Orden de operaciones

En matemáticas y programación de computadoras, el orden de operaciones (o precedencia de operadores) es una colección de reglas que reflejan convenciones sobre qué procedimientos realizar primero para evaluar una operación matemática determinada. expresión.

Por ejemplo, en matemáticas y en la mayoría de los lenguajes informáticos, la multiplicación tiene mayor prioridad que la suma, y ha sido así desde la introducción de la notación algebraica moderna. Por lo tanto, se interpreta que la expresión 1 + 2 × 3 tiene el valor 1 + (2 × 3) = 7, y no (1 + 2) × 3 = 9. Cuando se introdujeron los exponentes en los siglos XVI y XVII, se les dio prioridad sobre la suma y la multiplicación, y solo podían colocarse como un superíndice a la derecha de su base. Así 3 + 5² = 28 y 3 × 5² = 75.

Estas convenciones existen para eliminar la ambigüedad notacional, mientras permiten que la notación sea lo más breve posible. Cuando se desee anular las convenciones de precedencia, o simplemente enfatizarlas, se pueden usar paréntesis (). Por ejemplo, (2 + 3) × 4 = 20 obliga a que la suma preceda a la multiplicación, mientras que (3 + 5)² = 64 obliga a que la suma preceda a la exponenciación. Si se requieren múltiples pares de paréntesis en una expresión matemática (como en el caso de los paréntesis anidados), los paréntesis se pueden reemplazar por corchetes o llaves para evitar confusiones, como en [2 × (3 + 4)] − 5 = 9.

Definición

El orden de las operaciones, es decir, el orden en que se deben realizar las operaciones en una fórmula, se usa en matemáticas, ciencias, tecnología y muchos lenguajes de programación de computadoras. Se expresa aquí:

1. Subexpresiones parentales
2. Exponentiation
3. Multiplicación y División
4. Adición y Sustracción

Esto significa que para evaluar una expresión, primero se evalúa cualquier subexpresión dentro de paréntesis, trabajando de adentro hacia afuera si hay más de un conjunto. Ya sea entre paréntesis o no, el operador que está más arriba en la lista anterior debe aplicarse primero.

Las leyes conmutativas y asociativas de la suma y la multiplicación permiten sumar términos en cualquier orden y multiplicar factores en cualquier orden, pero las operaciones mixtas deben obedecer el orden estándar de las operaciones.

En algunos contextos, es útil reemplazar una división con una multiplicación por el recíproco (inverso multiplicativo) y una resta por la suma del opuesto (inverso aditivo). Por ejemplo, en álgebra informática, esto permite manejar menos operaciones binarias y facilita el uso de la conmutatividad y la asociatividad al simplificar expresiones grandes (para obtener más información, consulte Álgebra informática § Simplificación). Por lo tanto, 3 ÷ 4 = 3 × 1/4; en otras palabras, el cociente de 3 y 4 es igual al producto de 3 y 1/4. También 3 − 4 = 3 + (−4); en otras palabras, la diferencia de 3 y 4 es igual a la suma de 3 y −4. Por lo tanto, 1 − 3 + 7 puede considerarse como la suma de 1 + (−3) + 7, y el se pueden sumar tres sumandos en cualquier orden, dando en todos los casos 5 como resultado.

El símbolo de la raíz √ se prolonga tradicionalmente con una barra (llamada vinculum) sobre el radicando (esto evita la necesidad de paréntesis alrededor del radicando). Otras funciones utilizan paréntesis alrededor de la entrada para evitar ambigüedades. Los paréntesis se pueden omitir si la entrada es una única variable o constante numérica, como en el caso de sin x = sin(x) y sin π = sin(π). Otra convención de acceso directo que a veces se usa es cuando la entrada es monomio; por lo tanto, sin 3x = sin(3x) en lugar de (sin(3)) x, pero sin x + y = sin(x ) + y, porque x + y es no un monomio. Esto, sin embargo, es ambiguo y no se entiende universalmente fuera de contextos específicos. Algunas calculadoras y lenguajes de programación requieren paréntesis alrededor de las entradas de funciones, otras no.

Los símbolos de agrupación se pueden usar para anular el orden habitual de las operaciones. Los símbolos agrupados se pueden tratar como una sola expresión. Los símbolos de agrupación se pueden eliminar utilizando las leyes asociativa y distributiva, también se pueden eliminar si la expresión dentro del símbolo de agrupación se simplifica lo suficiente para que no resulte ambigüedad al eliminarlos.

Ejemplos

Multiplicación antes de la suma:

1+2× × 3=1+6=7.{displaystyle 1+2times 3=1+6=7.}

Las subexpresiones entre paréntesis se evalúan primero:

()1+2)× × 3=3× × 3=9.{displaystyle (1+2)times 3=3times 3=9.}

Exponenciación antes que multiplicación, multiplicación antes que resta:

1− − 2× × 34=1− − 2× × 81=1− − 162=− − 161.{displaystyle 1-2times 3^{4}=1-2times 81=1-162=-161.}

Cuando una expresión se escribe en superíndice, se considera que el superíndice está agrupado por su posición sobre su base:

1+23+4=1+27=1+128=129,{displaystyle 1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129,} mientras 1 + 2 ^ 3 + 4 por ejemplo en un programa C, evalúa 1+8+4=13.{displaystyle 1+8+4=13.}

El operando de un símbolo raíz está determinado por la barra superior:

1+3+5=4+5=2+5=7.{fnK}+5={sqrt {4}+5=2+5=7.}

Una línea fraccionaria horizontal también actúa como símbolo de agrupación:

1+23+4+5=37+5.{displaystyle {frac {1+2}{3+4}}+5={frac {3}}+5.}

Para facilitar la lectura, a veces se usan otros símbolos de agrupación, como llaves { } o corchetes [ ]. se usa junto con paréntesis (). Por ejemplo:

()[1+2].. [3+4])+5=()3.. 7)+5{displaystyle ([1+2]div [3+4])+5=(3div 7)+5}

Mnemónicos

Los mnemotécnicos a menudo se usan para ayudar a los estudiantes a recordar las reglas, involucrando las primeras letras de las palabras que representan varias operaciones. Se utilizan diferentes mnemotécnicos en diferentes países.

• En los Estados Unidos y en Francia, el acrónimo PEMDAS es común. Está en pie. Psontheses, Exponents, Multiplicación/DIvision, Addition/SLa duda. PEMDAS a menudo se expande a la mnemónica "Por favor, disculpe a mi querida tía Sally"en las escuelas.
• Canadá y Nueva Zelandia utilizan BEDMAS, de pie Braquetas, Exponents, Division/Multiplicación, Addition/SLa duda.
• Lo más común en el Reino Unido, Pakistán, India, Bangladesh y Australia y algunos otros países de habla inglesa es BODMAS significado Braquetas, ORder, Division/Multiplicación, Addition/SLa duda. Nigeria y algunos otros países de África occidental también utilizan BODMAS. Del mismo modo en el Reino Unido, BIDMAS también se utiliza, de pie Braquetas, Indices, Division/Multiplicación, Addition/SLa duda.

Esta mnemonía puede ser engañosa cuando se escribe de esta manera. Por ejemplo, malinterpretar cualquiera de las reglas anteriores para significar "addición primero, resta después" evaluaría incorrectamente la expresión a− − b+c{displaystyle a-b+c} incorrectamente como a− − ()b+c){displaystyle a-(b+c)}, mientras que la evaluación correcta es ()a− − b)+c{displaystyle (a-b)+c}. Estos valores son diferentes cuando cل ل 0{displaystyle cneq 0}.

6×2×(1+2) se interpreta como 6×(2×(1+2) por un fx-82MS (upper), y (6÷2)×(1+2) por un TI-83 Plus calculadora (más baja), respectivamente.

La "Adición/Subtracción" en la mnemonía debe interpretarse como que la resta es la adición del opuesto, mientras que la expresión a es ambiguo y se puede leer múltiples maneras desde ()a.. b)× × c{displaystyle (adiv b)times c} es diferente de a.. ()b× × c){displaystyle adiv (btimes c)} cuando cل ل ± ± 1.{displaystyle cneq pm 1.}

Las ambigüedades adicionales causadas por el uso de la multiplicación por yuxtaposición y el uso de la barra inclinada para representar la división se analizan a continuación. En general, la forma más segura de evitar la ambigüedad es usar paréntesis.

Casos especiales

Exponenciación serial

Si la exponenciación se indica mediante símbolos apilados usando notación de superíndice, la regla habitual es trabajar de arriba hacia abajo:

a^bc = a^()bc)

que normalmente no es igual a (a^b)^c. Esta convención es útil porque hay una propiedad de exponenciación que (a^b)^c = a^bc, por lo que no es necesario usar exponenciación en serie para esto.

Sin embargo, cuando se utiliza la notación de operador con un signo de intercalación (^) o una flecha (↑), no existe un estándar común. Por ejemplo, Microsoft Excel y el lenguaje de programación computacional MATLAB evalúan a^b^c como (a ^b)^c, pero Google Search y Wolfram Alpha como a^(bc). Por lo tanto, 4^3^2 se evalúa como 4096 en el primer caso y como 262 144 en el segundo caso.

Signo menos unario

Existen diferentes convenciones con respecto al operador unario − (generalmente se lee "menos"). En matemáticas escritas o impresas, la expresión −3² se interpreta como −(3²) = −9.

En algunas aplicaciones y lenguajes de programación, especialmente Microsoft Excel, PlanMaker (y otras aplicaciones de hojas de cálculo) y el lenguaje de programación bc, los operadores unarios tienen mayor prioridad que los operadores binarios, es decir, el menos unario tiene mayor prioridad que la exponenciación, por lo que en esos idiomas, −3² se interpretará como (−3)² = 9. Esto no se aplica al operador binario menos −; por ejemplo en Microsoft Excel mientras que las fórmulas =−2^2, =-(2)^2 y =0+−2^2 devuelve 4, la fórmula =0−2^2 y =−(2^2) devuelve −4.

División y multiplicación mixta

En parte de la literatura académica, se interpreta que la multiplicación denotada por yuxtaposición (también conocida como multiplicación implícita) tiene mayor precedencia que la división, de modo que 1 ÷ 2n es igual a 1 ÷ (2n), no (1 ÷ 2)n . Por ejemplo, las instrucciones de envío de manuscritos para las revistas Physical Review establecen que la multiplicación tiene mayor precedencia que la división, y esta es también la convención observada en libros de texto de física destacados como el Curso de Física Teórica. de Landau y Lifshitz y las Lectures on Physics de Feynman.

Esta ambigüedad suele explotarse en los memes de Internet como "8÷2(2+2)", para los cuales hay dos interpretaciones contradictorias: 8÷[2(2+2)] = 1 y [8÷2](2+2) = 16.

La ambigüedad también puede deberse al uso del símbolo de barra inclinada, '/', para la división. Las instrucciones de envío de Revisión física sugieren evitar expresiones de la forma a/b/c; la ambigüedad se puede evitar escribiendo (a/b)/c o a/(b/c).

Calculadoras

Diferentes calculadoras siguen diferentes órdenes de operaciones. Muchas calculadoras simples sin una entrada de cadena de implementos de pila funcionan de izquierda a derecha sin dar prioridad a los diferentes operadores, por ejemplo, escribir

1 + 2 × 3 rendimientos 9,

mientras que las calculadoras más sofisticadas utilizarán una prioridad más estándar, por ejemplo, escribir

1 + 2 × 3 rendimientos 7.

El programa Microsoft Calculator utiliza el primero en su vista estándar y el segundo en sus vistas científica y de programador.

La entrada en cadena espera dos operandos y un operador. Cuando se presiona el siguiente operador, la expresión se evalúa inmediatamente y la respuesta se convierte en la mano izquierda del siguiente operador. Las calculadoras avanzadas permiten la entrada de la expresión completa, agrupada según sea necesario, y evalúa solo cuando el usuario usa el signo igual.

Las calculadoras pueden asociar exponentes a la izquierda oa la derecha. Por ejemplo, la expresión a^b^c se interpreta como a^(bc) en la TI-92 y la TI-30XS MultiView en "modo Mathprint" 34;, mientras que se interpreta como (a^b)^c en el TI-30XII y TI-30XS MultiView en "Modo clásico".

Una expresión como 1/2x se interpreta como 1/(2x) por TI-82, así como muchas calculadoras Casio, pero como (1/2)x por TI-83 y cualquier otra calculadora TI lanzada desde 1996, así como por todas las calculadoras Hewlett-Packard con notación algebraica. Si bien algunos usuarios pueden esperar la primera interpretación debido a la naturaleza de la multiplicación implícita, la última está más en línea con la regla de que la multiplicación y la división tienen la misma precedencia.

Cuando el usuario no está seguro de cómo una calculadora interpretará una expresión, se pueden usar paréntesis para eliminar la ambigüedad.

El orden de las operaciones surgió debido a la adaptación de la notación de infijos en la notación matemática estándar, que puede ser notacionalmente ambigua sin tales convenciones, a diferencia de la notación de sufijos o la notación de prefijos, que no necesitan órdenes de operaciones. Por lo tanto, las calculadoras que utilizan la notación polaca inversa (RPN) que usan una pila para ingresar expresiones en el orden de precedencia correcto no necesitan paréntesis ni ningún orden de ejecución posiblemente específico del modelo.

Lenguajes de programación

Algunos lenguajes de programación usan niveles de precedencia que se ajustan al orden comúnmente usado en matemáticas, aunque otros, como APL, Smalltalk, Occam y Mary, no tienen reglas de precedencia de operadores (en APL, la evaluación es estrictamente de derecha a izquierda; en Smalltalk, es estrictamente de izquierda a derecha).

Además, debido a que muchos operadores no son asociativos, el orden dentro de un solo nivel generalmente se define agrupando de izquierda a derecha para que 16/4/4 se interprete como (16/4)/4 = 1 en lugar de 16/(4/4) = 16; estos operadores se denominan "asociativos por la izquierda". Existen excepciones; por ejemplo, los idiomas con operadores correspondientes a la operación contras en las listas generalmente los agrupan de derecha a izquierda ("asociación derecha"), p. en Haskell, 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4].

Dennis Ritchie, creador del lenguaje C, ha dicho sobre la precedencia en C (compartida por lenguajes de programación que toman prestadas esas reglas de C, por ejemplo, C++, Perl y PHP) que hubiera sido preferible mover el bit a bit operadores por encima de los operadores de comparación. Muchos programadores se han acostumbrado a este orden, pero los lenguajes populares más recientes como Python y Ruby tienen este orden invertido. Los niveles de precedencia relativa de los operadores que se encuentran en muchos lenguajes de estilo C son los siguientes:

Ejemplos: (Nota: en los ejemplos a continuación, '≡' se usa para significar "es idéntico a" y no debe interpretarse como un operador de asignación real usado como parte de la expresión de ejemplo.)

• !A + !B ↑ (!A) + (!B)
• ++A + !B ↑ (++A) + (!B)
• A + B * C ↑ A + (B * C)
• A || B && C ↑ A || (B && C)
• A && B == C ↑ A && (B == C)
• A & B == C ↑ A & (B == C)

(En Python, Ruby, PARI/GP y otros lenguajes populares, A & B == C ≡ (A & B) == C.)

Los compiladores de origen a origen que compilan en varios idiomas deben tratar explícitamente el problema de los diferentes órdenes de operaciones en los idiomas. Haxe, por ejemplo, estandariza la orden y la hace cumplir insertando corchetes donde sea apropiado.

Se ha descubierto que la precisión del conocimiento del desarrollador de software sobre la precedencia de los operadores binarios sigue de cerca su frecuencia de aparición en el código fuente.

Notas explicativas