Palimpsesto de Arquímedes

Una página típica del Archimedes Palimpsest. El texto del libro de oración se ve de arriba a abajo, el manuscrito original de Arquímedes se ve como texto más débil debajo de él corriendo de izquierda a derecha

Discovery informó en el New York Times el 16 de julio de 1907

El Palimpsesto de Arquímedes es un palimpsesto de códice de pergamino, originalmente una copia griega bizantina de una compilación de Arquímedes y otros autores. Contiene dos obras de Arquímedes que se pensaba que se habían perdido (el Ostomachion y el Método de los teoremas mecánicos) y la única edición griega original que se conserva de su obra Sobre Cuerpos Flotantes. Se cree que la primera versión de la compilación fue producida por Isidoro de Mileto, el arquitecto de la catedral de Hagia Sophia en Constantinopla, de geometría compleja, en algún momento alrededor del año 530 d. C. La copia que se encuentra en el palimpsesto fue creada a partir de este original, también en Constantinopla. durante el Renacimiento macedonio (c. 950 d. C.), una época en que las matemáticas en la capital estaban siendo revividas por el ex obispo ortodoxo griego de Tesalónica Leo el Geómetra, primo del Patriarca.

Tras el saqueo de Constantinopla por parte de los cruzados occidentales en 1204, el manuscrito fue llevado a un monasterio griego aislado en Palestina, posiblemente para protegerlo de los cruzados ocupantes, que a menudo equiparaban la escritura griega con la herejía contra su iglesia latina y lo quemaron o saquearon. muchos de estos textos (incluyendo al menos otras dos copias de Arquímedes). El complejo manuscrito no fue apreciado en este remoto monasterio y pronto fue sobrescrito (1229) con un texto religioso. En 1899, novecientos años después de que se escribiera, el manuscrito aún estaba en posesión de la iglesia griega y en Estambul, donde fue catalogado por el erudito griego Papadopoulos-Kerameus, atrayendo la atención de Johan Heiberg. Heiberg visitó la biblioteca de la iglesia y se le permitió tomar fotografías detalladas en 1906. La mayor parte del texto original aún estaba visible y Heiberg lo publicó en 1915. En 1922, el manuscrito desapareció en medio de la evacuación de la biblioteca ortodoxa griega en Estambul., durante un período tumultuoso posterior a la Primera Guerra Mundial. Ocultas durante más de 70 años por un hombre de negocios occidental, se pintaron imágenes falsificadas encima de algún texto para aumentar el valor de reventa. Al no poder vender el libro de forma privada, en 1998 la hija del empresario se arriesgó a una subasta pública en Nueva York impugnada por la iglesia griega; el tribunal de EE. UU. falló a favor de la subasta y el manuscrito fue comprado por un comprador anónimo (se rumorea que es Jeff Bezos). Los textos debajo de las imágenes falsificadas, y los textos previamente ilegibles, se revelaron mediante el análisis de imágenes producidas por luz ultravioleta, infrarroja, visible y rasante, y rayos X.

Todas las imágenes y transcripciones ahora están disponibles gratuitamente en la web en Archimedes Digital Palimpsest bajo la licencia Creative Commons CC BY.

Foto del palimpsest

Historia

Temprana

Arquímedes vivió en el siglo III a. C. y escribió sus pruebas en forma de cartas en griego dórico dirigidas a sus contemporáneos, incluidos los eruditos de la Gran Biblioteca de Alejandría. Estas cartas fueron compiladas por primera vez en un texto completo por Isidoro de Mileto, el arquitecto de la iglesia patriarcal de Hagia Sophia, en algún momento alrededor del año 530 dC en la entonces capital griega bizantina de Constantinopla.

Una copia de Isidorus' La edición de Arquímedes fue realizada alrededor del año 950 d. C. por un escriba anónimo, nuevamente en el Imperio Bizantino, en un período durante el cual el estudio de Arquímedes floreció en Constantinopla en una escuela fundada por el matemático, ingeniero y ex arzobispo ortodoxo griego de Tesalónica, Leo el geómetra, primo del patriarca.

Este manuscrito bizantino medieval luego viajó desde Constantinopla a Jerusalén, probablemente en algún momento después del saqueo de los cruzados de Constantinopla bizantina en 1204. Allí, en 1229, el códice de Arquímedes fue desatado, raspado y lavado, junto con al menos otros seis manuscritos en pergamino parciales., incluido uno con obras de Hypereides. Sus hojas fueron dobladas por la mitad, reencuadernadas y reutilizadas para un texto litúrgico cristiano de 177 hojas numeradas posteriores, de las cuales 174 se conservan (cada hoja doblada más antigua se convirtió en dos hojas del libro litúrgico). El palimpsesto permaneció cerca de Jerusalén durante al menos el siglo XVI en el aislado monasterio ortodoxo griego de Mar Saba. En algún momento antes de 1840, el patriarcado ortodoxo griego de Jerusalén trajo el palimpsesto a su biblioteca (el Metochion del Santo Sepulcro) en Constantinopla.

Moderno

El erudito bíblico Constantin von Tischendorf visitó Constantinopla en la década de 1840 y, intrigado por las matemáticas griegas visibles en el palimpsesto que encontró en una biblioteca ortodoxa griega, extrajo una hoja (que ahora se encuentra en la Biblioteca de la Universidad de Cambridge). En 1899, el erudito griego Papadopoulos-Kerameus produjo un catálogo de los manuscritos de la biblioteca e incluyó una transcripción de varias líneas del texto subyacente parcialmente visible. Al ver estas líneas, Johan Heiberg, la autoridad mundial sobre Arquímedes, se dio cuenta de que la obra era de Arquímedes. Cuando Heiberg estudió el palimpsesto en Constantinopla en 1906, confirmó que el palimpsesto incluía obras de Arquímedes que se creían perdidas. La Iglesia Ortodoxa Griega le permitió a Heiberg tomar fotografías cuidadosas de las páginas del palimpsesto, y de estas produjo transcripciones, publicadas entre 1910 y 1915 en una obra completa de Arquímedes. Poco después Arquímedes' El texto griego fue traducido al inglés por T. L. Heath. Antes de eso, no era muy conocido entre matemáticos, físicos o historiadores.

El manuscrito todavía estaba en la biblioteca del Patriarcado Ortodoxo Griego de Jerusalén (el Metochion del Santo Sepulcro) en Constantinopla en 1920. Poco después, durante un período turbulento para la comunidad griega en Turquía que vio una victoria turca en la guerra greco-turca (1919-1922), junto con el genocidio griego y el intercambio forzoso de población entre Grecia y Turquía, el palimpsesto desapareció de la biblioteca de la iglesia griega en Estambul.

En algún momento entre 1923 y 1930, el palimpsesto fue adquirido por Marie Louis Sirieix, un "hombre de negocios y viajero a Oriente que vivía en París". Aunque Sirieix afirmó haber comprado el manuscrito a un monje, que en ningún caso habría tenido la autoridad para venderlo, Sirieix no tenía recibo ni documentación para la venta del valioso manuscrito. Almacenado en secreto durante años por Sirieix en su sótano, el palimpsesto sufrió daños por el agua y el moho. Además, después de desaparecer de la biblioteca del Patriarcado Ortodoxo Griego, un falsificador agregó copias de retratos evangélicos medievales en pan de oro en cuatro páginas del libro para aumentar su valor de venta, dañando aún más el texto. Estos retratos de hojas de oro falsificados casi borraron el texto debajo de ellos, y más tarde se requerirían imágenes de fluorescencia de rayos X en Stanford para revelarlo.

Sirieix murió en 1956, y en 1970 su hija comenzó a intentar vender discretamente el valioso manuscrito. Al no poder venderlo de forma privada, en 1998 finalmente recurrió a Christie's para venderlo en una subasta pública, arriesgándose a una disputa por la propiedad. La propiedad del palimpsesto fue impugnada inmediatamente en un tribunal federal de Nueva York en el caso del Patriarcado Ortodoxo Griego de Jerusalén v. Christie's, Inc. La iglesia griega afirmó que el palimpsesto había sido robado de su biblioteca en Constantinopla en la década de 1920 durante un período de extrema persecución. La jueza Kimba Wood decidió a favor de la Casa de Subastas de Christie por motivos de Laches, y un comprador estadounidense anónimo compró el palimpsesto por 2 millones de dólares. El abogado que representó al comprador anónimo declaró que el comprador era "un estadounidense privado" que trabajaba en 'la industria de la alta tecnología', pero no era Bill Gates.

Imágenes y digitalización

Después de imaginar una página del palimpsest, el texto original de Arquímedes se ve ahora claramente

En el Museo de Arte Walters en Baltimore, el palimpsesto fue objeto de un extenso estudio de imágenes de 1999 a 2008 y conservación (ya que había sufrido mucho por el moho mientras estaba en el sótano de Sirieix). Esto fue dirigido por el Dr. Will Noel, curador de manuscritos en el Museo de Arte Walters, y administrado por Michael B. Toth de R.B. Toth Associates, con la Dra. Abigail Quandt realizando la conservación del manuscrito.

Los destinatarios de la digitalización son académicos griegos, historiadores de las matemáticas, personas que desarrollan aplicaciones, bibliotecas, archivos y científicos interesados en la producción de imágenes.

Un equipo de científicos de imágenes, incluido el Dr. Roger L. Easton, Jr. del Instituto de Tecnología de Rochester, el Dr. William A. Christens-Barry de Equipoise Imaging y el Dr. Keith Knox (entonces con Boeing LTS, ahora retirado del Laboratorio de Investigación de la USAF) utilizó el procesamiento informático de imágenes digitales de varias bandas espectrales, incluidas las longitudes de onda ultravioleta, visible e infrarroja para revelar la mayor parte del texto subyacente, incluido Arquímedes. Después de generar imágenes y procesar digitalmente todo el palimpsesto en tres bandas espectrales antes de 2006, en 2007 volvieron a generar imágenes de todo el palimpsesto en 12 bandas espectrales, más luz rasante: UV: 365 nanómetros; Luz visible: 445, 470, 505, 530, 570, 617 y 625 nm; Infrarrojos: 700, 735 y 870 nm; y Raking Light: 910 y 470 nm. El equipo procesó digitalmente estas imágenes para revelar más del texto subyacente con pseudocolor. También digitalizaron las imágenes originales de Heiberg. El Dr. Reviel Netz de la Universidad de Stanford y Nigel Wilson produjeron una transcripción diplomática del texto, llenando los vacíos en el relato de Heiberg con estas imágenes.

En algún momento después de 1938, un falsificador colocó cuatro imágenes religiosas de estilo bizantino en el manuscrito en un esfuerzo por aumentar su valor de venta. Parecía que estos habían hecho que el texto subyacente fuera ilegible para siempre. Sin embargo, en mayo de 2005, los Dres. Uwe Bergmann y Bob Morton para comenzar a descifrar las partes del texto de 174 páginas que aún no habían sido reveladas. La producción de fluorescencia de rayos X fue descrita por Keith Hodgson, director de SSRL:

La luz de Synchrotron se crea cuando los electrones que viajan cerca de la velocidad de la luz toman un camino curvado alrededor de un anillo de almacenamiento, emitiendo luz electromagnética en rayos X a través de longitudes de onda infrarrojas. El rayo de luz resultante tiene características que lo hacen ideal para revelar la arquitectura intrincada y la utilidad de muchos tipos de materia, en este caso, el trabajo previamente oculto de uno de los padres fundadores de toda la ciencia.

En abril de 2007, se anunció que se había encontrado un nuevo texto en el palimpsesto, un comentario sobre las Categorías de Aristóteles con unas 9 000 palabras. La mayor parte de este texto se recuperó a principios de 2009 mediante la aplicación del análisis de componentes principales a las tres bandas de colores (rojo, verde y azul) de la luz fluorescente generada por la iluminación ultravioleta. El Dr. Will Noel dijo en una entrevista:

Empiezas a pensar que golpear un palimpsest es oro, y golpear dos es absolutamente asombroso. Pero entonces sucedió algo aún más extraordinario.

Esto se refería al descubrimiento anterior de un texto de Hypereides, un político ateniense del siglo IV a. C., que también se ha encontrado dentro del palimpsesto. Es de su discurso Against Diondas, y fue publicado en 2008 en la revista académica alemana Zeitschrift für Papyrologie und Epigraphik, vol. 165, convirtiéndose en el primer texto nuevo del palimpsesto que se publica en una revista académica.

Las transcripciones del libro se codificaron digitalmente utilizando las pautas de la Iniciativa de codificación de texto, y los metadatos de las imágenes y las transcripciones incluyeron información de identificación y catalogación basada en elementos de metadatos de Dublin Core. Los metadatos y los datos fueron administrados por Doug Emery de Emery IT.

El 29 de octubre de 2008 (décimo aniversario de la compra del palimpsesto en una subasta), todos los datos, incluidas las imágenes y las transcripciones, se alojaron en la página web de Digital Palimpsest para su uso gratuito bajo una licencia Creative Commons y las imágenes procesadas del palimpsesto en el orden de las páginas originales se publicaron como un libro de Google. En 2011, fue el tema de la exposición del Museo de Arte Walters "Lost and Found: The Secrets of Archimedes". En 2015, en un experimento sobre la preservación de datos digitales, científicos suizos codificaron texto del Palimpsesto de Arquímedes en ADN. Gracias a su desciframiento, algunos matemáticos sugieren que es posible que Arquímedes haya inventado la integración.

Contenido

Lista

Contiene:

• Sobre el Equilibrio de Planes
• En espirales
• Medición de un círculo
• Sobre la Esfera y el Cilindro
• En cuerpos flotantes
• El método de los teoremas mecánicos
• Ostomachion
• Discurso del político del siglo IV del BC Hipereides
• Un comentario sobre Aristóteles Categorías por Porfiry (o por Alexander de Aphrodisias)
• Otras obras

El método de los teoremas mecánicos

El palimpsesto contiene la única copia conocida de El método de los teoremas mecánicos.

En sus otras obras, Arquímedes a menudo demuestra la igualdad de dos áreas o volúmenes con Eudoxus' método de agotamiento, una contraparte griega antigua del método moderno de límites. Dado que los griegos sabían que algunos números eran irracionales, su noción de un número real era una cantidad Q aproximada por dos secuencias, una que proporcionaba un límite superior y la otra un límite inferior. Si uno encuentra dos secuencias U y L, y U siempre es más grande que Q, y L siempre es más pequeña que Q, y si las dos secuencias eventualmente se acercaron más que cualquier cantidad preespecificada, entonces se encuentra Q, o agotado, por U y L.

Arquímedes usó el agotamiento para probar sus teoremas. Esto implicó aproximar la figura cuya área quería calcular en secciones de área conocida, que proporcionan límites superior e inferior para el área de la figura. Luego demostró que los dos límites se vuelven iguales cuando la subdivisión se vuelve arbitrariamente fina. Estas pruebas, todavía consideradas rigurosas y correctas, utilizaron la geometría con rara brillantez. Escritores posteriores a menudo criticaron a Arquímedes por no explicar cómo llegó a sus resultados en primer lugar. Esta explicación está contenida en El Método.

El método que describe Arquímedes se basó en sus investigaciones de la física, en el centro de masa y la ley de la palanca. Comparó el área o el volumen de una figura de la que conocía la masa total y el centro de masa con el área o el volumen de otra figura de la que no sabía nada. Consideró las figuras planas como hechas de infinitas líneas como en el método posterior de indivisibles, y equilibró cada línea o corte de una figura con el corte correspondiente de la segunda figura en una palanca. El punto esencial es que las dos figuras están orientadas de manera diferente, de modo que las rebanadas correspondientes están a diferentes distancias del fulcro, y la condición de que las rebanadas se equilibren no es la misma que la condición de que las figuras sean iguales.

Una vez que demuestra que cada porción de una figura equilibra cada porción de la otra figura, concluye que las dos figuras se equilibran entre sí. Pero se conoce el centro de masa de una figura, y la masa total se puede colocar en este centro y todavía se equilibra. La segunda figura tiene una masa desconocida, pero la posición de su centro de masa podría estar restringida a una cierta distancia del fulcro por un argumento geométrico, por simetría. La condición de que las dos figuras estén en equilibrio ahora le permite calcular la masa total de la otra figura. Consideró este método como una heurística útil, pero siempre se aseguró de probar los resultados que encontró utilizando el agotamiento, ya que el método no proporcionó límites superiores e inferiores.

Con este método, Arquímedes pudo resolver varios problemas que ahora se tratan con el cálculo integral, al que Isaac Newton y Gottfried Leibniz le dieron su forma moderna en el siglo XVII. Entre esos problemas estaban el de calcular el centro de gravedad de un hemisferio sólido, el centro de gravedad de un tronco de un paraboloide circular y el área de una región limitada por una parábola y una de sus líneas secantes. (Para obtener detalles explícitos, consulte el uso de los infinitesimales por parte de Arquímedes).

Al demostrar rigurosamente los teoremas, Arquímedes a menudo usaba lo que ahora se llama sumas de Riemann. En Sobre la esfera y el cilindro, da los límites superior e inferior para el área de la superficie de una esfera cortando la esfera en secciones de igual ancho. Luego limita el área de cada sección por el área de un cono inscrito y circunscrito, que demuestra que tienen un área mayor y menor correspondientemente. Añade las áreas de los conos, que es una especie de suma de Riemann para el área de la esfera considerada como superficie de revolución.

Pero hay dos diferencias esenciales entre Arquímedes' método y métodos del siglo XIX:

1. Arquímedes no sabía sobre la diferenciación, por lo que no podía calcular ninguna integral que no fuera la que provenía de consideraciones de centro de masa, por simetría. Si bien tenía una noción de linearidad, para encontrar el volumen de una esfera tenía que equilibrar dos cifras al mismo tiempo; nunca descubrió cómo cambiar variables o integrarse por partes.
2. Al calcular sumas aproximadas, impuso la limitación adicional que las sumas proporcionan rigurosos límites superiores e inferiores. Esto era necesario porque los griegos carecían de métodos algebraicos que podrían establecer que los términos de error en una aproximación son pequeños.

Un problema resuelto exclusivamente en el Método es el cálculo del volumen de una cuña cilíndrica, resultado que reaparece como teorema XVII (esquema XIX) de la Estereometria.

Algunas páginas del Método quedaron sin uso por parte del autor del palimpsesto y, por lo tanto, aún se encuentran perdidas. Entre ellos, un resultado anunciado se refería al volumen de la intersección de dos cilindros, una figura que Apostol y Mnatsakanian han rebautizado como n = 4 globo de Arquímedes (y la mitad del mismo, n = 4 cúpula de Arquímedes), cuyo volumen se relaciona con la pirámide n-poligonal.

Estómago

Ostomachion es un rompecabezas de disección en el Archimedes Palimpsest (que aparece después de Suter de una fuente diferente; esta versión debe ser estirada al doble de ancho para ajustarse al Palimpsest)

En la época de Heiberg, se prestó mucha atención a Arquímedes' uso brillante de indivisibles para resolver problemas sobre áreas, volúmenes y centros de gravedad. Se prestó menos atención al Ostomachion, un problema tratado en el palimpsesto que parece tratarse de un rompecabezas para niños. Reviel Netz, de la Universidad de Stanford, ha argumentado que Arquímedes discutió la varias formas de resolver el rompecabezas, es decir, volver a colocar las piezas en su caja. No se han identificado piezas como tales; se desconocen las reglas de colocación, como si se permite dar la vuelta a las piezas; y hay duda sobre el tablero.

El tablero ilustrado aquí, como también por Netz, es uno propuesto por Heinrich Suter al traducir un texto árabe sin puntos en el que dos veces e iguales se confunden fácilmente; Suter comete al menos un error tipográfico en el punto crucial, al igualar las longitudes de un lado y una diagonal, en cuyo caso el tablero no puede ser un rectángulo. Pero, como las diagonales de un cuadrado se cortan en ángulo recto, la presencia de triángulos rectángulos hace que la primera proposición de Arquímedes ' Ostomachion inmediato. Más bien, la primera proposición establece un tablero que consta de dos cuadrados uno al lado del otro (como en Tangram). Richard Dixon Oldham, FRS, publicó en Nature en marzo de 1926 una reconciliación de la placa de Suter con esta placa del Codex, lo que desató una locura por Ostomachion ese año.

La combinatoria moderna revela que el número de formas de colocar las piezas del tablero de Suter para reformar su cuadrado, permitiéndoles dar la vuelta, es de 17.152; el número es considerablemente menor (64) si no se permite dar la vuelta a las piezas. La nitidez de algunos ángulos en el tablero de Suter dificulta la fabricación, mientras que el juego puede ser incómodo si se dan vuelta las piezas con puntas afiladas. Para el tablero Codex (nuevamente como con Tangram) hay tres formas de empacar las piezas: como dos cuadrados unitarios uno al lado del otro; como dos cuadrados unitarios uno encima del otro; y como un solo cuadrado de lado la raíz cuadrada de dos. Pero la clave de estos empaques es formar triángulos rectángulos isósceles, tal como Sócrates hace que el niño esclavo considere en Meno de Platón: Sócrates defendía el conocimiento por recuerdo, y aquí el reconocimiento de patrones y la memoria parecen más pertinentes que un recuento de soluciones. El tablero Codex se puede encontrar como una extensión de Sócrates' argumento en una cuadrícula de siete por siete cuadrados, lo que sugiere una construcción iterativa de los números de diámetro lateral que dan aproximaciones racionales a la raíz cuadrada de dos.

El estado fragmentario del palimpsesto deja muchas dudas. Pero ciertamente se sumaría al misterio si Arquímedes hubiera usado el tablero de Suter en lugar del tablero del Codex. Sin embargo, si Netz tiene razón, este puede haber sido el trabajo más sofisticado en el campo de la combinatoria en la antigüedad griega. O Arquímedes usó el tablero de Suter, cuyas piezas se permitieron dar la vuelta, o las estadísticas del tablero de Suter son irrelevantes.

Fuentes adicionales

• Dijksterhuis, E.J. Dijksterhuis (1987). Archimedes. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 129–133. ISBN 0-691-08421-1.
• Reviel Netz y William Noel. El Codex Arquímedes, Weidenfeld " Nicolson, 2007
• El Programa Nova esbozó
• Versión del profesor del Programa Nova
• El método: Traducción en inglés (heiberg de 1909 transcripción)
• ¿Lo leyó Isaac Barrow?
• Will Noel: Restauración de los Archimedes Palimpsest (YouTube), Ignite (O'Reilly), Agosto 2009
• The Greek Orthodox Patriarchate of Jerusalem v. Christies’s Inc., 1999 U.S. Dist. LEXIS 13257 (S.D. N.Y. 1999) (via Archive.org)