Óptica geométrica

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Modelo de óptica que describe la luz como rayos geométricos

La óptica geométrica, o óptica de rayos, es un modelo de óptica que describe la propagación de la luz en términos de rayos. El rayo en óptica geométrica es una abstracción útil para aproximar los caminos por los que se propaga la luz en determinadas circunstancias.

Las suposiciones simplificadoras de la óptica geométrica incluyen que los rayos de luz:

propagar en caminos de línea recta mientras viajan en un medio homogéneo
doblar, y en particular circunstancias pueden dividirse en dos, en la interfaz entre dos medios diferentes
seguir caminos curvados en un medio en el que el índice refractivo cambia
puede ser absorbido o reflejado.

La óptica geométrica no tiene en cuenta ciertos efectos ópticos como la difracción y la interferencia, que se consideran en la óptica física. Esta simplificación es útil en la práctica; es una aproximación excelente cuando la longitud de onda es pequeña en comparación con el tamaño de las estructuras con las que interactúa la luz. Las técnicas son particularmente útiles para describir aspectos geométricos de las imágenes, incluidas las aberraciones ópticas.

Explicación

Un rayo de luz es una línea o curva que es perpendicular a los frentes de onda de la luz (y, por lo tanto, es colineal con el vector de onda). Una definición un poco más rigurosa de rayo de luz se deriva del principio de Fermat, que establece que el camino recorrido por un rayo de luz entre dos puntos es el camino que puede recorrer en el menor tiempo.

La óptica geométrica a menudo se simplifica haciendo la aproximación paraxial o "aproximación de ángulo pequeño". El comportamiento matemático se vuelve entonces lineal, lo que permite describir componentes y sistemas ópticos mediante matrices simples. Esto conduce a las técnicas de óptica gaussiana y trazado de rayos paraxiales, que se utilizan para encontrar propiedades básicas de los sistemas ópticos, como posiciones y aumentos aproximados de imágenes y objetos.

Reflexión

Las superficies brillantes, como los espejos, reflejan la luz de una manera sencilla y predecible. Esto permite la producción de imágenes reflejadas que pueden asociarse con una ubicación real (real) o extrapolada (virtual) en el espacio.

Con tales superficies, la dirección del rayo reflejado está determinada por el ángulo que forma el rayo incidente con la superficie normal, una línea perpendicular a la superficie en el punto donde incide el rayo. Los rayos incidente y reflejado se encuentran en un solo plano y el ángulo entre el rayo reflejado y la normal a la superficie es el mismo que entre el rayo incidente y la normal. Esto se conoce como la Ley de la Reflexión.

Para los espejos planos, la ley de la reflexión implica que las imágenes de los objetos están verticales y a la misma distancia detrás del espejo que los objetos frente al espejo. El tamaño de la imagen es el mismo que el tamaño del objeto. (El aumento de un espejo plano es igual a uno). La ley también implica que las imágenes especulares tienen la paridad invertida, lo que se percibe como una inversión de izquierda a derecha.

Los espejos con superficies curvas se pueden modelar mediante trazado de rayos y utilizando la ley de reflexión en cada punto de la superficie. Para espejos con superficies parabólicas, los rayos paralelos que inciden sobre el espejo producen rayos reflejados que convergen en un foco común. Otras superficies curvas también pueden enfocar la luz, pero con aberraciones debido a la forma divergente que hace que el foco se difunda en el espacio. En particular, los espejos esféricos presentan aberración esférica. Los espejos curvos pueden formar imágenes con un aumento mayor o menor que uno, y la imagen puede estar vertical o invertida. Una imagen vertical formada por el reflejo en un espejo es siempre virtual, mientras que una imagen invertida es real y puede proyectarse en una pantalla.

Refracción

La reacción ocurre cuando la luz viaja a través de un área de espacio que tiene un índice cambiante de refracción. El caso más simple de refracción ocurre cuando hay una interfaz entre un medio uniforme con índice de refracción ${displaystyle n_{1}}$ y otro medio con índice de refracción ${displaystyle n_{2}}$ . En tales situaciones, la Ley de Snell describe la deflexión resultante del rayo de luz:

{displaystyle n_{1}sin theta _{1}=n_{2}sin theta _{2}}

{displaystyle theta _{1}}

{displaystyle theta _{2}}

{displaystyle v_{1}sin theta _{2} =v_{2}sin theta _{1}}

{displaystyle v_{1}}

{displaystyle v_{2}}

Varias consecuencias de la Ley de Snell incluyen el hecho de que para los rayos de luz que viajan desde un material con un alto índice de refracción a un material con un bajo índice de refracción, es posible que se produzca la interacción con la interfaz. en transmisión cero. Este fenómeno se llama reflexión interna total y permite la tecnología de fibra óptica. A medida que las señales de luz viajan a lo largo de un cable de fibra óptica, se someten a una reflexión interna total, lo que permite que prácticamente no se pierda luz a lo largo del cable. También es posible producir rayos de luz polarizados utilizando una combinación de reflexión y refracción: cuando un rayo refractado y el rayo reflejado forman un ángulo recto, el rayo reflejado tiene la propiedad de "polarización plana". El ángulo de incidencia requerido para tal escenario se conoce como ángulo de Brewster.

La ley de Snell se puede utilizar para predecir la desviación de los rayos de luz cuando pasan a través de "medios lineales"; siempre que se conozcan los índices de refracción y la geometría de los medios. Por ejemplo, la propagación de la luz a través de un prisma hace que el rayo de luz se desvíe dependiendo de la forma y orientación del prisma. Además, dado que diferentes frecuencias de luz tienen índices de refracción ligeramente diferentes en la mayoría de los materiales, la refracción se puede utilizar para producir espectros de dispersión que aparecen como arco iris. El descubrimiento de este fenómeno al pasar la luz a través de un prisma se atribuye a Isaac Newton.

Algunos medios tienen un índice de refracción que varía gradualmente con la posición y, por lo tanto, los rayos de luz se curvan a través del medio en lugar de viajar en línea recta. Este efecto es el responsable de los espejismos que se ven en los días calurosos, donde el índice cambiante de refracción del aire hace que los rayos de luz se doblen creando la apariencia de reflejos especulares en la distancia (como en la superficie de un charco de agua). El material que tiene un índice de refracción variable se denomina material de índice de gradiente (GRIN) y tiene muchas propiedades útiles que se utilizan en las tecnologías modernas de escaneo óptico, incluidas fotocopiadoras y escáneres. El fenómeno se estudia en el campo de la óptica de índice de gradiente.

Un diagrama de rastreo de rayos para una simple lente de convergencia.

Un dispositivo que produce rayos de luz convergentes o divergentes debido a la refracción se conoce como una lente. Las lentes finas producen puntos focales en ambos lados que se pueden modelar utilizando la ecuación del objetivo. En general existen dos tipos de lentes: lentes convexas, que provocan la convergencia de rayos de luz paralelos, y lentes de concave, que provocan la divergencia de rayos de luz paralelos. La predicción detallada de cómo las imágenes son producidas por estos lentes se puede hacer utilizando un rayo-tracing similar a los espejos curvados. De manera similar a los espejos curvados, los lentes delgados siguen una simple ecuación que determina la ubicación de las imágenes dada una longitud focal particular ( ${displaystyle f}$ ) y distancia objeto () ${displaystyle S_{1}}$ ):

{displaystyle {frac {1}{S_{1}}}+{frac {1}{S_{2}}}={frac {1}{f}}}

{displaystyle S_{2}}

Los rayos paralelos entrantes se enfocan mediante una lente convexa en una imagen real invertida a una distancia focal de la lente, en el lado más alejado de la lente.

Los rayos de un objeto a una distancia finita se enfocan más lejos de la lente que la distancia focal; cuanto más cerca está el objeto de la lente, más lejos está la imagen de la lente. Con lentes cóncavas, los rayos paralelos entrantes divergen después de atravesar la lente, de tal manera que parecen haberse originado en una imagen virtual vertical a una distancia focal de la lente, en el mismo lado de la lente por el que se acercan los rayos paralelos. .

Los rayos de un objeto a una distancia finita están asociados con una imagen virtual que está más cerca de la lente que la distancia focal y en el mismo lado de la lente que el objeto. Cuanto más cerca esté el objeto de la lente, más cerca estará la imagen virtual de la lente.

Rayos de un objeto a distancia finita se asocian con una imagen virtual que está más cerca del objetivo que la longitud focal, y en el mismo lado del objetivo como el objeto.

Del mismo modo, el aumento de una lente está dado por

{displaystyle M=-{frac {S_{2}}{S_{1}}}={frac {f}{f-S_{1}}}}

Las lentes sufren aberraciones que distorsionan las imágenes y los puntos focales. Estos se deben tanto a imperfecciones geométricas como al índice de refracción cambiante para diferentes longitudes de onda de luz (aberración cromática).

Matemáticas subyacentes

Como estudio matemático, la óptica geométrica surge como un límite de longitud de onda corta para soluciones de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas (método de Sommerfeld-Runge) o como una propiedad de propagación de discontinuidades de campo según las ecuaciones de Maxwell (método de Luneburg). ). En este límite de longitud de onda corta, es posible aproximar la solución localmente mediante

{displaystyle u(t,x)approx a(t,x)e^{i(kcdot x-omega t)}}

{displaystyle k,omega }

{displaystyle a(t,x)}

{displaystyle a_{0}(t,x)e^{ivarphi (t,x)/varepsilon }.}

{displaystyle varphi (t,x)/varepsilon }

{displaystyle k:=nabla _{x}varphi }

{displaystyle omega:=-partial _{t}varphi }

{displaystyle a_{0}}

{displaystyle varepsilon ,}

Método de Sommerfeld-Runge

El método de obtener ecuaciones de óptica geométrica al tomar el límite de longitud de onda cero fue descrito por Arnold Sommerfeld y J. Runge en 1911. Su derivación se basó en una observación oral de Peter Debye. Considere un campo de escalar monocromático ${displaystyle psi (mathbf {r}t)=phi (mathbf {r})e^{iomega t}}$ , donde ${displaystyle psi }$ puede ser cualquiera de los componentes del campo eléctrico o magnético y por lo tanto la función ${displaystyle phi }$ satisfacer la ecuación de onda

{displaystyle nabla ^{2}phi +k_{o}^{2}n(mathbf {r})^{2}phi =0}

{displaystyle k_{o}=omega /c=2pi /lambda _{o}}

{displaystyle c}

{displaystyle n(mathbf {r})}

{displaystyle phi =A(k_{o},mathbf {r})e^{ik_{o}S(mathbf {r})}}

{displaystyle -k_{o}^{2}A[(nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(nabla Scdot nabla A)+ik_{o}Anabla ^{2}S+nabla ^{2}A=0.}

Desde el principio subyacente de la óptica geométrica se encuentra en el límite ${displaystyle lambda _{o}sim k_{o}^{-1}rightarrow 0}$ , se asume la siguiente serie asintotica,

{displaystyle A(k_{o},mathbf {r})=sum _{m=0}^{infty }{frac {A_{m}(mathbf {r})}{(ik_{o})^{m}}}}

Para el valor grande pero finito de ${displaystyle k_{o}}$ , la serie se divierte, y hay que tener cuidado en mantener sólo los primeros términos apropiados. Por cada valor ${displaystyle k_{o}}$ , se puede encontrar un número óptimo de términos a mantener y añadir más términos que el número óptimo podría resultar en una aproximación más baja. Sustituir la serie en la ecuación y recoger términos de diferentes órdenes, se encuentra

{displaystyle {begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&quad (nabla S)^{2}=n^{2},\[1ex]O(k_{o}):&quad 2nabla Scdot nabla A_{0}+A_{0}nabla ^{2}S=0,\[1ex]O(1):&quad 2nabla Scdot nabla A_{1}+A_{1}nabla ^{2}S=-nabla ^{2}A_{0},end{aligned}}}

{displaystyle O(k_{o}^{1-m}):quad 2nabla Scdot nabla A_{m}+A_{m}nabla ^{2}S=-nabla ^{2}A_{m-1}.}

La primera ecuación se conoce como ecuación eikonal, que determina el eikonal ${displaystyle S(mathbf {r})}$ es una ecuación Hamilton-Jacobi, escrita por ejemplo en coordenadas cartesianas se convierte

{displaystyle left({frac {partial S}{partial x}}right)^{2}+left({frac {partial S}{partial y}}right)^{2}+left({frac {partial S}{partial z}}right)^{2}=n^{2}.}

Las ecuaciones restantes determinan las funciones ${displaystyle A_{m}(mathbf {r})}$ .

Método de Luneburg

El método de obtener ecuaciones de óptica geométrica analizando superficies de discontinuidades de soluciones a las ecuaciones de Maxwell fue descrito por primera vez por Rudolf Karl Luneburg en 1944. No restringe el campo electromagnético tener una forma especial requerida por el método Sommerfeld-Runge que asume la amplitud ${displaystyle A(k_{o},mathbf {r})}$ y fase ${displaystyle S(mathbf {r})}$ satisfacer la ecuación ${textstyle lim _{k_{0}to infty }{frac {1}{k_{0}}}left({frac {1}{A}},nabla Scdot nabla A+{frac {1}{2}}nabla ^{2}Sright)=0}$ . Esta condición está satisfecha por ej. ondas de avión pero no es aditiva.

La principal conclusión del enfoque de Luneburg es la siguiente:

Teorema. Supongamos los campos ${displaystyle mathbf {E} (x,y,z,t)}$ y ${displaystyle mathbf {H} (x,y,z,t)}$ (en un medio isotrópico lineal descrito por constantes dieléctricas ${displaystyle varepsilon (x,y,z)}$ y ${displaystyle mu (x,y,z)}$ ) tienen discontinuidades finitas a lo largo de una (moviendo) superficie en ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ descrito por la ecuación ${displaystyle psi (x,y,z)-ct=0}$ . Entonces las ecuaciones de Maxwell en la forma integral implican que ${displaystyle psi }$ satisfice la ecuación eikonal:

{displaystyle psi _{x}^{2}+psi _{y}^{2}+psi _{z}^{2}=varepsilon mu =n^{2},}

{displaystyle n}

Un ejemplo de tal superficie de discontinuidad es el frente de onda inicial que emana de una fuente que comienza a irradiar en un determinado instante de tiempo.

Las superficies de discontinuidad de campo se convierten así en frentes de onda de óptica geométrica con los campos ópticos geométricos correspondientes definidos como:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=mathbf {E} (x,y,z,psi (x,y,z)/c)\[1ex]mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=mathbf {H} (x,y,z,psi (x,y,z)/c)end{aligned}}}

Esos campos obedecen a ecuaciones de transporte consistentes con las ecuaciones de transporte del enfoque de Sommerfeld-Runge. Los rayos de luz en la teoría de Luneburg se definen como trayectorias ortogonales a las superficies de discontinuidad y se puede demostrar que obedecen el principio de tiempo mínimo de Fermat, estableciendo así la identidad de esos rayos con los rayos de luz de la óptica estándar.

Los desarrollos anteriores se pueden generalizar a medios anisotrópicos.

La demostración del teorema de Luneburg se basa en investigar cómo las ecuaciones de Maxwell gobiernan la propagación de discontinuidades de soluciones. El lema técnico básico es el siguiente:

Un lema técnico. Vamos. ${displaystyle varphi (x,y,z,t)=0}$ ser una hipersuperficie (un triple tridimensional) en tiempo espacial ${displaystyle mathbf {R} ^{4}}$ sobre cuál de: ${displaystyle mathbf {E} (x,y,z,t)}$ , ${displaystyle mathbf {H} (x,y,z,t)}$ , ${displaystyle varepsilon (x,y,z)}$ , ${displaystyle mu (x,y,z)}$ Ten una discontinuidad finita. Luego en cada punto de la hipersuperficie se sostienen las siguientes fórmulas:

{displaystyle {begin{aligned}nabla varphi cdot [varepsilon mathbf {E} ]&=0\[1ex]nabla varphi cdot [mu mathbf {H} ]&=0\[1ex]nabla varphi times [mathbf {E} ]+{frac {1}{c}},varphi _{t},[mu mathbf {H} ]&=0\[1ex]nabla varphi times [mathbf {H} ]-{frac {1}{c}},varphi _{t},[varepsilon mathbf {E} ]&=0end{aligned}}}

{displaystyle nabla }

{displaystyle xyz}

{displaystyle t}

{displaystyle nabla varphi }

desde

Boceto de la prueba. Comience con las ecuaciones de Maxwell lejos de las fuentes (unidades gaussianas):

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot varepsilon mathbf {E} =0\[1ex]nabla cdot mu mathbf {H} =0\[1ex]nabla times mathbf {E} +{tfrac {mu }{c}},mathbf {H} _{t}=0\[1ex]nabla times mathbf {H} -{tfrac {varepsilon }{c}},mathbf {E} _{t}=0end{aligned}}}

Usando el teorema de Stokes ${displaystyle mathbf {R} ^{4}}$ uno puede concluir desde la primera de las ecuaciones anteriores que para cualquier dominio ${displaystyle D}$ dentro ${displaystyle mathbf {R} ^{4}}$ con un borde liso (3-dimensional) ${displaystyle Gamma }$ lo siguiente es cierto:

{displaystyle oint _{Gamma }(mathbf {M} cdot varepsilon mathbf {E}),dS=0}

{displaystyle mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}

{displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}

{displaystyle Gamma }

{displaystyle t={rm {const}}}

{displaystyle dS}

{displaystyle Gamma }

{displaystyle {begin{aligned}oint _{Gamma }left(mathbf {M} cdot mu mathbf {H} right)dS&=0\[1.55ex]oint _{Gamma }left(mathbf {M} times mathbf {E} +{frac {mu }{c}},t_{N},mathbf {H} right)dS&=0\[1.55ex]oint _{Gamma }left(mathbf {M} times mathbf {H} -{frac {varepsilon }{c}},t_{N},mathbf {E} right)dS&=0end{aligned}}}

Ahora considerando pequeñas subsuperficies arbitrarias ${displaystyle Gamma _{0}}$ de ${displaystyle Gamma }$ y estableciendo pequeños barrios que rodean ${displaystyle Gamma _{0}}$ dentro ${displaystyle mathbf {R} ^{4}}$ , y restando las integrales anteriores en consecuencia, se obtiene:

{displaystyle {begin{aligned}int _{Gamma _{0}}(nabla varphi cdot [varepsilon mathbf {E} ]),{dS over |nabla ^{4D}varphi |}&=0\[1ex]int _{Gamma _{0}}(nabla varphi cdot [mu mathbf {H} ]),{dS over |nabla ^{4D}varphi |}&=0\[1ex]int _{Gamma _{0}}left(nabla varphi times [mathbf {E} ]+{1 over c},varphi _{t},[mu mathbf {H} ]right),{frac {dS}{|nabla ^{4D}varphi |}}&=0\[1ex]int _{Gamma _{0}}left(nabla varphi times [mathbf {H} ]-{1 over c},varphi _{t},[varepsilon mathbf {E} ]right),{frac {dS}{|nabla ^{4D}varphi |}}&=0end{aligned}}}

{displaystyle nabla ^{4D}}

{displaystyle xyzt}

{displaystyle Gamma _{0}}

Ahora es fácil demostrar que a medida que se propagan a través de un medio continuo, las superficies de discontinuidad obedecen a la ecuación eikonal. Específicamente, si ${displaystyle varepsilon }$ y ${displaystyle mu }$ son continuos, luego las discontinuidades de ${displaystyle mathbf {E} }$ y ${displaystyle mathbf {H} }$ satisfacción: ${displaystyle [varepsilon mathbf {E} ]=varepsilon [mathbf {E} ]}$ y ${displaystyle [mu mathbf {H} ]=mu [mathbf {H} ]}$ . En este caso las dos últimas ecuaciones de la lema se pueden escribir como:

{displaystyle {begin{aligned}nabla varphi times [mathbf {E} ]+{mu over c},varphi _{t},[mathbf {H} ]&=0\[1ex]nabla varphi times [mathbf {H} ]-{varepsilon over c},varphi _{t},[mathbf {E} ]&=0end{aligned}}}

Tomando el producto cruzado de la segunda ecuación con ${displaystyle nabla varphi }$ y sustitución de los primeros rendimientos:

{displaystyle nabla varphi times (nabla varphi times [mathbf {H} ])-{varepsilon over c},varphi _{t},(nabla varphi times [mathbf {E} ])=(nabla varphi cdot [mathbf {H} ]),nabla varphi -|nabla varphi |^{2},[mathbf {H} ]+{varepsilon mu over c^{2}}varphi _{t}^{2},[mathbf {H} ]=0}

La continuidad de ${displaystyle mu }$ y la segunda ecuación de la lema implican: ${displaystyle nabla varphi cdot [mathbf {H} ]=0}$ , por lo tanto, para los puntos acostados en la superficie ${displaystyle varphi =0}$ sólo:

{displaystyle |nabla varphi |^{2}={varepsilon mu over c^{2}}varphi _{t}^{2}}

(Observe que la presencia de la discontinuidad es esencial en este paso, ya que de lo contrario estaríamos dividiendo por cero).

Debido a las consideraciones físicas uno puede asumir sin pérdida de generalidad que ${displaystyle varphi }$ es de la siguiente forma: ${displaystyle varphi (x,y,z,t)=psi (x,y,z)-ct}$ , es decir, una superficie 2D que se mueve a través del espacio, modelada como superficies de nivel ${displaystyle psi }$ . (Mathematically ${displaystyle psi }$ existe si ${displaystyle varphi _{t}neq 0}$ por el teorema de función implícita.) La ecuación anterior escrita en términos de ${displaystyle psi }$ se convierte en: