. Para diferentes marcos inerciales, hay diferentes conjuntos de eventos que son simultáneos en ese marco. Esta relatividad de la simultaneidad significa que cambiar de un marco de inercia a otro requiere un ajuste en qué corte a través del espacio-tiempo cuenta como el 'presente'. En el diagrama de espacio-tiempo de la derecha, dibujado para el marco de referencia del gemelo basado en la Tierra, la línea del mundo de ese gemelo coincide con el eje vertical (su posición es constante en el espacio, moviéndose solo en el tiempo). En el primer tramo del viaje, el segundo gemelo se mueve hacia la derecha (línea negra inclinada); y en el segundo tramo, de vuelta a la izquierda. Las líneas azules muestran los planos de simultaneidad del gemelo viajero durante la primera etapa del viaje; líneas rojas, durante el partido de vuelta. Justo antes de dar la vuelta, el gemelo viajero calcula la edad del gemelo terrestre midiendo el intervalo a lo largo del eje vertical desde el origen hasta la línea azul superior. Justo después de la vuelta, si vuelve a calcular, medirá el intervalo desde el origen hasta la línea roja inferior. En cierto sentido, durante el giro en U, el plano de simultaneidad salta del azul al rojo y barre muy rápidamente un gran segmento de la línea del mundo del gemelo con base en la Tierra. Cuando uno se transfiere del marco inercial saliente al marco inercial entrante, hay una discontinuidad de salto en la edad del gemelo basado en la Tierra (6,4 años en el ejemplo anterior).

Un enfoque no espacio-temporal

Como se mencionó anteriormente, un "ida y vuelta" Twin Paradox Adventure puede incorporar la transferencia de la lectura del reloj de un dispositivo "saliente" astronauta a un "entrante" astronauta, eliminando así por completo el efecto de la aceleración. Además, la aceleración física de los relojes no contribuye a los efectos cinemáticos de la relatividad especial. Más bien, en la relatividad especial, la diferencia de tiempo entre dos relojes reunidos se produce puramente por un movimiento de inercia uniforme, como se discutió en el artículo original de relatividad de 1905 de Einstein, así como en todas las derivaciones cinemáticas posteriores de las transformaciones de Lorentz.

Debido a que los diagramas de espacio-tiempo incorporan la sincronización de relojes de Einstein (con su metodología de entramado de relojes), habrá un salto necesario en la lectura de la hora del reloj de la Tierra realizada por un "astronauta que regresa repentinamente" quien hereda un "nuevo significado de simultaneidad" de acuerdo con una nueva sincronización de reloj dictada por la transferencia a un marco de inercia diferente, como se explica en Spacetime Physics por John A. Wheeler.

Si, en lugar de incorporar la sincronización del reloj de Einstein (red de relojes), el astronauta (saliente y entrante) y el grupo con base en la Tierra se actualizan regularmente entre sí sobre el estado de sus relojes mediante el envío de señales de radio (que viajan a la velocidad de la luz), entonces todas las partes notarán una acumulación incremental de asimetría en el cronometraje, comenzando en el "dar la vuelta" punto. Antes del 'dar la vuelta', cada parte considera que el reloj de la otra parte está registrando el tiempo de manera diferente al suyo, pero la diferencia observada es simétrica entre las dos partes. Después de 'dar la vuelta', las diferencias observadas no son simétricas y la asimetría crece gradualmente hasta que las dos partes se reencuentran. Al reunirse finalmente, esta asimetría se puede ver en la diferencia real que se muestra en los dos relojes reunidos.

La equivalencia del envejecimiento biológico y el cronometraje del reloj

Todos los procesos (químicos, biológicos, el funcionamiento de los aparatos de medición, la percepción humana que involucra el ojo y el cerebro, la comunicación de la fuerza) están limitados por la velocidad de la luz. Hay un reloj funcionando en todos los niveles, dependiendo de la velocidad de la luz y el retraso inherente incluso en el nivel atómico. El envejecimiento biológico, por lo tanto, no se diferencia en nada del cronometraje del reloj. Esto significa que el envejecimiento biológico se ralentizaría de la misma manera que un reloj.

Cómo se ve: el cambio Doppler relativista

En vista de la dependencia del marco de la simultaneidad de los eventos en diferentes lugares del espacio, algunos tratamientos prefieren un enfoque más fenomenológico, describiendo lo que los gemelos observarían si cada uno enviara una serie de pulsos de radio regulares, igualmente espaciados en el tiempo según al reloj del emisor. Esto es equivalente a preguntar, si cada gemelo se envió un video de ellos mismos, ¿qué ven en sus pantallas? O, si cada gemelo llevara siempre un reloj que indicara su edad, ¿qué hora vería cada uno en la imagen de su gemelo distante y su reloj?

Poco después de la partida, el gemelo que viaja ve al gemelo que se queda en casa sin demora. Al llegar, la imagen en la pantalla de la nave muestra al gemelo que se queda como estaba 1 año después del lanzamiento, porque la radio emitida desde la Tierra 1 año después del lanzamiento llega a la otra estrella 4 años después y se encuentra con la nave allí. Durante este tramo del viaje, el gemelo que viaja ve su propio reloj avanzar 3 años y el reloj en la pantalla avanzar 1 año, por lo que parece avanzar en 1⁄3 la tasa normal, solo 20 segundos de imagen por minuto de envío. Esto combina los efectos de la dilatación del tiempo debido al movimiento (por el factor ε=0.6, cinco años en la Tierra son 3 años en un barco) y el efecto del aumento del retraso en el tiempo de la luz (que crece de 0 a 4 años).

Por supuesto, la frecuencia observada de la transmisión también es 1⁄3 la frecuencia del transmisor (una reducción en la frecuencia; "desplazamiento al rojo"). Esto se llama el efecto Doppler relativista. La frecuencia de los pulsos de reloj (o de los frentes de onda) que se ven desde una fuente con frecuencia de reposo f_reposo es

fobs=frest()1− − v/c)/()1+v/c){displaystyle f_{mathrm {obs}=f_{mathrm {rest}{sqrt {left({1-v/c}right)/left({1+v/c}right)}}}}

cuando la fuente se aleja directamente. Esto es f_obs = 1⁄3f_resto para v/c = 0,8.

En cuanto al gemelo que se queda en casa, recibe una señal lenta del barco durante 9 años, con una frecuencia 1 ⁄3 la frecuencia del transmisor. Durante estos 9 años, el reloj del gemelo que viaja en la pantalla parece avanzar 3 años, por lo que ambos gemelos ven la imagen de su hermano envejeciendo a un ritmo único 1⁄3 su propia tarifa. Expresado de otra manera, ambos verían el reloj del otro correr en 1⁄3 su propia velocidad de reloj. Si excluyen del cálculo el hecho de que el retraso en el tiempo de luz de la transmisión aumenta a una velocidad de 0,8 segundos por segundo, ambos pueden determinar que el otro gemelo está envejeciendo más lentamente, a los 60 % índice.

Luego, el barco regresa a casa. El reloj del gemelo que se queda muestra "1 año después del lanzamiento" en la pantalla de la nave, y durante los 3 años del viaje de regreso aumenta hasta "10 años después del lanzamiento", por lo que el reloj en la pantalla parece estar avanzando 3 veces más rápido de lo habitual.

Cuando la fuente se mueve hacia el observador, la frecuencia observada es más alta ('desplazada hacia el azul') y viene dada por

fobs=frest()1+v/c)/()1− − v/c){displaystyle f_{mathrm {obs}=f_{mathrm {rest}{sqrt {left ({1+v/c}right)/left({1-v/c}}}}

Esto es f_obs = 3f_descanso para v/c = 0,8.

En cuanto a la pantalla en la Tierra, muestra que el viaje de regreso comenzó 9 años después del lanzamiento, y el reloj de viaje en la pantalla muestra que han pasado 3 años en el barco. Un año después, el barco regresa a casa y el reloj marca 6 años. Entonces, durante el viaje de regreso, ambos gemelos ven que el reloj de su hermano va 3 veces más rápido que el suyo. Descontando el hecho de que el tiempo de retraso de la luz disminuye 0,8 segundos cada segundo, cada gemelo calcula que el otro gemelo está envejeciendo al 60 % de su propia velocidad de envejecimiento.

Caminos de luz para las imágenes intercambiadas durante el viaje
Izquierda: Tierra a barco. Derecha: nave a la Tierra.
Líneas rojas indican que se reciben imágenes de baja frecuencia, líneas azules indican que se reciben imágenes de alta frecuencia

Los diagramas x–t (espacio-tiempo) de la izquierda muestran las rutas de las señales de luz que viajan entre la Tierra y la nave (primer diagrama) y entre la nave y la Tierra (2do diagrama). Estas señales llevan las imágenes de cada gemelo y su reloj de edad al otro gemelo. La línea negra vertical es el camino de la Tierra a través del espacio-tiempo y los otros dos lados del triángulo muestran el camino de la nave a través del espacio-tiempo (como en el diagrama de Minkowski arriba). En lo que concierne al emisor, los transmite a intervalos iguales (digamos, una vez por hora) de acuerdo con su propio reloj; pero según el reloj del gemelo que recibe estas señales, no se están recibiendo a intervalos iguales.

Después de que el barco haya alcanzado su velocidad de crucero de 0,8c, cada gemelo vería pasar 1 segundo en la imagen recibida del otro gemelo por cada 3 segundos de su propio tiempo. Es decir, cada uno vería la imagen del reloj del otro retrasarse, no solo por el factor ε 0,6, sino incluso más lento porque el retraso de la luz aumenta 0,8 segundos por segundo.. Esto se muestra en las figuras mediante trayectorias de luz roja. En algún momento, las imágenes recibidas por cada gemelo cambian para que cada uno vea pasar 3 segundos en la imagen por cada segundo de su propio tiempo. Es decir, la señal recibida se ha incrementado en frecuencia por el desplazamiento Doppler. Estas imágenes de alta frecuencia se muestran en las figuras mediante caminos de luz azul.

La asimetría en las imágenes desplazadas por Doppler

La asimetría entre la Tierra y la nave espacial se manifiesta en este diagrama por el hecho de que la nave recibe más imágenes desplazadas hacia el azul (envejecimiento rápido). Dicho de otra manera, la nave espacial ve que la imagen cambia de un desplazamiento hacia el rojo (envejecimiento más lento de la imagen) a un desplazamiento hacia el azul (envejecimiento más rápido de la imagen) en el punto medio de su viaje (en el cambio de rumbo, 3 años después de la salida); la Tierra ve la imagen de la nave cambiar de corrimiento al rojo a corrimiento al azul después de 9 años (casi al final del período en que la nave está ausente). En la siguiente sección, se verá otra asimetría en las imágenes: el gemelo de la Tierra ve que el gemelo de la nave envejece en la misma cantidad en las imágenes desplazadas hacia el rojo y el azul; el gemelo de la nave ve la edad del gemelo de la Tierra en diferentes cantidades en las imágenes desplazadas hacia el rojo y el azul.

Cálculo del tiempo transcurrido a partir del diagrama Doppler

El gemelo del barco ve imágenes de baja frecuencia (rojas) durante 3 años. Durante ese tiempo, vería al gemelo de la Tierra en la imagen envejecer 3/3 = 1 año. Luego ve imágenes de alta frecuencia (azul) durante el viaje de regreso de 3 años. Durante ese tiempo, vería al gemelo de la Tierra en la imagen envejecer 3 × 3 = 9 años. Cuando termina el viaje, la imagen del gemelo de la Tierra ha envejecido por 1 + 9 = 10 años.

El gemelo de la Tierra ve 9 años de imágenes lentas (rojas) del gemelo de la nave, durante los cuales el gemelo de la nave envejece (en la imagen) por 9/3 = 3 años. Luego ve imágenes rápidas (azules) durante el año restante hasta que el barco regrese. En las imágenes rápidas, la nave gemela envejece 1 × 3 = 3 años. El envejecimiento total de la nave gemela en las imágenes recibidas por la Tierra es 3 + 3 = 6 años, por lo que la nave gemela regresa más joven (6 años en lugar de 10 años en la Tierra).

La distinción entre lo que ven y lo que calculan

Para evitar confusiones, tenga en cuenta la distinción entre lo que ve cada gemelo y lo que calcularía cada uno. Cada uno ve una imagen de su gemelo que sabe que se originó en un momento anterior y que sabe que tiene desplazamiento Doppler. No toma el tiempo transcurrido en la imagen como la edad de su gemelo ahora.

• Si quiere calcular cuando su gemelo era la edad mostrada en la imagen (i.e. cuan viejo era entonces), él tiene que determinar cuán lejos estaba su gemelo cuando la señal fue emitida, en otras palabras, tiene que considerar la simultaneidad para un evento lejano.
• Si quiere calcular lo rápido que su gemelo estaba envejeciendo cuando la imagen fue transmitida, se ajusta para el turno de Doppler. Por ejemplo, cuando recibe imágenes de alta frecuencia (showing his twin aging quickly) con frecuencia frest()1+v/c)/()1− − v/c){displaystyle scriptstyle {f_{mathrm {rest}{sqrt {left} ({1+v/c}right)/left({1-v/c}}}}}, él no concluye que el gemelo estaba envejeciendo que rápidamente cuando la imagen fue generada, más de lo que él concluye que la sirena de una ambulancia está emitiendo la frecuencia que escucha. Sabe que el efecto Doppler ha aumentado la frecuencia de la imagen por el factor 1 / (1 − v/c). Por lo tanto, calcula que su gemelo estaba envejeciendo a la tasa de

frest()1+v/c)/()1− − v/c)× × ()1− − v/c)=frest1− − v2/c2↑ ↑ ε ε frest{displaystyle f_{mathrm {rest}{sqrt {left} ({1+v/c}right)/left({1-v/c}}}times left(1-v/cright)=f_{mathrm {rest}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}equiv epsilon f_{mathrm {rest}

cuando se emitió la imagen. Un cálculo similar revela que su gemelo estaba envejeciendo al mismo ritmo reducido de εf_descanso en todas las imágenes de baja frecuencia.

Simultaneidad en el cálculo del desplazamiento Doppler

Puede ser difícil ver dónde entró la simultaneidad en el cálculo del desplazamiento Doppler y, de hecho, a menudo se prefiere el cálculo porque uno no tiene que preocuparse por la simultaneidad. Como se ve arriba, el gemelo de la nave puede convertir su tasa de desplazamiento Doppler recibida a una tasa más lenta del reloj del reloj distante para imágenes rojas y azules. Si ignora la simultaneidad, podría decir que su gemelo estaba envejeciendo a un ritmo reducido a lo largo del viaje y, por lo tanto, debería ser más joven que él. Ahora ha vuelto al punto de partida y debe tener en cuenta el cambio en su noción de simultaneidad en el cambio de rumbo. La frecuencia que puede calcular para la imagen (corregida por el efecto Doppler) es la frecuencia del reloj del gemelo terrestre en el momento en que se envió, no en el momento en que se recibió. Dado que recibe un número desigual de imágenes desplazadas hacia el rojo y el azul, debe darse cuenta de que las emisiones desplazadas hacia el rojo y el azul no se emitieron en períodos de tiempo iguales para el gemelo de la Tierra y, por lo tanto, debe tener en cuenta la simultaneidad a distancia.

Mirador del gemelo viajero

Durante el giro, el gemelo viajero se encuentra en un marco de referencia acelerado. De acuerdo con el principio de equivalencia, el gemelo viajero puede analizar la fase de cambio como si el gemelo que se queda en casa estuviera cayendo libremente en un campo gravitatorio y como si el gemelo viajero estuviera estacionario. Un artículo de 1918 de Einstein presenta un esbozo conceptual de la idea. Desde el punto de vista del viajero, un cálculo para cada tramo por separado, ignorando el giro, conduce a un resultado en el que los relojes de la Tierra envejecen menos que el viajero. Por ejemplo, si los relojes de la Tierra envejecen 1 día menos en cada etapa, la cantidad de retraso de los relojes de la Tierra asciende a 2 días. La descripción física de lo que sucede en el cambio tiene que producir un efecto contrario del doble de esa cantidad: 4 días' avance de los relojes terrestres. Entonces, el reloj del viajero terminará con un retraso neto de 2 días en los relojes de la Tierra, de acuerdo con los cálculos realizados en el marco del gemelo que se queda en casa.

El mecanismo para el avance del reloj de los gemelos que se quedan en casa es la dilatación del tiempo gravitacional. Cuando un observador encuentra que los objetos que se mueven inercialmente están siendo acelerados con respecto a sí mismos, esos objetos están en un campo gravitacional en lo que respecta a la relatividad. Para el gemelo que viaja al dar la vuelta, este campo gravitatorio llena el universo. En una aproximación de campo débil, los relojes funcionan a una velocidad de t' = t (1 + Φ / c²) donde Φ es la diferencia de potencial gravitacional. En este caso, Φ = gh donde g es la aceleración del observador que viaja durante tiempo de respuesta y h es la distancia al gemelo que se queda en casa. El cohete se dispara hacia el gemelo que se queda en casa, lo que coloca a ese gemelo en un potencial gravitacional más alto. Debido a la gran distancia entre los gemelos, los relojes de los gemelos que se quedan en casa parecerán estar lo suficientemente acelerados como para dar cuenta de la diferencia en los tiempos adecuados experimentados por los gemelos. No es casualidad que esta aceleración sea suficiente para explicar el cambio de simultaneidad descrito anteriormente. La solución de la relatividad general para un campo gravitatorio homogéneo estático y la solución de la relatividad especial para una aceleración finita producen resultados idénticos.

Se han realizado otros cálculos para el gemelo que viaja (o para cualquier observador que a veces acelere), que no involucran el principio de equivalencia y que no involucran ningún campo gravitatorio. Tales cálculos se basan únicamente en la teoría especial, no en la teoría general de la relatividad. Un enfoque calcula superficies de simultaneidad considerando pulsos de luz, de acuerdo con la idea de Hermann Bondi del cálculo k. Un segundo enfoque calcula una integral sencilla pero técnicamente complicada para determinar cómo el gemelo que viaja mide el tiempo transcurrido en el reloj que se queda en casa. Un resumen de este segundo enfoque se da en una sección separada a continuación.

Diferencia en el tiempo transcurrido como resultado de diferencias en gemelos' caminos del espacio-tiempo

Doble paradoja empleando un cohete siguiendo un perfil de aceleración en términos de tiempo de coordenadas T y estableciendo c=1: Fase 1 (a=0.6, T=2); Fase 2 (a=0, T=2); Fase 3-4 (a=-0.6, 2T=4); Fase 5 (a=0, T=2); Fase 6 (a=0.6, T=2). Los gemelos se encuentran en T=12 y τ=9.33. Los números azules indican el tiempo de coordenadas T en el marco inercial de la estancia en casa-twin, los números rojos el tiempo apropiado τ del cohete-twin, y "a" es la aceleración adecuada. Las líneas rojas delgadas representan líneas de simultaneidad en términos de los diferentes marcos momentáneos inerciales del cohete-twin. Los puntos marcados por los números azules 2, 4, 8 y 10 indican los tiempos en que la aceleración cambia la dirección.

El siguiente párrafo muestra varias cosas:

• cómo utilizar un enfoque matemático preciso para calcular las diferencias en el tiempo transcurrido
• cómo probar exactamente la dependencia del tiempo transcurrido en los diferentes caminos tomados a través del espacio por los gemelos
• cómo cuantificar las diferencias en el tiempo transcurrido
• cómo calcular el tiempo adecuado como función (integral) del tiempo de coordinación

Deje que el reloj K se asocie con el "gemelo que se queda en casa". Sea asociado el reloj K' con el cohete que realiza el viaje. En el evento de salida, ambos relojes se ponen a 0.

Fase 1: Rocket (con reloj) K ') se embarca con aceleración adecuada constante a durante un tiempo T_a medida por reloj K hasta alcanzar cierta velocidad V.

Fase 2: Rocket mantiene costando a velocidad V durante algún tiempo T_c según el reloj K.

Fase 3: El cohete dispara sus motores en la dirección opuesta de K durante un tiempo T_a según el reloj K hasta que esté en reposo con respecto al reloj K. La aceleración adecuada constante tiene el valora, en otras palabras el cohete es de aceleración.

Fase 4: Rocket sigue disparando sus motores en la dirección opuesta de K, durante el mismo tiempo T_a según el reloj K, hasta K ' recupera la misma velocidad V con respecto a K, pero ahora hacia K (con velocidad)V).

Fase 5: El cohete sigue costando hacia K a velocidad V durante el mismo tiempo T_c según el reloj K.

Fase 6: Rocket vuelve a encender sus motores en la dirección de K, por lo que se desacelera con una aceleración adecuada constante a durante un tiempo T_a, todavía según el reloj KHasta que ambos relojes se reúnan.

Sabiendo que el reloj K permanece inercial (estacionario), el tiempo propio total acumulado Δτ del reloj K' será dada por la función integral del tiempo coordenado Δt

Δ Δ τ τ =∫ ∫ 1− − ()v()t)/c)2dt{displaystyle Delta tau =int {1-(v(t)/c)^{2} dt }

donde v(t) es la coordenada de velocidad del reloj K' en función de t según el reloj K y, p. durante la fase 1, dada por

v()t)=at1+()atc)2.{displaystyle v(t)={sqrt {1+left({frac {at}right)}}}}}}}}}

Esta integral se puede calcular para las 6 fases:

Fase 1 :c/aarsinh()aTa/c){displaystyle:quad c/a {text{arsinh}(a T_{a}/c),}

Fase 2 :Tc1− − V2/c2{displaystyle:quad T_{c} { sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}

Fase 3 :c/aarsinh()aTa/c){displaystyle:quad c/a {text{arsinh}(a T_{a}/c),}

Fase 4 :c/aarsinh()aTa/c){displaystyle:quad c/a {text{arsinh}(a T_{a}/c),}

Fase 5 :Tc1− − V2/c2{displaystyle:quad T_{c} { sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}

Fase 6 :c/aarsinh()aTa/c){displaystyle:quad c/a {text{arsinh}(a T_{a}/c),}

donde a es la aceleración adecuada, sentida por el reloj K' durante la(s) fase(s) de aceleración y donde se mantienen las siguientes relaciones entre V, a y T_a:

V=aTa/1+()aTa/c)2{displaystyle V=a ¿Qué?

aTa=V/1− − V2/c2{displaystyle a T_{a}=V/{sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}

Entonces el reloj viajero K' mostrará un tiempo transcurrido de

Δ Δ τ τ =2Tc1− − V2/c2+4c/aarsinh()aTa/c){displaystyle Delta tau =2T_{c}{sqrt [1-V^{2}/c^{2}}+4c/a {text{arsinh} T_{a}/c)}

que se puede expresar como

Δ Δ τ τ =2Tc/1+()aTa/c)2+4c/aarsinh()aTa/c){displaystyle Delta tau =2T_{c}/{sqrt {1+(a T_{a}/c)^{2}}}+4c/a {text{arsinh}(a T_{a}/c)}

mientras que el reloj estacionario K muestra un tiempo transcurrido de

Δ Δ t=2Tc+4Ta{displaystyle Delta t=2T_{c}+4T_{a},}

que es, para cada valor posible de a, T_a, T_c y V, mayor que la lectura del reloj K':

Delta tau ,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Δ Δ t■Δ Δ τ τ {displaystyle Delta t confianzaDelta tau ,}Delta tau ," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7aa6cd1e81cdb027bbd1bdd8406835f6d52753f" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.399ex; height:2.176ex;"/>

Diferencia en tiempos transcurridos: cómo calcularla desde el barco

Doble paradoja empleando un cohete siguiendo un perfil de aceleración en términos de tiempo adecuado τ y configurando c=1: Fase 1 (a=0.6, τ=2); Fase 2 (a=0, τ=2); Fase 3-4 (a=-0.6, 2τ=4); Fase 5 (a=0, τ=2); Fase 6 (a=0.6, τ=2). Los gemelos se reúnen en T=17.3 y τ=12.

En la fórmula estándar del tiempo propio

Δ Δ τ τ =∫ ∫ 0Δ Δ t1− − ()v()t)c)2dt,{displaystyle Delta tau =int _{0}{Delta t}{sqrt {1-left({frac {v(t)}{c}}right)}dt, }

Δτ representa el tiempo del observador no inercial (en movimiento) K' en función del tiempo transcurrido Δt del observador inercial (que se queda en casa) K para quien el observador K' tiene una velocidad v(t) en el tiempo t.

Para calcular el tiempo transcurrido Δt del observador inercial K en función del tiempo transcurrido Δτ del observador no inercial observador K', donde solo son accesibles las cantidades medidas por K', se puede usar la siguiente fórmula:

Δ Δ t2=[∫ ∫ 0Δ Δ τ τ e∫ ∫ 0τ τ ̄ ̄ a()τ τ .)dτ τ .dτ τ ̄ ̄ ][∫ ∫ 0Δ Δ τ τ e− − ∫ ∫ 0τ τ ̄ ̄ a()τ τ .)dτ τ .dτ τ ̄ ̄ ],{displaystyle Delta t^{2}=left[int] ¿Por qué? Delta tau.

donde a(τ) es la aceleración adecuada del observador no inercial K' medida por él mismo (por ejemplo, con un acelerómetro) durante todo el ida y vuelta. La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede utilizar para mostrar que la desigualdad Δt > Δτ se deriva de la expresión anterior:

left[int _{0}^{Delta tau }e^{int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},e^{-int _{0}^{bar {tau }}a(tau '),dtau '},d{bar {tau }}right]^{2}=left[int _{0}^{Delta tau }d{bar {tau }}right]^{2}=Delta tau ^{2}.end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Δ Δ t2=[∫ ∫ 0Δ Δ τ τ e∫ ∫ 0τ τ ̄ ̄ a()τ τ .)dτ τ .dτ τ ̄ ̄ ][∫ ∫ 0Δ Δ τ τ e− − ∫ ∫ 0τ τ ̄ ̄ a()τ τ .)dτ τ .dτ τ ̄ ̄ ]■[∫ ∫ 0Δ Δ τ τ e∫ ∫ 0τ τ ̄ ̄ a()τ τ .)dτ τ .e− − ∫ ∫ 0τ τ ̄ ̄ a()τ τ .)dτ τ .dτ τ ̄ ̄ ]2=[∫ ∫ 0Δ Δ τ τ dτ τ ̄ ̄ ]2=Δ Δ τ τ 2.{displaystyle {begin{aligned}Delta t^{2} limit=left[int] ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? Delta tau ^{2}.left[int _{0}^{Delta tau }e^{int _{0}^{bar {tau }}a(tau ')dtau '},e^{-int _{0}^{bar {tau }}a(tau '),dtau '},d{bar {tau }}right]^{2}=left[int _{0}^{Delta tau }d{bar {tau }}right]^{2}=Delta tau ^{2}.end{aligned}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35d533392d395fd71134ddd34beb1ef7449dea1" style="vertical-align: -7.171ex; width:64.102ex; height:15.509ex;"/>

Usando la función delta de Dirac para modelar la fase de aceleración infinita en el caso estándar del viajero con velocidad constante v durante el viaje de ida y vuelta, la fórmula produce el resultado conocido:

Δ Δ t=11− − v2c2Δ Δ τ τ .{displaystyle Delta t={frac {1}{sqrt {1-{tfrac {fnK}} {c}}}} {c}}} {c}}}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}} {}}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { Delta tau.

En el caso de que el observador acelerado K' parta de K con velocidad inicial cero, la ecuación general se reduce a la forma más simple:

Δ Δ t=∫ ∫ 0Δ Δ τ τ e± ± ∫ ∫ 0τ τ ̄ ̄ a()τ τ .)dτ τ .dτ τ ̄ ̄ ,{displaystyle Delta t=int _{0}^{ Delta tau.

que, en la versión suave de la paradoja de los gemelos donde el viajero tiene fases de aceleración propias constantes, dadas sucesivamente por a, −a, −a, a, da como resultado

Δ Δ t=4apecado⁡ ⁡ ()a4Δ Δ τ τ ){displaystyle "Delta t={tfrac {4}{a}peh({tfrac {a}{4}Delta tau)}

donde se usa la convención c = 1, de acuerdo con la expresión anterior con fases de aceleración T_a = Δt/4 y fases inerciales (inercia) T_c = 0.

Una versión rotativa

Los gemelos Bob y Alice habitan una estación espacial en órbita circular alrededor de un cuerpo masivo en el espacio. Bob se viste y sale de la estación. Mientras Alice permanece dentro de la estación, continuando en órbita con ella como antes, Bob usa un sistema de propulsión de cohetes para dejar de orbitar y flotar donde estaba. Cuando la estación completa una órbita y regresa a Bob, se reúne con Alice. Alice ahora es más joven que Bob. Además de la aceleración de rotación, Bob debe desacelerar para volverse estacionario y luego acelerar de nuevo para igualar la velocidad orbital de la estación espacial.

Ninguna paradoja de gemelos en un marco de referencia absoluto

La conclusión de Einstein de una diferencia real en los tiempos de reloj registrados (o envejecimiento) entre las partes reunidas hizo que Paul Langevin postulara un marco de referencia absoluto real, aunque experimentalmente indetectable:

En 1911, Langevin escribió: 'Una traslación uniforme en el éter no tiene sentido experimental. Pero por esto no debe concluirse, como a veces ha sucedido prematuramente, que se debe abandonar el concepto de éter, que el éter es inexistente e inaccesible a la experimentación. Solo no se puede detectar una velocidad uniforme relativa a él, pero cualquier cambio de velocidad... tiene un sentido absoluto."

En 1913, se publicaron los Últimos ensayos póstumos de Henri Poincaré y allí había reafirmado su posición: "Hoy algunos físicos quieren adoptar una nueva convención. No es que estén obligados a hacerlo; consideran más conveniente esta nueva convención; eso es todo. Y los que no son de esta opinión pueden conservar legítimamente la antigua."

En la relatividad de Poincaré y Hendrik Lorentz, que supone un marco de referencia absoluto (aunque imperceptible experimentalmente), no surge ninguna paradoja gemela debido al hecho de que la desaceleración del reloj (junto con la contracción de la longitud y la velocidad) se considera una realidad, de ahí el diferencial de tiempo real entre los relojes reunidos.

Esa interpretación de la relatividad, que John A. Wheeler llama "teoría del éter B (contracción de la longitud más contracción del tiempo)", no ganó tanta fuerza como la de Einstein, que simplemente descartó cualquier realidad más profunda detrás de las medidas simétricas a través de marcos inerciales. No existe una prueba física que distinga una interpretación de otra.

En 2005, Robert B. Laughlin (Premio Nobel de Física, Universidad de Stanford) escribió sobre la naturaleza del espacio: "Es irónico que el trabajo más creativo de Einstein, la teoría general de la relatividad, debería se reduce a conceptualizar el espacio como un medio cuando su premisa original [en la relatividad especial] era que no existía tal medio... La palabra 'éter'; tiene connotaciones extremadamente negativas en la física teórica debido a su asociación pasada con la oposición a la relatividad. Esto es desafortunado porque, despojado de estas connotaciones, captura bastante bien la forma en que la mayoría de los físicos piensan realmente sobre el vacío... La relatividad en realidad no dice nada sobre la existencia o inexistencia de la materia que impregna el universo, solo que cualquier materia debe tener características relativistas. simetría (es decir, medida)."

En Relatividad especial (1968), A. P. French escribió: "Tenga en cuenta, sin embargo, que estamos apelando a la realidad de la aceleración de A y a la observabilidad de la fuerzas de inercia asociadas a él. ¿Existirían efectos como la paradoja de los gemelos si no existiera el marco de estrellas fijas y galaxias distantes? La mayoría de los físicos dirían que no. Nuestra última definición de marco inercial puede ser, de hecho, que es un marco que tiene una aceleración cero con respecto a la materia del universo en general."

Fuentes primarias

Fuentes secundarias