Palabra (teoría de grupos)

En teoría de grupos, una palabra es cualquier producto escrito de los elementos de un grupo y sus inversos. Por ejemplo, si x, y y z son elementos de un grupo G, entonces xy, z⁻¹xzz e y⁻¹zxx⁻¹yz⁻¹ son palabras del conjunto {x, y, z}. Dos palabras diferentes pueden tener el mismo valor en G, o incluso en cada grupo. Las palabras desempeñan un papel importante en la teoría de grupos libres y presentaciones, y son objetos de estudio centrales en la teoría combinatoria de grupos.

Sea G un grupo y sea S un subconjunto de G. Una palabra en S es cualquier expresión de la forma

${\displaystyle S_{1} {\varepsilon ¿Qué? ¿Qué? S_{n} {\varepsilon ¿Qué?$

donde s₁,...,s_n son elementos de S, llamados generadores, y cada ε_i es ±1. El número n se conoce como la longitud de la palabra.

Cada palabra de S representa un elemento de G, es decir, el producto de la expresión. Por convención, el elemento de identidad único se puede representar mediante la palabra vacía, que es la única palabra de longitud cero.

Al escribir palabras, es común usar la notación exponencial como abreviatura. Por ejemplo, la palabra

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

podría escribirse como

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}$

Esta última expresión no es una palabra en sí misma; es simplemente una notación más corta del original.Al trabajar con palabras largas, puede ser útil usar una línea de trazo para indicar los elementos inversos de S. Usando la notación de línea de trazo, la palabra anterior se escribiría así:

${\displaystyle x^{2}{2} {y}zyz^{3}{\overline {x}}{2}\,}$

Cualquier palabra en la que aparezca un generador junto a su propio inverso (xx⁻¹ o x⁻¹x) se puede simplificar omitiendo el par redundante:

${\displaystyle Y... Sí.$

Esta operación se conoce como reducción y no altera el elemento del grupo representado por la palabra. Las reducciones pueden considerarse relaciones (definidas más adelante) que se derivan de los axiomas del grupo.Una palabra reducida es aquella que no contiene pares redundantes. Cualquier palabra puede simplificarse a una palabra reducida mediante una secuencia de reducciones:

${\displaystyle xzy^{-1}xxx^{-1}yz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.}$

El resultado no depende del orden en que se realicen las reducciones.

Una palabra se reduce cíclicamente si y solo si cada permutación cíclica de la palabra se reduce.

El producto de dos palabras se obtiene por concatenación:

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}x^{-1}y. }$

Aunque se reduzcan las dos palabras, el resultado puede no serlo.

La inversa de una palabra se obtiene invirtiendo cada generador e invirtiendo el orden de los elementos:

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)}{-1}=y^{-1}xyz^{-1}$

El producto de una palabra con su inversa se puede reducir a la palabra vacía:

${\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.$

Puedes mover un generador del principio al final de una palabra mediante la conjugación:

${\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.}$

Un subconjunto S de un grupo G se denomina conjunto generador si cada elemento de G puede representarse mediante una palabra en S.

Cuando S no es un conjunto generador para G, el conjunto de elementos representados por palabras en S es un subgrupo de G, conocido como subgrupo de G generados por S y generalmente denotado ${\displaystyle \langle S\rangle }$. Es el subgrupo más pequeño de G que contiene los elementos S.

Una forma normal para un grupo G con un conjunto generador S es la elección de una palabra reducida en S para cada elemento de G. Por ejemplo:

• Las palabras 1, i, j, ij son una forma normal para el grupo Klein con S =i, j} y 1 representando la palabra vacía (el elemento de identidad para el grupo).
• Las palabras 1, r, r²,... r^n-1, s, sr,... sr^n-1 son una forma normal para el grupo dihedral Dih_n con S =s, r} y 1 como arriba.
• El conjunto de palabras de la forma x^mSí.ⁿ para m,n ▪ Z son una forma normal para el producto directo de los grupos cíclicos .x. y .Sí.. con S =x, Sí.}.
• El conjunto de palabras reducidas en S son la forma normal única para el grupo libre sobre S.

Si S es un conjunto generador para un grupo G, a relación es un par de palabras en S que representan el mismo elemento G. Estas se escriben generalmente como ecuaciones, por ejemplo. ${\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}$Un juego ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ de las relaciones defines G si cada relación en G sigue lógicamente de los ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ usando los axiomas para un grupo. A presentación para G es un par ${\displaystyle \langle S\mid {\fnMitcal {R}\rangle }$, donde S es un conjunto generador para G y ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ es un conjunto de relaciones que define.

Por ejemplo, el grupo de cuatro de Klein se puede definir mediante la presentación

${\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle.}$

Aquí 1 denota la palabra vacía, que representa el elemento de identidad.

Si S es cualquier juego, el grupo libre sobre S es el grupo con presentación ${\displaystyle \langle S\mid \;\rangle }$. Es decir, el grupo libre sobre S es el grupo generado por los elementos SSin relaciones extras. Cada elemento del grupo libre se puede escribir únicamente como una palabra reducida en S.

• Problema de palabras (mathematics)
• Problema de palabras para grupos

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• Novikov, P. S. (1955). "Sobre la insolvabilidad algorítmica del problema de la palabra en la teoría del grupo". Trudy Mat. Inst. Steklov (en ruso). 44: 1 –143.
• Robinson, Derek John Scott (1996). Un curso en la teoría de grupos. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Rotman, Joseph J. (1995). Una introducción a la teoría de los grupos. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Schupp, Paul E; Lyndon, Roger C. (2001). Teoría del grupo. Berlín: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
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• Stillwell, John (1993). Topología clásica y teoría del grupo combinatorio. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.