Paradoja de la costa

Un ejemplo de la paradoja costera. Si la costa de Gran Bretaña se mide con unidades de 100 km (62 mi) de largo, la longitud de la costa es de aproximadamente 2.800 km (1.700 mi). Con 50 km (31 mi) unidades, la longitud total es de aproximadamente 3.400 km (2.100 mi), aproximadamente 600 km (370 mi) más.

La paradoja de la costa es la observación contraintuitiva de que la línea de costa de una masa continental no tiene una longitud bien definida. Esto es resultado de las propiedades de curva fractal de las líneas de costa; es decir, el hecho de que una línea de costa normalmente tiene una dimensión fractal. Aunque la "paradoja de la longitud" fue señalada previamente por Hugo Steinhaus, el primer estudio sistemático de este fenómeno fue realizado por Lewis Fry Richardson, y fue ampliado por Benoit Mandelbrot.

La longitud medida de la línea de costa depende del método utilizado para medirla y del grado de generalización cartográfica. Dado que una masa continental tiene características en todas las escalas, desde cientos de kilómetros de tamaño hasta diminutas fracciones de milímetro o menos, no hay un tamaño obvio de la característica más pequeña que deba tenerse en cuenta al realizar la medición y, por lo tanto, no hay un perímetro único bien definido para la masa continental. Existen varias aproximaciones cuando se hacen suposiciones específicas sobre el tamaño mínimo de la característica.

El problema es fundamentalmente diferente de la medición de otros bordes más simples. Es posible, por ejemplo, medir con precisión la longitud de una barra de metal recta idealizada utilizando un dispositivo de medición para determinar que la longitud es menor que una cierta cantidad y mayor que otra cantidad, es decir, medirla dentro de un cierto grado de incertidumbre. Cuanto más preciso sea el dispositivo de medición, más cercanos serán los resultados a la longitud real del borde. Sin embargo, al medir una línea de costa, la medición más cercana no da como resultado un aumento en la precisión; la medición solo aumenta en longitud; a diferencia de lo que ocurre con la barra de metal, no hay forma de obtener un valor exacto para la longitud de la línea de costa.

En el espacio tridimensional, la paradoja de la costa se puede extender fácilmente al concepto de superficies fractales, según el cual el área de una superficie varía en función de la resolución de la medición.

Poco antes de 1951, Lewis Fry Richardson, al investigar el posible efecto de la longitud de las fronteras en la probabilidad de guerra, observó que los portugueses informaban que su frontera medida con España era de 987 km (613 mi), pero los españoles la informaban como de 1.214 km (754 mi). Este fue el comienzo del problema de la línea costera, que es una incertidumbre matemática inherente a la medición de límites que son irregulares.

El método predominante para calcular la longitud de una frontera (o costa) consistía en trazar n segmentos rectos iguales de longitud l con separadores sobre un mapa o una fotografía aérea. Cada extremo del segmento debía estar en el límite. Al investigar las discrepancias en la estimación de la frontera, Richardson descubrió lo que ahora se denomina el "efecto Richardson": la suma de los segmentos aumenta monótonamente cuando la longitud común de los segmentos disminuye. En efecto, cuanto más corta es la regla, más larga es la frontera medida; los geógrafos españoles y portugueses simplemente utilizaban reglas de longitudes diferentes.

El resultado que más asombra a Richardson es que, en determinadas circunstancias, cuando l se acerca a cero, la longitud de la línea de costa se acerca al infinito. Richardson había creído, basándose en la geometría euclidiana, que una línea de costa se acercaría a una longitud fija, como lo hacen estimaciones similares de figuras geométricas regulares. Por ejemplo, el perímetro de un polígono regular inscrito en un círculo se acerca a la circunferencia con un número creciente de lados (y una disminución en la longitud de un lado). En la teoría de la medida geométrica, una curva suave como el círculo que puede aproximarse mediante pequeños segmentos rectos con un límite definido se denomina curva rectificable. Benoit Mandelbrot demostró que D es independiente de ε.

El concepto básico de longitud tiene su origen en la distancia euclidiana. En la geometría euclidiana, una línea recta representa la distancia más corta entre dos puntos. Esta línea tiene una única longitud. En la superficie de una esfera, esta se sustituye por la longitud geodésica (también llamada longitud del círculo máximo), que se mide a lo largo de la curva de superficie que existe en el plano que contiene ambos puntos finales y el centro de la esfera. La longitud de las curvas básicas es más complicada, pero también se puede calcular. Midiendo con reglas, se puede aproximar la longitud de una curva sumando la suma de las líneas rectas que conectan los puntos:

Si se utilizan unas cuantas líneas rectas para aproximar la longitud de una curva, se obtendrá una estimación inferior a la longitud real; si se utilizan líneas cada vez más cortas (y, por lo tanto, más numerosas), la suma se aproxima a la longitud real de la curva. Se puede encontrar un valor preciso para esta longitud mediante el cálculo, la rama de las matemáticas que permite calcular distancias infinitesimalmente pequeñas. La siguiente animación ilustra cómo se puede asignar de forma significativa una longitud precisa a una curva suave:

No todas las curvas se pueden medir de esta manera. Un fractal es, por definición, una curva cuya complejidad percibida cambia con la escala de medición. Mientras que las aproximaciones de una curva suave tienden a un único valor a medida que aumenta la precisión de la medición, el valor medido para un fractal no converge.

Esta curva Sierpiński (un tipo de curva de llenado de espacio), que repite el mismo patrón en una escala más pequeña y menor, sigue aumentando de longitud. Si se entiende por iterate dentro de un espacio geométrico infinitamente subdivisible, su longitud tiende a la infinidad. Al mismo tiempo, el zona adjuntado por la curva ¿Sí? converger a una figura precisa, como, analógicamente, la zona de una isla puede calcularse más fácilmente que la longitud de su costa.

Como la longitud de una curva fractal siempre diverge hacia el infinito, si uno midiera una línea de costa con una resolución infinita o casi infinita, la longitud de las curvas infinitamente cortas de la línea de costa sumaría hasta el infinito. Sin embargo, esta cifra se basa en el supuesto de que el espacio se puede subdividir en secciones infinitesimales. El valor de verdad de este supuesto, que subyace a la geometría euclidiana y sirve como modelo útil en la medición cotidiana, es una cuestión de especulación filosófica y puede o no reflejar las realidades cambiantes del "espacio" y la "distancia" en el nivel atómico (aproximadamente la escala de un nanómetro).

Las líneas costeras son menos definidas en su construcción que los fractales idealizados como el conjunto de Mandelbrot porque se forman por diversos eventos naturales que crean patrones de maneras estadísticamente aleatorias, mientras que los fractales idealizados se forman a través de iteraciones repetidas de secuencias simples y formuladas.

Más de una década después de que Richardson completara su trabajo, Benoit Mandelbrot desarrolló una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal, para describir precisamente complejos irremediables de la naturaleza como la costa infinita. Su propia definición de la nueva figura que sirve de base para su estudio es:

He acuñado fractal del adjetivo latino fractus. El verbo latino correspondiente frangere significa "para romper:" para crear fragmentos irregulares. Por lo tanto, es sensible... que, además de "fragmentado"... fractus debe significar también "irregular".

En el artículo "¿Qué longitud tiene la costa de Gran Bretaña? Autosimilitud estadística y dimensión fraccionaria", publicado el 5 de mayo de 1967, Mandelbrot analiza las curvas autosimilares que tienen una dimensión de Hausdorff entre 1 y 2. Estas curvas son ejemplos de fractales, aunque Mandelbrot no utiliza este término en el artículo, ya que no lo acuñó hasta 1975. El artículo es una de las primeras publicaciones de Mandelbrot sobre el tema de los fractales.

La evidencia empírica sugiere que cuanto menor sea el incremento de la medida, mayor será la longitud medida. Si uno midiera un tramo de costa con una vara de medir, obtendría un resultado más corto que si el mismo tramo se midiera con una regla de 30 cm. Esto se debe a que uno estaría colocando la regla a lo largo de una ruta más curvilínea que la seguida por la vara de medir. La evidencia empírica sugiere una regla que, si se extrapola, muestra que la longitud medida aumenta sin límite a medida que la escala de medición disminuye hacia cero. Esta discusión implica que no tiene sentido hablar de la longitud de una línea de costa; se necesitan otros medios para cuantificar las líneas de costa. Mandelbrot describe luego varias curvas matemáticas, relacionadas con el copo de nieve de Koch, que se definen de tal manera que son estrictamente autosimilares. Mandelbrot muestra cómo calcular la dimensión de Hausdorff de cada una de estas curvas, cada una de las cuales tiene una dimensión D entre 1 y 2 (también menciona, pero no proporciona una construcción para la curva de Peano que llena el espacio, que tiene una dimensión exactamente 2). El artículo no afirma que cualquier línea costera o frontera geográfica en realidad tenga dimensión fraccionaria. En cambio, señala que la ley empírica de Richardson es compatible con la idea de que las curvas geográficas, como las líneas costeras, pueden modelarse mediante figuras aleatorias autosimilares de dimensión fraccionaria. Cerca del final del artículo, Mandelbrot analiza brevemente cómo se podría abordar el estudio de objetos similares a fractales en la naturaleza que parecen aleatorios en lugar de regulares. Para esto, define las figuras estadísticamente autosimilares y dice que estas se encuentran en la naturaleza. El artículo es importante porque es un "punto de inflexión" en el pensamiento temprano de Mandelbrot sobre los fractales. Se trata de un ejemplo de la vinculación de objetos matemáticos con formas naturales, un tema recurrente en gran parte de su obra posterior.

Una propiedad clave de algunos fractales es la autosimilitud, es decir, a cualquier escala aparece la misma configuración general. Una línea de costa se percibe como bahías que se alternan con promontorios. En la situación hipotética de que una línea de costa dada tenga esta propiedad de autosimilitud, entonces, sin importar cuán grande sea cualquier pequeña sección de la línea de costa, aparece un patrón similar de bahías y promontorios más pequeños superpuestos a bahías y promontorios más grandes, hasta llegar a los granos de arena. A esa escala, la línea de costa aparece como un hilo que se desplaza momentáneamente, potencialmente infinitamente largo, con una disposición estocástica de bahías y promontorios formados a partir de los pequeños objetos que se encuentran a mano. En un entorno así (en oposición a curvas suaves), Mandelbrot afirma que "la longitud de la línea de costa resulta ser una noción esquiva que se desliza entre los dedos de quienes quieren comprenderla".

Existen diferentes tipos de fractales. Una línea de costa con la propiedad mencionada pertenece a "una primera categoría de fractales, es decir, curvas cuya dimensión fractal es mayor que 1". Esta última afirmación representa una extensión por parte de Mandelbrot del pensamiento de Richardson. La afirmación de Mandelbrot sobre el efecto Richardson es:

${\displaystyle L(\varepsilon)\sim F\varepsilon ^{1-D}$

donde L, la longitud de la línea de costa, una función de la unidad de medida ε, se aproxima mediante la expresión. F es una constante y D es un parámetro que Richardson descubrió que dependía de la línea de costa aproximada por L. No dio ninguna explicación teórica, pero Mandelbrot identificó D con una forma no entera de la dimensión de Hausdorff, más tarde la dimensión fractal. Reordenando la expresión se obtiene:

${\displaystyle F\varepsilon ^{-D}\cdot \varepsilon}$

donde Fε^−D debe ser el número de unidades ε necesarias para obtener L. La línea discontinua que mide una costa no se extiende en una dirección ni representa un área, sino que es intermedia entre las dos y puede considerarse como una banda de ancho 2ε. D es su dimensión fractal, que varía entre 1 y 2 (y normalmente menos de 1,5). Las costas más quebradas tienen un valor mayor de D y, por lo tanto, L es más largo para el mismo ε. D es aproximadamente 1,02 para la costa de Sudáfrica y aproximadamente 1,25 para la costa oeste de Gran Bretaña. Para las costas de los lagos, el valor típico de D es 1,28.

La paradoja de la línea de costa describe un problema con aplicaciones en el mundo real, que incluye cuestiones triviales como qué río, playa, frontera o costa es la más larga; los dos primeros registros son motivo de intenso debate; además, el problema se extiende a la demarcación de límites territoriales, derechos de propiedad, monitoreo de la erosión y las implicaciones teóricas de nuestro modelado geométrico. Para resolver este problema, se han propuesto varias soluciones. Estas soluciones resuelven los problemas prácticos en torno al problema estableciendo la definición de "línea de costa", estableciendo los límites físicos prácticos de una línea de costa y utilizando números enteros matemáticos dentro de estas limitaciones prácticas para calcular la longitud con un nivel significativo de precisión. Estas soluciones prácticas al problema pueden resolver el problema para todas las aplicaciones prácticas mientras persista como un concepto teórico/matemático dentro de nuestros modelos.

La paradoja de la costa suele ser criticada porque las costas son inherentemente finitas, características reales en el espacio y, por lo tanto, existe una respuesta cuantificable para su longitud. La comparación con los fractales, si bien es útil como metáfora para explicar el problema, se critica por no ser totalmente precisa, ya que las costas no se repiten a sí mismas y son fundamentalmente finitas.

La fuente de la paradoja se basa en la forma en que medimos la realidad y es más relevante cuando intentamos usar esas mediciones para crear modelos cartográficos de costas. La tecnología moderna, como el LiDAR, los sistemas de posicionamiento global y los sistemas de información geográfica, han hecho que abordar la paradoja sea mucho más fácil; sin embargo, las limitaciones de las mediciones de levantamientos topográficos y el software vectorial persisten. Los críticos argumentan que estos problemas son más bien teóricos y no consideraciones prácticas para los planificadores.

Alternativamente, el concepto de una "línea de costa" es en sí mismo una construcción humana que depende de la asignación de un dato de marea que no es plano en relación con ningún dato vertical y, por lo tanto, cualquier línea construida entre la tierra y el mar en algún lugar de la zona intermareal es semiarbitraria y está en constante cambio. Por lo tanto, se puede construir una gran cantidad de "líneas de costa" para diversos fines analíticos utilizando diferentes fuentes de datos y metodologías, cada una con una longitud diferente. Esto puede complicar la cuantificación de los servicios ecosistémicos utilizando métodos que dependen de la longitud de la línea de costa.

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• "Coastlines" en Geometría estructural (ed. Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger; maintained for Math 190a at Yale University)
• Atlas de Canadá – Línea costera y Shoreline
• NOAA GeoZone Blog en Costa Digital
• ¿Qué es la paradoja costera? – YouTube video de Veritasium