Paradoja de Burali-Forti

En la teoría de conjuntos, un campo de las matemáticas, la paradoja de Burali-Forti demuestra que construir "el conjunto de todos los números ordinales" conduce a una contradicción y por lo tanto muestra una antinomia en un sistema que permite su construcción. Lleva el nombre de Cesare Burali-Forti, quien, en 1897, publicó un artículo que demostraba un teorema que, sin que él lo supiera, contradecía un resultado previamente probado por Cantor. Posteriormente, Bertrand Russell notó la contradicción, y cuando la publicó en su libro de 1903 Principles of Mathematics, afirmó que se lo había sugerido el artículo de Burali-Forti, con el resultado de que llegó a ser conocido por el nombre de Burali-Forti.

Expresado en términos de ordinales de von Neumann

Probaremos esto mediante una deconstrucción deliberada.

1. Vamos Ω ser un conjunto consistente en todos los números ordinal.
2. Ω es transitivo porque para cada elemento x de Ω (que es un número ordinal y puede ser cualquier número ordinal) y cada elemento Sí. de x (es decir, bajo la definición de ordinal Von Neumann, por cada número ordinal Sí.. x), tenemos que Sí. es un elemento Ω porque cualquier número ordinal contiene sólo números ordinal, por la definición de esta construcción ordinal.
3. Ω está bien ordenado por la relación de membresía porque todos sus elementos también están bien ordenados por esta relación.
4. Así que, por los pasos 2 y 3, tenemos que Ω es una clase ordinal y también, por paso 1, un número ordinal, porque todas las clases ordinal que son conjuntos son también números ordinal.
5. Esto implica que Ω es un elemento Ω.
6. Bajo la definición de ordinal Von Neumann, Ω. Ω es lo mismo que Ω ser un elemento de Ω. Esta última declaración está demostrada por el paso 5.
7. Pero ninguna clase ordinal es menos que ella misma, incluyendo Ω por el paso 4 (Ω es una clase ordinal), es decir. Ω ≮Ω.

Hemos deducido dos proposiciones contradictorias (Ω < Ω y Ω ≮ Ω) del conjunto de Ω y, por lo tanto, refutó que Ω es un conjunto.

Declarada más generalmente

La versión de la paradoja anterior es anacrónica, porque presupone la definición de los ordinals debido a John von Neumann, bajo la cual cada ordinal es el conjunto de todos los ordinales anteriores, que no se conocía en el momento en que la paradoja fue enmarcada por Burali-Forti. Aquí hay una cuenta con menos presuposiciones: supongamos que nos asociamos con cada bien ordenado un objeto llamado su tipo de orden de manera no especificada (los tipos de orden son los números ordinal). Los tipos de orden (números ordinales) son bien ordenados de manera natural, y este bien ordenado debe tener un tipo de pedido Ω Ω {displaystyle Omega }. Se muestra fácilmente en naïve set theory (and remains true in ZFC but not in New Foundations) that the order tipo de todos los números ordinal menos que un fijo α α {displaystyle alpha } es α α {displaystyle alpha } en sí mismo. Así que la orden tipo de todos los números ordinal menos que Ω Ω {displaystyle Omega } es Ω Ω {displaystyle Omega } en sí mismo. Pero... esto significa que Ω Ω {displaystyle Omega }, siendo el tipo de orden de un segmento inicial adecuado de los ordinals, es estrictamente menos que el tipo de orden de todos los ordinals, pero este último es Ω Ω {displaystyle Omega } por definición. Esto es una contradicción.

Si utilizamos la definición de von Neumann, bajo la cual cada ordinal se identifica como el conjunto de todos los ordinal anteriores, la paradoja es inevitable: la proposición ofensiva de que el tipo de orden de todos los números ordinal menos que un fijo α α {displaystyle alpha } es α α {displaystyle alpha } debe ser verdad. La colección de ordinals von Neumann, como la colección en la paradoja Russell, no puede ser un conjunto en cualquier teoría de conjunto con lógica clásica. Pero la colección de tipos de pedidos en Nuevas Fundaciones (definidos como clases de equivalencia de bien ordenados bajo similitud) es en realidad un conjunto, y la paradoja se evita porque el tipo de orden de los ordinals menos que Ω Ω {displaystyle Omega }Resulta que no Ω Ω {displaystyle Omega }.

Resoluciones de la paradoja

Axiomas modernos para la teoría formal de conjuntos como ZF y ZFC eluden esta antinomía al no permitir la construcción de conjuntos utilizando términos como "todos los conjuntos con la propiedad P{displaystyle P}", como es posible en la teoría de conjuntos ingenuos y como es posible con los axiomas de Gottlob Frege – específicamente la Ley Básica V – en el "Grundgesetze der Arithmetik." El sistema de Quine New Foundations (NF) utiliza una solución diferente. Rosser (1942) mostró que en la versión original del sistema de Quine "Mathematical Logic" (ML), una extensión de New Foundations, es posible derivar la paradoja Burali-Forti, mostrando que este sistema era contradictorio. La revisión de Quine de ML después del descubrimiento de Rosser no sufre este defecto, y de hecho fue probado equiconsistente con NF por Hao Wang.