Paradoja del niño o la niña

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down
ImprimirCitar
Paradoja en teoría de probabilidad

La paradoja del niño o la niña rodea un conjunto de preguntas de la teoría de la probabilidad, que también se conocen como El problema de los dos niños, Sr. Los hijos de Smith y la Sra. Problema de Smith. La formulación inicial de la pregunta se remonta al menos a 1959, cuando Martin Gardner la presentó en su "columna de Juegos matemáticos" de octubre de 1959. en Scientific American. Lo tituló El problema de los dos niños y expresó la paradoja de la siguiente manera:

  • El Sr. Jones tiene dos hijos. El niño mayor es una chica. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niñas?
  • El Sr. Smith tiene dos hijos. Al menos uno de ellos es un niño. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niños?

Gardner inicialmente dio las respuestas 1/2 y 1/3, respectivamente, pero luego reconoció que la segunda pregunta era ambiguo. Su respuesta podría ser 1/2, dependiendo del procedimiento mediante el cual se transmite la información "al menos uno de ellos es un niño" fue obtenido. La ambigüedad, dependiendo de la redacción exacta y las posibles suposiciones, fue confirmada por Maya Bar-Hillel y Ruma Falk, y Raymond S. Nickerson.

Otras variantes de esta pregunta, con distintos grados de ambigüedad, han sido popularizadas por Ask Marilyn en Parade Magazine, John Tierney de The New York Times y Leonard Mlodinow. en El paseo del borracho. Un estudio científico demostró que cuando se transmitía información idéntica, pero con diferentes expresiones parcialmente ambiguas que enfatizaban diferentes puntos, el porcentaje de estudiantes de MBA que respondían 1/2 cambió del 85% al 39 %.

La paradoja ha estimulado una gran controversia. La paradoja surge de si el planteamiento del problema es similar para las dos preguntas. La respuesta intuitiva es 1/2. Esta respuesta es intuitiva si la pregunta lleva al lector a creer que existen dos posibilidades igualmente probables para el sexo del segundo hijo (es decir, niño y niña), y que la probabilidad de estos resultados es absoluta, no condicional.

Las dos interpretaciones de la segunda parte se muestran en 2a y 2b, siendo la probabilidad en cada caso la fracción de la célula sombreada a las delineadas

Supuestos comunes

Primero, se supone que el espacio de todos los eventos posibles se puede enumerar fácilmente, proporcionando una definición extensiva de los resultados: {BB, BG, GB, GG}. Esta notación indica que hay cuatro combinaciones posibles de niños, etiquetando a los niños B y a las niñas G, y usando la primera letra para representar al niño mayor. En segundo lugar, se supone que estos resultados son igualmente probables. Esto implica el siguiente modelo, un proceso de Bernoulli con p = 1/2:

  1. Cada niño es varón o mujer.
  2. Cada niño tiene la misma posibilidad de ser varón como mujer.
  3. El sexo de cada niño es independiente del sexo del otro.

Primera pregunta

  • El Sr. Jones tiene dos hijos. El niño mayor es una chica. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niñas?

Bajo los supuestos antes mencionados, en este problema, se selecciona una familia aleatoria. En este espacio muestral, hay cuatro eventos igualmente probables:

Niño mayor Niño más joven
Chica Chica
Chica Boy
Boy Chica
Boy Boy

Solo dos de estos posibles eventos cumplen con los criterios especificados en la pregunta (es decir, GG, GB). Dado que las dos posibilidades en el nuevo espacio muestral {GG, GB} son igualmente probables, y sólo una de las dos, GG, incluye dos niñas, la probabilidad de que el niño más pequeño también sea una niña es 1/2 .

Segunda pregunta

  • El Sr. Smith tiene dos hijos. Al menos uno de ellos es un niño. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niños?

Esta pregunta es idéntica a la pregunta uno, excepto que en lugar de especificar que el niño mayor es un niño, se especifica que al menos uno de ellos es un niño. En respuesta a las críticas de los lectores a la pregunta planteada en 1959, Gardner dijo que no es posible una respuesta sin información que no se proporcionó. Específicamente, que se deben aplicar dos procedimientos diferentes para determinar que "al menos uno es un niño" podría conducir a exactamente la misma formulación del problema. Pero conducen a diferentes respuestas correctas:

  • De todas las familias con dos hijos, al menos uno de los cuales es un niño, una familia es elegida al azar. Esto daría la respuesta 1/3.
  • De todas las familias con dos hijos, un niño es seleccionado al azar, y se especifica que el sexo de ese niño es un niño. Esto daría una respuesta 1/2.

Grinstead y Snell argumentan que la pregunta es ambigua de la misma manera que lo hizo Gardner. Dejan que el lector decida si el procedimiento, que arroja 1/3 como respuesta, es razonable para el problema mencionado anteriormente. La formulación de la pregunta que estaban considerando específicamente es la siguiente:

  • Considere una familia con dos hijos. Dado que uno de los niños es un niño, ¿cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niños?

En esta formulación la ambigüedad está presente de manera más obvia, porque no está claro si se nos permite asumir que un niño específico es un niño, dejando al otro niño inseguro, o si se debe interpretar de la misma manera que & #34;al menos un niño". Esta ambigüedad deja múltiples posibilidades que no son equivalentes y deja la necesidad de hacer suposiciones sobre cómo se obtuvo la información, como sostienen Bar-Hillel y Falk, donde diferentes suposiciones pueden conducir a diferentes resultados (porque el planteamiento del problema no estaba lo suficientemente bien definido para permiten una única interpretación y respuesta sencilla).

Por ejemplo, supongamos que un observador ve al Sr. Smith paseando con solo uno de sus hijos. Si tiene dos hijos, entonces ese hijo debe ser un niño. Pero si tiene un niño y una niña, ese niño podría haber sido una niña. Entonces, verlo con un niño elimina no solo las combinaciones en las que tiene dos niñas, sino también las combinaciones en las que tiene un hijo y una hija y elige con qué hija caminar.

Entonces, si bien es cierto que cada posible Sr. Smith tiene al menos un niño (es decir, la condición es necesaria), no se puede suponer que cada Sr. Smith con al menos un niño sea el previsto. Es decir, el planteamiento del problema no dice que tener un niño sea una condición suficiente para que se identifique que el Sr. Smith tiene un niño de esta manera.

Al comentar sobre la versión del problema de Gardner, Bar-Hillel y Falk señalan que "el Sr. Smith, a diferencia del lector, presumiblemente es consciente del sexo de sus dos hijos cuando hace esta afirmación, es decir, que "tengo dos hijos y al menos uno de ellos es un niño". Se debe suponer además que el Sr. Smith siempre informaría este hecho si fuera cierto y permanecería en silencio o diría que tiene al menos una hija, para que la respuesta correcta sea 1/3 como aparentemente Gardner pretendía originalmente. Pero bajo ese supuesto, si permanece en silencio o dice que tiene una hija, hay un 100% de probabilidad de que tenga dos hijas.

Análisis de la ambigüedad

Si se supone que esta información se obtuvo observando a ambos niños para ver si hay al menos un niño, la condición es necesaria y suficiente. Tres de los cuatro eventos igualmente probables para una familia de dos hijos en el espacio muestral anterior cumplen la condición, como se muestra en esta tabla:

Niño mayor Niño más joven
ChicaChica
Chica Boy
Boy Chica
Boy Boy

Así, si se supone que ambos niños fueron considerados mientras se buscaba un niño, la respuesta a la pregunta 2 es 1/3. Sin embargo, si primero se seleccionó la familia y luego se hizo una afirmación aleatoria y verdadera sobre el sexo de un niño de esa familia, se consideraron o no ambos, la forma correcta de calcular la probabilidad condicional es para no contar todos los casos que incluyen un niño de ese sexo. En cambio, se deben considerar sólo las probabilidades de que se haga la declaración en cada caso. Entonces, si ALOB representa el evento donde la declaración es "al menos un niño", y ALOG representa el evento donde la declaración es " al menos una niña", entonces esta tabla describe el espacio muestral:

Niño mayor Niño más joven P(esta familia) P(ALOB given this family) P(ALOG dada esta familia) P(ALOB y esta familia) P(ALOG y esta familia)
Chica Chica 1/40 1 0 1/4
Chica Boy 1/41/21/21/81/8
Boy Chica 1/41/21/21/81/8
Boy Boy 1/41 0 1/40

Entonces, si al menos uno es un niño cuando el hecho se elige al azar, la probabilidad de que ambos sean niños es

P()ALOBandBB)P()ALOB)=140+18+18+14=12.{displaystyle mathrm {frac {}}} ={frac {frac {1}{4}{0+{frac {1}{8}}+{frac} {f} {f} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}{0}}}} {0}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}} {f}}}}}} {f} {0} {\f} {f} {f}} {f} {f}}}}}} {\f} {0}} {f}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} { {1}{8}+{frac} {1}{4}}={frac} {1}{2},.}

La paradoja ocurre cuando no se sabe cómo se cumple la afirmación "al menos uno es un niño" fue generado. Cualquiera de las respuestas podría ser correcta, según lo que se supone.

Sin embargo, el "1/ 3" La respuesta se obtiene sólo asumiendo P(ALOB|BG) = P(ALOB|GB) =1, lo que implica P(ALOG|BG) = P(ALOG|GB) = 0, es decir, la respuesta del otro niño. El sexo nunca se menciona aunque esté presente. Como dicen Marks y Smith: "Sin embargo, esta suposición extrema nunca se incluye en la presentación del problema de los dos hijos y seguramente no es lo que la gente tiene en mente cuando la presenta".

Modelando el proceso generativo

Otra forma de analizar la ambigüedad (para la pregunta 2) es haciendo explícito el proceso generativo (todos los sorteos son independientes).

  • El siguiente proceso conduce a la respuesta p()c1=c2=BSilencioObservation)=13{displaystyle p(c_{1}=c_{2}=B durablemathrm {Observation}={frac} {1}{3}}:
    • Dibujo c1{displaystyle C_{1} equitativamente desde {}B,G}{displaystyle {B,G}}
    • Dibujo c2{displaystyle c_{2} equitativamente desde {}B,G}{displaystyle {B,G}}
    • Casos de disco donde no hay B
    • Observa c1=BAlternativa Alternativa c2=B{displaystyle C_{1}=Blor c_{2}=B}
  • El siguiente proceso conduce a la respuesta p()c1=c2=BSilencioObservation)=12{displaystyle p(c_{1}=c_{2}=B durablemathrm {Observation}={frac} {1}{2}}}:
    • Dibujo c1{displaystyle C_{1} equitativamente desde {}B,G}{displaystyle {B,G}}
    • Dibujo c2{displaystyle c_{2} equitativamente desde {}B,G}{displaystyle {B,G}}
    • Índice i{displaystyle i} equitativamente desde {}1,2}{displaystyle {1,2}}
    • Observa ci=B{displaystyle C_{i}=B}

Análisis bayesiano

Siguiendo los argumentos de probabilidad clásicos, consideramos una urna grande que contiene dos niños. Suponemos la misma probabilidad de que sea niño o niña. Los tres casos discernibles son así:

  1. ambos son niñas (GG) – con probabilidad P(GG) = 1/4,
  2. ambos son niños (BB) – con probabilidad de P(BB) = 1/4, y
  3. uno de cada (G·B) – con probabilidad de P(G·B) = 1/2.

Estas son las probabilidades previas.

Ahora añadimos el supuesto adicional de que "al menos uno es un niño" = B. Usando Bayes' Teorema, encontramos

P()BB▪ ▪ B)=P()B▪ ▪ BB)× × P()BB)P()B)=1× × ()14)()34)=13.{displaystyle mathrm {P(BBmid B)} =mathrm {P(Bmid BB)times {frac}{P(B)}} =1times {frac {left {1}{4}right)}{left({frac {3}{4}}right)}={frac {1}{3},.}

donde P(A|B) significa "probabilidad de A dado B". P(B|BB) = probabilidad de que haya al menos un niño dado que ambos son niños = 1. P(BB) = probabilidad de que ambos niños = 1/ 4 de la distribución anterior. P(B) = probabilidad de que al menos uno sea niño, que incluye los casos BB y G·B = 1/4 + 1/2 = 3/4.

Tenga en cuenta que, aunque la suposición natural parece ser una probabilidad de 1/2, por lo que el valor derivado de 1/3 parece bajo, el valor "normal" el valor de P(BB) es 1/4, por lo que 1 /3 es en realidad un poco más alto.

La paradoja surge porque la segunda suposición es algo artificial, y cuando se describe el problema en un entorno real las cosas se ponen un poco complicadas. ¿Cómo sabemos que "al menos" uno es un niño? Una descripción del problema dice que miramos por una ventana y vemos solo un niño y es un niño. Esto suena como la misma suposición. Sin embargo, éste equivale a "muestreo" la distribución (es decir, sacar un niño de la urna, comprobar que es un niño y luego reemplazarlo). Llamemos al enunciado "la muestra es un niño" proposición "b". Ahora tenemos:

P()BB▪ ▪ b)=P()b▪ ▪ BB)× × P()BB)P()b)=1× × ()14)()12)=12.{displaystyle mathrm {P(BBmid b)} =mathrm {P(bmid BB)times {frac}{P(b)}} =1times {frac {left {1}{4}right)}{left({frac {1}{2}}right)}={frac {1}{2},.}

La diferencia aquí es la P(b), que es simplemente la probabilidad de sacar un niño de todos los casos posibles (es decir, sin el "al menos"), que es claramente 1/2</span .

El análisis bayesiano se generaliza fácilmente al caso en el que relajamos el supuesto de población 50:50. Si no tenemos información sobre las poblaciones entonces asumimos un "anterior plano", es decir, P(GG) = P(BB) = P(G·B) = 1/3</span . En este caso, el "al menos" la suposición produce el resultado P(BB|B) = 1 /2, y el supuesto de muestreo produce P(BB|b) = 2/3 , resultado también derivable de la Regla de Sucesión.

Variantes de la pregunta

Tras la popularización de la paradoja por parte de Gardner, ésta ha sido presentada y discutida de diversas formas. La primera variante presentada por Bar-Hillel & Falk está redactado de la siguiente manera:

  • El Sr. Smith es el padre de dos. Nos encontramos con él caminando por la calle con un niño joven que presenta orgullosamente como su hijo. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro niño del Sr. Smith también sea un niño?

Bar-Hillel & Falk utiliza esta variante para resaltar la importancia de considerar los supuestos subyacentes. La respuesta intuitiva es 1/2 y, al hacer las suposiciones más naturales, esto es correcto. Sin embargo, alguien puede argumentar que "... antes de que el Sr. Smith identifique al niño como su hijo, sólo sabemos que es padre de dos niños, BB, o de dos niñas, GG, o de una de cada uno en cualquier orden de nacimiento, es decir, BG o GB. Asumiendo nuevamente independencia y equiprobabilidad, comenzamos con una probabilidad de 1>4 que Smith es padre de dos niños. Descubrir que tiene al menos un niño descarta el evento GG. Como los tres eventos restantes eran equiprobables, obtenemos una probabilidad de 1/3 para BB."

La suposición natural es que el Sr. Smith seleccionó al niño como compañero al azar. Si es así, como la combinación BB tiene el doble de probabilidad que BG o GB de haber dado como resultado al niño compañero de paseo (y la combinación GG tiene probabilidad cero, descartándola), la unión de los eventos BG y GB se vuelve equiprobable con el evento BB, y entonces la probabilidad de que el otro niño también sea niño es 1/2. Bar-Hillel & Falk, sin embargo, sugiere un escenario alternativo. Imaginan una cultura en la que invariablemente se elige a los niños antes que a las niñas como compañeros de paseo. En este caso, se supone que las combinaciones de BB, BG y GB tienen igual probabilidad de haber dado como resultado que el niño fuera un compañero de paseo y, por lo tanto, la probabilidad de que el otro niño también sea un niño es 1/3.

En 1991, Marilyn vos Savant respondió a un lector que le pidió que respondiera una variante de la paradoja del niño o la niña que incluía a los beagles. En 1996 volvió a publicar la pregunta en una forma diferente. Las preguntas de 1991 y 1996, respectivamente, estaban redactadas de la siguiente manera:

  • Una vendedora dice que tiene dos beagles nuevos para mostrarte, pero no sabe si son hombres, mujeres o un par. Dile que sólo quieres un hombre, y ella llama al tipo que les está dando un baño. "¿Es al menos un hombre?", le pregunta. "¡Sí!" te informa con una sonrisa. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro sea varón?
  • Digamos que una mujer y un hombre (que no están relacionados) cada uno tienen dos hijos. Sabemos que al menos uno de los hijos de la mujer es un niño y que el niño más viejo del hombre es un niño. ¿Puede explicar por qué las posibilidades de que la mujer tenga dos chicos no son iguales a las posibilidades de que el hombre tenga dos chicos?

Con respecto a la segunda formulación, Vos Savant dio la respuesta clásica de que las posibilidades de que la mujer tenga dos hijos son aproximadamente 1/3 mientras que las posibilidades de que el hombre tenga dos hijos son aproximadamente 1/2. En respuesta a la respuesta de los lectores que cuestionaron su análisis, vos Savant realizó una encuesta entre lectores que tenían exactamente dos hijos, de los cuales al menos uno era un niño. De 17.946 respuestas, el 35,9% informó dos niños.

Los artículos de Vos Savant fueron discutidos por Carlton y Stansfield en un artículo de 2005 en The American Statistician. Los autores no discuten la posible ambigüedad en la pregunta y concluyen que su respuesta es correcta desde una perspectiva matemática, dados los supuestos de que la probabilidad de que un niño sea niño o niña es igual, y que el sexo del segundo hijo es independiente. del primero. Con respecto a su encuesta, dicen que "al menos valida la afirmación correcta de vos Savant de que las "posibilidades" planteadas en la pregunta original, aunque suenan similares, son diferentes, y que la primera probabilidad es ciertamente más cercana a 1 en 3 que a 1 en 2."

Carlton y Stansfield continúan analizando los supuestos comunes en la paradoja del niño o la niña. Demuestran que, en realidad, los hijos varones tienen más probabilidades que las niñas, y que el sexo del segundo hijo no es independiente del sexo del primero. Los autores concluyen que, aunque los supuestos de la pregunta van en contra de las observaciones, la paradoja todavía tiene valor pedagógico, ya que "ilustra una de las aplicaciones más intrigantes de la probabilidad condicional". Por supuesto, los valores de probabilidad reales no importan; El propósito de la paradoja es demostrar una lógica aparentemente contradictoria, no las tasas de natalidad reales.

Información sobre el niño

Supongamos que nos dicen no sólo que el Sr. Smith tiene dos hijos, y uno de ellos es un niño, sino también que el niño nació un martes: ¿cambia esto los análisis anteriores? Nuevamente, la respuesta depende de cómo se presentó esta información: qué tipo de proceso de selección produjo este conocimiento.

Siguiendo la tradición del problema, supongamos que en la población de familias con dos hijos, el sexo de los dos hijos es independiente entre sí, igualmente probable sea niño o niña, y que la fecha de nacimiento de cada hijo es independiente de el otro niño. La probabilidad de nacer en cualquier día de la semana es 1/7.

De Bayes' Teorema de que la probabilidad de tener dos niños, dado que un niño nació un martes, viene dada por:

P()BB▪ ▪ BT)=P()BT▪ ▪ BB)× × P()BB)P()BT){displaystyle mathrm {P(BBmid B_{T})={frac {P(B_{T}mid BB)times P(BB)}{P(B_{T}}}

Supongamos que la probabilidad de nacer el martes es ε = 1/7 que se establecerá después de llegar a la solución general. El segundo factor en el numerador es simplemente 1/4La probabilidad de tener dos hijos. El primer término en el numerador es la probabilidad de al menos un niño nacido el martes, dado que la familia tiene dos hijos, o 1 − 1 − ε)2 (uno menos la probabilidad de que ninguno de los niños nazca el martes). Para el denominador, descompongamos:P()BT)=P()BT▪ ▪ BB)P()BB)+P()BT▪ ▪ BG)P()BG)+P()BT▪ ▪ GB)P()GB)+P()BT▪ ▪ GG)P()GG){displaystyle mathrm {P(B_{T})=P(B_{T}mid BB)P(BB)+P(B_{T}mid BG)P(BG)+P(B_{T}mid GB)P(B_{T}mid GG)}. Cada término es ponderado con probabilidad 1/4. El primer término ya es conocido por la observación anterior, el último término es 0 (no hay niños). P()BT▪ ▪ BG){displaystyle P(B_{T}mid BG)} y P()BT▪ ▪ GB){displaystyle P(B_{T}mid GB)} es ε, hay uno y sólo un niño, por lo que tiene la oportunidad ε de nacer el martes. Por lo tanto, la ecuación completa es:

P()BB▪ ▪ BT)=()1− − ()1− − ε ε )2)× × 140+14ε ε +14ε ε +14()ε ε +ε ε − − ε ε 2)=1− − ()1− − ε ε )24ε ε − − ε ε 2{fnMicrosoft Sans Serif}
Para 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>, esto reduce a P()BB▪ ▪ BT)=2− − ε ε 4− − ε ε {displaystyle mathrm {P(BBmid B_{T}} ={frac {2-varepsilon }{4-varepsilon }

Si ε ahora está configurado en 1/7, la probabilidad se convierte en 13/27 , o alrededor de 0,48. De hecho, cuando ε se acerca a 0, la probabilidad total llega a 1/2, que es la respuesta esperada cuando se toma la muestra de un niño (por ejemplo, el mayor niño es un niño) y por lo tanto se elimina del grupo de posibles hijos. En otras palabras, a medida que se dan más y más detalles sobre el niño (por ejemplo: nació el 1 de enero), la probabilidad de que el otro niño sea una niña se acerca a la mitad.

Parece que se introdujo información bastante irrelevante, sin embargo, la probabilidad del sexo del otro niño ha cambiado drásticamente con respecto a lo que era antes (la probabilidad de que el otro niño fuera una niña era 2/3, cuando se desconocía que el niño nació el martes).

Para entender por qué es así, imagine que la encuesta de lectores de Marilyn vos Savant hubiera preguntado qué día de la semana nacían los niños de la familia. Si Marilyn luego dividiera todo el conjunto de datos en siete grupos (uno por cada día de la semana en que nació el hijo), seis de siete familias con dos niños se contarían en dos grupos (el grupo para el día de la semana en que nació el niño). 1, y el grupo del día de la semana de nacimiento del niño 2), duplicando, en cada grupo, la probabilidad de una combinación niño-niño.

Sin embargo, ¿es realmente plausible que la familia con al menos un niño nacido un martes se haya producido eligiendo solo una de esas familias al azar? Es mucho más fácil imaginar el siguiente escenario.

  • Sabemos que el Sr. Smith tiene dos hijos. Llamamos a su puerta y un chico viene y responde a la puerta. Preguntamos al niño en qué día de la semana nació.

Supongamos que cuál de los dos niños abre la puerta está determinado por el azar. Luego el procedimiento fue (1) escoger una familia de dos hijos al azar de todas las familias de dos hijos (2) escoger uno de los dos hijos al azar, (3) ver si es un niño y preguntar en qué día nació . La probabilidad de que el otro niño sea una niña es 1/2. Este es un procedimiento muy diferente de (1) escoger al azar una familia de dos hijos entre todas las familias con dos hijos, al menos uno varón, nacidos un martes. La probabilidad de que la familia esté formada por un niño y una niña es 14>27, alrededor de 0,52.

Esta variante del problema del niño y la niña se discute en muchos blogs de Internet y es el tema de un artículo de Ruma Falk. La moraleja de la historia es que estas probabilidades no dependen sólo de la información conocida, sino de cómo se obtuvo esa información.

Investigación psicológica

Desde el punto de vista del análisis estadístico, la pregunta relevante suele ser ambigua y, como tal, no existe una respuesta "correcta" respuesta. Sin embargo, esto no agota la paradoja del niño o la niña, ya que no es necesariamente la ambigüedad la que explica cómo se deriva la probabilidad intuitiva. Una encuesta como la de vos Savant sugiere que la mayoría de las personas adoptan una comprensión del problema de Gardner que, si fueran consistentes, los llevaría a la 1/3 respuesta de probabilidad, pero la mayoría de las personas llegan intuitivamente a la 1/ 2 respuesta de probabilidad. A pesar de la ambigüedad, esto hace que el problema sea de interés para los investigadores psicológicos que buscan comprender cómo los humanos estiman la probabilidad.

Zorro y perro Levav (2004) utilizó el problema (llamado problema del Sr. Smith, atribuido a Gardner, pero no redactado exactamente igual que la versión de Gardner) para probar teorías sobre cómo las personas estiman las probabilidades condicionales. En este estudio, la paradoja se planteó a los participantes de dos maneras:

  • "El Sr. Smith dice: "Tengo dos hijos y al menos uno de ellos es un niño". Dada esta información, ¿cuál es la probabilidad de que el otro niño sea un niño?"
  • "El Sr. Smith dice: "Tengo dos hijos y no es el caso que sean ambas chicas". Dada esta información, ¿cuál es la probabilidad de que ambos niños sean niños?"

Los autores argumentan que la primera formulación da al lector la impresión errónea de que hay dos resultados posibles para el "otro niño", mientras que la segunda formulación le da al lector la impresión de que hay cuatro resultados posibles. de los cuales uno ha sido rechazado (lo que da como resultado 1/3 es la probabilidad de que ambos niños sean varones, ya que quedan 3 resultados posibles, de los cuales solo uno es que ambos los niños son varones). El estudio encontró que el 85% de los participantes respondieron 1/2 para la primera formulación, mientras que sólo el 39% respondió de esa manera a la segunda formulación. Los autores argumentaron que la razón por la que las personas responden de manera diferente a cada pregunta (junto con otros problemas similares, como el problema de Monty Hall y la paradoja de la caja de Bertrand) es por el uso de heurísticas ingenuas que no logran definir adecuadamente el número. de posibles resultados.