Paradoja de Condorcet

La paradoja de Condorcet (también conocida como paradoja del voto o paradoja del voto) en la teoría de la elección social es una situación señalada por el Marquis de Condorcet a fines del siglo XVIII, en el que las preferencias colectivas pueden ser cíclicas, incluso si las preferencias de los votantes individuales no son cíclicas. Esto es paradójico, porque significa que los deseos de la mayoría pueden estar en conflicto entre sí: supongamos que las mayorías prefieren, por ejemplo, al candidato A sobre B, B sobre C y, sin embargo, C sobre A. Cuando esto ocurre, es porque las mayorías en conflicto cada uno está formado por diferentes grupos de individuos.

Por lo tanto, una expectativa de que la transitividad por parte de todos los individuos' las preferencias deberían resultar en la transitividad de las preferencias sociales es un ejemplo de una falacia de composición.

La paradoja fue descubierta de forma independiente por Lewis Carroll y Edward J. Nanson, pero su importancia no fue reconocida hasta que Duncan Black la popularizó en la década de 1940.

Ejemplo

Los votantes (azul) y los candidatos (rojo) conspiraron en un espacio de preferencia 2-dimensional. Cada votante prefiere un candidato más cercano. Arrows muestra la orden en que los votantes prefieren a los candidatos.

Supongamos que tenemos tres candidatos, A, B y C, y que hay tres votantes con preferencias de la siguiente manera (los candidatos se enumeran de izquierda a derecha para cada votante en orden decreciente de preferencia):

Si se elige a C como ganador, se puede argumentar que B debería ganar en su lugar, ya que dos votantes (1 y 2) prefieren B a C y solo un votante (3) prefiere C a B. Sin embargo, por el mismo el argumento A se prefiere a B, y C se prefiere a A, por un margen de dos a uno en cada ocasión. Por lo tanto, las preferencias de la sociedad muestran el ciclismo: se prefiere A sobre B, que se prefiere sobre C, que se prefiere sobre A.

Calificaciones cardinales

Observe que en la votación de Puntuación, el poder de un votante se reduce en ciertas coincidencias pares relativas a Condorcet. Esto garantiza que una preferencia social cíclica nunca puede ocurrir.

Tenga en cuenta que en el ejemplo gráfico, los votantes y los candidatos no son simétricos, pero el sistema de votación clasificado "aplana" sus preferencias en un ciclo simétrico. Los sistemas de votación cardinales brindan más información que las clasificaciones, lo que permite encontrar un ganador. Por ejemplo, en la votación por puntaje, las papeletas podrían ser:

El candidato A obtiene la puntuación más alta y es el ganador, ya que A es el más cercano a todos los votantes. Sin embargo, la mayoría de los votantes tiene un incentivo para dar a A un 0 y a C un 10, lo que permite que C venza a A, que es lo que prefieren, momento en el que la mayoría tendrá un incentivo para dar a C un 0 y a B un 10. para hacer que B gane, etc. (En este ejemplo particular, sin embargo, el incentivo es débil, ya que aquellos que prefieren C a A solo obtienen C 1 punto por encima de A; en un método clasificado de Condorcet, es muy posible que simplemente clasifique igualmente A y C debido a lo débil que es su preferencia, en cuyo caso no se habría formado un ciclo de Condorcet en primer lugar, y A habría sido el ganador de Condorcet). Entonces, aunque el ciclo no ocurre en ningún conjunto dado de votos, puede aparecer a través de elecciones iteradas con votantes estratégicos con calificaciones cardinales.

Condición necesaria para la paradoja

Supongamos que x es la fracción de votantes que prefieren A sobre B y que y es la fracción de votantes que prefieren B sobre C. Se ha demostrado que la la fracción z de votantes que prefieren A sobre C siempre es al menos (x + y – 1). Dado que la paradoja (una mayoría que prefiere C sobre A) requiere z < 1/2, una condición necesaria para la paradoja es que

${displaystyle x+y-1leq z se hizo {frac {1}}quad {text{y hence}quad x+y se llevó a cabo {frac} {3}{2}}$

Probabilidad de la paradoja

Es posible estimar la probabilidad de la paradoja extrapolando datos electorales reales o utilizando modelos matemáticos del comportamiento de los votantes, aunque los resultados dependen en gran medida del modelo que se utilice. En particular, Andranik Tangian ha demostrado que la probabilidad de la paradoja de Condorcet es insignificante en una sociedad grande.

Modelo de cultura imparcial

Podemos calcular la probabilidad de ver la paradoja para el caso especial donde las preferencias de los votantes se distribuyen uniformemente entre los candidatos. (Este es el modelo de 'cultura imparcial', que se sabe que no es realista, por lo que, en la práctica, una paradoja de Condorcet puede ser más o menos probable que este cálculo).

Para ${displaystyle n}$ Los votantes que proporcionan una lista de preferencias de tres candidatos A, B, C, escribimos ${displaystyle X_{n}$ (Resp. ${displaystyle Y...$, ${displaystyle Z_{n}$) la variable aleatoria igual al número de votantes que colocaron A delante de B (respectivamente B delante de C, C delante de A). La probabilidad buscada es ${displaystyle p_{n}=2P(X_{n} títulon/2,Y_{n} títulon/2,Z_{n} títulon/2)}$ (nos doblamos porque también existe el caso simétrico A título C = B Conf. A). Lo mostramos, por extraño. ${displaystyle n}$, ${displaystyle P_{n}=3q_{n}-1/2}$ Donde ${displaystyle q_{n}=P(X_{n} títulon/2,Y_{n} {n}]}}$ lo que hace necesario saber solamente la distribución conjunta ${displaystyle X_{n}$ y ${displaystyle Y...$.

Si ponemos ${displaystyle p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)}$, mostramos la relación que hace posible calcular esta distribución por recurrencia: ${displaystyle p_{n+1,i,j}={1 over 6}p_{n,i,j}+{1 over 3}p_{n,i-1,j}+{1 over 3}p_{n,i,j-1}+{1 over 6}p_{n,i-1,j-1}}}$.

Entonces se obtienen los siguientes resultados:

${displaystyle n}$	3	101	201	301	401	501	601
${displaystyle P_{n}$	5.556%	8.690%	8.732%	8.746%	8.753%	8.757%	8.760%

La secuencia parece tender hacia un límite finito.

Usando el teorema límite central, mostramos que ${displaystyle q_{n}$ tiende a ${displaystyle q={frac {1} {4}}Pleft(Principalmente)}$ Donde ${displaystyle T}$ es una variable siguiendo una distribución Cauchy, que da ${displaystyle q={dfrac {1}{2pi}int _{sqrt {2}/4}{+infty {dt}{1+t^{2}}={dfrac {actan 2{sqrt {2}{2pi} }={dfrac {rccos {frac {1}{3} {2pi} }$ (constant quoted in the OEIS).

La probabilidad asintotica de encontrar la paradoja de Condorcet es por lo tanto ${displaystyle {{3arccos {1over 3}over {2pi}-{1 over 2}={arcsin {sqrt {6} over 9} over pi }$ que da el valor 8.77%.

Se han calculado y simulado algunos resultados para el caso de más de tres candidatos. La probabilidad simulada de un modelo de cultura imparcial con 25 votantes aumenta con el número de candidatos:

La probabilidad de un ciclo de Condorcet para modelos relacionados se acerca a estos valores para electorados grandes:

• Cultura anónima (IAC): 6,25%
• Cultura uniforme (UC): 6,25%
• Condición de la cultura máxima (MC): 9.17%

Todos estos modelos no son realistas y se investigan para establecer un límite superior en la probabilidad de un ciclo.

Modelos de coherencia de grupo

Cuando se modela con preferencias de votantes más realistas, las paradojas de Condorcet en elecciones con un número pequeño de candidatos y un gran número de votantes se vuelven muy raras.

Modelo espacial

Un estudio de elecciones de tres candidatos analizó 12 modelos diferentes de comportamiento de los votantes y descubrió que el modelo espacial de votación era el más preciso para los datos electorales de boletas ordenadas del mundo real. Al analizar este modelo espacial, encontraron la probabilidad de que un ciclo disminuya a cero a medida que aumenta el número de votantes, con probabilidades del 5 % para 100 votantes, del 0,5 % para 1000 votantes y del 0,06 % para 10 000 votantes.

Otro modelo espacial encontró probabilidades del 2 % o menos en todas las simulaciones de 201 votantes y 5 candidatos, ya fueran bidimensionales o tetradimensionales, con o sin correlación entre dimensiones, y con dos dispersiones diferentes de candidatos.

Estudios empíricos

Se han hecho muchos intentos de encontrar ejemplos empíricos de la paradoja. La identificación empírica de una paradoja de Condorcet presupone datos extensos sobre los responsables de la toma de decisiones. preferencias sobre todas las alternativas, algo que rara vez está disponible.

Un resumen de 37 estudios individuales, que cubren un total de 265 elecciones del mundo real, grandes y pequeñas, encontró 25 instancias de una paradoja de Condorcet, para una probabilidad total del 9,4 % (y esta puede ser una estimación alta, ya que los casos de la paradoja tienen más probabilidades de ser informados que los casos sin ellos).

Un análisis de 883 elecciones de tres candidatos extraídas de 84 elecciones de papeletas ordenadas del mundo real de la Sociedad de Reforma Electoral encontró una probabilidad de ciclo de Condorcet del 0,7 %. Estas elecciones derivadas contaron con entre 350 y 1.957 votantes. Un análisis similar de los datos de las encuestas de escala de termómetro de los Estudios Electorales Nacionales Estadounidenses de 1970-2004 encontró una probabilidad de ciclo de Condorcet del 0,4%. Estas elecciones derivadas contaron con entre 759 y 2.521 'votantes'.

Si bien los ejemplos de la paradoja parecen ocurrir ocasionalmente en entornos pequeños (p. ej., parlamentos), se han encontrado muy pocos ejemplos en grupos más grandes (p. ej., electorados), aunque se han identificado algunos.

Implicaciones

Cuando se usa un método de Condorcet para determinar una elección, la paradoja de la votación de las preferencias sociales cíclicas implica que la elección no tiene un ganador de Condorcet: ningún candidato que pueda ganar una elección uno a uno contra otro candidato. Todavía habrá un grupo más pequeño de candidatos, conocido como el conjunto de Smith, de modo que cada candidato del grupo pueda ganar una elección uno a uno contra cada uno de los candidatos fuera del grupo. Las diversas variantes del método Condorcet difieren en cómo resuelven tales ambigüedades cuando surgen para determinar un ganador. Los métodos de Condorcet que siempre eligen a alguien del conjunto de Smith cuando no hay un ganador de Condorcet se conocen como Smith-eficientes. Tenga en cuenta que al usar solo clasificaciones, no hay una resolución justa y determinista para el ejemplo trivial dado anteriormente porque cada candidato se encuentra en una situación exactamente simétrica.

Las situaciones que tienen la paradoja de la votación pueden hacer que los mecanismos de votación violen el axioma de independencia de alternativas irrelevantes: la elección del ganador por un mecanismo de votación podría verse influenciada por si un candidato perdedor está disponible o no para ser votado.

Procesos de votación en dos etapas

Una implicación importante de la posible existencia de la paradoja de la votación en una situación práctica es que, en un proceso de votación en dos etapas, el eventual ganador puede depender de la forma en que se estructuran las dos etapas. Por ejemplo, suponga que el ganador de A contra B en la contienda primaria abierta por el liderazgo de un partido se enfrentará al líder del segundo partido, C, en las elecciones generales. En el ejemplo anterior, A derrotaría a B por la nominación del primer partido y luego perdería ante C en las elecciones generales. Pero si B estuviera en el segundo partido en lugar del primero, B derrotaría a C en la nominación de ese partido y luego perdería ante A en las elecciones generales. Por lo tanto, la estructura de las dos etapas marca la diferencia de si A o C es el ganador final.

Del mismo modo, la estructura de una secuencia de votos en una legislatura puede ser manipulada por la persona que organiza los votos para garantizar un resultado preferido.