Órbita homoclínica

En el estudio de sistemas dinámicos, una órbita homoclínica es un camino a través del espacio de fases que une un punto de equilibrio en silla de montar consigo mismo. Más precisamente, una órbita homoclínica se encuentra en la intersección de la variedad estable y la variedad inestable de un equilibrio. Es una órbita heteroclínica (un camino entre dos puntos de equilibrio cualesquiera) en la que los puntos finales son uno y el mismo.

Considere el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\dot {x}=f(x)}$

Supongamos que hay un equilibrio en ${\displaystyle x=x_{0}$, entonces una solución ${\displaystyle \Phi (t)}$ es una órbita homoclinica si

${\displaystyle \Phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow \pm \infty }$

Si el espacio de fase tiene tres o más dimensiones, entonces es importante considerar la topología de la variedad inestable del punto de silla. Las cifras muestran dos casos. Primero, cuando la variedad estable es topológicamente un cilindro, y segundo, cuando la variedad inestable es topológicamente una cinta de Möbius; en este caso la órbita homoclínica se llama torcida.

Sistema dinámico discreto

Las órbitas homoclínicas y los puntos homoclínicos se definen de la misma manera para funciones iteradas, como la intersección del conjunto estable y el conjunto inestable de algún punto fijo o punto periódico del sistema.

También tenemos la noción de órbita homoclinica al considerar sistemas dinámicos discretos. En tal caso, si ${\displaystyle f:M\rightarrow M.$ es un diffeomorfismo de un múltiple ${\displaystyle M}$, decimos eso ${\displaystyle x}$ es un punto homoclinico si tiene el mismo pasado y futuro - más específicamente, si existe un punto fijo (o periódico) ${\displaystyle p}$ tales que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \pm \infty }f^{n}(x)=p.}$

Propiedades

La existencia de un punto homoclínico implica la existencia de un número infinito de ellos. Esto proviene de su definición: la intersección de un conjunto estable e inestable. Ambos conjuntos son invariantes por definición, lo que significa que la iteración directa del punto homoclínico se encuentra tanto en el conjunto estable como en el inestable. Al iterar N veces, el mapa se acerca al punto de equilibrio en el conjunto estable, pero en cada iteración también está en la variedad inestable, lo que muestra esta propiedad.

Esta propiedad sugiere que surgen dinámicas complicadas por la existencia de un punto homoclínico. De hecho, Smale (1967) demostró que estos puntos conducen a una dinámica similar a un mapa de herradura, que está asociada con el caos.

Dinámica simbólica

Mediante la partición Markov, se puede estudiar el comportamiento a largo plazo de un sistema hiperbólico utilizando técnicas de dinámica simbólica. En este caso, una órbita homoclinica tiene una representación particularmente simple y clara. Supongamos que ${\displaystyle S=\{1,2,\ldotsM\}$ es un conjunto finito de M símbolos. La dinámica de un punto x entonces está representado por una cadena bi-infinita de símbolos

${\displaystyle \sigma =\{\ldotss_{-1},s_{1},s_{1},\ldots:s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z}$

Un punto periódico del sistema es simplemente una secuencia recurrente de letras. Una órbita heteroclínica es entonces la unión de dos órbitas periódicas distintas. Puede escribirse como

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots S_{n}q^{\omega }$

Donde ${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots T_{k}$ es una secuencia de símbolos de longitud k(por supuesto, ${\displaystyle t_{i}\in S.$), y ${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots R_{m}$ es otra secuencia de símbolos, de longitud m (como si fuera, ${\displaystyle r_{i}in S.$). La notación ${\displaystyle p^{\omega }$ simplemente denota la repetición de p un número infinito de veces. Así, una órbita heteroclínica puede entenderse como la transición de una órbita periódica a otra. Por el contrario, una órbita homoclinica puede ser escrita como

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots S_{n}p^{\omega }$

con la secuencia intermedia ${\displaystyle S_{1}s_{2}\cdots s_{n}$ ser no vacío, y, por supuesto, no ser p, como de otro modo, la órbita simplemente sería ${\displaystyle p^{\omega }$.