Oscilador armónico cuántico

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Modelo mecánico importante y bien entendido

Algunas trayectorias de un oscilador armónico según las leyes de Newton de la mecánica clásica (A–B), y según la ecuación Schrödinger de la mecánica cuántica (C–H). En A–B, la partícula (representada como una bola pegada a una primavera) oscila de ida y vuelta. En C-H se muestran algunas soluciones a la Ecuación Schrödinger, donde el eje horizontal es la posición, y el eje vertical es la parte real (azul) o parte imaginaria (rojo) de la función de onda. C, D, E, F, pero no G, H, son eigentales energéticos. H es un estado coherente, un estado cuántico que aproxima la trayectoria clásica.

El oscilador armónico cuántico es el análogo mecánico-cuántico del oscilador armónico clásico. Debido a que un potencial uniforme arbitrario generalmente se puede aproximar como un potencial armónico en la vecindad de un punto de equilibrio estable, es uno de los sistemas modelo más importantes en la mecánica cuántica. Además, es uno de los pocos sistemas de la mecánica cuántica para los que se conoce una solución analítica exacta.

Oscilador armónico unidimensional

Estados propios hamiltonianos y de energía

Representaciones de funcionamiento de onda para los primeros ocho eigenstates atados, n = 0 a 7. El eje horizontal muestra la posición x.

Densidades de probabilidad correspondientes.

El hamiltoniano de la partícula es:

{displaystyle {hat {H}}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+{frac {1}{2}}k{hat {x}}^{2}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+{frac {1}{2}}momega ^{2}{hat {x}}^{2},,}

m

k

{textstyle omega ={sqrt {k/m}}}

{hat {x}}

x

{hat {p}}

{displaystyle {hat {p}}=-ihbar ,partial /partial x}

Se puede escribir la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo,

{displaystyle {hat {H}}left|psi rightrangle =Eleft|psi rightrangle ~,}

E

Silencio ↑ .

Se puede resolver la ecuación diferencial que representa este problema de valor propio en la base de coordenadas, para la función de onda $⟨ x | ψ ⟩ = ψ (x)$ , utilizando un método espectral. Resulta que hay una familia de soluciones. En esta base, equivalen a funciones de Hermite,

{displaystyle psi _{n}(x)={frac {1}{sqrt {2^{n},n!}}}left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{1/4}e^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}}H_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}xright),qquad n=0,1,2,ldots.}

Las funciones H_n son las funciones de los físicos' polinomios de Hermite,

{displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{frac {d^{n}}{dz^{n}}}left(e^{-z^{2}}right).}

Los niveles de energía correspondientes son

{displaystyle E_{n}=hbar omega {bigl (}n+{tfrac {1}{2}}{bigr)}=(2n+1){hbar over 2}omega ~.}

Este espectro de energía es notable por tres razones. En primer lugar, las energías se cuantifican, lo que significa que solo son posibles valores de energía discretos (múltiplos enteros más la mitad de $ħω$ ); esta es una característica general de los sistemas mecánicos cuánticos cuando una partícula está confinada. En segundo lugar, estos niveles de energía discretos están igualmente espaciados, a diferencia del modelo de Bohr del átomo o la partícula en una caja. En tercer lugar, la energía más baja alcanzable (la energía del estado $n = 0$ , llamado estado fundamental) no es igual al mínimo del pozo de potencial, pero $ħω /2$ encima; esto se llama energía de punto cero. Debido a la energía de punto cero, la posición y el momento del oscilador en el estado fundamental no son fijos (como lo serían en un oscilador clásico), pero tienen un pequeño rango de variación, de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg.

La densidad de probabilidad del estado fundamental se concentra en el origen, lo que significa que la partícula pasa la mayor parte del tiempo en el fondo del pozo de potencial, como cabría esperar de un estado con poca energía. A medida que aumenta la energía, la densidad de probabilidad alcanza su punto máximo en los "puntos de inflexión" clásicos, donde la energía del estado coincide con la energía potencial. (Vea la discusión a continuación de los estados altamente excitados). Esto es consistente con el oscilador armónico clásico, en el que la partícula pasa más tiempo (y por lo tanto es más probable que se encuentre) cerca de los puntos de inflexión, donde está moviendo el el más lento. El principio de correspondencia queda así satisfecho. Además, paquetes especiales de ondas no dispersivas, con incertidumbre mínima, llamados estados coherentes, oscilan de manera muy similar a los objetos clásicos, como se ilustra en la figura; son no estados propios del hamiltoniano.

Método del operador de escalera

Densidades de probabilidad↑_n()x)² para los eigentales atados, comenzando por los estados terrestres (n = 0) en la parte inferior y aumentando en energía hacia la parte superior. El eje horizontal muestra la posición

x

, y colores más brillantes representan densidades de probabilidad más altas.

El "operador de escalera" El método, desarrollado por Paul Dirac, permite la extracción de los valores propios de la energía sin resolver directamente la ecuación diferencial. Es generalizable a problemas más complicados, especialmente en la teoría cuántica de campos. Siguiendo este enfoque, definimos los operadores $a$ y su adjunto $a †$ ,

{displaystyle {begin{aligned}a&={sqrt {momega over 2hbar }}left({hat {x}}+{i over momega }{hat {p}}right)\a^{dagger }&={sqrt {momega over 2hbar }}left({hat {x}}-{i over momega }{hat {p}}right)end{aligned}}}

x

{displaystyle m{frac {dx}{dt}}}

i.e

Estos operadores conducen a la representación útil de ${hat {x}}$ y ${hat {p}}$ ,

{displaystyle {begin{aligned}{hat {x}}&={sqrt {frac {hbar }{2momega }}}(a^{dagger }+a)\{hat {p}}&=i{sqrt {frac {hbar momega }{2}}}(a^{dagger }-a)~.end{aligned}}}

El operador $a$ no es hermitiano, ya que él mismo y su adjunto $a †$ no son iguales. Los estados propios de energía $| n ⟩$ (también conocidos como estados de Fock), cuando son operados por estos operadores de escalera, dar

{displaystyle {begin{aligned}a^{dagger }|nrangle &={sqrt {n+1}}|n+1rangle \a|nrangle &={sqrt {n}}|n-1rangle.end{aligned}}}

Entonces es evidente que $a †$ , en esencia, agrega un solo cuanto de energía al oscilador, mientras que $a$ elimina un cuanto. Por esta razón, a veces se los denomina "creación" y "aniquilación" operadores.

A partir de las relaciones anteriores, también podemos definir un operador numérico $N$ , que tiene la siguiente propiedad:

{displaystyle {begin{aligned}N&=a^{dagger }a\Nleft|nrightrangle &=nleft|nrightrangle.end{aligned}}}

Los siguientes conmutadores se pueden obtener fácilmente sustituyendo la relación de conmutación canónica,

{displaystyle [a,a^{dagger }]=1,qquad [N,a^{dagger }]=a^{dagger },qquad [N,a]=-a,}

Y el operador de Hamilton se puede expresar como

{displaystyle {hat {H}}=hbar omega left(N+{frac {1}{2}}right),}

entonces el estado propio de $N$ es también el estado propio de la energía.

La propiedad de conmutación produce

{displaystyle {begin{aligned}Na^{dagger }|nrangle &=left(a^{dagger }N+[N,a^{dagger }]right)|nrangle \&=left(a^{dagger }N+a^{dagger }right)|nrangle \&=(n+1)a^{dagger }|nrangleend{aligned}}}

y de manera similar,

{displaystyle Na|nrangle =(n-1)a|nrangle.}

Esto significa que $a$ actúa sobre $| n ⟩$ para producir, hasta una constante multiplicativa, $| n -1⟩$ , y $a †$ actúa sobre $| n ⟩$ para producir $| n +1⟩$ . Por esta razón, $a$ se denomina operador de aniquilación ("operador de reducción") y $a †$ un operador de creación ("operador de elevación"). Los dos operadores juntos se llaman operadores de escalera. En la teoría cuántica de campos, $a$ y $a †$ se denominan alternativamente "aniquilación" y "creación" operadores porque destruyen y crean partículas, que corresponden a nuestros cuantos de energía.

Dado cualquier estado propio de energía, podemos actuar sobre él con el operador de reducción, $a$ , para producir otro estado propio con $ħω$ menos energía. Mediante la aplicación repetida del operador de reducción, parece que podemos producir estados propios de energía hasta $E = -\infty$ . Sin embargo, desde

{displaystyle n=langle n|N|nrangle =langle n|a^{dagger }a|nrangle ={Bigl (}a|nrangle {Bigr)}^{dagger }a|nrangle geqslant 0,}

el número propio más pequeño es 0, y

{displaystyle aleft|0rightrangle =0.}

En este caso, las aplicaciones posteriores del operador de reducción solo producirán kets cero, en lugar de estados propios de energía adicionales. Además, hemos demostrado anteriormente que

{displaystyle {hat {H}}left|0rightrangle ={frac {hbar omega }{2}}left|0rightrangle }

Finalmente, actuando sobre |0⟩ con el operador ascendente y multiplicando por factores de normalización adecuados, podemos producir un conjunto infinito de estados propios de energía

{displaystyle left{left|0rightrangleleft|1rightrangleleft|2rightrangleldotsleft|nrightrangleldots right},}

tal que

{displaystyle {hat {H}}left|nrightrangle =hbar omega left(n+{frac {1}{2}}right)left|nrightrangle}

Los estados propios arbitrarios se pueden expresar en términos de |0⟩,

{displaystyle |nrangle ={frac {(a^{dagger })^{n}}{sqrt {n!}}}|0rangle.}

Prueba

{displaystyle {begin{aligned}langle n|aa^{dagger }|nrangle &=langle n|left([a,a^{dagger }]+a^{dagger }aright)|nrangle =langle n|(N+1)|nrangle =n+1\Rightarrow a^{dagger }|nrangle &={sqrt {n+1}}|n+1rangle \Rightarrow |nrangle &={frac {a^{dagger }}{sqrt {n}}}|n-1rangle ={frac {(a^{dagger })^{2}}{sqrt {n(n-1)}}}|n-2rangle =cdots ={frac {(a^{dagger })^{n}}{sqrt {n!}}}|0rangle.end{aligned}}}

Preguntas analíticas

El análisis anterior es algebraico, utilizando sólo las relaciones de conmutación entre los operadores de elevación y reducción. Una vez que el análisis algebraico está completo, uno debe girar a preguntas analíticas. Primero, uno debe encontrar el estado del suelo, es decir, la solución de la ecuación ${displaystyle apsi _{0}=0}$ . En la representación de posición, esta es la ecuación diferencial de primer orden

{displaystyle left(x+{frac {hbar }{momega }}{frac {d}{dx}}right)psi _{0}=0,}

{displaystyle psi _{0}(x)=Ce^{-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}}.}

psi_n

completo

Conexión explícita con la sección anterior, el estado del suelo не0 pedazo en la representación de posición se determina por ${displaystyle a|0rangle =0}$ ,

{displaystyle leftlangle xmid amid 0rightrangle =0qquad Rightarrow left(x+{frac {hbar }{momega }}{frac {d}{dx}}right)leftlangle xmid 0rightrangle =0qquad Rightarrow }

{displaystyle leftlangle xmid 0rightrangle =left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{frac {1}{4}}exp left(-{frac {momega }{2hbar }}x^{2}right)=psi _{0}~,}

{displaystyle langle xmid a^{dagger }mid 0rangle =psi _{1}(x)~,}

{displaystyle psi _{1}(x,t)=langle xmid e^{-3iomega t/2}a^{dagger }mid 0rangle }

Longitud natural y escalas de energía

El oscilador armónico cuántico posee escalas naturales de longitud y energía, que se pueden utilizar para simplificar el problema. Estos se pueden encontrar por adimensionalización.

El resultado es que, si la energía se mide en unidades de $ħω$ y distancia en unidades de $\sqrt ħ / (mω)$ , entonces el hamiltoniano se simplifica a

{displaystyle H=-{frac {1}{2}}{d^{2} over dx^{2}}+{frac {1}{2}}x^{2},}

{displaystyle psi _{n}(x)=leftlangle xmid nrightrangle ={1 over {sqrt {2^{n}n!}}}~pi ^{-1/4}exp(-x^{2}/2)~H_{n}(x),}

{displaystyle E_{n}=n+{tfrac {1}{2}}~,}

H n () x)

Para evitar confusiones, estas "unidades naturales" en su mayoría no serán adoptados en este artículo. Sin embargo, con frecuencia son útiles cuando se realizan cálculos, evitando el desorden.

Por ejemplo, la solución fundamental (propagador) de $H - i\partial t$ , el operador de Schrödinger dependiente del tiempo para este oscilador, simplemente se reduce al núcleo de Mehler,

{displaystyle langle xmid exp(-itH)mid yrangle equiv K(x,y;t)={frac {1}{sqrt {2pi isin t}}}exp left({frac {i}{2sin t}}left((x^{2}+y^{2})cos t-2xyright)right)~,}

K () x, Sí.;0) = δ () x - Sí.)

↑ () x,0)

{displaystyle psi (x,t)=int dy~K(x,y;t)psi (y,0),.}

Estados coherentes

Evolución del tiempo de la distribución de probabilidad (y fase, mostrada como color) de un estado coherente con TENαSilencio=3.

Los estados coherentes (también conocidos como estados de Glauber) del oscilador armónico son paquetes especiales de ondas no dispersivas, con incertidumbre mínima $σ x σ p = ℏ ⁄ 2$ , cuyos observables' los valores esperados evolucionan como un sistema clásico. Son vectores propios del operador de aniquilación, no del hamiltoniano, y forman una base demasiado completa que, en consecuencia, carece de ortogonalidad.

Los estados coherentes están indexados por $α \in C$ y se expresan en $| n ⟩$ base como

{displaystyle |alpha rangle =sum _{n=0}^{infty }|nrangle langle n|alpha rangle =e^{-{frac {1}{2}}|alpha |^{2}}sum _{n=0}^{infty }{frac {alpha ^{n}}{sqrt {n!}}}|nrangle =e^{-{frac {1}{2}}|alpha |^{2}}e^{alpha a^{dagger }}e^{-{alpha ^{*}a}}|0rangle.}

Porque... $a left| 0 rightrangle = 0$ y a través de la identidad Kermack-McCrae, la última forma es equivalente a un operador de desplazamiento unitario que actúa en el estado del suelo: ${displaystyle |alpha rangle =e^{alpha {hat {a}}^{dagger }-alpha ^{*}{hat {a}}}|0rangle =D(alpha)|0rangle }$ . Las funciones de onda espacial de posición son

{displaystyle psi _{alpha }(x')=left({frac {momega }{pi hbar }}right)^{frac {1}{4}}e^{{frac {i}{hbar }}langle {hat {p}}rangle _{alpha }x'-{frac {momega }{2hbar }}(x'-langle {hat {x}}rangle _{alpha })^{2}}.}

Puesto que los estados coherentes no son eigentales energéticos, su evolución del tiempo no es un simple cambio en la fase de funcionamiento de ondas. Sin embargo, los estados evolucionados por el tiempo son también estados coherentes pero con parámetro de desplazamiento de fase $α$ en su lugar: ${displaystyle alpha (t)=alpha (0)e^{-iomega t}}$ .

Estados altamente excitados

Función de onda (top) y densidad de probabilidad (abajo) para el

n = 30

estado excitado del oscilador armónico cuántico. Las líneas verticales dashed indican los puntos de giro clásicos, mientras que la línea punteada representa la densidad de probabilidad clásica.

Cuando $n$ es grande, los estados propios se localizan en la región clásica permitida, es decir, la región en la que un clásico partícula con energía $E n$ puede moverse. Los estados propios alcanzan su punto máximo cerca de los puntos de inflexión: los puntos en los extremos de la región clásicamente permitida donde la partícula clásica cambia de dirección. Este fenómeno se puede verificar a través de asintóticas de los polinomios de Hermite, y también a través de la aproximación WKB.

La frecuencia de oscilación en $x$ es proporcional al impulso $p (x)$ de una partícula clásica de energía $E n$ y la posición $x$ . Además, el cuadrado de la amplitud (que determina la densidad de probabilidad) es inversamente proporcional a $p (x)$ , que refleja el tiempo que la partícula clásica pasa cerca de $x$ . El comportamiento del sistema en una pequeña vecindad del punto de inflexión no tiene una explicación clásica simple, pero se puede modelar usando una función de Airy. Usando las propiedades de la función de Airy, se puede estimar que la probabilidad de encontrar la partícula fuera de la región clásicamente permitida es aproximadamente

{displaystyle {frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}Gamma ^{2}({tfrac {1}{3}})}}={frac {1}{n^{1/3}cdot 7.46408092658...}}}

{displaystyle {frac {1}{2pi }}int _{0}^{infty }e^{(2n+1)left(x-{tfrac {1}{2}}sinh(2x)right)}dx~.}

Soluciones de espacio de fase

En la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica, los estados propios del oscilador armónico cuántico en varias representaciones diferentes de la distribución de cuasiprobabilidad se pueden escribir en forma cerrada. El más utilizado de estos es para la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner.

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner para el estado propio de energía $| n ⟩$ es, en las unidades naturales descritas anteriormente,

{displaystyle F_{n}(x,p)={frac {(-1)^{n}}{pi hbar }}L_{n}left(2(x^{2}+p^{2})right)e^{-(x^{2}+p^{2})},,}

L_n

Mientras tanto, la función Husimi Q de los estados propios del oscilador armónico tiene una forma aún más simple. Si trabajamos en las unidades naturales descritas anteriormente, tenemos

{displaystyle Q_{n}(x,p)={frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{frac {e^{-(x^{2}+p^{2})}}{pi }}}

{displaystyle z=x+ip}

{displaystyle z^{n}/{sqrt {n!}}}

Oscilador armónico isotrópico de dimensión N

El oscilador armónico unidimensional es fácilmente generalizable a $N$ dimensiones, donde $N = 1, 2, 3, \dots$ . En una dimensión, la posición de la partícula se especificaba mediante una sola coordenada, $x$ . En las dimensiones $N$ , esto se reemplaza por las coordenadas de posición $N$ , que etiquetamos $x 1, \dots, x N$ . A cada coordenada de posición le corresponde un impulso; etiquetamos estos $p 1, \dots, p N$ . Las relaciones canónicas de conmutación entre estos operadores son

{displaystyle {begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=ihbar delta _{i,j}\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0end{aligned}}}

El hamiltoniano para este sistema es

{displaystyle H=sum _{i=1}^{N}left({p_{i}^{2} over 2m}+{1 over 2}momega ^{2}x_{i}^{2}right).}

Como deja claro la forma de este hamiltoniano, el oscilador armónico $N$ -dimensional es exactamente análogo a $N$ osciladores armónicos unidimensionales independientes con la misma masa y constante de resorte. En este caso, las cantidades $x 1,..., x N$ se referiría a las posiciones de cada una de las partículas $N$ . Esta es una propiedad conveniente del potencial $r 2$ , que permite separar la energía potencial en términos dependiendo de uno coordinar cada uno.

Esta observación hace que la solución sea directa. Para un conjunto particular de números cuánticos ${displaystyle {n}equiv {n_{1},n_{2},dotsn_{N}}}$ la energía eigenfunctions para el $N$ - el oscilador dimensional se expresa en términos de las funciones eigen dimensionales como:

{displaystyle langle mathbf {x} |psi _{{n}}rangle =prod _{i=1}^{N}langle x_{i}mid psi _{n_{i}}rangle }

En el método de operador de escalera, definimos $N$ conjuntos de operadores de escalera,

{displaystyle {begin{aligned}a_{i}&={sqrt {momega over 2hbar }}left(x_{i}+{i over momega }p_{i}right),\a_{i}^{dagger }&={sqrt {momega over 2hbar }}left(x_{i}-{i over momega }p_{i}right).end{aligned}}}

Por un procedimiento análogo al caso unidimensional, podemos mostrar que cada uno de los $a i$ y los operadores $a † i$ reducen y aumentan la energía por $ℏω$ respectivamente. El hamiltoniano es

{displaystyle H=hbar omega ,sum _{i=1}^{N}left(a_{i}^{dagger },a_{i}+{frac {1}{2}}right).}

U () N)

N

{displaystyle U,a_{i}^{dagger },U^{dagger }=sum _{j=1}^{N}a_{j}^{dagger },U_{ji}quad {text{for all}}quad Uin U(N),}

U_{ji}

U () N)

Los niveles de energía del sistema son

{displaystyle E=hbar omega left[(n_{1}+cdots +n_{N})+{N over 2}right].}

{displaystyle n_{i}=0,1,2,dots quad ({text{the energy level in dimension }}i).}

Como en el caso unidimensional, la energía está cuantificada. La energía del estado fundamental es $N$ veces la energía unidimensional del suelo, como esperaríamos usando la analogía con $N$ osciladores unidimensionales independientes. Hay una diferencia más: en el caso unidimensional, cada nivel de energía corresponde a un estado cuántico único. En $N$ -dimensiones, a excepción del estado fundamental, los niveles de energía son degenerados, lo que significa que hay varios estados con el misma energía.

La degeneración se puede calcular con relativa facilidad. Como ejemplo, considere el caso tridimensional: Define $n = n 1 + n 2 + n 3$ . Todos los estados con el mismo $n$ tendrán la misma energía. Para un $n$ dado, elegimos un $n 1 . Entonces n 2 + n 3 = n - n 1 . Hay n - n 1 + 1 pares posibles {n 2, n 3} . n 2 puede tomar los valores 0 a n - n 1, y para cada n 2 el valor de n 3 es fijo. Por lo tanto, el grado de degeneración es:$

{displaystyle g_{n}=sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={frac {(n+1)(n+2)}{2}}}

N

n

g n

n

U () N)

{displaystyle g_{n}={binom {N+n-1}{n}}}

N

N

N

n

N

{displaystyle g_{n}=p(N_{-},n)}

Esto surge debido a la limitación de poner $N$ quanta en una ket estatal donde ${textstyle sum _{k=0}^{infty }kn_{k}=n}$ y ${textstyle sum _{k=0}^{infty }n_{k}=N}$ , que son las mismas limitaciones que en la partición entero.

Ejemplo: oscilador armónico isotrópico 3D

Schrödinger 3D spherical harmonic orbital solutions in 2D densidad plots; el código fuente Mathematica que se utiliza para generar las parcelas está en la parte superior

La ecuación de Schrödinger para una partícula en un oscilador armónico tridimensional con simetría esférica puede resolverse explícitamente mediante la separación de variables; ver este artículo para el presente caso. Este procedimiento es análogo a la separación realizada en el problema del átomo similar al hidrógeno, pero con un potencial esféricamente simétrico diferente.

{displaystyle V(r)={1 over 2}mu omega ^{2}r^{2},}

μ

m

μ

m

La solución dice

{displaystyle psi _{klm}(r,thetaphi)=N_{kl}r^{l}e^{-nu r^{2}}L_{k}^{left(l+{1 over 2}right)}(2nu r^{2})Y_{lm}(thetaphi)}

{displaystyle N_{kl}={sqrt {{sqrt {frac {2nu ^{3}}{pi }}}{frac {2^{k+2l+3};k!;nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~}

es una constante de normalización;

nu equiv {mu omega over 2hbar }~

;

{L_{k}}^{(l+{1 over 2})}(2nu r^{2})

son polinomios de Laguerre generalizados; El orden $k$ del polinomio es un entero no negativo;

$Y_{lm}(thetaphi),$ es una función armónica esférica;
$▪$ es la reducción constante del planck: $hbar equiv {frac {h}{2pi }}~.$

El valor propio de la energía es

{displaystyle E=hbar omega left(2k+l+{frac {3}{2}}right).}

{displaystyle nequiv 2k+l,.}

Debido a que $k$ es un número entero no negativo, para cada par $n$ tenemos $ℓ = 0, 2, \dots, n - 2, n$ y para cada impar $n$ tenemos $ℓ = 1, 3, \dots, n - 2, n$ . El número cuántico magnético $m$ es un número entero que satisface $- ℓ \leq m \leq ℓ$ , por lo que para cada $n$ y ℓ hay 2ℓ + 1 estados cuánticos diferentes, etiquetados por $m$ . Por lo tanto, la degeneración en el nivel $n$ es

{displaystyle sum _{l=ldotsn-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) over 2},,}

n

SU(3)

Aplicaciones

Retícula de osciladores armónicos: fonones

Podemos extender la noción de un oscilador armónico a una red unidimensional de muchas partículas. Considere una cadena armónica mecánica cuántica unidimensional de N átomos idénticos. Este es el modelo mecánico cuántico más simple de una red, y veremos cómo surgen los fonones de ella. El formalismo que desarrollaremos para este modelo es fácilmente generalizable a dos y tres dimensiones.

Como en la sección anterior, denotamos las posiciones de las masas por $x 1, x 2, \dots$ , medido desde sus posiciones de equilibrio (es decir, $x i = 0$ si la partícula $i$ está en su posición de equilibrio). En dos o más dimensiones, las $x i$ son cantidades vectoriales. El hamiltoniano para este sistema es

{displaystyle mathbf {H} =sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} over 2m}+{1 over 2}momega ^{2}sum _{{ij}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2},,}

m

x i

p i

Superposición de tres dipoles oscilantes- ilustrar la propagación del tiempo de la función de onda común para diferentes n,l,m

Introducimos, entonces, un conjunto de $N$ "coordenadas normales" $Q k$ , definida como las transformadas discretas de Fourier del $x$ s, y $N$ "momento conjugado" $Π$ definido como las transformadas de Fourier de $p$ s,

{displaystyle Q_{k}={1 over {sqrt {N}}}sum _{l}e^{ikal}x_{l}}

{displaystyle Pi _{k}={1 over {sqrt {N}}}sum _{l}e^{-ikal}p_{l},.}

La cantidad $k n$ resultará ser el número de onda del fonón, es decir, 2 π dividido por la longitud de onda. Toma valores cuantizados, porque el número de átomos es finito.

Esto conserva las relaciones de conmutación deseadas en el espacio real o en el espacio vectorial de ondas

Otra ilustración de la propagación del tiempo de la función común de onda para tres átomos diferentes enfatiza el efecto del impulso angular en el comportamiento de la distribución

{displaystyle {begin{aligned}left[x_{l},p_{m}right]&=ihbar delta _{l,m}\left[Q_{k},Pi _{k'}right]&={1 over N}sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\&={ihbar over N}sum _{m}e^{iam(k-k')}=ihbar delta _{k,k'}\left[Q_{k},Q_{k'}right]&=left[Pi _{k},Pi _{k'}right]=0~.end{aligned}}}

Del resultado general

{displaystyle {begin{aligned}sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 over N}sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}sum _{l}e^{ialleft(k+k'right)}e^{iamk'}=sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=sum _{k}Pi _{k}Pi _{-k}~,end{aligned}}}

{displaystyle {1 over 2}momega ^{2}sum _{j}(x_{j}-x_{j+1})^{2}={1 over 2}momega ^{2}sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={1 over 2}msum _{k}{omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,}

{displaystyle omega _{k}={sqrt {2omega ^{2}(1-cos(ka))}}~.}

El hamiltoniano se puede escribir en el espacio vectorial de ondas como

{displaystyle mathbf {H} ={1 over {2m}}sum _{k}left({Pi _{k}Pi _{-k}}+m^{2}omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}right)~.}

Tenga en cuenta que los acoplamientos entre las variables de posición se han transformado; si las $Q$ s y $Π$ s fueran hermitianos (que no lo son), el hamiltoniano transformado describiría $N$ desacoplado armónico osciladores

La forma de la cuantificación depende de la elección de las condiciones de contorno; para simplificar, imponemos condiciones de frontera periódicas, definiendo el $(N + 1)$ -ésimo átomo como equivalente al primero átomo. Físicamente, esto corresponde a unir la cadena por sus extremos. La cuantización resultante es

{displaystyle k=k_{n}={2npi over Na}quad {hbox{for}} n=0,pm 1,pm 2,ldotspm {N over 2}.}

El límite superior de $n$ proviene de la longitud de onda mínima, que es el doble del espacio de red $a$ , como se mencionó anteriormente.

Los valores propios del oscilador armónico o niveles de energía para el modo $ω k$ son

{displaystyle E_{n}=left({1 over 2}+nright)hbar omega _{k}quad {hbox{for}}quad n=0,1,2,3,ldots }

Si ignoramos la energía de punto cero, los niveles están espaciados uniformemente en

{displaystyle hbar omega,2hbar omega,3hbar omega,ldots }

Entonces, se debe suministrar una cantidad exacta de energía $ħω$ a la red del oscilador armónico para empujarla hacia el siguiente nivel de energía. En analogía con el caso del fotón cuando el campo electromagnético está cuantizado, el cuanto de energía vibratoria se llama fonón.

Todos los sistemas cuánticos muestran propiedades ondulatorias y corpusculares. Las propiedades de tipo partícula del fonón se entienden mejor utilizando los métodos de segunda cuantización y las técnicas de operadores descritas en otros lugares.

En el límite continuo, $a \to 0$ , $N \to$ , mientras $Na$ se mantiene fijo. Las coordenadas canónicas $Q k$ devolver a los modos de ímpetu desacoplados de un campo de escalar, $phi _{k}$ , mientras que el índice de ubicación $i$ ()no la variable dinámica de desplazamiento) se convierte en el parámetro $x$ argumentación del campo de escalar, ${displaystyle phi (x,t)}$ .

Vibraciones moleculares

Las vibraciones de una molécula diatómica son un ejemplo de una versión de dos cuerpos del oscilador armónico cuántico. En este caso, la frecuencia angular es dada por ${displaystyle omega ={sqrt {frac {k}{mu }}}}$ Donde ${displaystyle mu ={frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ es la masa reducida y $m_{1}$ y $m_{2}$ son las masas de los dos átomos.
El átomo de Hooke es un modelo simple del átomo de helio usando el oscilador armónico cuántico.
Modelización de fonones, como se mencionó anteriormente.
Un cargo $q$ con masa $m$ en un campo magnético uniforme $mathbf {B}$ es un ejemplo de un oscilador armónico cuántico unidimensional: cuantificación de Landau.