Óvalo de Cassini

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Clase de curvas de plano cuartico

Tres ovalos Cassini, diferentes por el rango dentro del cual el parámetro $e$ (igual que $b / a$ ) cae:
$0 e 1$

$e = 1$

$1 e c) \sqrt 2$
No se muestra: $e \geq \sqrt 2$ (convex).

En geometría, un óvalo de Cassini es una curva plana de cuarto grado definida como el lugar geométrico de puntos en el plano tal que el producto de las distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Esto puede contrastarse con una elipse, para la cual la suma de las distancias es constante, en lugar del producto. Los óvalos de Cassini son el caso especial de las lemniscatas polinómicas cuando el polinomio utilizado tiene grado 2.

Los óvalos de Cassini llevan el nombre del astrónomo Giovanni Domenico Cassini, quien los estudió a finales del siglo XVII. Cassini creía que el Sol viajaba alrededor de la Tierra en uno de estos óvalos, con la Tierra en uno de los focos del óvalo. Otros nombres incluyen óvalos de Cassini, curvas de Cassini y óvalos de Cassini.

Definición formal

Cassini oval: ${displaystyle |PP_{1}|!!;times !!;|PP_{2}|=b^{2}}$ para cualquier ubicación P en la curva

A Cassini oval es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto ${displaystyle P}$ del conjunto, el producto de las distancias ${displaystyle |PP_{1}|,,|PP_{2}|}$ a dos puntos fijos ${displaystyle P_{1},P_{2}}$ es una constante, generalmente escrita como ${displaystyle b^{2}}$ Donde $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">b■0{displaystyle b confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;"/>$ :

{displaystyle {P:|PP_{1}|!!;times !!;|PP_{2}|=b^{2}}.}

Como con un elipse, los puntos fijos ${displaystyle P_{1},P_{2}}$ son llamados Foci del Oval Cassini.

Ecuaciones

Si los focos son (a, 0) y (−a, 0), entonces la ecuación de la curva es

{displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.}

Cuando se expande, esto se convierte en

{displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}.}

La ecuación polar equivalente es

{displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}cos 2theta =b^{4}-a^{4}.,}

Forma

La curva depende, hasta la similitud, de e = b/a. Cuando e 1. La curva consiste en dos bucles desconectados, cada uno de los cuales contiene un enfoque. Cuando e = 1, la curva es la lemniscate de Bernoulli que tiene la forma de una figura lateral ocho con un punto doble (específicamente, un crunodo) en el origen. Cuando e Ø 1, la curva es un único bucle conectado que contiene ambos foci. Es en forma de cacahuete para $<math alttext="{displaystyle 1<e1c)ec)2{displaystyle 1 se hizo realidad {sqrt {2} <img alt="{displaystyle 1<e$ y convex para ${displaystyle egeq {sqrt {2}}}$ . El caso límite de a → 0 (hence) e → ${displaystyle infty }$ ), en cuyo caso el foci coincide entre sí, es un círculo.

La curva siempre tiene intersecciones x en ± c donde c² = a² + b². Cuando e < 1 hay dos intersecciones x reales adicionales y cuando e > 1 hay dos interceptos y reales, siendo todos los demás interceptos x e y imaginarios.

La curva tiene puntos dobles en los puntos circulares en el infinito, en otras palabras la curva es bicircular. Estos puntos son biflecnodos, lo que significa que la curva tiene dos tangentes distintas en estos puntos y cada rama de la curva tiene un punto de inflexión allí. A partir de esta información y de las fórmulas de Plücker es posible deducir los números de Plücker para el caso e ≠ 1: grado = 4, clase = 8, número de nodos = 2, número de cúspides = 0, número de dobles tangentes = 8, número de puntos de inflexión = 12, género = 1.

Las tangentes en los puntos circulares están dadas por x ± iy = ± a que tienen puntos de intersección reales en (± a, 0). Así pues, los focos son, de hecho, focos en el sentido definido por Plücker. Los puntos circulares son puntos de inflexión por lo que son focos triples. Cuando e ≠ 1 la curva tiene clase ocho, lo que implica que debería haber un total de ocho focos reales. Seis de ellos han sido contabilizados en los dos focos triples y los dos restantes están en

<math alttext="{displaystyle (pm a{sqrt {1-e^{4}}},0)quad (e()± ± a1− − e4,0)()ec)1){displaystyle (pm a{sqrt {1-e^{4}},0)quad (e made1)}<img alt="{displaystyle (pm a{sqrt {1-e^{4}}},0)quad (e

1).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()0,± ± ae4− − 1)()e■1).{displaystyle (0,pm a{sqrt {e^{4}})quad (e título1). }1).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af98628f2286e99cdecabf06a93f8cbd932e18b" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.631ex; height:3.843ex;"/>

Entonces, los focos adicionales están en el eje x cuando la curva tiene dos bucles y en el eje y cuando la curva tiene un solo bucle.

Óvalos de Cassini y trayectorias ortogonales

Cassini ovals y sus trayectorias ortogonales (hiperbolas)

Las

trayectorias ortogonales de un lápiz de curvas dado son curvas que intersecan ortogonalmente todas las curvas dadas. Por ejemplo, las trayectorias ortogonales de un lápiz de elipses confocales son las hipérbolas confocales con los mismos focos. Para los óvalos de Cassini se tiene:

Las trayectorias ortogonales de las curvas Cassini con foci ${displaystyle P_{1},P_{2}}$ son las hiperbolas equilaterales que contienen ${displaystyle P_{1},P_{2}}$ con el mismo centro que los ovalos Cassini (ver imagen).

Prueba:
Para la simplicidad uno elige ${displaystyle P_{1}=(1,0),,P_{2}=(-1,0)}$ .

Los ovalados de Cassini tienen la ecuación

{displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})+1-b^{4}=0.}

Las hiperbolas equilaterales (sus asintotos son rectangulares) que contienen

{displaystyle (1,0),(-1,0)}

con centro

{displaystyle (0,0)}

puede ser descrito por la ecuación

{displaystyle x^{2}-y^{2}-lambda xy-1=0, lambda in mathbb {R}.}

Estas secciones cónicas no tienen puntos con Sí.-eje en común e intersección x- Eje en ${displaystyle (pm 1,0)}$ . Sus discriminantes muestran que estas curvas son hiperbolas. Una investigación más detallada revela que las hiperbolas son rectangulares. Para conseguir normales, que son independientes del parámetro ${displaystyle lambda }$ la siguiente representación implícita es más conveniente

{displaystyle g(x,y)={frac {x^{2}-y^{2}-1}{xy}}-lambda ={frac {x}{y}}-{frac {y}{x}}-{frac {1}{xy}}-lambda =0;.}

{displaystyle operatorname {grad} f(x,y)cdot operatorname {grad} g(x,y)=0}

{displaystyle (x,y),,xneq 0neq y}

Observación:
La imagen que representa los óvalos Cassini y los hiperbolas se parece a las curvas de dos puntos iguales, junto con las líneas del campo eléctrico generado. Pero para el potencial de dos cargos de punto iguales uno tiene ${displaystyle 1/|PP_{1}|+1/|PP_{2}|={text{constant}}}$ . (Ver curva implícita.) En cambio, estas curvas corresponden realmente a los conjuntos (secciones planas de) de dos hilos infinitos con igual densidad de carga de línea constante, o alternativamente, a los conjuntos de nivel de las sumas de las funciones del Verde para el Laplaciano en dos dimensiones centradas en el foci.

Las curvas Cassini de un solo bucle y doble pueden ser representadas como las trayectorias ortogonales unas de otras cuando cada familia es coaxial pero no confocal. Si los monos son descritos por ${displaystyle (x^{2}+y^{2})-1=axy}$ entonces el foci son variable en el eje ${displaystyle y=x}$ si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>$ , ${displaystyle y=-x}$ si $<math alttext="{displaystyle aac)0{displaystyle a won0} <img alt="{displaystyle a$ ; si las dos opciones son descritas por ${displaystyle (x^{2}+y^{2})+1=b(x^{2}-y^{2})}$ entonces los ejes son, respectivamente, ${displaystyle y=0}$ y ${displaystyle x=0}$ . Cada curva, hasta la similitud, aparece dos veces en la imagen, que ahora se asemeja a las líneas de campo y curvas potenciales para cuatro cargos de punto iguales, localizados en ${displaystyle (pm 1,0)}$ y ${displaystyle (0,pm 1)}$ . Además, la porción de esta imagen en el medio plano superior representa la siguiente situación: Los dobles ciclos son un conjunto reducido de clases de congruencia para los conics Steiner central en el plano hiperbólico producido por las colilíneas directas; y cada uno de los puntos es el lazo de puntos ${displaystyle P}$ tal que el ángulo ${displaystyle OPQ}$ es constante, donde ${displaystyle O=(0,1)}$ y ${displaystyle Q}$ es el pie del perpendicular a través ${displaystyle P}$ sobre la línea descrita ${displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ .

Ejemplos

El segundo lemniscate del conjunto Mandelbrot es un oval Cassini definido por la ecuación ${displaystyle L_{2}={c:operatorname {abs} (c^{2}+c)=ER}.}$ Su foci están en los puntos c en el plano complejo que tiene órbitas donde cada segundo valor z es igual a cero, que son los valores 0 y −1.