Oscilador armónico

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En mecánica clásica, un oscilador armónico es un sistema que, cuando se desplaza de su posición de equilibrio, experimenta una fuerza restauradora F proporcional al desplazamiento x:

donde k es una constante positiva.

Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, el sistema se denomina oscilador armónico simple y experimenta un movimiento armónico simple: oscilaciones sinusoidales alrededor del punto de equilibrio, con una amplitud constante y una frecuencia constante (que no depende de la amplitud).

Si también está presente una fuerza de fricción (amortiguación) proporcional a la velocidad, el oscilador armónico se describe como un oscilador amortiguado. Dependiendo del coeficiente de fricción, el sistema puede:

Oscila con una frecuencia menor que en el caso no amortiguado, y una amplitud decreciente con el tiempo (oscilador subamortiguado).
Decae a la posición de equilibrio, sin oscilaciones (oscilador sobreamortiguado).

La solución límite entre un oscilador subamortiguado y un oscilador sobreamortiguado ocurre en un valor particular del coeficiente de fricción y se llama críticamente amortiguada.

Si está presente una fuerza externa dependiente del tiempo, el oscilador armónico se describe como un oscilador accionado.

Los ejemplos mecánicos incluyen péndulos (con pequeños ángulos de desplazamiento), masas conectadas a resortes y sistemas acústicos. Otros sistemas análogos incluyen osciladores armónicos eléctricos tales como circuitos RLC. El modelo del oscilador armónico es muy importante en física, porque cualquier masa sujeta a una fuerza en equilibrio estable actúa como un oscilador armónico para pequeñas vibraciones. Los osciladores armónicos ocurren ampliamente en la naturaleza y se explotan en muchos dispositivos hechos por el hombre, como relojes y circuitos de radio. Son la fuente de prácticamente todas las vibraciones y ondas sinusoidales.

Oscilador armónico simple

Un oscilador armónico simple es un oscilador que no está excitado ni amortiguado. Consiste en una masa m, que experimenta una única fuerza F, que tira de la masa en la dirección del punto x = 0 y depende únicamente de la posición x de la masa y de una constante k. El equilibrio de fuerzas (segunda ley de Newton) para el sistema es

{displaystyle F=ma=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=m{ddot {x}}=-kx.}

Resolviendo esta ecuación diferencial, encontramos que el movimiento está descrito por la función

{displaystyle x(t)=Acos(omega t+varphi),}

dónde

{displaystyle omega ={sqrt {frac {k}{m}}}.}

El movimiento es periódico y se repite de forma sinusoidal con amplitud A constante. Además de su amplitud, el movimiento de un oscilador armónico simple se caracteriza por su período ${displaystyle T=2pi /omega }$ , el tiempo de una sola oscilación o su frecuencia ${ estilo de visualización f = 1/T}$ , el número de ciclos por unidad de tiempo. La posición en un momento dado t también depende de la fase φ, que determina el punto de partida de la onda sinusoidal. El período y la frecuencia están determinados por el tamaño de la masa m y la constante de fuerza k, mientras que la amplitud y la fase están determinadas por la posición inicial y la velocidad.

La velocidad y la aceleración de un oscilador armónico simple oscilan con la misma frecuencia que la posición, pero con fases desplazadas. La velocidad es máxima para el desplazamiento cero, mientras que la aceleración tiene la dirección opuesta al desplazamiento.

La energía potencial almacenada en un oscilador armónico simple en la posición x es

Oscilador armónico amortiguado

En los osciladores reales, la fricción o el amortiguamiento ralentiza el movimiento del sistema. Debido a la fuerza de fricción, la velocidad disminuye en proporción a la fuerza de fricción que actúa. Mientras que en un oscilador armónico no accionado simple la única fuerza que actúa sobre la masa es la fuerza restauradora, en un oscilador armónico amortiguado hay además una fuerza de fricción que siempre tiene una dirección opuesta al movimiento. En muchos sistemas vibrantes, la fuerza de fricción F _f se puede modelar como proporcional a la velocidad v del objeto: F _f = − cv, donde c se denomina coeficiente de amortiguamiento viscoso.

El balance de fuerzas (segunda ley de Newton) para osciladores armónicos amortiguados es entonces

{displaystyle F=-kx-c{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm { d} t^{2}}},}

que se puede reescribir en la forma

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega_{0}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}x=0,}

dónde

${estilo de texto omega _{0}={sqrt {frac {k}{m}}}}$ se llama la "frecuencia angular no amortiguada del oscilador",
${estilo de texto zeta ={frac {c}{2{sqrt {mk}}}}}$ se denomina "relación de amortiguamiento".

El valor de la relación de amortiguamiento ζ determina críticamente el comportamiento del sistema. Un oscilador armónico amortiguado puede ser:

Sobreamortiguado (ζ > 1): El sistema regresa (decae exponencialmente) al estado estacionario sin oscilar. Los valores más grandes de la relación de amortiguamiento ζ regresan al equilibrio más lentamente.
Amortiguado críticamente (ζ = 1): el sistema vuelve al estado estacionario lo más rápido posible sin oscilar (aunque puede ocurrir un sobreimpulso si la velocidad inicial no es cero). Esto se desea a menudo para la amortiguación de sistemas tales como puertas.
Subamortiguado (ζ < 1): el sistema oscila (con una frecuencia ligeramente diferente a la del caso no amortiguado) y la amplitud disminuye gradualmente hasta cero. La frecuencia angular del oscilador armónico subamortiguado viene dada por ${textstyleomega_{1}=omega_{0}{sqrt {1-zeta^{2}}},}$ la caída exponencial del oscilador armónico subamortiguado viene dada por $lambda =omega _{0}zeta.$

El factor Q de un oscilador amortiguado se define como

{displaystyle Q=2pi times {frac {text{energía almacenada}}{text{energía perdida por ciclo}}}.}

Q está relacionado con la relación de amortiguamiento por ${textstyle Q={frac {1}{2zeta}}.}$

Osciladores armónicos impulsados

Los osciladores armónicos accionados son osciladores amortiguados que se ven afectados además por una fuerza F (t) aplicada externamente.

La segunda ley de Newton toma la forma

{displaystyle F(t)-kx-c{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{ matemática {d} t^{2}}}.}

Por lo general, se reescribe en la forma

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega_{0}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}x={frac {F(t)}{m}}.}

Esta ecuación se puede resolver exactamente para cualquier fuerza impulsora, usando las soluciones z (t) que satisfacen la ecuación no forzada

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}z}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega_{0}{frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}z=0,}

y que se puede expresar como oscilaciones sinusoidales amortiguadas:

{displaystyle z(t)=Ae^{-zeta omega_{0}t}sin left({sqrt {1-zeta ^{2}}}omega_{0}t+varphi Correcto),}

en el caso de que ζ ≤ 1. La amplitud A y la fase φ determinan el comportamiento necesario para adaptarse a las condiciones iniciales.

Entrada de paso

En el caso de ζ < 1 y una entrada escalón unitario con x (0) = 0:

{displaystyle {frac {F(t)}{m}}={begin{casos}omega _{0}^{2}&tgeq 0\0&t<0end{casos}}}

la solucion es

{displaystyle x(t)=1-e^{-zeta omega _{0}t}{frac {sin left({sqrt {1-zeta ^{2}}}omega _ {0}t+varphiderecho)}{sin(varphi)}},}

con fase φ dada por

{ estilo de visualización cos varphi = zeta.}

El tiempo que necesita un oscilador para adaptarse a las condiciones externas modificadas es del orden de τ = 1/(ζω ₀). En física, la adaptación se denomina relajación y τ se denomina tiempo de relajación.

En ingeniería eléctrica, un múltiplo de τ se denomina tiempo de establecimiento, es decir, el tiempo necesario para garantizar que la señal esté dentro de una desviación fija del valor final, normalmente dentro del 10 %. El término sobreimpulso se refiere a la medida en que la respuesta máxima excede el valor final, y subimpulso se refiere a la medida en que la respuesta cae por debajo del valor final durante los tiempos que siguen al máximo de respuesta.

Fuerza impulsora sinusoidal

En el caso de una fuerza impulsora sinusoidal:

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega_{0}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}x={frac {1}{m}}F_{0}sin(omega t),}

donde $F_{0}$ es la amplitud de excitación y $omega$ es la frecuencia de excitación para un mecanismo de excitación sinusoidal. Este tipo de sistema aparece en circuitos RLC accionados por CA (resistencia-inductor-condensador) y sistemas de resorte accionados que tienen resistencia mecánica interna o resistencia de aire externa.

La solución general es la suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y un estado estable que es independiente de las condiciones iniciales y depende solo de la amplitud $F_{0}$ impulsora, la frecuencia impulsora $omega$ , la frecuencia angular no amortiguada $omega_{0}$ y la relación de amortiguamiento $zeta$ .

La solución de estado estacionario es proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido $varphi$ :

{displaystyle x(t)={frac {F_{0}}{mZ_{m}omega }}sin(omega t+varphi),}

dónde

{displaystyle Z_{m}={sqrt {left(2omega _{0}zeta right)^{2}+{frac {1}{omega ^{2}}}(omega _ {0}^{2}-omega^{2})^{2}}}}

es el valor absoluto de la impedancia o función de respuesta lineal, y

{displaystyle varphi =arctan left({frac {2omega omega _{0}zeta }{omega ^{2}-omega _{0}^{2}}}right) +npi}

es la fase de la oscilación relativa a la fuerza motriz. El valor de fase generalmente se considera entre -180 ° y 0 (es decir, representa un retraso de fase, tanto para valores positivos como negativos del argumento arctan).

Para una frecuencia de conducción particular llamada resonancia, o frecuencia resonante ${ estilo de texto omega _ {r} = omega _ {0} { sqrt {1-2 zeta ^ {2}}}}$ , la amplitud (para un dado $F_{0}$ ) es máxima. Este efecto de resonancia solo ocurre cuando ${ estilo de visualización zeta <1/{ sqrt {2}}}$ , es decir, para sistemas significativamente subamortiguados. Para sistemas fuertemente subamortiguados, el valor de la amplitud puede volverse bastante grande cerca de la frecuencia resonante.

Las soluciones transitorias son las mismas que las del $F_{0}=0$ oscilador armónico amortiguado no forzado () y representan la respuesta del sistema a otros eventos que ocurrieron previamente. Las soluciones transitorias normalmente se extinguen lo suficientemente rápido como para que puedan ignorarse.

Osciladores paramétricos

Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico accionado en el que la energía impulsora se proporciona variando los parámetros del oscilador, como la fuerza de amortiguación o restauración. Un ejemplo familiar de oscilación paramétrica es "bombear" en un columpio de un parque infantil. Una persona en un columpio en movimiento puede aumentar la amplitud de las oscilaciones del columpio sin que se aplique ninguna fuerza impulsora externa (empuje), cambiando el momento de inercia del columpio balanceándose hacia adelante y hacia atrás ("bombeo") o alternativamente de pie y en cuclillas, al ritmo de las oscilaciones del columpio. La variación de los parámetros impulsa el sistema. Ejemplos de parámetros que se pueden variar son su frecuencia de resonancia $omega$ y amortiguamiento $beta$ .

Los osciladores paramétricos se utilizan en muchas aplicaciones. El oscilador paramétrico de varactor clásico oscila cuando la capacitancia del diodo varía periódicamente. El circuito que varía la capacitancia del diodo se llama "bomba" o "controlador". En la electrónica de microondas, los osciladores paramétricos basados en guía de ondas/YAG funcionan de la misma manera. El diseñador varía un parámetro periódicamente para inducir oscilaciones.

Los osciladores paramétricos se han desarrollado como amplificadores de bajo ruido, especialmente en el rango de frecuencia de radio y microondas. El ruido térmico es mínimo, ya que se varía una reactancia (no una resistencia). Otro uso común es la conversión de frecuencia, por ejemplo, la conversión de audio a frecuencias de radio. Por ejemplo, el oscilador paramétrico óptico convierte una onda láser de entrada en dos ondas de salida de menor frecuencia ( $omega _{s},omega _{i}$ ).

La resonancia paramétrica ocurre en un sistema mecánico cuando un sistema se excita paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias resonantes. La excitación paramétrica difiere del forzamiento, ya que la acción aparece como una modificación variable en el tiempo de un parámetro del sistema. Este efecto es diferente de la resonancia regular porque exhibe el fenómeno de inestabilidad.

Ecuación del oscilador universal

La ecuacion

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}q}{mathrm {d} tau ^{2}}}+2zeta {frac {mathrm {d} q}{mathrm {d} tau }}+q=0}

se conoce como la ecuación del oscilador universal, ya que todos los sistemas oscilatorios lineales de segundo orden se pueden reducir a esta forma. Esto se hace a través de la no dimensionalización.

Si la función forzada es f (t) = cos(ωt) = cos(ωt _c τ) = cos(ωτ), donde ω = ωt _c, la ecuación se convierte en

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}q}{mathrm {d} tau ^{2}}}+2zeta {frac {mathrm {d} q}{mathrm {d} tau }}+q=cos(omega tau).}

La solución a esta ecuación diferencial contiene dos partes: el "transitorio" y el "estado estacionario".

Solución transitoria

La solución basada en resolver la ecuación diferencial ordinaria es para constantes arbitrarias c ₁ y c ₂

{displaystyle q_{t}(tau)={begin{cases}e^{-zeta tau }left(c_{1}e^{tau {sqrt {zeta ^{2}- 1}}}+c_{2}e^{-tau {sqrt {zeta ^{2}-1}}}right)&zeta >1{text{ (sobreamortiguación)}}\e ^{-zeta tau }(c_{1}+c_{2}tau)=e^{-tau }(c_{1}+c_{2}tau)&zeta =1{texto { (amortiguación crítica)}}\e^{-zeta tau }left[c_{1}cos left({sqrt {1-zeta ^{2}}}tau right)+ c_{2}sin left({sqrt {1-zeta ^{2}}}tau right)right]&zeta <1{text{ (subamortiguación)}}end{casos} }}

La solución transitoria es independiente de la función forzada.

Solución de estado estacionario

Aplique el "método de variables complejas" resolviendo la siguiente ecuación auxiliar y luego encontrando la parte real de su solución:

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}q}{mathrm {d} tau ^{2}}}+2zeta {frac {mathrm {d} q}{mathrm {d} tau }}+q=cos(omega tau)+isin(omega tau)=e^{iomega tau }.}

Suponiendo que la solución es de la forma

{displaystyle q_{s}(tau)=Ae^{i(omega tau +varphi)}.}

Sus derivadas de cero a segundo orden son

{displaystyle q_{s}=Ae^{i(omega tau +varphi)},quad {frac {mathrm {d} q_{s}}{mathrm {d} tau }}= iomega Ae^{i(omega tau +varphi)},quad {frac {mathrm {d} ^{2}q_{s}}{mathrm {d} tau ^{2} }}=-omega ^{2}Ae^{i(omega tau +varphi)}.}

Sustituyendo estas cantidades en la ecuación diferencial da

{displaystyle -omega ^{2}Ae^{i(omega tau +varphi)}+2zeta iomega Ae^{i(omega tau +varphi)}+Ae^{i (omega tau +varphi)}=(-omega ^{2}A+2zeta iomega A+A)e^{i(omega tau +varphi)}=e^{i omega tau}.}

Dividiendo por el término exponencial de la izquierda da como resultado

{displaystyle -omega ^{2}A+2zeta iomega A+A=e^{-ivarphi }=cos varphi -isin varphi.}

Igualar las partes real e imaginaria da como resultado dos ecuaciones independientes

{displaystyle A(1-omega ^{2})=cos varphi,quad 2zeta omega A=-sin varphi.}

Parte de amplitud

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumándolas se obtiene

{displaystyle left.{begin{alineado}A^{2}(1-omega ^{2})^{2}&=cos ^{2}varphi \(2zeta omega A)^{2}&=sin ^{2}varphi end{alineado}}right}Rightarrow A^{2}[(1-omega ^{2})^{2}+(2 zetaomega)^{2}]=1.}

Por lo tanto,

{displaystyle A=A(zeta,omega)=operatorname {sgn} left({frac {-sin varphi }{2zeta omega }}right){frac {1}{ sqrt {(1-omega ^{2})^{2}+(2zeta omega)^{2}}}}.}

Compare este resultado con la sección de teoría sobre resonancia, así como con la "parte de magnitud" del circuito RLC. Esta función de amplitud es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas de segundo orden.

Parte de fase

Para resolver para φ, divide ambas ecuaciones para obtener

{displaystyle tan varphi =-{frac {2zeta omega}}{1-omega^{2}}}={frac {2zeta omega}{omega^{2}-1 }}~~implica ~~varphi equiv varphi (zeta,omega)=arctan left({frac {2zeta omega }{omega ^{2}-1}}right)+npi.}

Esta función de fase es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas de segundo orden.

Solución completa

La combinación de las porciones de amplitud y fase da como resultado la solución de estado estable

{displaystyle q_{s}(tau)=A(zeta,omega)cos(omega tau +varphi (zeta,omega))=Acos(omega tau +varphi).}

La solución de la ecuación original del oscilador universal es una superposición (suma) de las soluciones transitoria y de estado estacionario:

{ estilo de visualización q ( tau) = q_ {t} ( tau) + q_ {s} ( tau).}

Para obtener una descripción más completa de cómo resolver la ecuación anterior, consulte EDO lineales con coeficientes constantes.

Sistemas equivalentes

Los osciladores armónicos que se producen en varias áreas de la ingeniería son equivalentes en el sentido de que sus modelos matemáticos son idénticos (consulte la ecuación del oscilador universal anterior). A continuación se muestra una tabla que muestra cantidades análogas en cuatro sistemas de osciladores armónicos en mecánica y electrónica. Si a parámetros análogos en la misma línea de la tabla se les dan valores numéricamente iguales, el comportamiento de los osciladores (su forma de onda de salida, frecuencia de resonancia, factor de amortiguamiento, etc.) es el mismo.

mecánica traslacional	mecánica rotacional	Circuito serie RLC	Circuito RLC en paralelo
Posición $X$	Ángulo $theta$	Cobrar $q$	enlace de flujo $varphi$
Velocidad ${displaystyle {frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}}$	Velocidad angular ${displaystyle {frac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} t}}}$	Actual ${displaystyle {frac {mathrm {d} q}{mathrm {d} t}}}$	Voltaje ${displaystyle {frac {mathrm {d} varphi }{mathrm {d} t}}}$
Masa $metro$	Momento de inercia $yo$	Inductancia $L$	Capacidad $C$
Impulso $pags$	Momento angular $L$	enlace de flujo $varphi$	Cobrar $q$
Constante de resorte $k$	constante de torsión $mu$	elastancia $1/C$	Reluctancia magnética $1/litro$
Mojadura $C$	Fricción rotacional $Gama$	Resistencia $R$	Conductancia ${ estilo de visualización G = 1/R}$
fuerza motriz $Pie)$	Par motor $tenso)$	Voltaje $mi$	Actual $i$
Frecuencia de resonancia no amortiguada $f_{n}$ :
${displaystyle {frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {k}{m}}}}$	${displaystyle {frac {1}{2pi}}{sqrt {frac {mu}{I}}}}$	${displaystyle {frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {1}{LC}}}}$	${displaystyle {frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {1}{LC}}}}$
Relación de amortiguamiento $zeta$ :
${displaystyle {frac {c}{2}}{sqrt {frac {1}{km}}}}$	${displaystyle {frac {Gamma }{2}}{sqrt {frac {1}{Imu }}}}$	${displaystyle {frac {R}{2}}{sqrt {frac {C}{L}}}}$	${displaystyle {frac {G}{2}}{sqrt {frac {L}{C}}}}$
Ecuación diferencial:
${displaystyle m{ddot {x}}+c{dot {x}}+kx=F}$	${displaystyle I{ddot {theta }}+Gamma {dot {theta }}+mu theta =tau }$	${displaystyle L{ddot {q}}+R{dot {q}}+q/C=e}$	${displaystyle C{ddot {varphi }}+G{dot {varphi }}+varphi /L=i}$

Aplicación a una fuerza conservativa

El problema del oscilador armónico simple se presenta con frecuencia en física, porque una masa en equilibrio bajo la influencia de cualquier fuerza conservativa, en el límite de pequeños movimientos, se comporta como un oscilador armónico simple.

Una fuerza conservativa es aquella que está asociada a una energía potencial. La función de energía potencial de un oscilador armónico es

{displaystyle V(x)={tfrac{1}{2}}kx^{2}.}

Dada una función de energía potencial arbitraria $V(x)$ , se puede hacer una expansión de Taylor en términos de $X$ alrededor de un mínimo de energía ( $x=x_{0}$ ) para modelar el comportamiento de pequeñas perturbaciones del equilibrio.

{displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})cdot (x-x_{0})+{tfrac {1}{2}}V''(x_ {0})cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}

Como $V(x_{0})$ es un mínimo, la primera derivada evaluada en $x_{0}$ debe ser cero, por lo que el término lineal desaparece:

{displaystyle V(x)=V(x_{0})+{tfrac {1}{2}}V''(x_{0})cdot (x-x_{0})^{2}+ O(x-x_{0})^{3}.}

El término constante V (x ₀) es arbitrario y, por lo tanto, puede eliminarse, y una transformación de coordenadas permite recuperar la forma del oscilador armónico simple:

{displaystyle V(x)approx {tfrac {1}{2}}V''(0)cdot x^{2}={tfrac {1}{2}}kx^{2}.}

Por lo tanto, dada una función de energía potencial arbitraria $V(x)$ con una segunda derivada que no se anula, se puede usar la solución del oscilador armónico simple para proporcionar una solución aproximada para pequeñas perturbaciones alrededor del punto de equilibrio.

Ejemplos

Péndulo simple

Suponiendo que no hay amortiguamiento, la ecuación diferencial que gobierna un péndulo simple de longitud $yo$ , donde $gramo$ es la aceleración local de la gravedad, es

{displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{l}}sin theta =0.}

Si el desplazamiento máximo del péndulo es pequeño, podemos usar la aproximación $sin theta approx theta$ y en su lugar considerar la ecuación

{displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{l}}theta =0.}

La solución general de esta ecuación diferencial es

{displaystyle theta (t)=Acos left({sqrt {frac {g}{l}}}t+varphi right),}

donde $A$ y $varphi$ son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Usando como condiciones iniciales ${ estilo de visualización theta (0) = theta _ {0}}$ y ${displaystyle {dot {theta}}(0)=0}$ , la solución está dada por

{displaystyle theta (t)=theta _{0}cos left({sqrt {frac {g}{l}}}tright),}

donde $theta _ {0}$ es el ángulo más grande alcanzado por el péndulo (es decir, $theta _ {0}$ es la amplitud del péndulo). El período, el tiempo para una oscilación completa, viene dado por la expresión

{displaystyle tau =2pi {sqrt {frac {l}{g}}}={frac {2pi }{omega }},}

que es una buena aproximación del período real cuando $theta _ {0}$ es pequeño. Note que en esta aproximación el periodo $tau$ es independiente de la amplitud $theta _ {0}$ . En la ecuación anterior, $omega$ representa la frecuencia angular.

Sistema resorte/masa

Cuando una masa estira o comprime un resorte, el resorte desarrolla una fuerza restauradora. La ley de Hooke da la relación de la fuerza ejercida por el resorte cuando el resorte se comprime o se estira una cierta longitud:

donde F es la fuerza, k es la constante del resorte y x es el desplazamiento de la masa con respecto a la posición de equilibrio. El signo menos en la ecuación indica que la fuerza ejercida por el resorte siempre actúa en una dirección opuesta al desplazamiento (es decir, la fuerza siempre actúa hacia la posición cero), y así evita que la masa salga volando hacia el infinito.

Mediante el uso de un método de equilibrio de fuerzas o de energía, se puede demostrar fácilmente que el movimiento de este sistema viene dado por la siguiente ecuación diferencial:

{displaystyle F(t)=-kx(t)=m{frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} t^{2}}}x(t)=ma,}

siendo este último la segunda ley de movimiento de Newton.

Si el desplazamiento inicial es A y no hay velocidad inicial, la solución de esta ecuación viene dada por

{displaystyle x(t)=Acos left({sqrt {frac {k}{m}}}tright).}

Dado un resorte ideal sin masa, $metro$ es la masa en el extremo del resorte. Si el resorte mismo tiene masa, su masa efectiva debe incluirse en $metro$ .

Variación de energía en el sistema resorte-amortiguación

En términos de energía, todos los sistemas tienen dos tipos de energía: energía potencial y energía cinética. Cuando un resorte se estira o comprime, almacena energía potencial elástica, que luego se convierte en energía cinética. La energía potencial dentro de un resorte está determinada por la ecuación ${textstyle U={frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Cuando el resorte se estira o comprime, la energía cinética de la masa se convierte en energía potencial del resorte. Por conservación de la energía, suponiendo que el dato se define en la posición de equilibrio, cuando el resorte alcanza su energía potencial máxima, la energía cinética de la masa es cero. Cuando se suelta el resorte, trata de volver al equilibrio y toda su energía potencial se convierte en energía cinética de la masa.

Definición de términos

Símbolo	Definición	Dimensiones	Unidades SI
$a$	Aceleración de la masa	${displaystyle {mathsf{LT^{-2}}}}$	milisegundo
$A$	Amplitud máxima de oscilación	${displaystyle {matemáticas{L}}}$	metro
$C$	Coeficiente de amortiguamiento viscoso	${displaystyle {mathsf {MT^{-1}}}}$	N·s/m
$F$	Frecuencia	${displaystyle {mathsf{T^{-1}}}}$	Hz
$F$	fuerza motriz	${displaystyle {mathsf{MLT^{-2}}}}$	norte
$gramo$	Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra	${displaystyle {mathsf{LT^{-2}}}}$	milisegundo
$i$	unidad imaginaria, $i^{2}=-1$	—	—
$k$	Constante de resorte	${displaystyle {mathsf {MT^{-2}}}}$	Nuevo Méjico
${ estilo de visualización m, M}$	Masa	${displaystyle {matemáticas{M}}}$	kg
$q$	Factor de calidad	—	—
$T$	Período de oscilación	${matemáticas{T}}$	s
$t$	Tiempo	${matemáticas{T}}$	s
$tu$	Energía potencial almacenada en el oscilador	${displaystyle {mathsf{ML^{2}T^{-2}}}}$	j
$X$	Posición de masa	${displaystyle {matemáticas{L}}}$	metro
$zeta$	relación de amortiguamiento	—	—
$varphi$	Cambio de fase	—	radical
$omega$	Frecuencia angular	${displaystyle {mathsf{T^{-1}}}}$	rad/s
$omega_{0}$	Frecuencia angular de resonancia natural	${displaystyle {mathsf{T^{-1}}}}$	rad/s