Paradoja de Banach-Tarski

La paradoja de Banach-Tarski es un teorema de la geometría de conjuntos que establece lo siguiente: Dada una esfera sólida en un espacio tridimensional, existe una descomposición de la esfera en un número finito de subconjuntos disjuntos, que pueden recomponerse de forma diferente para obtener dos copias idénticas de la esfera original. De hecho, el proceso de reensamblado solo implica mover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma original. Sin embargo, las piezas en sí mismas no son "sólidos" en el sentido tradicional, sino una dispersión infinita de puntos. La reconstrucción puede funcionar con tan solo cinco piezas.Una forma alternativa del teorema establece que, dados dos objetos sólidos "razonables" (como una pelota pequeña y una pelota enorme), las piezas cortadas de cualquiera de ellos pueden reensamblarse para formar el otro. Esto suele expresarse informalmente como "un guisante puede cortarse y reensamblarse para formar el Sol", y se denomina la "paradoja del guisante y el Sol".El teorema es una paradoja verídica: contradice la intuición geométrica básica, pero no es falso ni autocontradictorio. «Duplicar la pelota» dividiéndola en partes y moviéndolas mediante rotaciones y traslaciones, sin estirarlas, doblarlas ni añadir nuevos puntos, parece imposible, ya que todas estas operaciones, intuitivamente hablando, deberían preservar el volumen. La intuición de que tales operaciones preservan los volúmenes no es matemáticamente absurda e incluso se incluye en la definición formal de volúmenes. Sin embargo, esto no es aplicable aquí, ya que en este caso es imposible definir los volúmenes de los subconjuntos considerados. Reensamblarlos reproduce un conjunto con un volumen que resulta ser diferente del volumen inicial.A diferencia de la mayoría de los teoremas geométricos, la demostración matemática de este resultado depende de la elección de axiomas para la teoría de conjuntos de forma crítica. Puede demostrarse mediante el axioma de elección, que permite la construcción de conjuntos no medibles, es decir, conjuntos de puntos que no tienen volumen en el sentido ordinario y cuya construcción requiere un número incontable de opciones.En 2005 se demostró que las piezas de la descomposición pueden seleccionarse de tal manera que puedan moverse continuamente en su lugar sin chocar entre sí.Como demostraron independientemente Leroy y Simpson, la paradoja de Banach-Tarski no viola los volúmenes si se trabaja con lugares en lugar de espacios topológicos. En este contexto abstracto, es posible tener subespacios sin punto, pero aún no vacíos. Las partes de la descomposición paradójica se intersecan con frecuencia en el sentido de lugares, tanto que a algunas de estas intersecciones se les debería asignar una masa positiva. Teniendo en cuenta esta masa oculta, la teoría de lugares permite medir satisfactoriamente todos los subconjuntos (e incluso todos los sublocales) del espacio euclidiano.En un artículo publicado en 1924, Stefan Banach y Alfred Tarski desarrollaron una construcción de dicha descomposición paradójica, basada en trabajos previos de Giuseppe Vitali sobre el intervalo unitario y en las descomposiciones paradójicas de la esfera de Felix Hausdorff, y analizaron diversas cuestiones relacionadas con las descomposiciones de subconjuntos de espacios euclidianos en diversas dimensiones. Demostraron la siguiente afirmación más general, la forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski:

Dados los dos subconjuntos atados A y B de un espacio euclidiano en al menos tres dimensiones, ambas de las cuales tienen un interior no vacío, hay particiones de A y B en un número finito de subconjuntos descomunales, ${\displaystyle A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}$, ${\displaystyle B=B_{1}\cup \cdots \cup B_{k}$ (para algunos enteros k), tal que para cada ( entero) i entre 1 y k, los conjuntos A_i y B_i son congruentes.

Sea ahora A la bola original y B la unión de dos copias trasladadas de la bola original. Entonces, la proposición significa que la bola original A puede dividirse en un cierto número de partes y luego rotarse y trasladarse de tal manera que el resultado sea el conjunto completo B, que contiene dos copias de A.

La forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski es falsa en las dimensiones uno y dos, pero Banach y Tarski demostraron que una afirmación análoga sigue siendo cierta si se permite un número contable de subconjuntos. La diferencia entre las dimensiones 1 y 2, por un lado, y 3 y superiores, por otro, se debe a la estructura más rica del grupo E(n) de movimientos euclidianos en tres dimensiones. Para n = 1, 2, el grupo es resoluble, pero para n ≥ 3 contiene un grupo libre con dos generadores. John von Neumann estudió las propiedades del grupo de equivalencias que posibilitan una descomposición paradójica e introdujo el concepto de grupos susceptibles. También encontró una forma de la paradoja en el plano que utiliza transformaciones afines que preservan el área en lugar de las congruencias habituales.Tarski demostró que los grupos susceptibles son precisamente aquellos para los que no existen descomposiciones paradójicas. Dado que solo se necesitan subgrupos libres en la paradoja de Banach-Tarski, esto condujo a la antigua conjetura de von Neumann, que fue refutada en 1980.

La paradoja Banach-Tarski afirma que una bola en el espacio Euclideano ordinario se puede duplicar utilizando sólo las operaciones de partición en subconjuntos, reemplazando un conjunto con un conjunto congruente, y reasembling. Su estructura matemática es muy dilucidada destacando el papel desempeñado por el grupo de movimientos euclidianos e introduciendo las nociones de conjuntos equidecomposibles y un conjunto paradójico. Supongamos que G es un grupo que actúa en un conjunto X. En el caso especial más importante, X es un n-dimensional Espacio euclidiano (para integral) n), y G consta de todas las isometrías de X, es decir, las transformaciones de X en sí mismo que preservan las distancias, generalmente denotadas E()n). Dos figuras geométricas que se pueden transformar entre sí se llaman congruentes, y esta terminología se extenderá a la general G- acción. Dos subconjuntos A y B de X se llaman G-equidecomposibleo equidecomposable con respecto a G, si A y B se puede dividir en el mismo número finito de respectivamente G- piezas congruentes. Esto define una relación de equivalencia entre todos los subconjuntos de X. Formalmente, si existen conjuntos no vacíos ${\displaystyle A_{1},\dots A_{k}$, ${\displaystyle B_{1},\dots B_{k}$ tales que

${\displaystyle A=\bigcup ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

${\displaystyle \quad A_{i}\cap A_{j}=B_{i}\cap B_{j}=\emptyset \quad {\text{for all }1\leq i didj\leq k,}$

y existen elementos ${\displaystyle g_{i}\in G.$ tales que

${\displaystyle g_{i}=B_{i}{i}{\text{ for all }1\leq i\leq k,}$

Entonces se puede decir que A y B son G-equidescomponibles usando k piezas. Si un conjunto E tiene dos subconjuntos disjuntos A y B tales que A y E, así como B y E, son G-equidescomponibles, entonces E se llama paradójico.Utilizando esta terminología, la paradoja de Banach-Tarski puede reformularse de la siguiente manera:

Una bola Euclideana tridimensional es equidecomposible con dos copias de sí misma.

De hecho, en este caso hay un resultado claro, gracias a Raphael M. Robinson: se puede doblar la bola con cinco piezas, y menos de cinco piezas no bastan.La versión fuerte de la paradoja afirma:

Cualquier subconjunto atado de espacio euclidiano tridimensional con interiores no vacíos es equidecomposible.

Aunque aparentemente más general, esta afirmación se deriva de forma sencilla de la duplicación de una pelota mediante una generalización del teorema de Bernstein-Schröder de Banach, que implica que si A es equidescomponible con un subconjunto de B y B es equidescomponible con un subconjunto de A, entonces A y B son equidescomponibles.

La paradoja de Banach-Tarski puede contextualizarse señalando que, para dos conjuntos en su forma fuerte, siempre existe una función biyectiva que puede mapear los puntos de una forma en la otra de forma biyectiva. En el lenguaje de la teoría de conjuntos de Georg Cantor, estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Por lo tanto, si se amplía el grupo para permitir biyecciones arbitrarias de X, todos los conjuntos con interior no vacío se vuelven congruentes. De igual modo, una esfera puede transformarse en una esfera más grande o más pequeña mediante estiramiento, o en otras palabras, aplicando transformaciones de semejanza. Por lo tanto, si el grupo G es suficientemente grande, se pueden encontrar conjuntos G-equidescomponibles cuyos tamaños varíen. Además, dado que un conjunto contable puede convertirse en dos copias de sí mismo, se podría esperar que usar un número contable de piezas pudiera, de alguna manera, resolver el problema.Por otro lado, en la paradoja de Banach-Tarski, el número de piezas es finito y las equivalencias permitidas son congruencias euclidianas, que preservan los volúmenes. Sin embargo, de alguna manera, terminan duplicando el volumen de la pelota. Si bien esto es ciertamente sorprendente, algunas de las piezas utilizadas en la descomposición paradójica son conjuntos no medibles, por lo que la noción de volumen (más precisamente, la medida de Lebesgue) no está definida para ellas, y la partición no puede lograrse de manera práctica. De hecho, la paradoja de Banach-Tarski demuestra que es imposible encontrar una medida finitamente aditiva (o una medida de Banach) definida en todos los subconjuntos de un espacio euclidiano de tres (o más) dimensiones que sea invariante con respecto a los movimientos euclidianos y tome el valor uno en un cubo unitario. En su trabajo posterior, Tarski demostró que, a la inversa, la inexistencia de descomposiciones paradójicas de este tipo implica la existencia de una medida invariante finitamente aditiva.El núcleo de la demostración de la forma de "duplicar la pelota" de la paradoja que se presenta a continuación reside en el notable hecho de que, mediante una isometría euclidiana (y renombrando elementos), se puede dividir un conjunto (en esencia, la superficie de una esfera unitaria) en cuatro partes, y luego rotar una de ellas para convertirla en sí misma más dos de las otras partes. Esto se deduce con bastante facilidad de una descomposición F₂-paradójica de F₂, el grupo libre con dos generadores. La demostración de Banach y Tarski se basó en un hecho análogo descubierto por Hausdorff algunos años antes: la superficie de una esfera unitaria en el espacio es una unión disjunta de tres conjuntos B, C, D y un conjunto numerable E, tales que, por un lado, B, C, D son congruentes por pares, y por otro lado, B es congruente con la unión de C y D. Esto se conoce a menudo como la paradoja de Hausdorff.

Banach y Tarski reconocen explícitamente la construcción del conjunto que lleva su nombre realizada por Giuseppe Vitali en 1905, la paradoja de Hausdorff (1914) y un artículo anterior de Banach (1923) como precursores de su trabajo. Las construcciones de Vitali y Hausdorff se basan en el axioma de elección de Zermelo («AC»), que también es crucial para el artículo de Banach-Tarski, tanto para demostrar su paradoja como para demostrar otro resultado:

Dos polígonos euclidianos, uno de los cuales contiene estrictamente el otro, no son equidecomposibles.

Comentan:

Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention

(El papel que este axioma juega en nuestro razonamiento nos parece merecer atención)

Señalan que, si bien el segundo resultado concuerda plenamente con la intuición geométrica, su demostración utiliza AC de forma aún más sustancial que la demostración de la paradoja. Por lo tanto, Banach y Tarski insinúan que AC no debería rechazarse únicamente porque produce una descomposición paradójica, ya que dicho argumento también socava las demostraciones de enunciados geométricamente intuitivos.Sin embargo, en 1949, A. P. Morse demostró que el enunciado sobre los polígonos euclidianos puede demostrarse en la teoría de conjuntos ZF y, por lo tanto, no requiere el axioma de elección. En 1964, Paul Cohen demostró que el axioma de elección es independiente de ZF; es decir, la elección no puede demostrarse a partir de ZF. Una versión más débil de un axioma de elección es el axioma de elección dependiente, DC, y se ha demostrado que DC no es suficiente para demostrar la paradoja de Banach-Tarski, es decir,

La paradoja Banach-Tarski no es un teorema de ZF, ni de ZF+DC, suponiendo su consistencia.

Gran parte de las matemáticas utilizan AC. Como señala Stan Wagon al final de su monografía, la paradoja de Banach-Tarski ha sido más significativa por su papel en las matemáticas puras que por sus cuestiones fundamentales: motivó una nueva y fructífera dirección para la investigación, la amenidad de los grupos, que no tiene nada que ver con las cuestiones fundamentales.En 1991, utilizando los resultados entonces recientes de Matthew Foreman y Friedrich Wehrung, Janusz Pawlikowski demostró que la paradoja de Banach-Tarski se deduce de ZF más el teorema de Hahn-Banach. El teorema de Hahn-Banach no se basa en el axioma de elección completo, pero puede demostrarse utilizando una versión más débil de AC llamada lema del ultrafiltro.Aquí se esboza una demostración similar, pero no idéntica, a la de Banach y Tarski. En esencia, la descomposición paradójica de la bola se logra en cuatro pasos:

1. Encuentre una descomposición paradójica del grupo libre en dos generadores.
2. Encuentre un grupo de rotaciones en 3-d espacio isomorfo al grupo libre en dos generadores.
3. Utilice la descomposición paradójica de ese grupo y el axioma de elección para producir una descomposición paradójica de la esfera de unidad hueca.
4. Extender esta descomposición de la esfera a una descomposición de la bola de unidad sólida.

Estos pasos se explican con más detalle a continuación.

El grupo libre con dos generadores a y b consta de todas las cadenas finitas que pueden formarse a partir de los cuatro símbolos a, a⁻¹, b y b⁻¹, de modo que ninguna a aparezca junto a una a⁻¹ ni ninguna b junto a una b⁻¹. Dos de estas cadenas pueden concatenarse y convertirse en una cadena de este tipo reemplazando repetidamente las subcadenas "prohibidas" con la cadena vacía. Por ejemplo: abab⁻¹a⁻¹ concatenado con abab⁻¹a produce abab⁻¹a⁻¹abab⁻¹a, que contiene la subcadena a⁻¹a, y por lo tanto se reduce a abab⁻¹bab⁻¹a, que contiene la subcadena b⁻¹b, que se reduce a abaab⁻¹a. Se puede comprobar que el conjunto de esas cadenas con esta operación forma un grupo cuyo elemento identidad es la cadena vacía e. Este grupo puede llamarse F₂.

El grupo ${\displaystyle F_{2}$ puede ser "paradójicamente descompuesto" como sigue: Vamos. S()a) ser el subconjunto de ${\displaystyle F_{2}$ que consiste en todas las cuerdas que comienzan con a, y definir S()a⁻¹), S()b) y S()b⁻¹Igual. Claramente,

${\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1}$

Pero también

${\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),}$

Y

${\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b),}$

donde la notación aS(a⁻¹) significa tomar todas las cadenas en S(a⁻¹) y concatenarlas a la izquierda con a.

Esto es el núcleo de la prueba. Por ejemplo, puede haber una cadena ${\displaystyle aa^{-1}b}$ en el conjunto ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ que, debido a la regla de que ${\displaystyle a}$ no debe aparecer junto a ${\displaystyle a^{-1}$, reduce a la cadena ${\displaystyle b}$. Análogamente, ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ contiene todas las cuerdas que comienzan con ${\displaystyle a^{-1}$ (por ejemplo, la cuerda ${\displaystyle aa^{-1}a}{-1}$ que reduce a ${\displaystyle a^{-1}$). De esta manera, ${\displaystyle aS(a^{-1})}$ contiene todas las cuerdas que comienzan con ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle b^{-1}$ y ${\displaystyle a^{-1}$, así como la cuerda vacía ${\displaystyle e}$.

Grupo F₂ ha sido cortado en cuatro piezas (más el singleton {e}), entonces dos de ellos "hijados" multiplicando con a o b, entonces "sembled" como dos piezas para hacer una copia de ${\displaystyle F_{2}$ y los otros dos para hacer otra copia ${\displaystyle F_{2}$. Eso es exactamente lo que se pretende hacer a la pelota.

Para encontrar un grupo libre de rotaciones del espacio 3D, es decir, que se comporta como (o "es isomorfo a") el grupo libre F₂, se toman dos ejes ortogonales (por ejemplo, los x y z ejes). Entonces, A se considera una rotación de ${\textstyle \theta = 'arccos \left({\frac {1}\right)}$ sobre el x axis, y B para ser una rotación ${\displaystyle \theta }$ sobre el z axis (hay muchos otros pares adecuados de múltiplos irracionales de π que podrían ser utilizados aquí también).

El grupo de rotaciones generadas por A y B será llamado H. Vamos. ${\displaystyle \omega }$ ser un elemento de H que comienza con una rotación positiva sobre el z axis, es decir, un elemento de la forma ${\displaystyle \omega =\ldots b^{k_{3}a^{k_{2}b^{k_{1}}}$ con ${\displaystyle k_{1} {0,\ k_{2},k_{3},\ldotsk_{n}\neq 0,\ n\geq 1}$. Se puede mostrar por inducción que ${\displaystyle \omega }$ mapas el punto ${\displaystyle (1,0,0)}$ a ${\textstyle \left {\frac}{3^{N}} {\frac {\sqrt} {2}}{3^{N}}} {\frac {\fn}}\right)}$, para algunos ${\displaystyle k,l,m\in \mathbb {Z}N\in \mathbb {N}$. Análisis ${\displaystyle k,l}$ y ${\displaystyle m}$ modulo 3, se puede mostrar que ${\displaystyle l\neq 0}$. El mismo argumento repetido (por simetría del problema) es válido cuando ${\displaystyle \omega }$ comienza con una rotación negativa sobre z eje, o una rotación sobre el x Axis. Esto demuestra que si ${\displaystyle \omega }$ es dada por una palabra no-trivial en A y BEntonces ${\displaystyle \omega \neq e}$. Por lo tanto, el grupo H es un grupo libre, isomorfo a F₂.

Las dos rotaciones se comportan igual que los elementos a y b del grupo F₂: ahora hay una descomposición paradójica de H.

Este paso no se puede realizar en dos dimensiones ya que implica rotaciones en tres dimensiones. Si se toman dos rotaciones no tripuladas alrededor del mismo eje, el grupo resultante es ${\displaystyle \mathbb {Z}$ (si la relación entre los dos ángulos es racional) o libre abelian grupo sobre dos elementos; de cualquier manera, no tiene la propiedad requerida en el paso 1.

Una demostración aritmética alternativa de la existencia de grupos libres en algunos grupos ortogonales especiales, utilizando cuaterniones integrales, conduce a descomposiciones paradójicas del grupo de rotación.La esfera unitaria S² se divide en órbitas mediante la acción de nuestro grupo H: dos puntos pertenecen a la misma órbita si y solo si existe una rotación en H que desplaza el primer punto hacia el segundo. (Nótese que la órbita de un punto es un conjunto denso en S²). El axioma de elección permite elegir exactamente un punto de cada órbita; estos puntos se agrupan en un conjunto M. La acción de H sobre una órbita dada es libre y transitiva, por lo que cada órbita puede identificarse con H. En otras palabras, cada punto en S² se puede alcanzar de una sola manera: aplicando la rotación propia de H al elemento propio de M. Debido a esto, la descomposición paradójica de H produce una descomposición paradójica de S² en cuatro partes: A₁, A₂, A₃, A₄, como sigue:

${\displaystyle A_{1}=S(a)M\cup M\cup B}$

${\displaystyle A_{2}=S(a^{-1})M\setminus B}$

${\displaystyle \displaystyle A_{3}=S(b)M}$

${\displaystyle \displaystyle A_{4}=S(b^{-1}M}$

donde definimos

${\displaystyle S(a)M=\{s(x) bendiciones\in S(a),x\in M\}$

y lo mismo para los demás conjuntos, y donde definimos

${\displaystyle B=a^{-1}M\cup a^{-2}M\cup \dots }$

(Las cinco partes "paradójicas" de F₂ no se usaron directamente, ya que dejarían M como una pieza extra después de la duplicación, debido a la presencia del singleton {e}.)

La (mayoría de la) esfera ahora se ha dividido en cuatro conjuntos (cada uno denso en la esfera), y cuando se rotan dos de ellos, el resultado es el doble del anterior:

${\displaystyle aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}$

${\displaystyle bA_{4}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{4}$

Finalmente, conecta cada punto de S² con un segmento semiabierto al origen; la descomposición paradójica de S² produce una descomposición paradójica de la esfera unitaria sólida menos el punto en su centro. (Este punto central requiere un poco más de cuidado; véase más adelante).

N.B. Este boceto pasa por alto algunos detalles. Hay que tener cuidado con el conjunto de puntos de la esfera que se encuentran en el eje de alguna rotación en H. Sin embargo, solo hay un número contable de estos puntos, y al igual que en el caso del punto en el centro de la esfera, es posible modificar la demostración para tenerlos en cuenta todos. (Véase más abajo).

En el paso 3, la esfera se dividió en órbitas de nuestro grupo H. Para simplificar la demostración, se omitió la discusión de los puntos fijos por alguna rotación; dado que la descomposición paradójica de F₂ depende del desplazamiento de ciertos subconjuntos, el hecho de que algunos puntos sean fijos podría causar problemas. Dado que cualquier rotación de S² (excepto la rotación nula) tiene exactamente dos puntos fijos, y dado que H, que es isomorfo a F₂, es numerable, hay un número numerable de puntos de S² que están fijos por alguna rotación en H. Denotemos este conjunto de puntos fijos como D. El paso 3 demuestra que S² − D admite una descomposición paradójica.

Lo que queda por demostrar es la afirmación: S² − D es equidescomponible con S².

Demostración. Sea λ una recta que pasa por el origen y no interseca ningún punto en D. Esto es posible ya que D es numerable. Sea J el conjunto de ángulos, α, tal que para algún número natural n y algún P en D, r(nα)P también está en D, donde r(nα) es una rotación alrededor de λ de nα. Entonces J es numerable. Por lo tanto, existe un ángulo θ que no está en J. Sea ρ la rotación alrededor de λ por θ. Entonces ρ actúa sobre S² sin puntos fijos en D, es decir, ρⁿ(D) es disjunto de D, y para mn natural, ρⁿ(D) es disjunto de ρ^m(D). Sea E la unión disjunta de ρⁿ(D) sobre n = 0, 1, 2,.... Entonces S² = E ∪ (S² − E) ~ ρ(E) ∪ (S² − E) = (E − D) ∪ (S² − E) = S² − D, donde ~ denota "es equidescomponible en".

Para el paso 4, ya se ha demostrado que la bola menos un punto admite una descomposición paradójica; queda por demostrar que la bola menos un punto es equidescomponible con la bola. Consideremos un círculo dentro de la bola, que contiene el punto en su centro. Usando un argumento similar al usado para demostrar la afirmación, se puede ver que el círculo completo es equidescomponible con el círculo menos el punto en el centro de la bola. (Básicamente, un conjunto numerable de puntos en el círculo puede rotarse para obtenerse un punto más). Nótese que esto implica la rotación alrededor de un punto distinto del origen, por lo que la paradoja de Banach-Tarski implica isometrías del 3-espacio euclidiano en lugar de solo SO(3).Se aprovecha el hecho de que si A ~ B y B ~ C, entonces A ~ C. La descomposición de A en C se puede realizar utilizando un número de partes igual al producto de los números necesarios para descomponer A en B y para descomponer B en C.

La demostración esbozada anteriormente requiere 2 × 4 × 2 + 8 = 24 piezas: un factor de 2 para eliminar los puntos fijos, un factor de 4 del paso 1, un factor de 2 para recrear los puntos fijos y 8 para el punto central de la segunda bola. Pero en el paso 1, al mover {e} y todas las cuerdas de la forma aⁿ a S(a⁻¹), se aplica lo mismo a todas las órbitas excepto a una. Se mueve {e} de esta última órbita al punto central de la segunda bola. Esto reduce el total a 16 + 1 piezas. Con más álgebra, también se pueden descomponer las órbitas fijas en 4 conjuntos, como en el paso 1. Esto da 5 piezas y es la mejor opción.

Usando la paradoja Banach-Tarski, es posible obtener k copias de una bola en el Euclidean n- espacio de uno, para cualquier entero n ≥ 3 y k ≥ 1, es decir, una bola se puede cortar k piezas para que cada uno de ellos sea equidecomposible a una bola del mismo tamaño que el original. Usando el hecho de que el grupo libre F₂ de rango 2 admite un subgrupo libre de rango contablemente infinito, una prueba similar produce que la esfera unidad Sⁿ⁻¹ se puede dividir en infinitamente muchas piezas, cada una de las cuales es equidecomposible (con dos piezas) a Sⁿ⁻¹ usando rotaciones. Mediante el uso de propiedades analíticas del grupo de rotación SO(n), que es un análisis conectado Grupo de mentiras, se puede demostrar más que la esfera Sⁿ⁻¹ se puede dividir en tantas piezas como hay números reales (es decir, ${\displaystyle 2^{\aleph - Sí.$ piezas), por lo que cada pieza es equidecomposible con dos piezas Sⁿ⁻¹ usando rotaciones. Estos resultados se extienden luego a la bola unitaria privada del origen. Un artículo de 2010 de Valeriy Churkin da una nueva prueba de la versión continua de la paradoja Banach-Tarski.

En el plano euclidiano, dos figuras equidescomponibles respecto al grupo de movimientos euclidianos tienen necesariamente la misma área y, por lo tanto, es imposible una descomposición paradójica de un cuadrado o disco de tipo Banach-Tarski que utilice únicamente congruencias euclidianas. John von Neumann ofreció una explicación conceptual de la distinción entre los casos planos y de dimensiones superiores: a diferencia del grupo SO(3) de rotaciones tridimensionales, el grupo E(2) de movimientos euclidianos del plano es resoluble, lo que implica la existencia de una medida finitamente aditiva en E(2) y R² invariante ante traslaciones y rotaciones, y descarta descomposiciones paradójicas de conjuntos no despreciables. Von Neumann planteó entonces la siguiente pregunta: ¿es posible construir una descomposición tan paradójica si se admite un grupo mayor de equivalencias?Es evidente que, si se permiten semejanzas, dos cuadrados cualesquiera en el plano se vuelven equivalentes incluso sin subdivisiones adicionales. Esto justifica centrar la atención en el grupo SA₂ de transformaciones afines que preservan el área. Dado que el área se preserva, cualquier descomposición paradójica de un cuadrado con respecto a este grupo sería contraintuitiva por las mismas razones que la descomposición de Banach-Tarski de una esfera. De hecho, el grupo SA₂ contiene como subgrupo el grupo lineal especial SL(2,R), que a su vez contiene como subgrupo el grupo libre F₂ con dos generadores. Esto hace plausible que la demostración de la paradoja de Banach-Tarski pueda ser imitada en el plano. La principal dificultad radica en que el cuadrado unitario no es invariante bajo la acción del grupo lineal SL(2, R), por lo que no se puede simplemente transferir una descomposición paradójica del grupo al cuadrado, como en el tercer paso de la demostración anterior de la paradoja de Banach-Tarski. Además, los puntos fijos del grupo presentan dificultades (por ejemplo, el origen es fijo bajo todas las transformaciones lineales). Por esta razón, von Neumann utilizó el grupo mayor SA₂, incluyendo las traslaciones, y construyó una descomposición paradójica del cuadrado unitario con respecto al grupo ampliado (en 1929). Aplicando el método de Banach-Tarski, la paradoja del cuadrado puede reforzarse de la siguiente manera:

Cualquier dos subconjuntos atados del plano euclidiano con interiores no vacíos son equidecomposibles con respecto a los mapas de ataúd que conservan el área.

Como señala von Neumann:

"Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives additives Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), das gegenüber allen Abbildungen von A₂ wäre invariante."

"De acuerdo con esto, ya en el plano no hay medida aditiva no negativa (para la cual el cuadrado de unidad tiene una medida de 1), que es invariante con respecto a todas las transformaciones pertenecientes a A₂ [el grupo de transformaciones de afin de área reservando]."

Para explicarlo con más detalle, la cuestión de si existe o no una medida finitamente aditiva (que se conserva bajo ciertas transformaciones) depende de las transformaciones permitidas. La medida de Banach de conjuntos en el plano, que se conserva mediante traslaciones y rotaciones, no se conserva mediante transformaciones no isométricas, incluso cuando estas conservan el área de los polígonos. Los puntos del plano (excepto el origen) pueden dividirse en dos conjuntos densos que pueden denominarse A y B. Si los puntos A de un polígono dado se transforman mediante una transformación que conserva el área y los puntos B mediante otra, ambos conjuntos pueden convertirse en subconjuntos de los puntos A en dos nuevos polígonos. Los nuevos polígonos tienen la misma área que el antiguo, pero los dos conjuntos transformados no pueden tener la misma medida que antes (ya que contienen solo una parte de los puntos A), y por lo tanto, no existe una medida que funcione.

La clase de grupos aislados por von Neumann durante el estudio del fenómeno de Banach-Tarski resultó ser muy importante para muchas áreas de las matemáticas: se trata de grupos adaptables, o grupos con una media invariante, que incluyen todos los grupos finitos y resolubles. En general, las descomposiciones paradójicas surgen cuando el grupo utilizado para las equivalencias en la definición de equidescomponibilidad no es adaptable.

• 2000: El papel de Von Neumann dejó abierta la posibilidad de una descomposición paradójica del interior de la plaza de la unidad con respecto al grupo lineal SL(2,R) (Wagon, Pregunta 7.4). En 2000, Miklós Laczkovich demostró que existe tal descomposición. Más precisamente, dejemos A ser la familia de todos los subconjuntos atados del avión con interior no vacío y a una distancia positiva del origen, y B la familia de todos los conjuntos planar con la propiedad que una unión de finitamente muchos traduce bajo algunos elementos SL(2, R) contiene un barrio perforado del origen. Entonces todo se pone en la familia A SL(2, R)-equidecomposible, y también para los juegos en B. De ello se desprende que ambas familias consisten en conjuntos paradójicos.
• 2003: Había sido conocido por mucho tiempo que el plano completo era paradójico con respecto a SA₂, y que el número mínimo de piezas sería igual a cuatro siempre que exista un subgrupo libre localmente conmutativo SA₂. En 2003 Kenzi Satô construyó tal subgrupo, confirmando que cuatro piezas son suficientes.
• 2011: El papel de Laczkovich dejó abierta la posibilidad de que exista un grupo libre F de transformaciones lineales en sentido parcial actuando en el disco pinchado D Sin puntos fijos. Grzegorz Tomkowicz construyó tal grupo, mostrando que el sistema de congruencias A . B . C . B U C se puede realizar por medio de F y D {(0,0)}.
• 2017: Ha sido conocido por mucho tiempo que existe en el plano hiperbólico H² un conjunto E que es un tercero, un cuarto y... y un ${\displaystyle 2^{\aleph - Sí.$- la parte de H². El requisito se satisfizo por las isometrías de observación de la orientación H². Los resultados analógicos fueron obtenidos por John Frank Adams y Jan Mycielski que demostraron que la esfera unidad S² contiene un conjunto E que es medio, un tercio, un cuarto y... y un ${\displaystyle 2^{\aleph - Sí.$- la parte de S². Grzegorz Tomkowicz mostró que la construcción de Adams y Mycielski se puede generalizar para obtener un conjunto E de H² con las mismas propiedades que en S².
• 2017: La paradoja de Von Neumann se refiere al plano euclidiano, pero también hay otros espacios clásicos donde las paradojas son posibles. Por ejemplo, se puede preguntar si hay una paradoja Banach-Tarski en el plano hiperbólico H². Esto fue mostrado por Jan Mycielski y Grzegorz Tomkowicz. Tomkowicz demostró también que la mayoría de las paradojas clásicas son una consecuencia fácil de un resultado teórico gráfico y el hecho de que los grupos en cuestión son lo suficientemente ricos.
• 2018: En 1984, Jan Mycielski y Stan Wagon construyeron una descomposición paradójica del plano hiperbólico H² que usa conjuntos Borel. La paradoja depende de la existencia de un subgrupo discontinuo adecuado del grupo de isometrías H². Una paradoja similar fue obtenida en 2018 por Grzegorz Tomkowicz, quien construyó un subgrupo G libre discontinuamente del grupo affine SA(3,Z). La existencia de tal grupo implica la existencia de un subconjunto E de Z³ tal que para cualquier F finita de Z³ existe un elemento g de G tales que ${\displaystyle g(E)=E\triangle F}$, donde ${\displaystyle E\,\triángulo \,F}$ denota la diferencia simétrica de E y F.
• 2019: Banach–Tarski paradoja utiliza finitamente muchas piezas en la duplicación. En el caso de muchas piezas, cualquier dos conjuntos con interiores no vacíos son equidecomposibles usando traducciones. Pero permitiendo solamente piezas medibles de Lebesgue uno obtiene: Si A y B son subconjuntos de Rⁿ con interiores no vacíos, entonces tienen medidas de Lebesgue iguales si y sólo si son contablemente equidecomposibles usando piezas mensurables Lebesgue. Jan Mycielski y Grzegorz Tomkowicz ampliaron este resultado a grupos finitos de Lie dimensional y segundos grupos topológicos contables localmente compactos que están totalmente desconectados o tienen muchos componentes conectados.
• 2024: Robert Samuel Simon y Grzegorz Tomkowicz presentaron una regla de color en un espacio Cantor que vincula descomposiciones paradójicas con la optimización. Esto permite encontrar una aplicación de descomposiciones paradójicas en la economía.
• 2024: Grzegorz Tomkowicz demostró que en el caso de grupos de Lie no sustituibles G actuando de manera continua y transitiva en un espacio métrico, vinculado G Los conjuntos paradójicos son genéricos.

• Hausdorff paradoja – Paradoja en matemáticas
• Nikodym set
• Paradojas de la teoría del conjunto
• Problema de cuadrar el círculo de Tarski – Problema de cortar y reagrupar un disco en un cuadrado
• Paradoja Von Neumann – Teorema geométrica

• Banach, Stefan; Tarski, Alfred (1924). "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 6: 244–277. doi:10.4064/fm-6-1-244-277. Reimpreso en Alfred Tarski, Documentos recopiladosCuatro volúmenes. Editado por Steven R. Givant y Ralph N. McKenzie. Birkhäuser, Basilea, Boston y Stuttgart, 1986.
• Churkin, V. A. (2010). "Una versión continua de la paradoja Hausdorff-Banach-Tarski". Álgebra y lógica. 49 1): 91 –98. doi:10.1007/s10469-010-9080-y. S2CID 122711859.
• Edward Kasner " James Newman (1940) Matemáticas y la imaginación, págs. 205 a 7, Simon " Schuster.
• Stromberg, Karl (marzo de 1979). "La paradoja Banach-Tarski". American Mathematical Monthly. 86 3). Asociación Matemática de América: 151 –161. doi:10.2307/2321514. JSTOR 2321514.
• Su, Francis E. "The Banach-Tarski Paradox" (PDF).
• von Neumann, John (1929). "Zur allgemeinen Theorie des Masses" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 13: 73 –116. doi:10.4064/fm-13-1-73-116.
• Wagon, Stan (1994). La Paradoja Banach-Tarski. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-45704-1.
• Wapner, Leonard M. (2005). El Pea y el Sol: Paradoja matemática. Wellesley, Massachusetts: A.K. Peters. ISBN 1-56881-213-2.
• Tomkowicz, Grzegorz; Wagon, Stan (2016). Banach-Tarski Paradox 2a edición. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107042599.

• Banach-Tarski paradoja en Pr${\displaystyle \infty }$fWiki
• The Banach-Tarski Paradox by Stan Wagon (Macalester College), the Wolfram Demonstrations Project.
• Webcomic irregular! #2339 de David Morgan-Mar ofrece una explicación no técnica de la paradoja. Incluye una demostración paso a paso de cómo crear dos esferas de una.
• Vsauce (31 de julio de 2015). "La Banach-Tarski Paradox" – a través de YouTube da una visión general de los fundamentos fundamentales de la paradoja.
• Banach-Tarski y la Paradoja del Cierre Infinito