Orbita

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Vía curvada de un objeto alrededor de un punto

Una animación que muestra una órbita de baja excentricidad (cerca-círculo, en rojo), y una órbita de alta excentricidad (ellipse, en púrpura)

En mecánica celeste, una órbita es la trayectoria curva de un objeto, como la trayectoria de un planeta alrededor de una estrella, o de un satélite natural alrededor de un planeta, o de un satélite artificial alrededor de un objeto o posición en el espacio, como un planeta, una luna, un asteroide o un punto de Lagrange. Normalmente, la órbita se refiere a una trayectoria que se repite regularmente, aunque también puede referirse a una trayectoria que no se repite. En una aproximación cercana, los planetas y los satélites siguen órbitas elípticas, con el centro de masa orbitando en un punto focal de la elipse, como se describe en las leyes de movimiento planetario de Kepler.

Para la mayoría de las situaciones, el movimiento orbital se aproxima adecuadamente mediante la mecánica newtoniana, que explica la gravedad como una fuerza que obedece a la ley del inverso del cuadrado. Sin embargo, la teoría general de la relatividad de Albert Einstein, que considera que la gravedad se debe a la curvatura del espacio-tiempo, con órbitas que siguen a las geodésicas, proporciona un cálculo y una comprensión más precisos de la mecánica exacta del movimiento orbital.

Historia

Históricamente, los movimientos aparentes de los planetas fueron descritos por filósofos europeos y árabes usando la idea de esferas celestes. Este modelo postulaba la existencia de esferas o anillos en movimiento perfecto a los que se unían las estrellas y los planetas. Asumió que los cielos estaban fijos aparte del movimiento de las esferas y se desarrolló sin ninguna comprensión de la gravedad. Después de los planetas' los movimientos se midieron con mayor precisión, se agregaron mecanismos teóricos como deferentes y epiciclos. Aunque el modelo fue capaz de predecir con razonable precisión los planetas' posiciones en el cielo, se requerían más y más epiciclos a medida que las mediciones se volvían más precisas, por lo que el modelo se volvió cada vez más difícil de manejar. Originalmente geocéntrico, fue modificado por Copérnico para colocar el Sol en el centro para ayudar a simplificar el modelo. El modelo fue desafiado aún más durante el siglo XVI, cuando se observaron cometas atravesando las esferas.

La base para la comprensión moderna de las órbitas fue formulada por primera vez por Johannes Kepler, cuyos resultados se resumen en sus tres leyes del movimiento planetario. Primero, descubrió que las órbitas de los planetas de nuestro Sistema Solar son elípticas, no circulares (o epicíclicas), como se creía anteriormente, y que el Sol no está ubicado en el centro de las órbitas, sino en un foco. En segundo lugar, descubrió que la velocidad orbital de cada planeta no es constante, como se había pensado anteriormente, sino que la velocidad depende de la distancia del planeta al Sol. En tercer lugar, Kepler encontró una relación universal entre las propiedades orbitales de todos los planetas que orbitan alrededor del Sol. Para los planetas, los cubos de sus distancias al Sol son proporcionales a los cuadrados de sus periodos orbitales. Júpiter y Venus, por ejemplo, están respectivamente a una distancia del Sol de aproximadamente 5,2 y 0,723 AU, con períodos orbitales de aproximadamente 11,86 y 0,615 años, respectivamente. La proporcionalidad se ve en el hecho de que la relación de Júpiter, 5,2³/11,86², es prácticamente igual a la de Venus, 0,723³ /0,615², de acuerdo con la relación. Las órbitas idealizadas que cumplen estas reglas se conocen como órbitas de Kepler.

Isaac Newton demostró que las leyes de Kepler se derivaban de su teoría de la gravitación y que, en general, las órbitas de los cuerpos sujetos a la gravedad eran secciones cónicas (esto supone que la fuerza de la gravedad se propaga instantáneamente). Newton demostró que, para un par de cuerpos, las órbitas' los tamaños son inversamente proporcionales a sus masas, y que esos cuerpos orbitan alrededor de su centro de masa común. Cuando un cuerpo es mucho más masivo que el otro (como es el caso de un satélite artificial que gira alrededor de un planeta), es una aproximación conveniente tomar el centro de masa como si coincidiera con el centro del cuerpo más masivo.

Los avances en la mecánica newtoniana se utilizaron luego para explorar variaciones de las suposiciones simples detrás de las órbitas de Kepler, como las perturbaciones debidas a otros cuerpos o el impacto de cuerpos esferoidales en lugar de esféricos. Joseph-Louis Lagrange desarrolló un nuevo enfoque de la mecánica newtoniana enfatizando la energía más que la fuerza, y avanzó en el problema de los tres cuerpos, descubriendo los puntos de Lagrange. En una reivindicación dramática de la mecánica clásica, en 1846 Urbain Le Verrier pudo predecir la posición de Neptuno basándose en perturbaciones inexplicables en la órbita de Urano.

Albert Einstein en su artículo de 1916 La base de la teoría general de la relatividad explicó que la gravedad se debía a la curvatura del espacio-tiempo y eliminó la suposición de Newton de que los cambios se propagan instantáneamente. Esto llevó a los astrónomos a reconocer que la mecánica newtoniana no proporcionaba la máxima precisión en la comprensión de las órbitas. En la teoría de la relatividad, las órbitas siguen trayectorias geodésicas que las predicciones newtonianas suelen aproximar muy bien (excepto cuando hay campos de gravedad muy fuertes y velocidades muy altas), pero las diferencias son medibles. Esencialmente, toda la evidencia experimental que puede distinguir entre las teorías está de acuerdo con la teoría de la relatividad dentro de la precisión de la medición experimental. La reivindicación original de la relatividad general es que fue capaz de dar cuenta de la cantidad inexplicable restante en la precesión del perihelio de Mercurio notado por primera vez por Le Verrier. Sin embargo, la solución de Newton todavía se usa para la mayoría de los propósitos a corto plazo, ya que es significativamente más fácil de usar y suficientemente precisa.

Órbitas planetarias

Dentro de un sistema planetario, los planetas, los planetas enanos, los asteroides y otros planetas menores, los cometas y los desechos espaciales orbitan el baricentro del sistema en órbitas elípticas. Un cometa en una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un baricentro no está ligado gravitacionalmente a la estrella y, por lo tanto, no se considera parte del sistema planetario de la estrella. Los cuerpos que están unidos gravitacionalmente a uno de los planetas de un sistema planetario, ya sean satélites naturales o artificiales, siguen órbitas alrededor de un baricentro cerca o dentro de ese planeta.

Debido a perturbaciones gravitatorias mutuas, las excentricidades de las órbitas planetarias varían con el tiempo. Mercurio, el planeta más pequeño del Sistema Solar, tiene la órbita más excéntrica. En la época actual, Marte tiene la siguiente excentricidad más grande, mientras que las excentricidades orbitales más pequeñas se ven con Venus y Neptuno.

Cuando dos objetos se orbitan entre sí, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca uno del otro y el apoapsis es el punto en el que están más alejados. (Se usan términos más específicos para cuerpos específicos. Por ejemplo, perigeo y apogeo son las partes más baja y más alta de una órbita alrededor de la Tierra, mientras que perihelio y afelio son los puntos más cercanos y más lejanos de una órbita alrededor del Sol.)

En el caso de los planetas que orbitan alrededor de una estrella, se calcula que la masa de la estrella y todos sus satélites se encuentran en un solo punto llamado baricentro. Las trayectorias de todos los satélites de la estrella son órbitas elípticas alrededor de ese baricentro. Cada satélite en ese sistema tendrá su propia órbita elíptica con el baricentro en un punto focal de esa elipse. En cualquier punto de su órbita, cualquier satélite tendrá un cierto valor de energía cinética y potencial con respecto al baricentro, y la suma de esas dos energías es un valor constante en cada punto de su órbita. Como resultado, a medida que un planeta se acerca al periapsis, el planeta aumentará su velocidad a medida que disminuya su energía potencial; a medida que un planeta se acerca a la apoapsis, su velocidad disminuirá a medida que aumente su energía potencial.

Comprender las órbitas

Hay algunas formas comunes de entender las órbitas:

Una fuerza, como la gravedad, empuja un objeto hacia un camino curvado, ya que intenta volar en una línea recta.
Mientras el objeto se tira hacia el cuerpo masivo, cae hacia ese cuerpo. Sin embargo, si tiene suficiente velocidad tangencial no caerá en el cuerpo, sino que seguirá siguiendo la trayectoria curvada causada por ese cuerpo indefinidamente. Se dice que el objeto está orbitando el cuerpo.

Como ilustración de una órbita alrededor de un planeta, el modelo de bala de cañón de Newton puede resultar útil (vea la imagen a continuación). Este es un 'experimento mental', en el que un cañón en la cima de una montaña alta puede disparar una bala de cañón horizontalmente a cualquier velocidad inicial elegida. Se ignoran los efectos de la fricción del aire sobre la bala de cañón (o tal vez la montaña es lo suficientemente alta como para que el cañón esté por encima de la atmósfera terrestre, que es lo mismo).

El cañón de Newton, una ilustración de cómo los objetos pueden "caer" en una curva

Si el cañón dispara su bola con una velocidad inicial baja, la trayectoria de la bola se curva hacia abajo y golpea el suelo (A). A medida que aumenta la velocidad de disparo, la bala de cañón golpea el suelo más lejos (B) del cañón, porque mientras la bala sigue cayendo hacia el suelo, el suelo se curva cada vez más alejándose de ella (ver el primer punto, arriba). Todos estos movimientos son en realidad "órbitas" en un sentido técnico, están describiendo una parte de una trayectoria elíptica alrededor del centro de gravedad, pero las órbitas se interrumpen al golpear la Tierra.

Si la bala de cañón se dispara con suficiente velocidad, el suelo se curva alejándose de la bola al menos tanto como cae la bola, por lo que la bola nunca toca el suelo. Ahora se encuentra en lo que podría llamarse una órbita no interrumpida o de circunnavegación. Para cualquier combinación específica de altura sobre el centro de gravedad y masa del planeta, hay una velocidad de disparo específica (que no se ve afectada por la masa de la pelota, que se supone que es muy pequeña en relación con la masa de la Tierra) que produce una órbita circular, como se muestra en (C).

A medida que la velocidad de disparo aumenta más allá de esto, se producen órbitas elípticas ininterrumpidas; uno se muestra en (D). Si el disparo inicial está por encima de la superficie de la Tierra como se muestra, también habrá órbitas elípticas no interrumpidas a una velocidad de disparo más lenta; estos llegarán más cerca de la Tierra en el punto media órbita más allá y directamente opuesto al punto de disparo, debajo de la órbita circular.

A una velocidad de disparo horizontal específica llamada velocidad de escape, que depende de la masa del planeta y la distancia del objeto al baricentro, se logra una órbita abierta (E) que tiene una trayectoria parabólica. A velocidades aún mayores, el objeto seguirá una serie de trayectorias hiperbólicas. En un sentido práctico, estos dos tipos de trayectoria significan que el objeto se está "liberando" de la gravedad del planeta, y "salir al espacio" para nunca volver

La relación de velocidad de dos objetos en movimiento con la masa se puede considerar en cuatro clases prácticas, con subtipos:

No hay órbita

Trayectorias suborbitales

Rango de caminos elípticos interrumpidos

Trayectorias orbitales (o simplemente órbitas)

Rango de caminos elípticos con punto de disparo opuesto más cercano
Carretera circular
Rango de caminos elípticos con punto más cercano al punto de disparo

Trayectorias abiertas (o escapadas)

Senderos parabólicos
Caminos hiperbólicos

Vale la pena señalar que los cohetes orbitales se lanzan verticalmente al principio para elevar el cohete por encima de la atmósfera (lo que provoca un arrastre por fricción), y luego se inclinan lentamente y terminan de disparar el motor del cohete paralelo a la atmósfera para alcanzar la velocidad orbital.

Una vez en órbita, su velocidad los mantiene en órbita sobre la atmósfera. Si, por ejemplo, una órbita elíptica se sumerge en aire denso, el objeto perderá velocidad y volverá a entrar (es decir, caer). Ocasionalmente, una nave espacial interceptará intencionalmente la atmósfera, en un acto comúnmente conocido como maniobra de aerofrenado.

Leyes del movimiento de Newton

Ley de gravitación de Newton y leyes de movimiento para problemas de dos cuerpos

En la mayoría de las situaciones, los efectos relativistas pueden despreciarse y las leyes de Newton brindan una descripción suficientemente precisa del movimiento. La aceleración de un cuerpo es igual a la suma de las fuerzas que actúan sobre él, dividida por su masa, y la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo es proporcional al producto de las masas de los dos cuerpos que se atraen y decrece inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos. Según esta aproximación newtoniana, para un sistema de masas de dos puntos o cuerpos esféricos, solo influenciados por su gravitación mutua (llamado problema de dos cuerpos), sus trayectorias pueden calcularse exactamente. Si el cuerpo más pesado es mucho más masivo que el más pequeño, como en el caso de un satélite o una luna pequeña que orbita un planeta o la Tierra que orbita alrededor del Sol, es suficientemente preciso y conveniente describir el movimiento en términos de un sistema de coordenadas que está centrado en el cuerpo más pesado, y decimos que el cuerpo más liviano está en órbita alrededor del más pesado. Para el caso en que las masas de dos cuerpos sean comparables, una solución newtoniana exacta sigue siendo suficiente y se puede obtener colocando el sistema de coordenadas en el centro de la masa del sistema.

Definición de la energía potencial gravitacional

La energía está asociada con los campos gravitatorios. Un cuerpo estacionario alejado de otro puede realizar un trabajo externo si es atraído hacia él y, por lo tanto, tiene energía potencial gravitacional. Dado que se requiere trabajo para separar dos cuerpos contra la atracción de la gravedad, su energía potencial gravitacional aumenta a medida que se separan y disminuye a medida que se acercan. Para masas puntuales, la energía gravitacional disminuye a cero a medida que se acercan a la separación cero. Es conveniente y convencional asignar a la energía potencial un valor cero cuando están separados por una distancia infinita y, por lo tanto, tiene un valor negativo (ya que disminuye desde cero) para distancias finitas más pequeñas.

Energías orbitales y formas de órbita

Cuando solo interactúan dos cuerpos gravitatorios, sus órbitas siguen una sección cónica. La órbita puede ser abierta (lo que implica que el objeto nunca regresa) o cerrada (que regresa). Cuál es depende de la energía total (energía cinética + potencial) del sistema. En el caso de una órbita abierta, la velocidad en cualquier posición de la órbita es al menos la velocidad de escape para esa posición, en el caso de una órbita cerrada, la velocidad siempre es menor que la velocidad de escape. Dado que la energía cinética nunca es negativa si se adopta la convención común de tomar la energía potencial como cero en una separación infinita, las órbitas enlazadas tendrán energía total negativa, las trayectorias parabólicas energía total cero y las órbitas hiperbólicas energía total positiva.

Una órbita abierta tendrá forma parabólica si tiene la velocidad de escape exacta en ese punto de su trayectoria, y tendrá forma de hipérbola cuando su velocidad sea mayor que la velocidad de escape. Cuando los cuerpos con una velocidad de escape o mayor se acercan entre sí, se curvarán brevemente alrededor del otro en el momento de su acercamiento más cercano y luego se separarán para siempre.

Todas las órbitas cerradas tienen forma de elipse. Una órbita circular es un caso especial, en el que los focos de la elipse coinciden. El punto donde el cuerpo en órbita está más cerca de la Tierra se llama perigeo, y se llama periapsis (con menos propiedad, 'perifoco' o 'pericentron') cuando la órbita es alrededor de otro cuerpo. que la Tierra. El punto donde el satélite está más alejado de la Tierra se denomina apogeo, apoapsis o, a veces, apifocus o apocentron. Una línea trazada desde el periapsis hasta el apoapsis es la línea de los ábsides. Este es el eje mayor de la elipse, la línea que pasa por su parte más larga.

Leyes de Kepler

Los cuerpos que siguen órbitas cerradas repiten sus caminos con un cierto tiempo llamado período. Este movimiento está descrito por las leyes empíricas de Kepler, que pueden derivarse matemáticamente de las leyes de Newton. Estos pueden ser formulado de la siguiente manera:

La órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse, con el Sol en uno de los puntos focales de esa elipse. [Este punto focal es en realidad el barícentro del sistema Sun-planet; para la simplicidad, esta explicación supone que la masa del Sol es infinitamente mayor que la de ese planeta.] La órbita del planeta está en un avión llamado plano orbital. El punto en la órbita más cercana al cuerpo atractivo es la periapsis. El punto más lejano del cuerpo atractivo se llama la apoapsis. También hay términos específicos para órbitas sobre cuerpos particulares; las cosas que orbitan el Sol tienen un perihelio y un aphelion, las cosas que orbitan la Tierra tienen un perigeo y apogeo, y las cosas que orbitan la Luna tienen una periluna y apoluna (o periselene y aposelene respectivamente). Una órbita alrededor de cualquier estrella, no sólo el Sol, tiene un periastrón y un apastrón.
A medida que el planeta se mueve en su órbita, la línea del Sol al planeta barre una zona constante del plano orbital por un período de tiempo determinado, independientemente de cuál parte de su órbita el planeta traza durante ese período de tiempo. Esto significa que el planeta se mueve más rápido cerca de su perihelio que cerca de su aphelion, porque a la distancia más pequeña necesita rastrear un arco mayor para cubrir la misma área. Esta ley generalmente se declara como "iguallas áreas en igualdad de tiempo".
Para una órbita dada, la relación del cubo de su eje semi-major a la plaza de su período es constante.

Limitaciones de la ley de gravitación de Newton

Tenga en cuenta que, si bien las órbitas limitadas de una masa puntual o un cuerpo esférico con un campo gravitatorio newtoniano son elipses cerradas, que repiten el mismo camino de forma exacta e indefinida, cualquier efecto no esférico o no newtoniano (como el causado por la ligera achatamiento de la Tierra, o por efectos relativistas, cambiando así el comportamiento del campo gravitatorio con la distancia) hará que la forma de la órbita se aparte de las elipses cerradas características del movimiento newtoniano de dos cuerpos. Las soluciones de dos cuerpos fueron publicadas por Newton en Principia en 1687. En 1912, Karl Fritiof Sundman desarrolló una serie infinita convergente que resuelve el problema de tres cuerpos; sin embargo, converge demasiado lentamente para ser de mucha utilidad. Excepto en casos especiales como los puntos de Lagrange, no se conoce ningún método para resolver las ecuaciones de movimiento de un sistema con cuatro o más cuerpos.

Enfoques a problemas de muchos cuerpos

En lugar de una solución de forma cerrada exacta, las órbitas con muchos cuerpos se pueden aproximar con una precisión arbitrariamente alta. Estas aproximaciones toman dos formas:

Una forma toma el movimiento elíptico puro como base y añade términos de perturbación para tener en cuenta la influencia gravitacional de múltiples cuerpos. Esto es conveniente para calcular las posiciones de los cuerpos astronómicos. Las ecuaciones de movimiento de las lunas, planetas y otros cuerpos son conocidas con gran precisión, y se utilizan para generar tablas para la navegación celestial. Sin embargo, hay fenómenos seculares que deben ser tratados por métodos post-Newtonianos.

La forma de ecuación diferencial se utiliza para fines científicos o de planificación de misiones. Según las leyes de Newton, la suma de todas las fuerzas que actúan en un cuerpo equivaldrá a la masa del cuerpo tiempos su aceleración (F = ma). Por lo tanto, las aceleraciones pueden expresarse en términos de posiciones. Los términos de perturbación son mucho más fáciles de describir en esta forma. Predecir posiciones y velocidades posteriores de valores iniciales de posición y velocidad corresponde a resolver un problema de valor inicial. Los métodos numéricos calculan las posiciones y velocidades de los objetos un corto tiempo en el futuro, y luego repiten el cálculo ad nauseam. Sin embargo, los pequeños errores aritméticos de la precisión limitada de las matemáticas de un ordenador son acumulativos, lo que limita la precisión de este enfoque.

Las simulaciones diferenciales con un gran número de objetos realizan los cálculos de forma jerárquica por pares entre los centros de masa. Usando este esquema, se han simulado galaxias, cúmulos de estrellas y otros grandes conjuntos de objetos.

Análisis newtoniano del movimiento orbital

La siguiente derivación se aplica a una órbita elíptica de este tipo. Comenzamos solo con la ley de gravitación de Newton que establece que la aceleración gravitacional hacia el cuerpo central está relacionada con el inverso del cuadrado de la distancia entre ellos, a saber

{displaystyle F_{2}=-{frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}

donde F₂ es la fuerza que actúa sobre la masa m₂ causada por la atracción gravitatoria masa m₁ tiene por m₂, G es la constante gravitatoria universal, y r es la distancia entre los dos centros de masas.

De la Segunda Ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan sobre m₂ relacionadas con la aceleración de ese cuerpo:

{displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}

donde A₂ es la aceleración de m₂ provocada por la fuerza de atracción gravitatoria F₂ de m₁ actuando sobre m₂.

Combinando la ecuación. 1 y 2:

{displaystyle -{frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}

Resolviendo para la aceleración, A₂:

{displaystyle A_{2}={frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{frac {1}{m_{2}}}{frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{frac {mu }{r^{2}}}}

Donde ${displaystyle mu ,}$ es el parámetro gravitacional estándar, en este caso ${displaystyle Gm_{1}}$ . Se entiende que el sistema que se describe es m₂, por lo tanto los subscriptos se pueden retirar.

Suponemos que el cuerpo central es lo suficientemente masivo como para que pueda considerarse estacionario e ignoramos los efectos más sutiles de la relatividad general.

Cuando un péndulo o un objeto unido a un oscilación de primavera en un elipse, la aceleración/fuerza interna es proporcional a la distancia ${displaystyle A=F/m=-kr.}$ Debido a la forma en que los vectores agregan, el componente de la fuerza en ${displaystyle {hat {mathbf {x} }}}$ o en el ${displaystyle {hat {mathbf {y} }}}$ las direcciones también son proporcionales a los componentes respectivos de las distancias, ${displaystyle r''_{x}=A_{x}=-kr_{x}}$ . Por lo tanto, todo el análisis se puede hacer por separado en estas dimensiones. Esto resulta en las ecuaciones armónicas parabólicas ${displaystyle x=Acos(t)}$ y ${displaystyle y=Bsin(t)}$ de la elipse. En contraste, con la relación decreciente ${displaystyle A=mu /r^{2}}$ , las dimensiones no se pueden separar.

La ubicación del objeto en órbita en el momento actual $t$ se encuentra en el plano utilizando cálculo vectorial en coordenadas polares tanto con la base Euclideana estándar como con la base polar con el origen coincidiendo con el centro de fuerza. Vamos $r$ ser la distancia entre el objeto y el centro y $theta$ ser el ángulo que ha girado. Vamos ${displaystyle {hat {mathbf {x} }}}$ y ${displaystyle {hat {mathbf {y} }}}$ ser las bases estándar de Euclidean y dejar ${displaystyle {hat {mathbf {r} }}=cos(theta){hat {mathbf {x} }}+sin(theta){hat {mathbf {y} }}}$ y ${displaystyle {hat {boldsymbol {theta }}}=-sin(theta){hat {mathbf {x} }}+cos(theta){hat {mathbf {y} }}}$ ser la base polar radial y transversal con el primer ser el vector unitario apuntando desde el cuerpo central a la ubicación actual del objeto orbital y el segundo es el vector de unidad ortogonal señalando en la dirección que el objeto orbitante viajaría si se orbita en un círculo del reloj contrario. Entonces el vector al objeto orbitante es

{displaystyle {hat {mathbf {O} }}=rcos(theta){hat {mathbf {x} }}+rsin(theta){hat {mathbf {y} }}=r{hat {mathbf {r} }}}

Usamos ${dot r}$ y ${dot theta }$ para denotar los derivados estándar de cómo esta distancia y ángulo cambian con el tiempo. Tomamos el derivado de un vector para ver cómo cambia con el tiempo restando su ubicación a tiempo $t$ desde entonces $t+delta t$ y división por $delta t$ . El resultado es también un vector. Porque nuestro vector de base ${displaystyle {hat {mathbf {r} }}}$ se mueve como el objeto orbita, empezamos por diferenciarlo. De vez en cuando $t$ a $t+delta t$ , el vector ${displaystyle {hat {mathbf {r} }}}$ mantiene su comienzo en el origen y gira desde el ángulo $theta$ a $theta +{dot theta } delta t$ que mueve su cabeza a distancia ${dot theta } delta t$ en la dirección perpendicular ${hat {{boldsymbol theta }}}$ dar un derivado de ${dot theta }{hat {{boldsymbol theta }}}$ .

{displaystyle {begin{aligned}{hat {mathbf {r} }}&=cos(theta){hat {mathbf {x} }}+sin(theta){hat {mathbf {y} }}\{frac {delta {hat {mathbf {r} }}}{delta t}}={dot {mathbf {r} }}&=-sin(theta){dot {theta }}{hat {mathbf {x} }}+cos(theta){dot {theta }}{hat {mathbf {y} }}={dot {theta }}{hat {boldsymbol {theta }}}\{hat {boldsymbol {theta }}}&=-sin(theta){hat {mathbf {x} }}+cos(theta){hat {mathbf {y} }}\{frac {delta {hat {boldsymbol {theta }}}}{delta t}}={dot {boldsymbol {theta }}}&=-cos(theta){dot {theta }}{hat {mathbf {x} }}-sin(theta){dot {theta }}{hat {mathbf {y} }}=-{dot {theta }}{hat {mathbf {r} }}end{aligned}}}

Ahora podemos encontrar la velocidad y la aceleración de nuestro objeto en órbita.

{displaystyle {begin{aligned}{hat {mathbf {O} }}&=r{hat {mathbf {r} }}\{dot {mathbf {O} }}&={frac {delta r}{delta t}}{hat {mathbf {r} }}+r{frac {delta {hat {mathbf {r} }}}{delta t}}={dot {r}}{hat {mathbf {r} }}+rleft[{dot {theta }}{hat {boldsymbol {theta }}}right]\{ddot {mathbf {O} }}&=left[{ddot {r}}{hat {mathbf {r} }}+{dot {r}}{dot {theta }}{hat {boldsymbol {theta }}}right]+left[{dot {r}}{dot {theta }}{hat {boldsymbol {theta }}}+r{ddot {theta }}{hat {boldsymbol {theta }}}-r{dot {theta }}^{2}{hat {mathbf {r} }}right]\&=left[{ddot {r}}-r{dot {theta }}^{2}right]{hat {mathbf {r} }}+left[r{ddot {theta }}+2{dot {r}}{dot {theta }}right]{hat {boldsymbol {theta }}}end{aligned}}}

Los coeficientes de ${displaystyle {hat {mathbf {r} }}}$ y ${hat {{boldsymbol theta }}}$ dar las aceleraciones en las direcciones radiales y transversales. Como se dijo, Newton da esto primero debido a la gravedad es ${displaystyle -mu /r^{2}}$ y el segundo es cero.

{ddot r}-r{dot theta }^{2}=-{frac {mu }{r^{2}}}

r{ddot theta }+2{dot r}{dot theta }=0

La ecuación (2) se puede reorganizar usando integración por partes.

{displaystyle r{ddot {theta }}+2{dot {r}}{dot {theta }}={frac {1}{r}}{frac {d}{dt}}left(r^{2}{dot {theta }}right)=0}

Podemos multiplicarnos por $r$ porque no es cero a menos que el objeto orbitante se estrelle. Luego tener el derivado ser cero da que la función es una constante.

r^{2}{dot theta }=h

que es en realidad la prueba teórica de la segunda ley de Kepler (una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales). La constante de integración, h, es el momento angular por unidad de masa.

Para obtener una ecuación para la órbita de la ecuación (1), necesitamos eliminar el tiempo. (Ver también ecuación de Binet.) En coordenadas polares, esto expresaría la distancia $r$ del objeto orbitante desde el centro como función de su ángulo $theta$ . Sin embargo, es más fácil introducir la variable auxiliar $u=1/r$ y para expresar $u$ como función de $theta$ . Derivativos de $r$ con respecto al tiempo puede ser reescrito como derivados de $u$ con respecto al ángulo.

{displaystyle u={1 over r}}

{displaystyle {dot {theta }}={frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}

(reparación 3))

{displaystyle {begin{aligned}{frac {delta u}{delta theta }}&={frac {delta }{delta t}}left({frac {1}{r}}right){frac {delta t}{delta theta }}=-{frac {dot {r}}{r^{2}{dot {theta }}}}=-{frac {dot {r}}{h}}\{frac {delta ^{2}u}{delta theta ^{2}}}&=-{frac {1}{h}}{frac {delta {dot {r}}}{delta t}}{frac {delta t}{delta theta }}=-{frac {ddot {r}}{h{dot {theta }}}}=-{frac {ddot {r}}{h^{2}u^{2}}} {text{ or }} {ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{frac {delta ^{2}u}{delta theta ^{2}}}end{aligned}}}

Conectando estos en (1) da

{displaystyle {begin{aligned}{ddot {r}}-r{dot {theta }}^{2}&=-{frac {mu }{r^{2}}}\-h^{2}u^{2}{frac {delta ^{2}u}{delta theta ^{2}}}-{frac {1}{u}}left(hu^{2}right)^{2}&=-mu u^{2}end{aligned}}}

{displaystyle {frac {delta ^{2}u}{delta theta ^{2}}}+u={frac {mu }{h^{2}}}}

Entonces, para la fuerza gravitacional, o, más generalmente, para cualquier ley de la fuerza del cuadrado inverso, el lado derecho de la ecuación se convierte en una constante y la ecuación se ve como la ecuación armónica (hacia arriba a un desplazamiento del origen de la variable dependiente). La solucion es:

{displaystyle u(theta)={frac {mu }{h^{2}}}-Acos(theta -theta _{0})}

Donde A y Silencio₀ son constantes arbitrarias. Esta ecuación resultante de la órbita del objeto es la de una elipse en forma Polar relativa a uno de los puntos focales. Esto se pone en una forma más estándar dejando ${displaystyle eequiv h^{2}A/mu }$ ser la excentricidad, dejando ${displaystyle aequiv h^{2}/mu left(1-e^{2}right)}$ ser el eje semi-major. Finalmente, dejando $theta _{0}equiv 0$ así que el largo eje de la elipse está a lo largo del positivo x Coordina.

{displaystyle r(theta)={frac {aleft(1-e^{2}right)}{1+ecos theta }}}

Cuando el sistema de dos cuerpos está bajo la influencia del momento de torsión, el momento angular h no es una constante. Después del siguiente cálculo:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {delta r}{delta theta }}&=-{frac {1}{u^{2}}}{frac {delta u}{delta theta }}=-{frac {h}{m}}{frac {delta u}{delta theta }}\{frac {delta ^{2}r}{delta theta ^{2}}}&=-{frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{frac {delta ^{2}u}{delta theta ^{2}}}-{frac {hu^{2}}{m^{2}}}{frac {delta h}{delta theta }}{frac {delta u}{delta theta }}\left({frac {delta theta }{delta t}}right)^{2}r&={frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}end{aligned}}}

obtendremos la ecuación de Sturm-Liouville del sistema de dos cuerpos.

{displaystyle {frac {delta }{delta theta }}left(h{frac {delta u}{delta theta }}right)+hu={frac {mu }{h}}}

Movimiento orbital relativista

El análisis clásico (newtoniano) anterior de la mecánica orbital asume que los efectos más sutiles de la relatividad general, como el arrastre del marco y la dilatación del tiempo gravitacional, son insignificantes. Los efectos relativistas dejan de ser insignificantes cuando se encuentran cerca de cuerpos muy masivos (como con la precesión de la órbita de Mercurio alrededor del Sol), o cuando se necesita una precisión extrema (como con los cálculos de los elementos orbitales y las referencias de señales de tiempo para los satélites GPS).).

Planos orbitales

Hasta ahora, el análisis ha sido bidimensional; resulta que una órbita imperturbable es bidimensional en un plano fijo en el espacio y, por lo tanto, la extensión a tres dimensiones requiere simplemente girar el plano bidimensional en el ángulo requerido en relación con los polos del cuerpo planetario involucrado.

La rotación para hacer esto en tres dimensiones requiere tres números para determinar de forma única; tradicionalmente estos se expresan como tres ángulos.

Período orbital

El período orbital es simplemente el tiempo que un cuerpo en órbita tarda en completar una órbita.

Especificar órbitas

Se requieren seis parámetros para especificar una órbita kepleriana alrededor de un cuerpo. Por ejemplo, los tres números que especifican la posición inicial del cuerpo y los tres valores que especifican su velocidad definirán una órbita única que se puede calcular hacia adelante (o hacia atrás) en el tiempo. Sin embargo, tradicionalmente los parámetros utilizados son ligeramente diferentes.

El conjunto de elementos orbitales utilizado tradicionalmente se denomina conjunto de elementos keplerianos, en honor a Johannes Kepler y sus leyes. Los elementos keplerianos son seis:

Inclinacióni)
Longitud del nodo ascendente (Ω)
Argument of periapsis (ω)
Eccentricity (Eccentricity)e)
Semimajor axis (Semimajor axis)a)
Una anomalía media en la épocaM₀).

En principio, una vez que se conocen los elementos orbitales de un cuerpo, su posición se puede calcular hacia adelante y hacia atrás indefinidamente en el tiempo. Sin embargo, en la práctica, las órbitas se ven afectadas o perturbadas por otras fuerzas además de la simple gravedad de una supuesta fuente puntual (consulte la siguiente sección) y, por lo tanto, los elementos orbitales cambian con el tiempo.

Perturbaciones orbitales

Una perturbación orbital es cuando una fuerza o impulso que es mucho más pequeño que la fuerza total o el impulso promedio del cuerpo gravitatorio principal y que es externo a los dos cuerpos en órbita provoca una aceleración, que cambia los parámetros de la órbita con el tiempo..

Perturbaciones radiales, progradas y transversales

Un pequeño impulso radial dado a un cuerpo en órbita cambia la excentricidad, pero no el período orbital (a primer orden). Un impulso progrado o retrógrado (es decir, un impulso aplicado a lo largo del movimiento orbital) cambia tanto la excentricidad como el período orbital. En particular, un impulso progresivo en el periapsis eleva la altitud en el apoapsis y viceversa, y un impulso retrógrado hace lo contrario. Un impulso transversal (fuera del plano orbital) provoca la rotación del plano orbital sin cambiar el período o la excentricidad. En todos los casos, una órbita cerrada seguirá intersectando el punto de perturbación.

Desintegración orbital

Si una órbita se trata de un cuerpo planetario con una atmósfera importante, su órbita puede decaer debido a la resistencia. Particularmente en cada periapsis, el objeto experimenta resistencia atmosférica, perdiendo energía. Cada vez, la órbita se vuelve menos excéntrica (más circular) porque el objeto pierde energía cinética precisamente cuando esa energía es máxima. Esto es similar al efecto de frenar un péndulo en su punto más bajo; el punto más alto de la oscilación del péndulo se vuelve más bajo. Con cada desaceleración sucesiva, una mayor parte de la trayectoria de la órbita se ve afectada por la atmósfera y el efecto se vuelve más pronunciado. Eventualmente, el efecto se vuelve tan grande que la energía cinética máxima no es suficiente para devolver la órbita por encima de los límites del efecto de arrastre atmosférico. Cuando esto sucede, el cuerpo descenderá rápidamente en espiral y se cruzará con el cuerpo central.

Los límites de una atmósfera varían enormemente. Durante un máximo solar, la atmósfera de la Tierra provoca un arrastre de hasta cien kilómetros más que durante un mínimo solar.

Algunos satélites con ataduras conductoras largas también pueden experimentar una descomposición orbital debido al arrastre electromagnético del campo magnético de la Tierra. A medida que el cable corta el campo magnético, actúa como un generador, moviendo electrones de un extremo al otro. La energía orbital se convierte en calor en el alambre.

Las órbitas se pueden influir artificialmente mediante el uso de motores de cohetes que cambian la energía cinética del cuerpo en algún punto de su trayectoria. Esta es la conversión de energía química o eléctrica a energía cinética. De esta forma, se pueden facilitar los cambios en la forma u orientación de la órbita.

Otro método para influir artificialmente en una órbita es mediante el uso de velas solares o velas magnéticas. Estas formas de propulsión no requieren ninguna entrada de energía o propulsor que no sea la del Sol, por lo que pueden usarse indefinidamente. Ver statite para uno de esos usos propuestos.

La descomposición orbital puede ocurrir debido a las fuerzas de marea de los objetos que se encuentran por debajo de la órbita síncrona del cuerpo que orbitan. La gravedad del objeto en órbita genera protuberancias de marea en el primario, y dado que debajo de la órbita síncrona, el objeto en órbita se mueve más rápido que la superficie del cuerpo, las protuberancias quedan un ángulo corto detrás de él. La gravedad de las protuberancias está ligeramente fuera del eje principal del satélite y, por lo tanto, tiene un componente junto con el movimiento del satélite. El abultamiento cercano ralentiza al objeto más de lo que lo acelera el abultamiento lejano y, como resultado, la órbita decae. Por el contrario, la gravedad del satélite sobre las protuberancias aplica un par sobre el primario y acelera su rotación. Los satélites artificiales son demasiado pequeños para tener un efecto de marea apreciable en los planetas que orbitan, pero varias lunas del Sistema Solar están experimentando un decaimiento orbital por este mecanismo. Marte' la luna más interna, Fobos, es un excelente ejemplo y se espera que impacte a Marte & # 39; emerger o romperse en un anillo dentro de 50 millones de años.

Las órbitas pueden decaer mediante la emisión de ondas gravitacionales. Este mecanismo es extremadamente débil para la mayoría de los objetos estelares, y solo se vuelve significativo en los casos en que hay una combinación de masa extrema y aceleración extrema, como los agujeros negros o las estrellas de neutrones que se orbitan entre sí de cerca.

Oblato

El análisis estándar de cuerpos en órbita asume que todos los cuerpos consisten en esferas uniformes, o más generalmente, capas concéntricas cada una de densidad uniforme. Se puede demostrar que tales cuerpos son gravitacionalmente equivalentes a fuentes puntuales.

Sin embargo, en el mundo real, muchos cuerpos giran, y esto introduce achatamiento y distorsiona el campo de gravedad, y da un momento cuadripolar al campo gravitacional que es significativo a distancias comparables al radio del cuerpo. En el caso general, el potencial gravitatorio de un cuerpo giratorio como, por ejemplo, un planeta, generalmente se expande en multipolos que explican las desviaciones de la simetría esférica. Desde el punto de vista de la dinámica de los satélites, tienen especial relevancia los llamados coeficientes armónicos zonales pares, o incluso zonales, ya que inducen perturbaciones orbitales seculares que son acumulativas en lapsos de tiempo superiores al período orbital. Sí dependen de la orientación del eje de simetría del cuerpo en el espacio, afectando, en general, a toda la órbita, a excepción del semieje mayor.

Múltiples cuerpos gravitatorios

Los efectos de otros cuerpos gravitatorios pueden ser significativos. Por ejemplo, la órbita de la Luna no se puede describir con precisión sin tener en cuenta la acción de la gravedad del Sol y la de la Tierra. Un resultado aproximado es que los cuerpos normalmente tendrán órbitas razonablemente estables alrededor de un planeta o una luna más pesados, a pesar de estas perturbaciones, siempre que estén orbitando bien dentro de la esfera de Hill del cuerpo más pesado.

Cuando hay más de dos cuerpos gravitando, se habla de un problema de n cuerpos. La mayoría de los problemas de n cuerpos no tienen solución de forma cerrada, aunque se han formulado algunos casos especiales.

Radiación luminosa y viento estelar

En el caso particular de los cuerpos más pequeños, la luz y el viento estelar pueden causar perturbaciones significativas en la actitud y la dirección del movimiento del cuerpo y, con el tiempo, pueden ser significativas. De los cuerpos planetarios, el movimiento de los asteroides se ve particularmente afectado durante largos períodos cuando los asteroides giran en relación con el Sol.

Órbitas extrañas

Los matemáticos han descubierto que, en principio, es posible tener varios cuerpos en órbitas no elípticas que se repiten periódicamente, aunque la mayoría de estas órbitas no son estables con respecto a las pequeñas perturbaciones de masa, posición o velocidad. Sin embargo, se han identificado algunos casos estables especiales, incluida una órbita plana en forma de ocho ocupada por tres cuerpos en movimiento. Otros estudios han descubierto que las órbitas no planas también son posibles, incluida una que involucra 12 masas que se mueven en 4 órbitas entrelazadas aproximadamente circulares topológicamente equivalentes a los bordes de un cuboctaedro.

Se cree que encontrar tales órbitas de forma natural en el universo es extremadamente improbable, debido a la improbabilidad de que las condiciones requeridas ocurran por casualidad.

Astrodinámica

La mecánica orbital o astrodinámica es la aplicación de la balística y la mecánica celeste a los problemas prácticos relacionados con el movimiento de cohetes y otras naves espaciales. El movimiento de estos objetos generalmente se calcula a partir de las leyes de movimiento de Newton y la ley de gravitación universal de Newton. Es una disciplina central dentro del diseño y control de misiones espaciales. La mecánica celeste trata de manera más amplia la dinámica orbital de los sistemas bajo la influencia de la gravedad, incluidas las naves espaciales y los cuerpos astronómicos naturales, como los sistemas estelares, los planetas, las lunas y los cometas. La mecánica orbital se centra en las trayectorias de las naves espaciales, incluidas las maniobras orbitales, los cambios de plano orbital y las transferencias interplanetarias, y los planificadores de misiones la utilizan para predecir los resultados de las maniobras de propulsión. La relatividad general es una teoría más exacta que las leyes de Newton para calcular órbitas y, a veces, es necesaria para una mayor precisión o en situaciones de alta gravedad (como órbitas cercanas al Sol).

Órbitas terrestres

Órbita terrestre baja (LEO): Órbitas geocéntricos con alturas de hasta 2.000 km (0–1,240 millas).
Órbita terrestre media (MEO): Órbitas geocéntricos que van en altitud desde 2.000 km (1.240 millas) hasta debajo de órbita geosincrónica a 35.786 kilómetros (22.236 millas). También conocido como una órbita circular intermedia. Estos son "más comúnmente a 20.200 kilómetros (12.600 mi), o 20.650 kilómetros (12.830 mi), con un período orbital de 12 horas."
Tanto la órbita geosincrónica (GSO) como la órbita geoestacionaria (GEO) son órbitas alrededor del período de rotación sideral de la Tierra. Todas las órbitas geosincrónicas y geoestacionarias tienen un eje semi-major de 42.164 km (26.199 mi). Todas las órbitas geoestacionarias también son geosincrónicas, pero no todas las órbitas geosincrónicas son geoestacionarias. Una órbita geoestacionaria permanece exactamente por encima del ecuador, mientras que una órbita geosincrónica puede oscilar hacia el norte y el sur para cubrir más de la superficie de la Tierra. Ambos completan una órbita completa de la Tierra por día sideral (en relación con las estrellas, no el Sol).
Órbita terrestre alta: órbitas geocéntricos sobre la altitud de la órbita geosincrónica 35.786 km (22.240 millas).

Escalamiento en gravedad

La constante gravitatoria G se ha calculado como:

(6,6742 ± 0,001) × 10^{−11 -} (kg/m³)⁻¹s⁻².

Por lo tanto, la constante tiene densidad de dimensión⁻¹ tiempo⁻². Esto corresponde a las siguientes propiedades.

La escala de distancias (incluidos los tamaños de los cuerpos, manteniendo las densidades iguales) da órbitas similares sin escalar el tiempo: si, por ejemplo, las distancias se reducen a la mitad, las masas se dividen por 8, las fuerzas gravitatorias por 16 y las aceleraciones gravitatorias por 2. Por lo tanto, las velocidades se reducen a la mitad y los períodos orbitales y otros tiempos de viaje relacionados con la gravedad siguen siendo los mismos. Por ejemplo, cuando se deja caer un objeto desde una torre, el tiempo que tarda en caer al suelo sigue siendo el mismo con un modelo a escala de la torre en un modelo a escala de la Tierra.

La escala de distancias manteniendo las masas iguales (en el caso de masas puntuales, o ajustando las densidades) da órbitas similares; si las distancias se multiplican por 4, las fuerzas gravitatorias y las aceleraciones se dividen por 16, las velocidades se reducen a la mitad y los períodos orbitales se multiplican por 8.

Cuando todas las densidades se multiplican por 4, las órbitas son las mismas; las fuerzas gravitatorias se multiplican por 16 y las aceleraciones por 4, las velocidades se duplican y los periodos orbitales se reducen a la mitad.

Cuando todas las densidades se multiplican por 4 y todos los tamaños se reducen a la mitad, las órbitas son similares; las masas se dividen por 2, las fuerzas gravitatorias son iguales, las aceleraciones gravitatorias se duplican. Por lo tanto, las velocidades son las mismas y los períodos orbitales se reducen a la mitad.

En todos estos casos de escalado. si las densidades se multiplican por 4, los tiempos se reducen a la mitad; si las velocidades se duplican, las fuerzas se multiplican por 16.

Estas propiedades se ilustran en la fórmula (derivada de la fórmula para el período orbital)

{displaystyle GT^{2}rho =3pi left({frac {a}{r}}right)^{3},}

para una órbita elíptica con semieje mayor a, de un cuerpo pequeño alrededor de un cuerpo esférico de radio r y densidad media ρ, donde T es el período orbital. Véase también la Tercera Ley de Kepler.

Patentes

La aplicación de determinadas órbitas o maniobras orbitales a fines útiles específicos ha sido objeto de patentes.

Bloqueo de marea

Algunos cuerpos están bloqueados por mareas con otros cuerpos, lo que significa que un lado del cuerpo celeste está permanentemente frente a su objeto anfitrión. Este es el caso del sistema Tierra-Luna y Plutón-Caronte.

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