Órbita elíptica

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Órbita Kepler con una excentricidad de menos de uno

Dos cuerpos con masa similar orbitando alrededor de un barycenter común con órbitas elípticas.

Dos cuerpos con masa desigual orbitando alrededor de un barycenter común con órbitas circulares.

Dos cuerpos con masa muy desigual orbitando un barycenter común con órbitas circulares.

En astrodinámica o mecánica celeste, una órbita elíptica u órbita elíptica es una órbita de Kepler con una excentricidad menor que 1; esto incluye el caso especial de una órbita circular, con excentricidad igual a 0. En un sentido más estricto, es una órbita de Kepler con una excentricidad mayor que 0 y menor que 1 (excluyendo así la órbita circular). En un sentido más amplio, se trata de una órbita de Kepler con energía negativa. Esto incluye la órbita elíptica radial, con excentricidad igual a 1.

En un problema gravitacional de dos cuerpos con energía negativa, ambos cuerpos siguen órbitas elípticas similares con el mismo período orbital alrededor de su baricentro común. Además, la posición relativa de un cuerpo con respecto al otro sigue una órbita elíptica.

Ejemplos de órbitas elípticas incluyen las órbitas de transferencia de Hohmann, las órbitas de Molniya y las órbitas de tundra.

Velocidad

Bajo supuestos estándar, ninguna otra fuerza actúa excepto dos cuerpos esféricamente simétricos m₁ y m₂, la velocidad orbital ( ${displaystyle v,}$ ) de un cuerpo viajando por un órbita elíptica se puede calcular de la ecuación vis-viva como:

{displaystyle v={sqrt {mu left({2 over {r}}-{1 over {a}}right)}}}

donde:

${displaystyle mu ,}$ es el parámetro gravitacional estándar, G(m₁+m₂), a menudo expresado como GM cuando un cuerpo es mucho más grande que el otro.
${displaystyle r,}$ es la distancia entre el cuerpo orbitante y el centro de masa.
${displaystyle a,!}$ es la longitud del eje semi-major.

La ecuación de velocidad para una trayectoria hiperbólica tiene + ${displaystyle {1 over {a}}}$ , o es lo mismo con la convención que en ese caso a es negativo.

Período orbital

En las hipótesis estándar el período orbital ( ${displaystyle T,!}$ ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica puede ser calculado como:

{displaystyle T=2pi {sqrt {a^{3} over {mu }}}}

donde:

${displaystyle mu }$ es el parámetro gravitacional estándar.
${displaystyle a,!}$ es la longitud del eje semi-major.

Conclusiones:

El período orbital es igual al de una órbita circular con el radio orbital igual al eje semi-major ( ${displaystyle a,!}$ ),
Para un eje semi-major dado el período orbital no depende de la excentricidad (ver también: la tercera ley de Kepler).

Energía

Bajo hipótesis estándar, la energía orbital específica ( ${displaystyle epsilon }$ ) de una órbita elíptica es negativa y la ecuación de conservación de energía orbital (la ecuación Vis-viva) para esta órbita puede tomar la forma:

<math alttext="{displaystyle {v^{2} over {2}}-{mu over {r}}=-{mu over {2a}}=epsilon v22− − μ μ r=− − μ μ 2a=ε ε c)0{displaystyle {v^{2} over {2}-{m}=-{muover {2a}=epsilon #<img alt="{displaystyle {v^{2} over {2}}-{mu over {r}}=-{mu over {2a}}=epsilon

Donde:

${displaystyle v,}$ es la velocidad orbital del cuerpo orbital,
${displaystyle r,}$ es la distancia del cuerpo orbitante del cuerpo central,
${displaystyle a,}$ es la longitud del eje semi-major,
${displaystyle mu ,}$ es el parámetro gravitacional estándar.

Conclusiones:

Para un eje semi-major dado, la energía orbital específica es independiente de la excentricidad.

Usando el teorema virial para encontrar:

el tiempo-promedio de la energía potencial específica es igual a −2ε
- el tiempo-promedio de r⁻¹ es a⁻¹
el tiempo-promedio de la energía cinética específica es igual al ε

Energía en términos de semieje mayor

Puede ser útil conocer la energía en términos del eje semi mayor (y las masas involucradas). La energía total de la órbita es dada por

{displaystyle E=-G{frac {Mm}{2a}}}

donde el eje semi mayor.

Derivación

Dado que la gravedad es una fuerza central, el momento angular es constante:

{displaystyle {dot {mathbf {L} }}=mathbf {r} times mathbf {F} =mathbf {r} times F(r)mathbf {hat {r}} =0}

En las aproximaciones más cercana y más alejada, el momento angular es perpendicular a la distancia desde la masa orbitada, por lo tanto:

{displaystyle L=rp=rmv}

La energía total de la órbita está dada por

{displaystyle E={frac {1}{2}}mv^{2}-G{frac {Mm}{r}}}

Sustituyendo v, la ecuación queda

{displaystyle E={frac {1}{2}}{frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{frac {Mm}{r}}}

Esto es cierto para r siendo la distancia más cercana/más lejana, por lo que se hacen dos ecuaciones simultáneas, que cuando se resuelven para E:

{displaystyle E=-G{frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}

Desde ${textstyle r_{1}=a+aepsilon }$ y ${displaystyle r_{2}=a-aepsilon }$ , donde el epsilon es la excentricidad de la órbita, se alcanza el resultado declarado.

Ángulo de trayectoria de vuelo

El ángulo de la trayectoria del vuelo es el ángulo entre el vector de velocidad del cuerpo orbitante (igual al tangente vectorial a la órbita instantánea) y el horizontal local. Bajo supuestos estándar de la conservación del impulso angular del ángulo de la trayectoria del vuelo ${displaystyle phi }$ satisface la ecuación:

{displaystyle h,=r,v,cos phi }

donde:

${displaystyle h,}$ es el impulso angular relativo específico de la órbita,
${displaystyle v,}$ es la velocidad orbital del cuerpo orbital,
${displaystyle r,}$ es la distancia radial del cuerpo orbitante del cuerpo central,
${displaystyle phi ,}$ es el ángulo de la ruta del vuelo

${displaystyle psi }$ es el ángulo entre el vector de velocidad orbital y el eje semi-mayor. ${displaystyle nu }$ es la verdadera anomalía local. ${displaystyle phi =nu +{frac {pi }{2}}-psi }$ , por consiguiente,

{displaystyle cos phi =sin(psi -nu)=sin psi cos nu -cos psi sin nu ={frac {1+ecos nu }{sqrt {1+e^{2}+2ecos nu }}}}

{displaystyle tan phi ={frac {esin nu }{1+ecos nu }}}

Donde ${displaystyle e}$ es la excentricidad.

El impulso angular está relacionado con el producto de la cruz vectorial de posición y velocidad, que es proporcional al seno del ángulo entre estos dos vectores. Aquí. ${displaystyle phi }$ se define como el ángulo que difiere en 90 grados de esto, por lo que el cosino aparece en lugar del pecado.

Ecuación de movimiento

Desde la posición inicial y la velocidad

Una ecuación orbital define el camino de un cuerpo orbital ${displaystyle m_{2},!}$ alrededor del cuerpo central ${displaystyle m_{1},!}$ relativa a ${displaystyle m_{1},!}$ , sin especificar la posición como función del tiempo. Si la excentricidad es inferior a 1 entonces la ecuación del movimiento describe una órbita elíptica. Porque la ecuación de Kepler ${displaystyle M=E-esin E}$ no tiene una solución general de forma cerrada para la anomalía excéntrica (E) en términos de la anomalía media (M), ecuaciones de movimiento como función del tiempo tampoco tienen solución de forma cerrada (aunque existen soluciones numéricas para ambos).

Sin embargo, las ecuaciones de ruta independientes de forma cerrada de una órbita elíptica con respecto a un cuerpo central pueden determinarse desde una posición inicial (simplemente) ${displaystyle mathbf {r} }$ ) y velocidad ( ${displaystyle mathbf {v} }$ ).

Para este caso es conveniente utilizar las siguientes hipótesis que difieren algo de las hipótesis estándar anteriores:

La posición del cuerpo central está en el origen y es el foco primario ( ${displaystyle mathbf {F1} }$ ) de la elipse (alternativamente, el centro de masa puede ser utilizado en lugar de si el cuerpo orbitante tiene una masa significativa)
La masa del cuerpo central (m1) es conocida
La posición inicial del cuerpo en órbita( ${displaystyle mathbf {r} }$ ) y velocidad( ${displaystyle mathbf {v} }$ ) son conocidos
El elipse se encuentra dentro del plan XY-

La cuarta suposición se puede hacer sin pérdida de generalidad porque los tres puntos (o vectores) deben estar dentro de un plano común. Bajo estas suposiciones el segundo enfoque (a veces llamado el enfoque "vacío") también debe estar dentro del plan XY: ${displaystyle mathbf {F2} =left(f_{x},f_{y}right)}$ .

Usando vectores

La ecuación general de un elipse bajo estas suposiciones usando vectores es:

{displaystyle |mathbf {F2} -mathbf {p} |+|mathbf {p} |=2aqquad mid z=0}

donde:

${displaystyle a,!}$ es la longitud del eje semi-major.
${displaystyle mathbf {F2} =left(f_{x},f_{y}right)}$ es el segundo enfoque ("vacío").
${displaystyle mathbf {p} =left(x,yright)}$ es cualquier valor (x,y) que satisfaga la ecuación.

La longitud del eje semi-major (a) se puede calcular como:

{displaystyle a={frac {mu |mathbf {r} |}{2mu -|mathbf {r} |mathbf {v} ^{2}}}}

Donde ${displaystyle mu =Gm_{1}}$ es el parámetro gravitacional estándar.

El foco vacío ( ${displaystyle mathbf {F2} =left(f_{x},f_{y}right)}$ ) se puede encontrar por primera vez determinando el vector de Eccentricidad:

{displaystyle mathbf {e} ={frac {mathbf {r} }{|mathbf {r} |}}-{frac {mathbf {v} times mathbf {h} }{mu }}}

Donde ${displaystyle mathbf {h} }$ es el impulso angular específico del cuerpo orbitante:

{displaystyle mathbf {h} =mathbf {r} times mathbf {v} }

Entonces...

{displaystyle mathbf {F2} =-2amathbf {e} }

Usando coordenadas XY

Esto se puede hacer en coordenadas cartesianas usando el siguiente procedimiento:

La ecuación general de una elipse bajo los supuestos anteriores es:

{displaystyle {sqrt {left(f_{x}-xright)^{2}+left(f_{y}-yright)^{2}}}+{sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2aqquad mid z=0}

Dado:

{displaystyle r_{x},r_{y}quad }

las coordenadas de posición inicial

{displaystyle v_{x},v_{y}quad }

las coordenadas de velocidad inicial

{displaystyle mu =Gm_{1}quad }

el parámetro gravitacional

Entonces:

{displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}quad }

impulso angular específico

{displaystyle r={sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}quad }

distancia inicial de F1 (en el origen)

{displaystyle a={frac {mu r}{2mu -rleft(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}right)}}quad }

la longitud del eje semimayor

{displaystyle e_{x}={frac {r_{x}}{r}}-{frac {hv_{y}}{mu }}quad }

las coordenadas vector Eccentricity

{displaystyle e_{y}={frac {r_{y}}{r}}+{frac {hv_{x}}{mu }}quad }

Finalmente, las coordenadas de foco vacías.

{displaystyle f_{x}=-2ae_{x}quad }

{displaystyle f_{y}=-2ae_{y}quad }

Ahora los valores resultantes fx, fy y a se pueden aplicar a la ecuación general de elipse anterior.

Parámetros orbitales

El estado de un cuerpo orbitante en cualquier momento dado se define por la posición y velocidad del cuerpo orbitante con respecto al cuerpo central, que puede ser representado por las coordenadas cartesianas tridimensionales (posición del cuerpo orbitante representado por x, y, y, y z) y los componentes cartesianos similares de la velocidad del cuerpo orbitante. Este conjunto de seis variables, junto con el tiempo, se denominan vectores de estado orbital. Dada las masas de los dos cuerpos determinan la órbita completa. Los dos casos más generales con estos 6 grados de libertad son la órbita elíptica y la órbita hiperbólica. Los casos especiales con menos grados de libertad son la órbita circular y parabólica.

Debido a que al menos seis variables son absolutamente necesarias para representar por completo una órbita elíptica con este conjunto de parámetros, entonces se requieren seis variables para representar una órbita con cualquier conjunto de parámetros. Otro conjunto de seis parámetros que se utilizan comúnmente son los elementos orbitales.

Sistema solar

En el Sistema Solar, los planetas, los asteroides, la mayoría de los cometas y algunos fragmentos de desechos espaciales tienen órbitas aproximadamente elípticas alrededor del Sol. Estrictamente hablando, ambos cuerpos giran alrededor del mismo foco de la elipse, el que está más cerca del cuerpo más masivo, pero cuando un cuerpo es significativamente más masivo, como el Sol en relación con la Tierra, el foco puede estar contenido dentro del mayor. cuerpo masa, y por eso se dice que el más pequeño gira alrededor de él. El siguiente gráfico del perihelio y afelio de los planetas, los planetas enanos y el cometa Halley demuestra la variación de la excentricidad de sus órbitas elípticas. Para distancias similares del sol, las barras más anchas denotan una mayor excentricidad. Nótese la excentricidad casi nula de la Tierra y Venus en comparación con la enorme excentricidad del cometa Halley y Eris.

Distancias de cuerpos seleccionados del Sistema Solar del Sol. Los bordes izquierdo y derecho de cada barra corresponden a la perihelión y aphelion del cuerpo, respectivamente, por lo que las barras largas denotan alta excentricidad orbital. El radio del Sol es de 0,7 millones de km, y el radio de Júpiter (el planeta más grande) es de 0,07 millones de km, demasiado pequeño para resolver esta imagen.

Trayectoria elíptica radical

Una trayectoria radial puede ser un segmento de línea doble, que es una elipse degenerada con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no es una órbita parabólica. Se aplican la mayoría de las propiedades y fórmulas de las órbitas elípticas. Sin embargo, la órbita no se puede cerrar. Es una órbita abierta correspondiente a la parte de la elipse degenerada desde que los cuerpos se tocan y se alejan hasta que se vuelven a tocar. En el caso de masas puntuales es posible una órbita completa, comenzando y terminando con una singularidad. Las velocidades al principio y al final son infinitas en direcciones opuestas y la energía potencial es igual a menos infinito.

La trayectoria elíptica radial es la solución de un problema de dos cuerpos con velocidad cero en algún instante, como en el caso de dejar caer un objeto (despreciando la resistencia del aire).

Historia

Los babilonios fueron los primeros en darse cuenta de que el movimiento del Sol a lo largo de la eclíptica no era uniforme, aunque desconocían por qué; hoy se sabe que esto se debe a que la Tierra se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, moviéndose más rápido cuando está más cerca del Sol en el perihelio y más lento cuando está más lejos en el afelio.

En el siglo XVII, Johannes Kepler descubrió que las órbitas a lo largo de las cuales los planetas viajan alrededor del Sol son elipses con el Sol en un foco, y lo describió en su primera ley del movimiento planetario. Más tarde, Isaac Newton explicó esto como corolario de su ley de gravitación universal.

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