Par ordenado

Geometría analítica asocia a cada punto en el plano euclidiano un par ordenado. El elipse rojo está asociado con el conjunto de todos los pares (x,Sí.. x²/4+Sí.²= 1.

En matemáticas, un par ordenado (a, b) es un par de objetos. El orden en que aparecen los objetos en el par es significativo: el par ordenado (a, b) es diferente del par ordenado (b, a) a menos que a = b. (Por el contrario, el par desordenado {a, b} es igual al par desordenado {b, a}.)

Los pares ordenados también se denominan 2 tuplas o secuencias (a veces, listas en un contexto informático) de longitud 2. Los pares ordenados de escalares a veces se denominan vectores bidimensionales. (Técnicamente, esto es un abuso de terminología ya que un par ordenado no necesita ser un elemento de un espacio vectorial). Las entradas de un par ordenado pueden ser otros pares ordenados, lo que permite la definición recursiva de n-tuplas ordenadas (listas ordenadas de n objetos). Por ejemplo, la terna ordenada (a,b,c) se puede definir como (a, (b,c)), es decir, como un par anidado en otro.

En el par ordenado (a, b), el objeto a se denomina primera entrada, y el objeto b la segunda entrada del par. Alternativamente, los objetos se llaman el primer y segundo componente, el primer y segundo coordenadas, o las proyecciones izquierda y derecha del par ordenado.

Los productos cartesianos y las relaciones binarias (y por tanto las funciones) se definen en términos de pares ordenados, cf. fotografía.

Generalidades

Vamos ()a1,b1){displaystyle (a_{1},b_{1}} y ()a2,b2){displaystyle (a_{2},b_{2}} Se ordenan pares. Entonces el característica (o Definición) propiedad de la pareja ordenada es:

()a1,b1)=()a2,b2)sia1=a2yb1=b2.{displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2}){text{ if and only if {fnMicrosoft Sans Serif}

El conjunto de todos los pares ordenados cuya primera entrada está en algún conjunto A y cuya segunda entrada está en algún conjunto B se llama producto cartesiano de A y B, y se escribe A × B. Una relación binaria entre los conjuntos A y B es un subconjunto de A × B.

El ()a, b) notación se puede utilizar para otros fines, sobre todo como la denotación de intervalos abiertos en la línea de números reales. En tales situaciones, el contexto suele dejar claro qué significado se pretende. Para una aclaración adicional, el par ordenado puede ser denotado por la notación variante .. a,b.. {textstyle langle a,brangle }, pero esta notación también tiene otros usos.

La proyección izquierda y derecha de un par p generalmente se indica con π₁(p) y π₂(p ), o por π_ℓ(p) y π_r(p), respectivamente. En contextos donde se consideran tuplas n arbitrarias, πⁿ
_i(t) es una notación común para el i-ésimo componente de un n-tupla t.

Definiciones informales y formales

En algunos libros de texto de introducción a las matemáticas se da una definición informal (o intuitiva) de par ordenado, como

Para cualquier dos objetos a y b, el par ordenado ()a, b) es una notación que especifica los dos objetos a y bEn ese orden.

Esto suele ir seguido de una comparación con un conjunto de dos elementos; señalando que en un conjunto a y b debe ser diferente, pero en un par ordenado pueden ser iguales y mientras que el orden de listar los elementos de un conjunto no importa, en un par ordenado cambiar el orden de entradas distintas cambia el orden par.

Esta "definición" es insatisfactorio porque es solo descriptivo y se basa en una comprensión intuitiva del orden. Sin embargo, como se señala a veces, confiar en esta descripción no producirá ningún daño y casi todo el mundo piensa en los pares ordenados de esta manera.

Un enfoque más satisfactorio es observar que la propiedad característica de los pares ordenados dada anteriormente es todo lo que se requiere para comprender el papel de los pares ordenados en las matemáticas. Por tanto, el par ordenado puede tomarse como una noción primitiva, cuyo axioma asociado es la propiedad característica. Este fue el enfoque adoptado por el grupo de N. Bourbaki en su Teoría de Conjuntos, publicada en 1954. Sin embargo, este enfoque también tiene sus inconvenientes ya que tanto la existencia de pares ordenados como su propiedad característica deben ser axiomáticamente ficticio.

Otra forma de tratar rigurosamente los pares ordenados es definirlos formalmente en el contexto de la teoría de conjuntos. Esto se puede hacer de varias maneras y tiene la ventaja de que la existencia y la propiedad característica se pueden demostrar a partir de los axiomas que definen la teoría de conjuntos. Una de las versiones más citadas de esta definición se debe a Kuratowski (ver más abajo) y su definición se usó en la segunda edición de la Teoría de conjuntos de Bourbaki, publicada en 1970. Incluso aquellos matemáticos los libros de texto que dan una definición informal de pares ordenados a menudo mencionarán la definición formal de Kuratowski en un ejercicio.

Definiendo el par ordenado usando la teoría de conjuntos

Si uno está de acuerdo en que la teoría de conjuntos es una base atractiva de las matemáticas, entonces todos los objetos matemáticos deben definirse como conjuntos de algún tipo. Por lo tanto, si el par ordenado no se toma como primitivo, debe definirse como un conjunto. A continuación se dan varias definiciones teóricas de conjuntos del par ordenado (ver también).

Definición de Wiener

Norbert Wiener propuso la primera definición teórica de conjunto del par ordenado en 1914:

()a,b):={}{}{}a},∅ ∅ },{}{}b}}}.{displaystyle left(a,bright):=left{left{{aright},emptyset right},,left{left{bright}rightright}derecha}

Observó que esta definición hacía posible definir los tipos de Principia Mathematica como conjuntos. Principia Mathematica había tomado los tipos, y por tanto las relaciones de todas las aridades, como primitivos.

Wiener utilizado {{bEn lugar de...b} para hacer la definición compatible con la teoría del tipo donde todos los elementos de una clase deben ser del mismo "tipo". Con b anidado dentro de un conjunto adicional, su tipo es igual a {}{}a},∅ ∅ }{displaystyle {{a},emptyset {}}Es.

Definición de Hausdorff

Al mismo tiempo que Wiener (1914), Felix Hausdorff propuso su definición:

()a,b):={}{}a,1},{}b,2}}{fnMicrosoft Sans Serif}

"donde 1 y 2 son dos objetos distintos diferentes de a y b."

Definición de Kuratowski

En 1921, Kazimierz Kuratowski ofreció la definición ahora aceptada del par ordenado (a, b):

()a,b)K:={}{}a},{}a,b}}.{displaystyle (a, b)_{K};:={{a},\{a, b}}

Tenga en cuenta que esta definición se usa incluso cuando la primera y la segunda coordenadas son idénticas:

()x,x)K={}{}x},{}x,x}}={}{}x},{}x}}={}{}x}}{displaystyle (x, x)_{K}={x},{x, ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fn}\\fn}\fn}}\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Dado un par ordenado p, la propiedad "x es la primera coordenada de p" se puede formular como:

О О Y▪ ▪ p:x▪ ▪ Y.{displaystyle forall Yin p:xin Sí.

La propiedad "x es la segunda coordenada de p" se puede formular como:

()∃ ∃ Y▪ ▪ p:x▪ ▪ Y)∧ ∧ ()О О Y1,Y2▪ ▪ p:Y1ل ل Y2→ → ()x∉ ∉ Y1Alternativa Alternativa x∉ ∉ Y2)).{displaystyle (exists Yin p:xin Y)land (forall Y_{1},Y_{2}in P:Y_{1}neq Y_{2}rightarrow (xnotin Y_{1}lor xnotin Y_{2})). }

En el caso de que las coordenadas izquierda y derecha sean idénticas, el conjunto derecho ()О О Y1,Y2▪ ▪ p:Y1ل ل Y2→ → ()x∉ ∉ Y1Alternativa Alternativa x∉ ∉ Y2)){displaystyle (forall Y_{1},Y_{2}in P:Y_{1}neq Y_{2}rightarrow (xnotin Y_{1}lor xnotin Y_{2})}} es trivialmente cierto, ya Y₁ ل Y₂ Nunca es el caso.

Así es como podemos extraer la primera coordenada de un par (usando la notación de operación iterada para intersección arbitraria y unión arbitraria):

π π 1()p)=⋃ ⋃ ⋂ ⋂ p.{displaystyle pi _{1}(p)=bigcup bigcap p.}

Así es como se puede extraer la segunda coordenada:

π π 2()p)=⋃ ⋃ {}x▪ ▪ ⋃ ⋃ pSilencio⋃ ⋃ pل ل ⋂ ⋂ p→ → x∉ ∉ ⋂ ⋂ p}.{displaystyle pi _{2}(p)=bigcup left{left.xin bigcup p,right sometida,bigcup pneqbigcap prightarrow xnotin bigcap pright}

Variantes

La definición anterior de Kuratowski del par ordenado es "adecuado" en que satisface la característica propiedad que un par ordenado debe satisfacer, es decir, que ()a,b)=()x,Sí.)Administración Administración ()a=x)∧ ∧ ()b=Sí.){displaystyle (a,b)=(x,y)leftrightarrow (a=x)land (b=y)}. En particular, expresa adecuadamente 'orden', en eso ()a,b)=()b,a){displaystyle (a,b)=(b,a)} es falso b=a{displaystyle b=a}. Existen otras definiciones, de complejidad similar o menor, que son igualmente adecuadas:

• ()a,b)inversión:={}{}b},{}a,b}};{displaystyle (a,b)_{reverse}:={b},{a,b}}}
• ()a,b)corto:={}a,{}a,b}};{displaystyle (a,b)_{text{short}:={a,{a,b}}}
• ()a,b)01:={}{}0,a},{}1,b}}.{displaystyle (a,b)_{01}:={0,a},{1,b}}}

La definición inversa es simplemente una variante trivial de la definición de Kuratowski y, como tal, no tiene un interés independiente. La definición corto se llama así porque requiere dos pares de llaves en lugar de tres. Probar que short satisface la propiedad característica requiere el axioma de regularidad de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Además, si se utiliza la construcción teórica de conjuntos de von Neumann de los números naturales, entonces 2 se define como el conjunto {0, 1} = {0, {0}}, que es indistinguible del par (0, 0)_corto. Otra desventaja más del par corto es el hecho de que, incluso si a y b son del mismo tipo, los elementos del corto no lo son. (Sin embargo, si a = b entonces la versión corta sigue teniendo cardinalidad 2, que es algo que uno podría esperar de cualquier "par& #34;, incluido cualquier "par pedido".

Probar que las definiciones satisfacen la propiedad característica

Pruebe: (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d.

Kuratowski:
Si. Si a = c y b = d, entonces {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Así (a, b)_K = (c, d)_K.

Solo si. Dos casos: a = b, y a ≠ b.

Si a = b:

()a, b)_K ♪♪a} {a, b♪♪a} {a, a♪♪a}.

{} {}c} {c, d♪♪c, d)_K =a, b)_K ♪♪a}.

Así es.c♪♪c, d♪♪a}, lo que implica a = c y a = d. Por hipótesis, a = b. Por lo tanto b = d.

Si a ≠ b, entonces (a, b)_K = (c, d)_K implica {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.

Suppose {c, d♪♪a}. Entonces... c = d =, y así {{c} {c, d♪♪a} {a, a♪♪a} {a♪♪a}. Pero entonces...a} {a, b} también igual {{aAsí que b = a que contradice a ل b.

Suppose {c♪♪a, b}. Entonces... a = b = c, que también contradice a ل b.

Por lo tanto...c♪♪aAsí que c = a yc, d♪♪a, b}.

Si d = a era verdad, entonces {c, d♪♪a, a♪♪a.a, bUna contradicción. Así d = b es el caso, así que a = c y b.

Reversa:
(a, b)_reversa = {{b}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} = (b, a)_K.

Si. Si (a, b)_reversa = (c, d)_reversa, (b, a)_K = (d, c)_K. Por lo tanto, b = d y a = c.

Solo si. Si a = c y b = d, entonces {{b}, {a, b}} = {{d}, {c, d}}. Así (a, b)_reversa = (c, d)_reversa.

Corto:

Si: Si a = c y b = d, entonces {a, { a, b}} = {c, {c, d}}. Así (a, b)_corto = (c, d)_corto.

Solo si: Supongamos que {a, {a, b}} = {c, {c, d}}. Entonces a está en el lado izquierdo, y por lo tanto en el lado derecho. Debido a que los conjuntos iguales tienen elementos iguales, uno de a = c o a = {c, d} debe ser el caso.

Si a =c, d}, entonces por razonamiento similar como arriba, {a, bEstá en el lado derecho, así que...a, b} = c oa, b♪♪c, d}.

Sia, b} = c entonces c está enc, d} = a y a está dentro c, y esta combinación contradice el axioma de la regularidad, como {a, c} no tiene un elemento mínimo bajo la relación "element of."

Sia, b♪♪c, dEntonces a es un elemento a, de a =c, d♪♪a, bOtra vez contradiciendo la regularidad.

Por lo tanto a = c Debe esperar.

Nuevamente, vemos que {a, b} = c o {a, b} = {c, d }.

La opción {a, b} = c y a = c implica que c es un elemento cContradiciendo la regularidad.

Así que tenemos a = c ya, b♪♪c, dY así:b♪♪a, b} {a♪♪c, d} {c♪♪dEntonces b = d.

Definición de Quine-Rosser

Rosser (1953) empleó una definición del par ordenado debido a Quine que requiere una definición previa de los números naturales. Vamos N{displaystyle mathbb {N} ser el conjunto de números naturales y definir primero

σ σ ()x):={}x,six∉N,x+1,six▪ ▪ N.{displaystyle sigma (x):={begin{cases}x, reducida{text{if }xnot in mathbb {N}\x+1, tercero{if }xin mathbb {N}}end{cases}}}}}

La función σ σ {displaystyle sigma } aumenta su argumento si es un número natural y lo deja como es de otro modo; el número 0 no aparece como valor funcional de σ σ {displaystyle sigma }. As x∖ ∖ N{displaystyle xsmallsetminus mathbb {N} es el conjunto de los elementos de x{displaystyle x} no en N{displaystyle mathbb {N} continúa con

φ φ ()x):=σ σ [x]={}σ σ ()α α )▪ ▪ α α ▪ ▪ x}=()x∖ ∖ N)∪ ∪ {}n+1:n▪ ▪ ()x∩ ∩ N)}.{displaystyle varphi (x):=sigma [x]={sigma (alpha)mid alpha in x}=(xsmallsetminus mathbb {N})cup {n+1:nin (xcapmathbb {N}}}

Esta es la imagen fija de un conjunto x{displaystyle x} menores σ σ {displaystyle sigma }, a veces denotado σ σ .x{displaystyle sigma 'x} también. Función de aplicación φ φ {displaystyle varphi } a un conjunto x simplemente aumenta cada número natural en él. En particular, φ φ ()x){displaystyle varphi (x)} nunca contiene el número 0, así que para cualquier conjunto x y Sí.,

φ φ ()x)ل ل {}0}∪ ∪ φ φ ()Sí.).{displaystyle varphi (x)neq{0}cup varphi (y).}

Además, defina

↑ ↑ ()x):=σ σ [x]∪ ∪ {}0}=φ φ ()x)∪ ∪ {}0}.{displaystyle psi (x):=sigma [x]cup {0}=varphi (x)cup {0}.}

Por esto, ↑ ↑ ()x){displaystyle psi (x)} siempre contiene el número 0.

Finalmente, defina el par ordenado (A, B) como la unión disjunta

()A,B):=φ φ [A]∪ ∪ ↑ ↑ [B]={}φ φ ()a):a▪ ▪ A}∪ ∪ {}φ φ ()b)∪ ∪ {}0}:b▪ ▪ B}.{displaystyle (A,B):=varphi [A]cup psi [B]={varphi (a):ain A}cup {varphi (b)cup {0}:bin B}.}

(que es φ φ .A∪ ∪ ↑ ↑ .B{displaystyle varphi 'Acup psi 'B} en notación alternativa).

Extracting all the elements of the pair that do not contain 0 and undoing φ φ {displaystyle varphi } rendimientos A. Igualmente, B se puede recuperar de los elementos del par que contienen 0.

Por ejemplo, el par (){}{}a,0},{}b,c,1}},{}{}d,2},{}e,f,3}}){displaystyle ({{a,0},{b,c,1},{d,2},{e,f,3}}}} está codificado como {}{}a,1},{}b,c,2},{}d,3,0},{}e,f,4,0}}{displaystyle {{a,1},{b,c,2}, {d,3,0},{e,f,0}}} proporcionadas a,b,c,d,e,f∉ ∉ N{displaystyle a,b,c,d,e,fnotin mathbb {N}.

En la teoría de tipos y en sus derivados, como la teoría axiomática de conjuntos NF, el par Quine-Rosser tiene el mismo tipo que sus proyecciones y, por lo tanto, se denomina "nivel de tipo" par ordenado. Por lo tanto, esta definición tiene la ventaja de permitir que una función, definida como un conjunto de pares ordenados, tenga un tipo solo 1 mayor que el tipo de sus argumentos. Esta definición funciona solo si el conjunto de números naturales es infinito. Este es el caso en NF, pero no en la teoría de tipos o en NFU. J. Barkley Rosser demostró que la existencia de tal par ordenado de nivel de tipo (o incluso un par ordenado de 'elevado de tipo por 1') implica el axioma del infinito. Para una discusión extensa del par ordenado en el contexto de las teorías de conjuntos de Quinian, ver Holmes (1998).

Definición de Cantor-Frege

Al principio del desarrollo de la teoría de conjuntos, antes de que se descubrieran las paradojas, Cantor siguió a Frege al definir el par ordenado de dos conjuntos como la clase de todas las relaciones que se dan entre estos conjuntos, asumiendo que la noción de relación es primitiva:

()x,Sí.)={}R:xRSí.}.{displaystyle (x,y)={R:xRy}

Esta definición es inadmisible en la mayoría de las teorías de conjuntos formales modernas y es metodológicamente similar a definir el cardinal de un conjunto como la clase de todos los conjuntos equipotentes con el conjunto dado.

Definición Morse

La teoría de conjuntos de Morse–Kelley hace uso gratuito de las clases adecuadas. Morse definió el par ordenado de modo que sus proyecciones pudieran ser clases adecuadas además de conjuntos. (La definición de Kuratowski no permite esto). Primero definió pares ordenados cuyas proyecciones son conjuntos a la manera de Kuratowski. Luego redefinió la pareja

()x,Sí.)=(){}0}× × s()x))∪ ∪ (){}1}× × s()Sí.)){displaystyle (x,y)=({0}times s(x))cup ({1}times s(y)}

donde los productos cartesianos componentes son pares de conjuntos de Kuratowski y donde

s()x)={}∅ ∅ }∪ ∪ {}{}t}▪ ▪ t▪ ▪ x}{displaystyle s(x)={emptyset }cup {{t}mid tin x}}

Esto genera posibles pares cuyas proyecciones son clases propias. La definición anterior de Quine-Rosser también admite clases propias como proyecciones. De manera similar, el triple se define como un 3-tuple de la siguiente manera:

()x,Sí.,z)=(){}0}× × s()x))∪ ∪ (){}1}× × s()Sí.))∪ ∪ (){}2}× × s()z)){displaystyle (x,y,z)=({0}times s(x))cup ({1}times s(y))cup ({2}times s(z)}

El uso del conjunto de un solotón s()x){displaystyle s(x)} que tiene un conjunto vacío insertado permite a tuples tener la propiedad única que si a es un n-tuple y b es un m-tuple y a = b entonces n = m. Los triples ordenados que se definen como pares ordenados no tienen esta propiedad con respecto a pares ordenados.

Definición axiomática

Los pares ordenados también se pueden introducir en la teoría de conjuntos Zermelo–Fraenkel (ZF) axiomáticamente al añadir a ZF un nuevo símbolo de función f{displaystyle f} de la aridad 2 (se suele omitir) y un axioma definido para f{displaystyle f}:

f()a1,b1)=f()a2,b2)sia1=a2yb1=b2.{displaystyle f(a_{1},b_{1})=f(a_{2},b_{2}){text{ if and only if {fnMicrosoft Sans Serif}

Esta definición es aceptable porque esta extensión de ZF es una extensión conservadora.

La definición ayuda a evitar los llamados teoremas accidentales como (a,a) = {{a}}, {a} ∈ (a,b), si la definición de Kuratowski (a,b) = {{ a}, se utilizó {a,b}}.

Teoría de categorías

Diagrama transmutador para el producto set X₁×X₂.

Un producto de teoría de categorías A × B en una categoría de conjuntos representa el conjunto de pares ordenados, con el primer elemento proveniente de A y el segundo procedente de B. En este contexto, la propiedad característica anterior es una consecuencia de la propiedad universal del producto y del hecho de que los elementos de un conjunto X pueden identificarse con morfismos de 1 (un conjunto de un elemento) a X. Si bien diferentes objetos pueden tener la propiedad universal, todos son naturalmente isomorfos.