Paradoja de sorites

La paradoja de sorites (a veces conocida como la paradoja del montón) es una paradoja que resulta de predicados vagos. Una formulación típica consiste en un montón de arena, de la que se extraen los granos individualmente. Con la suposición de que eliminar un solo grano no hace que un montón se convierta en un montón, la paradoja es considerar lo que sucede cuando el proceso se repite tantas veces que solo queda un grano: ¿sigue siendo un montón? Si no, ¿cuándo cambió de montón a no montón?

La formulación original y las variaciones.

Paradoja del montón

La palabra sorites (griego: σωρείτης) deriva de la palabra griega para 'montón' (griego: σωρός). La paradoja se llama así por su caracterización original, atribuida a Eubúlides de Mileto. La paradoja es la siguiente: considere un montón de arena del que se extraen granos individualmente. Uno podría construir el argumento, usando premisas, de la siguiente manera:1.000.000 de granos de arena es un montón de arena (Premisa 1)Un montón de arena menos un grano sigue siendo un montón. (Premisa 2)

Las aplicaciones repetidas de la Premisa 2 (cada vez comenzando con un grano menos) finalmente obligan a aceptar la conclusión de que un montón puede estar compuesto por un solo grano de arena. Read (1995) observa que "el argumento es en sí mismo un montón, o sorites, de pasos de modus ponens ":1.000.000 de granos es un montón.Si1.000.000 de granos es un montón entonces999,999 granos es un montón.Asi que999,999 granos es un montón.Si999,999 granos es un montón entonces999,998 granos es un montón.Asi que999,998 granos es un montón.Si...... Asi que1 grano es un montón.

Variaciones

Entonces la tensión entre pequeños cambios y grandes consecuencias da lugar a la Paradoja de sorites... Hay muchas variaciones... [algunas de las cuales permiten] considerar la diferencia entre ser... (una cuestión de hecho) y parecer... (una cuestión de percepción).

Otra formulación es comenzar con un grano de arena, que claramente no es un montón, y luego suponer que agregar un solo grano de arena a algo que no es un montón no hace que se convierta en un montón. Inductivamente, este proceso se puede repetir tanto como uno quiera sin tener que construir un montón. Una formulación más natural de esta variante es suponer que existe un conjunto de fichas de colores de modo que dos fichas adyacentes varían en color demasiado poco para que la vista humana pueda distinguirlas. Luego, por inducción sobre esta premisa, los humanos no podrían distinguir entre ningún color.

La eliminación de una gota del océano no hará que 'no sea un océano' (sigue siendo un océano), pero dado que el volumen de agua en el océano es finito, eventualmente, después de suficientes eliminaciones, incluso quedará un litro de agua. sigue siendo un océano.

Esta paradoja se puede reconstruir para una variedad de predicados, por ejemplo, con "alto", "rico", "viejo", "azul", "calvo", etc. Bertrand Russell argumentó que todo el lenguaje natural, incluso los conectores lógicos, es vago; además, las representaciones de las proposiciones son vagas.

Falacia del continuo

La falacia del continuo (también conocida como falacia de la barba, falacia del dibujo lineal o falacia del punto de decisión) es una falacia informal relacionada con la paradoja de sorites. Ambas falacias hacen que uno rechace erróneamente una afirmación vaga simplemente porque no es tan precisa como a uno le gustaría que fuera. La vaguedad por sí sola no implica necesariamente invalidez. La falacia es el argumento de que dos estados o condiciones no pueden considerarse distintos (o no existen en absoluto) porque entre ellos existe un continuo de estados.

Estrictamente, la paradoja de sorites se refiere a situaciones en las que hay muchos estados discretos (clásicamente entre 1 y 1 000 000 de granos de arena, por lo tanto, 1 000 000 de estados posibles), mientras que la falacia del continuo se refiere a situaciones en las que hay (o parece haber) un continuo de estados., como la temperatura. Si existen continuos en el mundo físico es la cuestión clásica del atomismo, y aunque tanto la física newtoniana como la física cuántica modelan el mundo como continuo, existen algunas propuestas en la gravedad cuántica, como la gravedad cuántica de bucles, que sugieren que las nociones de longitud continua no se aplican a la longitud de Planck y, por lo tanto, lo que parecen ser continuos pueden ser simplemente estados discretos aún indistinguibles.

A los efectos de la falacia del continuo, se supone que de hecho existe un continuo, aunque generalmente se trata de una distinción menor: en general, cualquier argumento contra la paradoja de sorites también puede usarse contra la falacia del continuo. Un argumento en contra de la falacia se basa en el simple contraejemplo: existen personas calvas y personas que no lo son. Otro argumento es que para cada grado de cambio en los estados, el grado de la condición cambia ligeramente y estos pequeños cambios se acumulan para cambiar el estado de una categoría a otra. Por ejemplo, tal vez la adición de un grano de arroz haga que el grupo total de arroz sea "un poco más" que un montón, y suficientes cambios leves certificarán el estado del montón del grupo; consulte la lógica difusa.

Resoluciones propuestas

Negar la existencia de montones

Uno puede objetar la primera premisa negando que1.000.000 de granos de arena hacen un montón. Pero1,000,000 es solo un número grande arbitrario, y el argumento se aplicará a cualquier número. Así que la respuesta debe negar rotundamente que existan cosas como montones. Peter Unger defiende esta solución.

Establecer un límite fijo

Una primera respuesta común a la paradoja es llamar montón a cualquier conjunto de granos que tenga más de un cierto número de granos. Si uno fuera a definir el "límite fijo" en10.000 granos entonces uno diría que por menos de10.000, no es un montón; por10.000 o más, entonces es un montón.

Collins argumenta que tales soluciones son insatisfactorias ya que parece tener poca importancia la diferencia entre9,999 granos y10.000 granos. El límite, dondequiera que se establezca, sigue siendo arbitrario, por lo que su precisión es engañosa. Es objetable tanto por motivos filosóficos como lingüísticos: el primero por su arbitrariedad y el segundo porque simplemente no es así como se usa el lenguaje natural.

Una segunda respuesta intenta encontrar un límite fijo que represente el uso común de un término. Por ejemplo, un diccionario puede definir un "montón" como "una colección de cosas juntas para formar una elevación". Esto requiere que haya suficientes granos para que algunos granos sean apoyados por otros granos. Por lo tanto, agregar un grano sobre una sola capa produce un montón y quitar el último grano sobre la capa inferior destruye el montón.

Límites incognoscibles (o epistemicismo)

Timothy Williamson y Roy Sorensen afirman que existen límites fijos pero que son necesariamente incognoscibles.

Supervaluacionismo

El supervaluacionismo es un método para tratar los términos singulares irreferenciales y la vaguedad. Permite conservar las leyes tautológicas habituales incluso cuando se trata de valores de verdad indefinidos. Como ejemplo de una proposición sobre un término singular irreferencial, considere la oración " Pegasus likes regaliz ". Dado que el nombre " Pegaso " no se refiere, no se puede asignar ningún valor de verdad a la oración; no hay nada en el mito que justifique tal asignación. Sin embargo, hay algunas afirmaciones sobre " Pegasus " que tienen valores de verdad definidos, como " A Pegasus le gusta el regaliz o a Pegasus no le gusta el regaliz ". Esta oración es un ejemplo de la tautología " ", es deciro no- ". Según el supervaluacionismo, debe ser verdadero independientemente de que sus componentes tengan o no un valor de verdad.

Al admitir oraciones sin valores de verdad definidos, el supervaluacionismo evita casos adyacentes tales como n granos de arena es un montón de arena, pero n -1 granos no lo es; por ejemplo, "1,000 granos de arena es un montón " puede considerarse un caso límite que no tiene un valor de verdad definido. Sin embargo, el supervaluacionismo es capaz de manejar una oración como "1.000 granos de arena es un montón, o1.000 granos de arena no es un montón ” como tautología, es decir, para asignarle el valor verdadero.

Explicación matemática

Sea una valoración clásica definida sobre cada oración atómica del lenguaje , y sea el número de oraciones atómicas distintas en . Entonces, para cada oración , pueden existir a lo sumo valoraciones clásicas distintas. Una sobrevaloración es una función de oraciones a valores de verdad tal que una oración es superverdadera (es decir ) si y solo si para cada valoración clásica ; igualmente para super-falso. De lo contrario, es indefinido, es decir, exactamente cuando hay dos valoraciones clásicas y tal que y .

Por ejemplo, sea la traducción formal de " Pegasus likes regaliz ". Entonces hay exactamente dos valoraciones clásicas y en , a saber. y . Así que no es superverdadero ni superfalso. Sin embargo, la tautología es evaluada por toda valoración clásica; es por lo tanto súper-verdadero. De manera similar, la formalización de la proposición del montón anterior no es superverdadera ni superfalsa, pero es superverdadera.

Brechas de verdad, excesos y lógicas de valores múltiples

Otro método es utilizar una lógica multivaluada. En este contexto, el problema está en el principio de bivalencia: la arena es un montón o no es un montón, sin tonalidades de gris. En lugar de dos estados lógicos, heap y not-heap, se puede usar un sistema de tres valores, por ejemplo, heap, indeterminate y not-heap. Una respuesta a esta solución propuesta es que los sistemas de tres valores no resuelven realmente la paradoja, ya que todavía existe una línea divisoria entre montón e indeterminado y también entre indeterminado y no montón. El tercer valor de verdad puede entenderse como una brecha de valor de verdado como un exceso de valores de verdad.

Alternativamente, la lógica difusa ofrece un espectro continuo de estados lógicos representados en el intervalo unitario de números reales [0,1]; es una lógica de muchos valores con infinitos valores de verdad y, por lo tanto, la arena pasa gradualmente de "definitivamente montón " a "definitivamente no montón", con matices en la región intermedia. Los setos difusos se utilizan para dividir el continuo en regiones correspondientes a clases como montones definitivos, montones en su mayoría, montones parciales, montones leves y no montones. Aunque sigue existiendo el problema de dónde se encuentran estas fronteras; por ejemplo, a qué número de granos la arena empieza a ser 'definitivamente' un montón.

Histéresis

Otro método, introducido por Raffman, es utilizar la histéresis, es decir, el conocimiento de cómo comenzó la acumulación de arena. Las cantidades equivalentes de arena pueden denominarse montones o no según cómo llegaron allí. Si un montón grande (indiscutiblemente descrito como un montón) se reduce lentamente, conserva su "estado de montón" hasta cierto punto, incluso cuando la cantidad real de arena se reduce a un número menor de granos. Por ejemplo,500 granos es una pila y1.000 granos es un montón. Habrá una superposición para estos estados. Entonces, si uno lo está reduciendo de un montón a un montón, es un montón que desciende hasta750. En ese punto, uno dejaría de llamarlo montón y comenzaría a llamarlo pila. Pero si uno reemplaza un grano, no se convertiría instantáneamente en un montón. Al subir quedaría un montón hasta900 granos. Los números elegidos son arbitrarios; el punto es que la misma cantidad puede ser un montón o una pila dependiendo de lo que era antes del cambio. Un uso común de la histéresis sería el termostato del aire acondicionado: el aire acondicionado se establece en 77 °F y luego enfría el aire justo por debajo de los 77 °F, pero no se activa de nuevo instantáneamente cuando el aire se calienta a 77,001 °F; espera hasta casi 78 °F, para evitar cambios instantáneos de estado una y otra vez.

Consenso de grupo

Uno puede establecer el significado de la palabra "montón" apelando al consenso. Williamson, en su solución epistémica a la paradoja, supone que el significado de los términos vagos debe estar determinado por el uso del grupo. El método de consenso generalmente afirma que una colección de granos es tanto un "montón" como la proporción de personas en un grupo que creen que lo es. En otras palabras, la probabilidad de que cualquier colección se considere un montón es el valor esperado de la distribución de la opinión del grupo.

Un grupo puede decidir que:

• Un grano de arena por sí solo no es un montón.
• Una gran colección de granos de arena es un montón.

Entre los dos extremos, los miembros individuales del grupo pueden estar en desacuerdo entre sí sobre si una colección en particular puede etiquetarse como "montón". Entonces, no se puede afirmar definitivamente que la colección sea un "montón" o "no un montón". Esto puede considerarse una apelación a la lingüística descriptiva más que a la lingüística prescriptiva, ya que resuelve el problema de la definición en función de cómo la población usa el lenguaje natural. De hecho, si se dispone de una definición prescriptiva precisa de "montón", el consenso del grupo siempre será unánime y no se producirá la paradoja.

Resoluciones en la teoría de la utilidad

ocultar" X más o igual de rojo que Y "modelado como relación cuasitransitiva≈: indistinguible, >: claramente más rojo
X	f10	e20	d30	c40	b50	a60
f10	≈	≈	>	>	>	>
e20	≈	≈	≈	>	>	>
d30		≈	≈	≈	>	>
c40			≈	≈	≈	>
b50				≈	≈	≈
a60					≈	≈

En el campo económico de la teoría de la utilidad, la paradoja de sorites surge cuando se investigan los patrones de preferencias de una persona. Como ejemplo de Robert Duncan Luce, es fácil encontrar a una persona, digamos Peggy, que prefiere en su café 3 gramos (es decir, 1 cubo) de azúcar a 15 gramos (5 cubos), sin embargo, por lo general le será indiferente. entre 3,00 y 3,03 gramos, así como entre 3,03 y 3,06 gramos, y así sucesivamente, así como finalmente entre 14,97 y 15,00 gramos.

Los economistas tomaron dos medidas para evitar la paradoja de sorites en tal escenario.

• Se utilizan formas de propiedades comparativas, en lugar de positivas. El ejemplo anterior deliberadamente no hace una declaración como "A Peggy le gusta una taza de café con 3 gramos de azúcar" o "A Peggy no le gusta una taza de café con 15 gramos de azúcar". En cambio, dice: "A Peggy le gusta más una taza de café con 3 gramos de azúcar que una con 15 gramos de azúcar".
• Los economistas distinguen la preferencia ("A Peggy le gusta... más que...") de la indiferencia ("A Peggy le gusta... tanto como..."), y no consideran que esta última relación sea transitiva. En el ejemplo anterior, al abreviar "una taza de café con x gramos de azúcar" por " c _x ", y "Peggy es indiferente entre c _x y c _y " como " c _x ≈ c _y ", los hechos c _3.00 ≈ c _3.03 y c _3.03 ≈ c _3.06 y... y c _14.97 ≈ c_15.00 no implica c _3.00 ≈ c _15.00.

Se introdujeron varios tipos de relaciones para describir la preferencia y la indiferencia sin caer en la paradoja de sorites. Luce definió semiórdenes e investigó sus propiedades matemáticas; Amartya Sen realizó una tarea similar para las relaciones cuasitransitivas. Abreviando "Peggy le gusta c _x más que c _y " como " c _x > c _y ", y abreviando " c _x > c _y o c _x ≈ c _y " por " c _x ≥ c _y", es razonable que la relación ">" sea un semiorden mientras que ≥ sea cuasitransitiva. Por el contrario, a partir de un semiorden > dado se puede reconstruir la relación de indiferencia ≈ definiendo c _x ≈ c _y si ni c _x > c _y ni c _y > c _x. De manera similar, a partir de una relación cuasitransitiva dada ≥, la relación de indiferencia ≈ se puede reconstruir definiendo c _x ≈ c _y si tanto c _x ≥ c _y como c _y ≥ c_x _ Estas relaciones ≈ reconstruidas no suelen ser transitivas.

La tabla de la derecha muestra cómo el ejemplo de color anterior se puede modelar como una relación cuasi-transitiva ≥. Diferencias de color exageradas para facilitar la lectura. Se dice que un color X es más o igual de rojo que un color Y si la celda de la tabla en la fila X y la columna Y no está vacía. En ese caso, si tiene un "≈", entonces X e Y se ven indistinguiblemente iguales, y si tiene un ">", entonces X se ve claramente más rojo que Y. La relación ≥ es la unión disjunta de la relación simétrica ≈ y la relación transitiva >. Usando la transitividad de >, el conocimiento de f10 > d30 y d30> b50 permite inferir que f10 > b50. Sin embargo, dado que ≥ no es transitivo, una inferencia "paradójica" como " d30 ≥ e20 y e20 ≥ f10, por lo tanto d30 ≥ f10 " ya no es posible. Por la misma razón, por ejemplo, " d30 ≈ e20 y e20 ≈ f10, por lo tanto d30 ≈ f10 " ya no es una inferencia válida. De manera similar, para resolver la variación del montón original de la paradoja con este enfoque, la relación " X granos son más un montón que Ygranos" podría considerarse cuasitransitivo en lugar de transitivo.