Ortogonalización

En álgebra lineal, la ortogonalización es el proceso de encontrar un conjunto de vectores ortogonales que abarcan un subespacio particular. Formalmente, comenzando con un conjunto linealmente independiente de vectores {v₁,..., v_k} en un espacio de producto interno (más comúnmente el espacio euclidiano Rⁿ), la ortogonalización da como resultado un conjunto de vectores ortogonales {u₁,..., u_k} que generan el mismo subespacio como los vectores v₁,..., v_k. Todo vector del nuevo conjunto es ortogonal a todos los demás vectores del nuevo conjunto; y el conjunto nuevo y el conjunto antiguo tienen el mismo tramo lineal.

Además, si queremos que los vectores resultantes sean todos vectores unitarios, entonces normalizamos cada vector y el procedimiento se llama ortonormalización.

La ortogonalización también es posible con respecto a cualquier forma bilineal simétrica (no necesariamente un producto interno, no necesariamente sobre números reales), pero los algoritmos estándar pueden encontrar divisiones por cero en esta configuración más general.

Algoritmos de ortogonalización

Los métodos para realizar la ortogonalización incluyen:

• Proceso Gram-Schmidt, que utiliza proyección
• Transformación de accionistas, que utiliza la reflexión
• Puestos de rotación
• Ortogonalización simétrica, que utiliza la descomposición de valor Singular

Cuando se realiza la ortogonalización en una computadora, se suele preferir la transformación de Householder al proceso de Gram-Schmidt, ya que es más estable numéricamente, es decir, los errores de redondeo tienden a tener efectos menos graves.

Por otro lado, el proceso de Gram-Schmidt produce el j-ésimo vector ortogonalizado después de la j-ésima iteración, mientras que la ortogonalización mediante reflexiones de Householder produce todos los vectores solo al final. Esto hace que solo el proceso de Gram-Schmidt sea aplicable para métodos iterativos como la iteración de Arnoldi.

La rotación de Givens es más fácil de paralelizar que las transformaciones de Householder.

La ortogonalización simétrica fue formulada por Per-Olov Löwdin.

Ortogonalización local

Para compensar la pérdida de señal útil en los enfoques tradicionales de atenuación de ruido debido a la selección incorrecta de parámetros o la inadecuación de las suposiciones de eliminación de ruido, se puede aplicar un operador de ponderación en la sección inicialmente eliminada para recuperar la señal útil de la sección de ruido inicial. El nuevo proceso de eliminación de ruido se denomina ortogonalización local de la señal y el ruido. Tiene una amplia gama de aplicaciones en muchos campos de procesamiento de señales y exploración sísmica.