Orden de magnitud

Un orden de magnitud es una aproximación del logaritmo de un valor relativo a algún valor de referencia entendido contextualmente, generalmente 10, interpretado como la base del logaritmo y el representante de los valores de magnitud uno. Las distribuciones logarítmicas son de naturaleza común y considerar el orden de magnitud de los valores muestreados de tal distribución puede ser más intuitivo. Cuando el valor de referencia es 10, el orden de magnitud puede entenderse como el número de dígitos en la representación en base 10 del valor. De manera similar, si el valor de referencia es una de algunas potencias de 2, dado que las computadoras almacenan datos en formato binario, la magnitud puede entenderse en términos de la cantidad de memoria de la computadora necesaria para almacenar ese valor.

Las diferencias en orden de magnitud se pueden medir en una escala logarítmica de base 10 en "décadas" (es decir, factores de diez). Se pueden encontrar ejemplos de números de diferentes magnitudes en Órdenes de magnitud (números).

Definición

En general, el orden de magnitud de un número es la potencia más pequeña de 10 utilizada para representar ese número. Para resolver el orden de magnitud de un número N{displaystyle N}, el número se expresa primero en el siguiente formulario:

N=a× × 10b{displaystyle N=atimes 10^{b}

Donde <math alttext="{displaystyle {frac {1}{sqrt {10}}}leq a110≤ ≤ a.10{displaystyle {frac {1}sqrt {10}leq a meant{sqrt {10}}}<img alt="{displaystyle {frac {1}{sqrt {10}}}leq a, o aproximadamente 0.316≲ ≲ a≲ ≲ 3.16{displaystyle 0.316lesssim alesssim 3.16}. Entonces, b{displaystyle b} representa el orden de magnitud del número. El orden de magnitud puede ser cualquier entero. En el cuadro que figura a continuación se enumera el orden de magnitud de algunos números a la luz de esta definición:

Número N{displaystyle N}	Expresión en N=a× × 10b{displaystyle N=atimes 10^{b}	Orden de magnitud b{displaystyle b}
0.2	2 × 10−1	−1
1	1 × 100	0
5	0.5 × 101	1
6	0.6 × 101	1
31	3.1 × 101	1
32	0.32 × 102	2
999	0.999 × 103	3
1000	1 × 103	3

La media geométrica de 10b− − 1/2{displaystyle 10^{b-1/2} y 10b+1/2{displaystyle 10^{b+1/2} es 10b{displaystyle 10^{b}, significando que un valor de exactamente 10b{displaystyle 10^{b} (es decir, a=1{displaystyle a=1}) representa un geométrico punto medio dentro de la gama de posibles valores a{displaystyle a}.

Algunos usan una definición más simple donde <math alttext="{displaystyle 0.50.5.a≤ ≤ 5{displaystyle 0,5 {cH00}<img alt="{displaystyle 0.5, tal vez porque la media aritmética de 10b{displaystyle 10^{b} y 10b+c{displaystyle 10^{b+c} enfoques 5× × 10b+c− − 1{displaystyle 5times 10^{b+c-1} para aumentar c{displaystyle c}. Esta definición tiene el efecto de disminuir los valores b{displaystyle b} ligeramente:

Número N{displaystyle N}	Expresión en N=a× × 10b{displaystyle N=atimes 10^{b}	Orden de magnitud b{displaystyle b}
0.2	2 × 10−1	−1
1	1 × 100	0
5	5 × 100	0
6	0.6 × 101	1
31	3.1 × 101	1
32	3.2 × 101	1
999	0.999 × 103	3
1000	1 × 103	3

Sin embargo, otros restringen a{displaystyle a} valores donde <math alttext="{displaystyle 1leq a1≤ ≤ a.10{displaystyle 1leq a won10}<img alt="{displaystyle 1leq a, haciendo el orden de magnitud de un número exactamente igual a su parte exponente en la notación científica.

Usos

Los órdenes de magnitud se utilizan para hacer comparaciones aproximadas. Si los números difieren en un orden de magnitud, x es aproximadamente diez veces diferente en cantidad que y. Si los valores difieren en dos órdenes de magnitud, difieren en un factor de aproximadamente 100. Dos números del mismo orden de magnitud tienen aproximadamente la misma escala: el valor mayor es menos de diez veces el valor menor. Las crecientes cantidades de datos de Internet han llevado a la adición de nuevos prefijos SI a lo largo del tiempo, más recientemente en 2022.

Calcular el orden de magnitud

El orden de magnitud de un número es, intuitivamente hablando, el número de potencias de 10 contenidas en el número. Más precisamente, el orden de magnitud de un número se puede definir en términos del logaritmo común, generalmente como la parte entera del logaritmo, obtenido por truncamiento. Por ejemplo, el número 4000 000 tiene un logaritmo (en base 10) de 6,602; su orden de magnitud es 6. Al truncar, un número de este orden de magnitud está entre 10⁶ y 10⁷. En un ejemplo similar, con la frase "Tenía un ingreso de siete cifras", el orden de magnitud es el número de cifras menos uno, por lo que se determina muy fácilmente sin una calculadora a 6. Un orden de la magnitud es una posición aproximada en una escala logarítmica.

Estimación de orden de magnitud

Una estimación del orden de magnitud de una variable, cuyo valor exacto se desconoce, es una estimación redondeada a la potencia de diez más cercana. Por ejemplo, una estimación del orden de magnitud para una variable entre aproximadamente 3 mil millones y 30 mil millones (como la población humana de la Tierra) es 10 mil millones. Para redondear un número a su orden de magnitud más cercano, se redondea su logaritmo al entero más cercano. Por lo tanto 4000000, que tiene un logaritmo (en base 10) de 6,602, tiene 7 como su orden de magnitud más cercano, porque "más cercano" implica redondeo en lugar de truncamiento. Para un número escrito en notación científica, esta escala de redondeo logarítmico requiere el redondeo a la siguiente potencia de diez cuando el multiplicador es mayor que la raíz cuadrada de diez (alrededor de 3,162). Por ejemplo, el orden de magnitud más cercano para 1.7×10⁸ es 8, mientras que el orden de magnitud más cercano para 3.7×10⁸ es 9. Una estimación de orden de magnitud a veces también se denomina aproximación de orden cero.

Diferencia de orden de magnitud

Una diferencia de orden de magnitud entre dos valores es un factor de 10. Por ejemplo, la masa del planeta Saturno es 95 veces la de la Tierra, por lo que Saturno tiene dos órdenes de magnitud más masiva que la Tierra. Las diferencias de orden de magnitud se denominan décadas cuando se miden en una escala logarítmica.

Órdenes de magnitud no decimales

Se pueden calcular otros órdenes de magnitud utilizando bases distintas de 10. Los antiguos griegos clasificaron el brillo nocturno de los cuerpos celestes en 6 niveles en los que cada nivel era la quinta raíz de cien (alrededor de 2,512) tan brillante como el más débil más cercano nivel de brillo y, por lo tanto, el nivel más brillante es 5 órdenes de magnitud más brillante que el más débil indica que es (100^1/5)⁵ o un factor de 100 veces más brillante.

Los diferentes sistemas numéricos decimales del mundo utilizan una base más grande para visualizar mejor el tamaño del número y han creado nombres para las potencias de esta base más grande. La tabla muestra a qué número apunta el orden de magnitud para la base 10 y para la base 1000000. Se puede ver que el orden de magnitud está incluido en el nombre del número en este ejemplo, porque bi- significa 2 y tri- significa 3 (estos tienen sentido solo en la escala larga), y el sufijo -illion indica que la base es 1000000. Pero los nombres de los mismos billones, trillones (aquí con otro significado que en el primer capítulo) no son nombres de los órdenes de magnitudes, son nombres de "magnitudes", es decir los números 1000 000000000 etc.

Las unidades SI de la tabla de la derecha se utilizan junto con los prefijos SI, que se diseñaron teniendo en cuenta principalmente las magnitudes de base 1000. Los prefijos estándar IEC con base 1024 se inventaron para su uso en tecnología electrónica.

Las antiguas magnitudes aparentes para el brillo de las estrellas utiliza la base 1005.. 2.512{displaystyle {sqrt[{5}{100}approx 2.512} y se invierte. Sin embargo, la versión modernizada se ha convertido en una escala logarítmica con valores no enteros.

Números extremadamente grandes

Para números extremadamente grandes, un orden de magnitud generalizado se puede basar en su logaritmo doble o superlogaritmo. Redondearlos a la baja a un número entero da categorías entre "números redondos", redondearlos al entero más cercano y aplicar la función inversa da el "más cercano" número redondeado.

El doble logaritmo produce las categorías:

..., 1.0023–1.023, 1.023–1,26, 1,26–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰–10¹⁰⁰⁰,...

(los dos primeros mencionados, y la extensión a la izquierda, pueden no ser muy útiles, simplemente demuestran cómo la secuencia continúa matemáticamente hacia la izquierda).

El superlogaritmo produce las categorías:

0–1, 1–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰¹⁰, 10¹⁰¹⁰–10¹⁰¹⁰¹⁰,... o

0-⁰10, ⁰10 –¹10, ¹10 –²10, ²10 –³10, ³10 –⁴10,...

Los "puntos medios" que determinan qué número redondo está más cerca son en el primer caso:

1.076, 2.071, 1453, 4.20×10³¹, 1.69×10³¹⁶,...

y, dependiendo del método de interpolación, en el segundo caso

0−301, 0,5, 3,162, 1453, 1×10¹⁴⁵³, ()10↑ ↑ )1101453{displaystyle (10uparrow)}{1}10^{1453}, ()10↑ ↑ )2101453{displaystyle (10uparrow)}{2}10^{1453},... (ver notación de números extremadamente grandes)

Para números extremadamente pequeños (en el sentido de cercanos a cero), ningún método es adecuado directamente, pero se puede considerar el orden de magnitud generalizado del recíproco.

De manera similar a la escala logarítmica, se puede tener una escala logarítmica doble (se proporciona un ejemplo aquí) y una escala superlogarítmica. Los intervalos sobre todo tienen la misma longitud, con los "puntos medios" en realidad a mitad de camino. Más generalmente, un punto a medio camino entre dos puntos corresponde a la media f generalizada con f(x) la función correspondiente log log x o slog x. En el caso de log log x, esta media de dos números (por ejemplo, 2 y 16 dan 4) no depende de la base del logaritmo, al igual que en el caso de log x (media geométrica, 2 y 8 dan 4), pero a diferencia del caso de log log log x (4 y 65536 dando 16 si la base es 2, pero no en caso contrario).