Padé aproximante

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'Mejor' aproximación de una función por una función racional del orden dado

En matemáticas, una aproximante de Padé es la "mejor" aproximación de una función cerca de un punto específico mediante una función racional de orden dado. Según esta técnica, la serie de potencias de la aproximante concuerda con la serie de potencias de la función que se aproxima. La técnica fue desarrollada alrededor de 1890 por Henri Padé, pero se remonta a Georg Frobenius, quien introdujo la idea e investigó las características de las aproximaciones racionales de series de potencias.

La aproximante de Padé a menudo proporciona una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor, y aún puede funcionar cuando la serie de Taylor no converge. Por estas razones, las aproximantes de Padé se utilizan ampliamente en cálculos por computadora. También se han utilizado como funciones auxiliares en la aproximación diofántica y la teoría de números trascendental, aunque para obtener resultados nítidos los métodos ad hoc, en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé, suelen reemplazarlos. Dado que una aproximante de Padé es una función racional, puede aparecer un punto singular artificial como aproximación, pero esto puede evitarse mediante el análisis de Borel-Padé.

La razón por la que la aproximante de Padé tiende a ser una mejor aproximación que una serie de Taylor truncada es clara desde el punto de vista del método de suma multipunto. Dado que hay muchos casos en los que la expansión asintótica en el infinito se vuelve 0 o una constante, puede interpretarse como la "aproximación incompleta de Padé de dos puntos", en la que la aproximación ordinaria de Padé mejora el método de truncar un Taylor. serie.

Definición

Dada una función $f$ y dos números enteros $m \geq 0$ y $n \geq 1$ , la aproximante de Padé de orden $[m / n]$ es la función racional

{displaystyle R(x)={frac {sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+dots +b_{n}x^{n}}},}

f () x)

{displaystyle {begin{aligned}f(0)&=R(0),\f'(0)&=R'(0),\f''(0)&=R''(0),\&mathrel {;vdots } \f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).end{aligned}}}

Equivalentemente, si ${displaystyle R(x)}$ se expande en una serie Maclaurin (Taylor series a 0), su primera ${displaystyle m+n}$ términos iguales al primero ${displaystyle m+n}$ términos de ${displaystyle f(x)}$ , y así

{displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+cdots }

Cuando existe, la aproximante de Padé es única como serie de potencias formal para los m y n dados.

La aproximante de Padé definida anteriormente también se denota como

{displaystyle [m/n]_{f}(x).}

Cálculo

Para un $x$ dado, las aproximantes de Padé se pueden calcular mediante el algoritmo épsilon de Wynn y también otras transformaciones de secuencia a partir de sumas parciales.

{displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+cdots +c_{N}x^{N}}

f

{displaystyle c_{k}={frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}

f

Una forma de calcular una aproximante de Padé es mediante el algoritmo euclidiano extendido para el máximo común divisor polinómico. La relación

{displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){bmod {x}}^{m+n+1}}

{displaystyle K(x)}

{displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}

{displaystyle T_{m+n}(x)}

{displaystyle x^{m+n+1}}

Recuerde que, para calcular el máximo común divisor de dos polinomios p y q, se calcula mediante división larga la secuencia restante

{displaystyle r_{0}=p,;r_{1}=q,quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}

k = 1, 2, 3,...

<math alttext="{displaystyle deg r_{k+1}deg⁡ ⁡ rk+1c)deg⁡ ⁡ rk{displaystyle deg r_{k+1} .<img alt="{displaystyle deg r_{k+1}

{displaystyle r_{k+1}=0}

{displaystyle u_{0}=1,;v_{0}=0,quad u_{1}=0,;v_{1}=1,quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}

{displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}

Para la $[m / n]$ , se lleva a cabo el algoritmo euclidiano extendido para

{displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},;r_{1}=T_{m+n}(x)}

{displaystyle v_{k}}

n

Luego los polinomios ${displaystyle P=r_{k},;Q=v_{k}}$ dar $[m / n]$ Padé aproximant. Si se tratase de calcular todos los pasos de la más amplia computación de divisor común, se obtendría una antidiagonal de la tabla Padé.

Función Riemann-Padé zeta

Para estudiar la resumición de una serie divergente, digamos

{displaystyle sum _{z=1}^{infty }f(z),}

{displaystyle zeta _{R}(s)=sum _{z=1}^{infty }{frac {R(z)}{z^{s}}},}

{displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)}

() m, n)

f () x)

s = 0

La ecuación funcional para esta función Padé zeta es

{displaystyle sum _{j=0}^{n}a_{j}zeta _{R}(s-j)=sum _{j=0}^{m}b_{j}zeta _{0}(s-j),}

a j

b j

Método DLog Padé

Los aproximadores de Padé se pueden utilizar para extraer puntos críticos y exponentes de funciones. En la termodinámica, si una función $f () x)$ se comporta de forma no analítica cerca de un punto $x = r$ como ${displaystyle f(x)sim |x-r|^{p}}$ , una llamada $x = r$ un punto crítico y $p$ el exponente crítico asociado de $f$ . Si términos suficientes de la expansión de la serie $f$ son conocidos, se puede extraer aproximadamente los puntos críticos y los exponentes críticos de respectivamente los polos y residuos de los aproximantes de Padé ${displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$ , donde ${displaystyle g=f'/f}$ .

Generalizaciones

Una aproximante de Padé aproxima una función en una variable. Una aproximante en dos variables se llama aproximante de Chisholm (en honor a J. S. R. Chisholm), en variables múltiples aproximante de Canterbury (en honor a Graves-Morris en la Universidad de Kent).

Padé aproximante de dos puntos

La aproximación convencional de Padé está determinada a reproducir la expansión de Maclaurin hasta un orden dado. Por lo tanto, la aproximación al valor aparte del punto de expansión puede ser pobre. Esto es evitado por la aproximación Padé de 2 puntos, que es un tipo de método de summación multipuntos. At ${displaystyle x=0}$ , considerar un caso que una función ${displaystyle f(x)}$ que se expresa por el comportamiento asintotico ${displaystyle f_{0}(x)}$ :

{displaystyle fsim f_{0}(x)+o{big (}f_{0}(x){big)},quad xto 0,}

{displaystyle xto infty }

{displaystyle f_{infty }(x)}

{displaystyle f(x)sim f_{infty }(x)+o{big (}f_{infty }(x){big)},quad xto infty.}

Al seleccionar el comportamiento principal de ${displaystyle f_{0}(x),f_{infty }(x)}$ , funciones aproximadas ${displaystyle F(x)}$ tal que reproducir simultáneamente el comportamiento asintotico mediante el desarrollo de la aproximación Padé se puede encontrar en varios casos. Como resultado, en el punto ${displaystyle xto infty }$ , donde la precisión de la aproximación puede ser la peor en la aproximación Padé ordinaria, se garantiza una buena precisión del aproximado Padé de 2 puntos. Por lo tanto, el aproximado Padé de 2 puntos puede ser un método que da una buena aproximación globalmente para ${displaystyle x=0sim infty }$ .

En casos en que ${displaystyle f_{0}(x),f_{infty }(x)}$ son expresados por polinomios o serie de poderes negativos, función exponencial, función logarítmica o ${displaystyle xln x}$ , podemos aplicar 2 puntos Padé aproximant a ${displaystyle f(x)}$ . Hay un método de usar esto para dar una solución aproximada de una ecuación diferencial con alta precisión. Además, para los ceros notriviales de la función Riemann zeta, el primer cero no trivial se puede estimar con cierta precisión del comportamiento asintotico en el eje real.

Padé aproximante multipunto

Otra extensión de la aproximación Padé de 2 puntos es la aproximada Padé de varios puntos. Este método trata puntos de singularidad ${displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,dotsN)}$ de una función ${displaystyle f(x)}$ que debe ser aproximado. Considerar los casos cuando las singularidades de una función se expresan con índice ${displaystyle n_{j}}$ por

{displaystyle f(x)sim {frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},quad xto x_{j}.}

Además de la aproximación Padé de 2 puntos, que incluye información a ${displaystyle x=0,xto infty }$ , este método se aproxima para reducir la propiedad de divergencia ${displaystyle xsim x_{j}}$ . Como resultado, ya que la información de la peculiaridad de la función es capturada, la aproximación de una función ${displaystyle f(x)}$ se puede realizar con mayor precisión.

Ejemplos

$pecado(x)$: ${displaystyle sin(x)approx {frac {{frac {12671}{4363920}}x^{5}-{frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{frac {445}{12122}}x^{2}+{frac {601}{872784}}x^{4}+{frac {121}{16662240}}x^{6}}}}$
$exp(x)$: ${displaystyle exp(x)approx {frac {1+{frac {1}{2}}x+{frac {1}{9}}x^{2}+{frac {1}{72}}x^{3}+{frac {1}{1008}}x^{4}+{frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{frac {1}{2}}x+{frac {1}{9}}x^{2}-{frac {1}{72}}x^{3}+{frac {1}{1008}}x^{4}-{frac {1}{30240}}x^{5}}}}$
$log(1+ x)$: ${displaystyle log(1+x)approx {frac {x+{frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{frac {1}{6}}x^{2}}}}$
Jacobi $sn(z Silencio$: ${displaystyle mathrm {sn} (z|3)approx {frac {-{frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{frac {859490}{1575607}}z^{2}-{frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}$
Bessel $J 5 () x)$: ${displaystyle J_{5}(x)approx {frac {-{frac {107}{28416000}}x^{7}+{frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{frac {151}{5550}}x^{2}+{frac {1453}{3729600}}x^{4}+{frac {1339}{358041600}}x^{6}+{frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}$
$erf(x)$: ${displaystyle operatorname {erf} (x)approx {frac {2}{15{sqrt {pi }}}}cdot {frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}$
Fresnel $C () x)$: ${displaystyle C(x)approx {frac {1}{135}}cdot {frac {990791pi ^{4}x^{9}-147189744pi ^{2}x^{5}+8714684160x}{1749pi ^{4}x^{8}+523536pi ^{2}x^{4}+64553216}}}$

Literatura

Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996.
Baker, G. A., Jr. Padé aproximant, Scholarpedia, 7(6):9756.
Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. Métodos de extrapolación. Teoría y práctica. North-Holland, 1991. ISBN 978-0444888143
Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), "Sección 5.12 Padé Approximants", Recetas numéricas: El arte de la computación científica (3a edición), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8.
Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volumen 1881, Número 90, Páginas 1–17.
Gragg, W. B.; La tabla de padecimiento y su relación con ciertos algoritmos de análisis numérico [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, págs. 1 a 62.
Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractionnelles, Tesis, [Ann. École Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
Wynn, P. (1966), "Utilice sistemas de recursiones que obtengan entre los cocientes de la tabla Padé", Numerische Mathematik, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562, S2CID 123789548.

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