Paradoja de la escalera

La paradoja de la escalera (o paradoja del poste de granero) es un experimento mental en relatividad especial. Se trata de una escalera, paralela al suelo, que viaja horizontalmente a una velocidad relativista (cerca de la velocidad de la luz) y, por tanto, sufre una contracción de longitud de Lorentz. Se imagina que la escalera pasa a través de las puertas delanteras y traseras abiertas de un garaje o granero que es más corta que su longitud de descanso, por lo que si la escalera no se moviera no podría caber dentro. Para un observador estacionario, debido a la contracción, la escalera móvil puede caber completamente dentro del edificio a medida que pasa. Por otro lado, desde el punto de vista de un observador que se mueve con la escalera, ésta no se contraerá, y es el edificio el que Lorentz contraerá en una longitud aún menor. Por lo tanto, la escalera no podrá caber dentro del edificio cuando lo atraviese. Esto plantea una aparente discrepancia entre las realidades de ambos observadores.

Esta aparente paradoja resulta de la suposición errónea de simultaneidad absoluta. Se dice que la escalera cabe en el garaje si ambos extremos pueden colocarse simultáneamente dentro del garaje. La paradoja se resuelve cuando se considera que en relatividad la simultaneidad es relativa a cada observador, por lo que la respuesta a si la escalera cabe dentro del garaje también es relativa a cada uno de ellos.

Paradox

La versión más simple del problema implica un garaje, con una puerta delantera y trasera abiertas y una escalera que, cuando está en reposo con respecto al garaje, es demasiado larga para caber en el interior. Ahora movemos la escalera a alta velocidad horizontal a través del garaje estacionario. Debido a su alta velocidad, la escalera sufre el efecto relativista de contracción de longitud y se vuelve significativamente más corta. Como resultado, cuando la escalera pasa por el garaje, queda, durante un tiempo, completamente contenida dentro de él. Si quisiéramos, podríamos cerrar simultáneamente ambas puertas durante un breve instante, para demostrar que la escalera encaja.

Hasta ahora, esto es consistente. La aparente paradoja surge cuando consideramos la simetría de la situación. Así como un observador que se mueve con la escalera viaja a velocidad constante en el sistema de referencia inercial del garaje, este observador también ocupa un sistema inercial donde, según el principio de relatividad, se aplican las mismas leyes de la física. Desde esta perspectiva, es la escalera la que ahora está estacionaria y el garaje el que se mueve a gran velocidad. Por lo tanto, es el garaje el que se contrae en longitud, y ahora concluimos que es demasiado pequeño para haber podido contener completamente la escalera cuando pasó: la escalera no cabe y no podemos cerrar ambas puertas a ambos lados de la escalera. sin golpearlo. Esta aparente contradicción es la paradoja.

Resolución

La solución a la aparente paradoja reside en la relatividad de la simultaneidad: lo que un observador (por ejemplo, con el garaje) considera dos eventos simultáneos, en realidad puede no serlo para otro observador (por ejemplo, con la escalera). Cuando decimos que la escalera "encaja" dentro del garaje, lo que queremos decir precisamente es que, en un momento determinado, la posición de la parte trasera de la escalera y la posición del frente de la escalera estaban ambas dentro del garaje; en otras palabras, la parte delantera y trasera de la escalera estaban dentro del garaje simultáneamente. Como la simultaneidad es relativa, entonces, dos observadores no están de acuerdo sobre si la escalera encaja. Para el observador que estaba en el garaje, el extremo trasero de la escalera estaba en el garaje al mismo tiempo que el extremo delantero de la escalera, por lo que la escalera encajaba; pero para el observador de la escalera, estos dos acontecimientos no fueron simultáneos y la escalera no encajaba.

Una forma clara de ver esto es considerar las puertas que, en el marco del garaje, se cierran durante el breve período en que la escalera está completamente adentro. Ahora miramos estos eventos en el marco de la escalera. El primer evento es el frente de la escalera que se acerca a la puerta de salida del garaje. La puerta se cierra y luego se abre nuevamente para dejar pasar el frente de la escalera. Posteriormente, la parte trasera de la escalera pasa por la puerta de entrada, que se cierra y luego se abre. Vemos que, como la simultaneidad es relativa, no era necesario cerrar las dos puertas al mismo tiempo, y la escalera no necesitaba caber dentro del garaje.

La situación se puede ilustrar mejor con el siguiente diagrama de Minkowski. El esquema se encuentra en el marco de descanso del garaje. La banda vertical de color azul claro muestra el garaje en el espacio-tiempo y la banda de color rojo claro muestra la escalera en el espacio-tiempo. Los ejes x y t son el espacio del garaje y los ejes de tiempo, respectivamente, y x′ y t′ son los ejes de espacio y tiempo de la escalera, respectivamente.

En el marco del garaje, la escalera en un momento determinado está representada por un conjunto de puntos horizontales, paralelos al eje x, en la banda roja. Un ejemplo es el segmento de línea azul en negrita, que se encuentra dentro de la banda azul que representa el garaje y que representa la escalera en un momento en que está completamente dentro del garaje. Sin embargo, en el marco de la escalera, conjuntos de eventos simultáneos se encuentran en líneas paralelas a la x' eje; Por lo tanto, la escalera en cualquier momento específico está representada por una sección transversal de dicha línea con la banda roja. Un ejemplo de ello es el segmento de línea roja en negrita. Vemos que dichos segmentos de línea nunca se encuentran completamente dentro de la banda azul; es decir, la escalera nunca queda completamente dentro del garaje.

Cerrar la escalera en el garaje

En una versión más complicada de la paradoja, podemos atrapar físicamente la escalera una vez que esté completamente dentro del garaje. Esto podría hacerse, por ejemplo, al no abrir la puerta de salida otra vez después de cerrarla. En el marco del garaje, suponemos que la puerta de salida es inamovible, y así cuando la escalera golpea, decimos que se detiene instantáneamente. Para este momento, la puerta de entrada también ha cerrado, y por lo tanto la escalera está atascada dentro del garaje. Como su velocidad relativa es ahora cero, no es la longitud contratada, y ahora es más largo que el garaje; tendrá que doblar, romper o explotar.

Una vez más, el enigma surge al considerar la situación desde el marco de la escalera. En el análisis anterior, en su propio marco, la escalera siempre fue más larga que el garaje. Entonces, ¿cómo cerramos las puertas y lo atrapamos dentro?

Vale la pena señalar aquí una característica general de la relatividad: hemos deducido, considerando la estructura del garaje, que efectivamente atrapamos la escalera dentro del garaje. Por lo tanto, esto debe ser cierto en cualquier marco: no puede darse el caso de que la escalera encaje en un marco pero no en otro. Entonces, por el marco de la escalera, sabemos que debe haber alguna explicación de cómo quedó atrapada la escalera; simplemente debemos encontrar la explicación.

La explicación es que, aunque todas las partes de la escalera desaceleran simultáneamente hasta cero en el marco del garaje, debido a que la simultaneidad es relativa, las desaceleraciones correspondientes en el marco de la escalera no son simultáneas. En cambio, cada parte de la escalera desacelera secuencialmente, de adelante hacia atrás, hasta que finalmente la parte trasera de la escalera desacelera, momento en el cual ya está dentro del garaje.

Dado que la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo están controladas por las transformaciones de Lorentz, la paradoja de la escalera puede verse como un correlato físico de la paradoja de los gemelos, en cuyo caso uno de un conjunto de gemelos abandona la Tierra y viaja a gran velocidad durante un período. , y regresa a la Tierra un poco más joven que el gemelo terrestre. Como en el caso de la escalera atrapada dentro del granero, si ninguno de los marcos de referencia es privilegiado (cada uno se mueve sólo en relación con el otro), ¿cómo puede ser que sea el gemelo viajero y no el estacionario el más joven? (del mismo modo que es la escalera y no el granero la que es más corta)? En ambos casos es la aceleración-desaceleración la que diferencia los fenómenos: es el gemelo, no la tierra (o la escalera, no el granero) el que sufre la fuerza de la desaceleración al regresar a lo temporal (o físico, en otras palabras). el caso del marco inercial escalera-granero.

Paradoja de la escalera y transmisión de fuerza

¿Qué pasa si la puerta trasera (la puerta por la que sale la escalera) está cerrada permanentemente y no se abre? Supongamos que la puerta es tan sólida que la escalera no la atravesará cuando choque, por lo que debe detenerse. Luego, como en el escenario descrito anteriormente, en el marco de referencia del garaje, hay un momento en el que la escalera está completamente dentro del garaje (es decir, la parte trasera de la escalera está dentro de la puerta principal), antes de chocar con el puerta trasera y se detiene. Sin embargo, desde el marco de referencia de la escalera, la escalera es demasiado grande para caber en el garaje, por lo que cuando choca con la puerta trasera y se detiene, la parte trasera de la escalera aún no ha llegado a la puerta principal. Esto parece una paradoja. La pregunta es: ¿la parte trasera de la escalera cruza la puerta de entrada o no?

La dificultad surge principalmente de la suposición de que la escalera es rígida (es decir, mantiene la misma forma). Las escaleras parecen rígidas en la vida cotidiana. Pero ser completamente rígida requiere que pueda transferir fuerza a una velocidad infinita (es decir, cuando empujas un extremo, el otro extremo debe reaccionar inmediatamente, de lo contrario la escalera se deformará). Esto contradice la relatividad especial, que afirma que la información no puede viajar más rápido que la velocidad de la luz (que es demasiado rápida para que podamos notarla en la vida real, pero es significativa en el escenario de la escalera). Por tanto, los objetos no pueden ser perfectamente rígidos bajo la relatividad especial.

En este caso, cuando la parte delantera de la escalera choca con la puerta trasera, la parte trasera de la escalera aún no lo sabe, por lo que sigue avanzando (y la escalera se "comprime") . Tanto en el marco del garaje como en el marco inercial de la escalera, la parte trasera sigue moviéndose en el momento de la colisión, al menos hasta el punto donde la parte trasera de la escalera entra en el cono de luz de la colisión (es decir, un punto donde la fuerza que se mueve hacia atrás a la velocidad de la luz desde el punto de colisión lo alcanzará). En este punto, la escalera es en realidad más corta que la longitud contratada originalmente, por lo que el extremo trasero está dentro del garaje. Los cálculos en ambos marcos de referencia mostrarán que este es el caso.

No se especifica qué sucede después de que la fuerza llega a la parte posterior de la escalera (la zona "verde" en el diagrama). Dependiendo de la física, la escalera podría romperse; o, si fuera lo suficientemente elástico, podría doblarse y volver a expandirse hasta su longitud original. A velocidades suficientemente altas, cualquier material realista explotaría violentamente formando plasma.

Variación del hombre cayendo en la reja

Esta versión temprana de la paradoja fue originalmente propuesta y resuelta por Wolfgang Rindler e implicaba a un hombre caminante rápido, representado por una vara, cayendo en un gris. Se supone que la varilla está completamente sobre la grata en el marco de referencia de la grata antes de que la aceleración hacia abajo comience simultáneamente y se aplique igualmente a cada punto de la varilla.

Desde la perspectiva de la grata, la varilla sufre una contracción de longitud y encaja en la grata. Sin embargo, desde la perspectiva de la varilla, es la grate someterse a una contracción de longitud, a través de la cual parece que la varilla es entonces demasiado largo para caer.

La aceleración hacia abajo de la varilla, que es simultánea en el marco de referencia de la rejilla, no es simultánea en el marco de referencia de la varilla. En el marco de referencia de la varilla, la parte frontal de la varilla primero se acelera hacia abajo (como se muestra en la celda 3 del dibujo) y, a medida que pasa el tiempo, más y más parte de la varilla se somete a la aceleración hacia abajo, hasta que finalmente la parte posterior de la varilla se acelera hacia abajo. Esto da como resultado una flexión de la varilla en el marco de referencia de la varilla. Dado que esta flexión se produce en el marco de apoyo de la varilla, es una verdadera distorsión física de la varilla lo que provocará que se produzcan tensiones en la varilla.

Para que este comportamiento no rígido de la varilla sea evidente, tanto la propia varilla como la rejilla deben tener una escala tal que el tiempo de recorrido sea mensurable.

Paradoja de la barra y el anillo

Un problema muy similar pero más simple que la paradoja de varilla y gris, que implica sólo marcos inerciales, es la paradoja "bar y anillo" (Ferraro 2007). La vara y la paradoja grata es complicada: implica marcos no inerciales de referencia ya que en un momento el hombre está caminando horizontalmente, y un momento más tarde está cayendo hacia abajo; y implica una deformación física del hombre (o vara segmentada), ya que la vara está doblada en un marco de referencia y recto en otro. Estos aspectos del problema introducen complicaciones que implican la rigidez de la varilla que tiende a oscurecer la naturaleza real de la "paradoja". La paradoja "bar y anillo" está libre de estas complicaciones: una barra, que es ligeramente más grande que el diámetro de un anillo, se mueve hacia arriba y hacia la derecha con su eje largo horizontal, mientras que el anillo es estacionario y el plano del anillo es también horizontal. Si el movimiento de la barra es tal que el centro de la barra coincide con el centro del anillo en algún punto en el tiempo, entonces la barra será contratado Lorentz debido al componente de avance de su movimiento, y pasará a través del anillo. La paradoja ocurre cuando el problema se considera en el resto de la barra. El anillo ahora se mueve hacia abajo y hacia la izquierda, y será Lorentz-contratado a lo largo de su longitud horizontal, mientras que la barra no será contratada en absoluto. ¿Cómo puede pasar el bar por el anillo?

La resolución de la paradoja reside de nuevo en la relatividad de la simultaneidad (Ferraro 2007). La longitud de un objeto físico se define como la distancia entre dos simultáneo eventos que ocurren en cada extremo del cuerpo, y como la simultaneidad es relativa, así es esta longitud. Esta variabilidad en longitud es sólo la contracción Lorentz. Del mismo modo, un ángulo físico se define como el ángulo formado por tres simultáneo eventos, y este ángulo también será una cantidad relativa. En la paradoja anterior, aunque la vara y el plano del anillo son paralelos en el marco de reposo del anillo, no son paralelos en el marco de reposo de la varilla. La varilla restringida pasa a través del anillo de Lorentz, ya que el plano del anillo se gira en relación con la varilla por una cantidad suficiente para dejar pasar la varilla.

En términos matemáticos, una transformación de Lorentz se puede separar en el producto de una rotación espacial y una transformación "proper" de Lorentz que no implica rotación espacial. La resolución matemática de la barra y la paradoja del anillo se basa en el hecho de que el producto de dos transformaciones Lorentz adecuadas (horizontal y vertical) puede producir una transformación Lorentz que no es adecuada (diagonal) sino que incluye un componente de rotación espacial.