Óptica de Fourier

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óptica de Fourier es el estudio de la óptica clásica utilizando transformadas de Fourier (FT), en las que la forma de onda considerada se considera compuesta por una combinación, o superposición, de ondas planas. Tiene algunos paralelismos con el principio de Huygens-Fresnel, en el que se considera que el frente de onda está formado por una combinación de frentes de onda esféricos (también llamados frentes de fase) cuya suma es el frente de onda que se estudia. Una diferencia clave es que la óptica de Fourier considera que las ondas planas son modos naturales del medio de propagación, a diferencia de Huygens-Fresnel, donde las ondas esféricas se originan en el medio físico.

Se puede sintetizar un frente de fase curvo a partir de un número infinito de estos "modos naturales" es decir, desde frentes de fase de ondas planas orientadas en diferentes direcciones en el espacio. Lejos de sus fuentes, una onda esférica en expansión es localmente tangente a un frente de fase plana (una sola onda plana fuera del espectro infinito), que es transversal a la dirección radial de propagación. En este caso, se crea un patrón de difracción de Fraunhofer, que emana de un único centro de fase de onda esférica. En el campo cercano, no existe un único centro de fase de onda esférica bien definido, por lo que el frente de onda no es localmente tangente a una bola esférica. En este caso, se crearía un patrón de difracción de Fresnel, que emana de una fuente extendida, que consiste en una distribución de fuentes de ondas esféricas (físicamente identificables) en el espacio. En el campo cercano, se necesita un espectro completo de ondas planas para representar la onda de campo cercano de Fresnel, incluso localmente. Un "ancho" La onda que avanza (como una ola oceánica en expansión que se acerca a la costa) puede considerarse como un número infinito de "modos de onda plana", todos los cuales podrían (cuando chocan con algo en el camino) dispersarse independientemente de uno mas. Estas simplificaciones y cálculos matemáticos son el ámbito del análisis y la síntesis de Fourier: juntos, pueden describir lo que sucede cuando la luz pasa a través de varias rendijas, lentes o espejos curvados de una forma u otra, o se refleja total o parcialmente.

La óptica de Fourier forma gran parte de la teoría detrás de las técnicas de procesamiento de imágenes, además de encontrar aplicaciones en las que es necesario extraer información de fuentes ópticas, como en la óptica cuántica. Para decirlo de una manera un poco más compleja, similar al concepto de frecuencia y tiempo utilizado en la teoría tradicional de la transformada de Fourier, la óptica de Fourier hace uso del dominio de la frecuencia espacial (k_x, k_y) como el conjugado de la espacial (x, y). Los términos y conceptos tales como la teoría de la transformada, el espectro, el ancho de banda, las funciones de ventana y el muestreo del procesamiento de señales unidimensionales se usan comúnmente.

Propagación de la luz en medios homogéneos y sin fuentes

La luz se puede describir como una forma de onda que se propaga a través de un espacio libre (vacío) o un medio material (como el aire o el vidrio). Matemáticamente, un componente de valor real de un campo vectorial que describe una onda se representa mediante una función de onda escalar u que depende tanto del espacio como del tiempo:

{displaystyle u=u(mathbf {r}t)}

{displaystyle mathbf {r} =(x,y,z)}

La ecuación de onda

La óptica de Fourier comienza con la ecuación de onda escalar homogénea (válida en regiones sin fuentes):

{displaystyle left(nabla ^{2}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial {t}^{2}}}right)u(mathbf {r}t)=0.}

c

urtu()r, t) E_i()r, t)i = x, Sí., o zE_iiE

Estado estacionario sinusoidal

Si se asume la luz de una frecuencia fija en el tiempo / longitud de onda/color (como de un láser de monomodo) entonces, basado en la convención del tiempo de ingeniería, que asume una ${displaystyle e^{iomega t}}$ tiempo de dependencia en las soluciones de onda en la frecuencia angular ${displaystyle omega =2pi f}$ con ${displaystyle f=1/tau }$ Donde $tau$ es un período de tiempo de las olas, la forma de tiempo-armónica del campo óptico se da como

{displaystyle u(mathbf {r}t)=operatorname {Re} left{psi (mathbf {r})e^{iomega t}right}.}

i

{displaystyle operatorname {Re} left{xright}}

x

{displaystyle omega =2pi f}

{displaystyle psi (mathbf {r})=a(mathbf {r})e^{iphi (mathbf {r})}}

a

phi

La ecuación de Helmholtz

Al sustituir esta expresión en la ecuación de onda escalar anterior, se obtiene la forma independiente del tiempo de la ecuación de onda,

{displaystyle operatorname {Re} left{left(nabla ^{2}+k^{2}right)psi (mathbf {r})right}=0}

{displaystyle k={omega over c}={2pi over lambda }}

lambda

{displaystyle psi (mathbf {r})}

k

omega

Desde la solución original de valor real ${displaystyle u(mathbf {r}t)}$ de la ecuación de onda escalar se puede obtener simplemente tomando la parte real de ${displaystyle psi (mathbf {r})e^{iomega t}}$ , resolver la siguiente ecuación, conocida como la ecuación de Helmholtz, se preocupa principalmente por tratar una función de valor complejo es a menudo mucho más fácil que tratar la función de valor real correspondiente.

{displaystyle left(nabla ^{2}+k^{2}right)psi (mathbf {r})=0.}

Resolviendo la ecuación de Helmholtz

Las soluciones a la ecuación de Helmholtz en el sistema de coordenadas cartesianas se pueden encontrar fácilmente a través del principio de separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales. Este principio dice que en coordenadas ortogonales separables, se puede construir una solución de producto elemental para esta ecuación de onda de la siguiente forma:

{displaystyle psi (x,y,z)=f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)}

xSí.zSolución de producto elemental

{displaystyle nabla ^{2}psi ={frac {partial ^{2}psi }{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}psi }{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}psi }{partial z^{2}}},}

{displaystyle f_{x}''(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}''(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}''(z)+k^{2}f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)=0}

{displaystyle {frac {f_{x}''(x)}{f_{x}(x)}}+{frac {f_{y}''(y)}{f_{y}(y)}}+{frac {f_{z}''(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}

Ahora se puede argumentar que cada cociente en la ecuación anterior debe, necesariamente, ser constante. Para justificar esto, digamos que el primer cociente no es una constante y es una función de x. Dado que ninguno de los otros términos de la ecuación depende de la variable x, el primer término tampoco debe tener ninguna dependencia de x; debe ser una constante. (Si el primer término es una función de x, entonces no hay forma de hacer que el lado izquierdo de esta ecuación sea cero). Esta constante se denota como -k _x². Razonando de manera similar para los cocientes y y z, se obtienen tres ecuaciones diferenciales ordinarias para el f_x, f_y y f_z, junto con una condición de separación:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d^{2}}{dx^{2}}}f_{x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)&=0\[1pt]{frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y}(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)&=0\[1pt]{frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z}(z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)&=0\[3pt]k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}&=k^{2}end{aligned}}}

Cada una de estas 3 ecuaciones diferenciales tiene la misma forma de solución: pecados, cosines o exponenciales complejos. Iremos con el complejo exponencial como ${displaystyle psi (x,y,z)}$ para ser una función compleja. Como resultado, la solución de producto elemental ${displaystyle psi (x,y,z)}$ es

{displaystyle {begin{aligned}psi (x,y,z)&=Ae^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{pm iz{sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}end{aligned}}}

A

E_x

E_{y}

E_z

{displaystyle k_{i}}

{displaystyle i=x}

y

z

{displaystyle k_{i}}

{displaystyle i=x}

y

z

{displaystyle mathbf {k} =k_{x}{hat {mathbf {x} }}+k_{y}{hat {mathbf {y} }}+k_{z}{hat {mathbf {z} }}}

{textstyle left|mathbf {k} right|=k={omega over c}={2pi over lambda }}

i

{displaystyle i=x}

y

z

{displaystyle k_{i}}

i

{displaystyle i=x}

y

z

Las soluciones de productos para la ecuación de Helmholtz también se obtienen fácilmente en coordenadas cilíndricas y esféricas, lo que genera armónicos cilíndricos y esféricos (los sistemas de coordenadas separables restantes se usan con mucha menos frecuencia).

La solución completa: la integral de superposición

Una solución general a la ecuación de onda electromagnética homogénea a una frecuencia de tiempo fijo $f$ en el sistema de coordenadas cartesiano se puede formar como una superposición ponderada de todas las posibles soluciones de onda plana elemental como

{displaystyle psi (x,y,z)=int _{-infty }^{+infty }int _{-infty }^{+infty }Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~e^{pm iz{sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}~dk_{x}dk_{y}}

()2.1)

con las limitaciones ${displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}$ , cada uno ${displaystyle k_{i}}$ como un número real, y ${displaystyle k={omega over c}={2pi over lambda }}$ Donde $omega =2pi f$ . En esta superposición, ${displaystyle Psi _{0}(k_{x},k_{y})}$ es el factor de peso o la amplitud del componente de onda plana con el vector de onda ${displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$ Donde $k_{z}$ se determina en términos de $k_x$ y $k_{y}$ por la restricción mencionada.

A continuación, vamos

{displaystyle psi _{0}(x,y)=psi (x,y,z)|_{z=0}.}

{displaystyle psi _{0}(x,y)=int _{-infty }^{+infty }int _{-infty }^{+infty }Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}

La representación del espectro de ondas planas de un campo electromagnético general (por ejemplo, una onda esférica) en la ecuación (2.1) es el fundamento básico de la óptica de Fourier (este punto no se puede enfatizar lo suficiente), porque en z = 0, la ecuación simplemente se convierte en una relación de transformada de Fourier (FT) entre el campo y su contenido de onda plana (de ahí el nombre, óptica de Fourier).

Así:

{displaystyle Psi _{0}(k_{x},k_{y})={mathcal {F}}{psi _{0}(x,y)}}

{displaystyle psi _{0}(x,y)={mathcal {F}}^{-1}{Psi _{0}(k_{x},k_{y})}}

Toda dependencia espacial de cada componente de onda plana se describe explícitamente por una función exponencial. El coeficiente del exponencial es una función de sólo dos componentes del vector de onda para cada onda de plano (ya que otro componente se puede determinar a través de las limitaciones mencionadas anteriormente), por ejemplo $k_x$ y $k_{y}$ , al igual que en el análisis ordinario Fourier y Fourier se transforma.

Conexión entre óptica de Fourier y resolución de imagen

Consideremos un sistema de imagen en el que el eje z es el eje óptico del sistema y el plano objeto (para ser imagenado en el plano de imagen del sistema) es el plano en $z=0$ . En el plano objeto, la parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo de una ola es, como se muestra anteriormente, ${textstyle psi _{0}(x,y)=int _{-infty }^{+infty }int _{-infty }^{+infty }Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$ con el limitaciones de $k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}$ , cada uno ${displaystyle k_{i}}$ como un número real, y $k={omega over c}={2pi over lambda }$ Donde $omega =2pi f$ . La imagen es la reconstrucción de una ola en el plano objeto (teniendo información sobre un patrón en el plano objeto a ser imagenado) en el plano de la imagen a través de la adecuada propagación de onda del objeto a los planos de la imagen, (por ejemplo, piensa en la imagen de una imagen en un espacio aéreo.) y la ola en el plano objeto, que sigue completamente el patrón a ser imagenado, es en principio, descrito por el sin restricciones inverso Fourier transform ${textstyle psi _{0,{text{unc}}}(x,y)=int _{-infty }^{+infty }int _{-infty }^{+infty }Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$ Donde ${displaystyle k_{i}}$ toma un rango infinito de números reales. Significa que, para una frecuencia de luz dada, sólo una parte de la característica completa del patrón puede ser imagenada debido a las limitaciones mencionadas anteriormente ${displaystyle k_{i}}$ ; (1) una característica fina que la representación en la transformación inversa Fourier requiere frecuencias espaciales ${textstyle {frac {k_{T}}{2pi }}}$ , donde ${displaystyle k_{T}}$ son números de onda transversal satisfactoria ${displaystyle k_{T}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}geq k^{2}}$ , no se puede imaginar completamente desde olas con tales ${displaystyle k_{T}}$ no existen para la luz dada de $k$ (Este fenómeno se conoce como límite de difracción), y (2) frecuencias espaciales con $<math alttext="{displaystyle k_{T}kT.k{displaystyle ¿Qué?<img alt="{displaystyle k_{T}$ pero cerca $k$ así que los ángulos de salida de onda más altos con respecto al eje óptico, requiere un sistema de imagen de alta NA (Apertura Núclea) que es costoso y difícil de construir. Para (1), incluso si números de onda longitudinal de valor complejo $k_{z}$ se permiten (por una interacción desconocida entre la luz y el patrón de plano objeto que es generalmente un material sólido), $k_{z}$ dar lugar a la decadencia ligera a lo largo de la $z$ eje (Amplificación ligera a lo largo del $z$ axis no tiene sentido físicamente si no hay material de amplificación entre el objeto y los planos de imagen, y este es un caso habitual.) así que olas con tal $k_{z}$ puede no llegar al plano de imagen que suele estar suficientemente lejos del plano objeto.

En relación con la fotolitografía de componentes electrónicos, estos (1) y (2) son las razones por las que la luz de una frecuencia superior (longitud de onda más pequeña, por lo tanto mayor magnitud de $k$ ) o un sistema de imagen NA superior se requiere para las características más finas de imagen de circuitos integrados en un fotoresista en una olla. Como resultado, las máquinas que realizan tal litografía óptica se han vuelto cada vez más complejas y costosas, aumentando significativamente el costo de la producción de componentes electrónicos.

La aproximación paraxial

Propagación de onda paraxial (eje óptico asumido como eje z)

Se supone que una solución a la ecuación de Helmholtz como la parte espacial de un componente cartesiano de valor complejo de una onda de frecuencia única toma la forma:

{displaystyle psi (mathbf {r})=A(mathbf {r})e^{-imathbf {k} cdot mathbf {r} }}

mathbf {k}

{displaystyle mathbf {k} cdot mathbf {r} =k_{x}mathbf {x} +k_{y}mathbf {y} +k_{z}mathbf {z} }

{displaystyle k=|mathbf {k} |={sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}={omega over c}}

{displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}ll k_{z}^{2}}

{displaystyle {begin{aligned}sin theta &approx theta \tan theta &approx theta \cos theta &approx 1-theta ^{2}/2end{aligned}}}

Donde $theta$ es el ángulo (en radian) entre el vector de onda k y el eje z como eje óptico de un sistema óptico en discusión.

Como resultado,

{displaystyle k_{z}=kcos theta approx k(1-theta ^{2}/2)}

{displaystyle psi (mathbf {r})approx A(mathbf {r})e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikztheta ^{2}/2}e^{-ikz}}

La ecuación de onda paraxial

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Helmholtz, se obtiene la ecuación de onda paraxial:

{displaystyle nabla _{T}^{2}A-2ik{partial A over partial z}=0}

{displaystyle nabla _{T}^{2}=nabla ^{2}-{partial ^{2} over partial z^{2}}={partial ^{2} over partial x^{2}}+{partial ^{2} over partial y^{2}}}

$theta$ es pequeño ( ${displaystyle theta ll 1}$ Así que un término con ${displaystyle theta ^{2}}$ es ignorado.
Términos con ${displaystyle 2k_{x}}$ y ${displaystyle 2k_{y}}$ son mucho más pequeños que un término con $2k$ (o ${displaystyle 2k_{z}}$ Así que estos dos términos son ignorados.
${textstyle left|{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}A(mathbf {r})right|ll left|k{frac {partial }{partial z}}A(mathbf {r})right|}$ un término con ${textstyle {frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}A(mathbf {r})}$ es ignorado. Es la aproximación de sobre que varía lentamente, significa que la amplitud o el sobre de una onda ${displaystyle A(mathbf {r})}$ variando lentamente en comparación con el período mayor de la ola ${textstyle lambda ={frac {2pi }{k}}}$ .

La aproximación de campo lejano

La ecuación2.1) arriba se puede evaluar asintomáticamente en el campo lejano (utilizando el método de fase estacionaria) para mostrar que el campo en un punto distante $(x,y,z)$ se debe en verdad solamente al componente de onda de plano con el vector de onda ${displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$ que propaga paralelo al vector $(x,y,z)$ , y cuyo plano es tangente al frente de fase en $(x,y,z)$ . Los detalles matemáticos de este proceso pueden encontrarse en Scott [1998] o Scott [1990]. El resultado de la integración estacionaria en la expresión anterior es la siguiente expresión:

{displaystyle E_{u}(r,thetaphi)~=~2pi i~(k~cos theta)~{frac {e^{-ikr}}{r}}~E_{u}(k~sin theta ~cos phik~sin theta ~sin phi)}

()2.2)

que indica claramente que el campo $(x,y,z)$ es directamente proporcional al componente espectral en la dirección $(x,y,z)$ , donde,

${textstyle x=r~sin theta ~cos phi }$
${textstyle y=r~sin theta ~sin phi }$
${textstyle z=r~cos theta ~}$

${textstyle k_{x}=k~sin theta ~cos phi }$
${textstyle k_{y}=k~sin theta ~sin phi }$
${textstyle k_{z}=k~cos theta ~}$

De otro modo, el patrón de radiación de cualquier distribución de campo planar es el FT (Fourier Transform) de esa distribución de origen (ver Huygens – principio del túnel, donde la misma ecuación se desarrolla utilizando un enfoque de función de Green). Tenga en cuenta que NO es una ola de avión. El ${displaystyle {frac {e^{-ikr}}{r}}}$ La dependencia radial es una onda esférica - tanto en magnitud como en fase - cuya amplitud local es el FT de la distribución de plano fuente en ese ángulo de campo lejano. Un espectro de onda plana no significa necesariamente que el campo como la superposición de los componentes de onda de avión en ese espectro se comporta algo como una onda de avión a distancias muy lejanas.

Ancho de banda espacial versus ancho de banda angular

La ecuación (2.2) anterior es crítica para hacer la conexión entre ancho de banda espacial (por un lado) y angular ancho de banda (por el otro), en el campo lejano. Tenga en cuenta que el término "campo lejano" generalmente significa que estamos hablando de una onda esférica convergente o divergente con un centro de fase bastante bien definido. La conexión entre el ancho de banda espacial y angular en el campo lejano es esencial para comprender la propiedad de filtrado de paso bajo de las lentes delgadas. Consulte la sección 6.1.3 para conocer la condición que define la región de campo lejano.

Una vez que se entiende el concepto de ancho de banda angular, el científico óptico puede "saltar de un lado a otro" entre los dominios espacial y espectral para obtener rápidamente conocimientos que normalmente no estarían tan fácilmente disponibles solo a través del dominio espacial o las consideraciones de la óptica de rayos. Por ejemplo, cualquier ancho de banda de fuente que se encuentre más allá del ángulo de borde de la primera lente (este ángulo de borde establece el ancho de banda del sistema óptico) no será capturado por el sistema para ser procesado.

Como nota al margen, los científicos electromagnéticos han ideado un medio alternativo para calcular un campo eléctrico en una zona lejana que no implica la integración de fase estacionaria. Han ideado un concepto conocido como "corrientes magnéticas ficticias" generalmente denotado por M, y definido como

{displaystyle mathbf {M} ~=~2mathbf {E} ^{text{aper}}times mathbf {hat {z}}.}

El espectro de ondas planas: la base de la óptica de Fourier

La óptica de Fourier es algo diferente de la óptica de rayos ordinaria que se suele utilizar en el análisis y diseño de sistemas de imágenes enfocadas, como cámaras, telescopios y microscopios. La óptica de rayos es el primer tipo de óptica que la mayoría de nosotros encontramos en nuestras vidas; es simple de conceptualizar y comprender, y funciona muy bien para obtener una comprensión básica de los dispositivos ópticos comunes. Desafortunadamente, la óptica de rayos no explica el funcionamiento de los sistemas ópticos de Fourier, que en general no son sistemas enfocados. La óptica de rayos es un subconjunto de la óptica de ondas (en la jerga, es "el límite asintótico de longitud de onda cero" de la óptica de ondas) y, por lo tanto, tiene una aplicabilidad limitada. Tenemos que saber cuándo es válido y cuándo no, y este es uno de esos momentos en los que no lo es. Para nuestra tarea actual, debemos ampliar nuestra comprensión de los fenómenos ópticos para abarcar la óptica ondulatoria, en la que el campo óptico se considera una solución a las ecuaciones de Maxwell. Esta óptica de ondas más general explica con precisión el funcionamiento de los dispositivos de óptica de Fourier.

En esta sección, no regresaremos a las ecuaciones de Maxwell, sino que comenzaremos con la ecuación homogénea de Helmholtz (válida en medios sin fuente), que es un nivel de refinamiento a partir de las ecuaciones de Maxwell (Scott [1998]). A partir de esta ecuación, mostraremos cómo infinitas ondas planas uniformes comprenden una solución de campo (de muchas posibles) en el espacio libre. Estas ondas planas uniformes forman la base para comprender la óptica de Fourier.

El concepto de espectro de ondas planas es la base básica de Fourier Optics. El espectro de ondas de avión es un espectro continuo uniforme olas de avión, y hay un componente de onda de avión en el espectro para cada punto tangente en el frente de fase de campo lejano. La amplitud de ese componente de onda plana sería la amplitud del campo óptico en ese punto tangente. De nuevo, esto es verdad sólo en el campo lejano, aproximadamente definido como el rango más allá ${displaystyle 2D^{2}/lambda }$ Donde $D$ es la extensión lineal máxima de las fuentes ópticas y $lambda$ es la longitud de onda (Scott [1998]). El espectro de ondas planas se considera a menudo como discreto para ciertos tipos de rejillas periódicas, aunque en realidad, los espectros de las rejillas son continuos también, ya que ningún dispositivo físico puede tener la extensión infinita necesaria para producir un verdadero espectro de línea.

Al igual que las señales eléctricas, ancho de banda en óptica es una medida de lo finamente detallado que es una imagen; cuanto más fino sea el detalle, mayor será el ancho de banda requerido para representarla. Una señal eléctrica DC (Direct Current) es constante y no tiene oscilaciones; una onda plana que se propaga paralelamente a la óptica ( $z$ ) eje tiene valor constante en cualquier x-Sí. plano, y por lo tanto es análogo al componente DC (constante) de una señal eléctrica. El ancho de banda en las señales eléctricas se relaciona con la diferencia entre las frecuencias más altas y más bajas presentes en el espectro de una señal, prácticamente con un criterio para cortar los bordes de alta y baja frecuencia del espectro para representar ancho de banda en un número. Para óptica sistemas, ancho de banda también se relaciona con el contenido de frecuencia espacial (ancho de banda espacial), pero también tiene un significado secundario. También mide lo lejos del eje óptico las ondas de avión correspondientes están inclinadas, por lo que este tipo de ancho de banda se conoce a menudo también como ancho de banda angular. Se necesita más ancho de banda de frecuencia para producir un pulso corto en un circuito eléctrico, y más ancho de banda angular (o, frecuencia espacial) para producir un punto agudo en un sistema óptico (ver discusión relacionada con la función de extensión Point).

El espectro de onda plana surge naturalmente como la solución eigenfunction o "modo natural" a la ecuación homogénea de onda electromagnética en coordenadas rectangulares (ver también radiación electromagnética, que deriva la ecuación de onda de las ecuaciones de Maxwell en medios libres de fuente, o Scott [1998]). En el dominio de frecuencia, con una convención de tiempo asumido ${displaystyle e^{iomega t}}$ , la ecuación de onda electromagnética homogénea se convierte en lo que se conoce como la ecuación de Helmholtz y toma la forma

{displaystyle nabla ^{2}E_{u}+k^{2}E_{u}=0}

()2.3)

Donde ${displaystyle u=x,y,z}$ y $k=2pi /lambda$ es el número de onda del medio.

Soluciones de función propia (modo natural): antecedentes y descripción general

En el caso de las ecuaciones diferenciales, como en el caso de las ecuaciones matriciales, siempre que el lado derecho de una ecuación sea cero (por ejemplo, una función de fuerza, un vector de fuerza o la fuente de una fuerza es cero)., la ecuación aún puede admitir una solución no trivial, conocida en matemáticas aplicadas como una solución de función propia, en física como un "modo natural" solución, y en la teoría de circuitos eléctricos como la "respuesta de entrada cero". Este es un concepto que abarca una amplia gama de disciplinas físicas. Ejemplos físicos comunes de modos naturales resonantes incluirían los modos vibratorios resonantes de instrumentos de cuerda (1D), instrumentos de percusión (2D) o el antiguo puente de Tacoma Narrows (3D). Ejemplos de modos naturales de propagación incluirían modos de guía de ondas, modos de fibra óptica, solitones y ondas de Bloch. un medio homogéneo infinito admite las soluciones armónicas rectangulares, circulares y esféricas de la ecuación de Helmholtz, según el sistema de coordenadas considerado. Las ondas planas de propagación que estudiaremos en este artículo son quizás el tipo más simple de ondas de propagación que se encuentran en cualquier tipo de medio.

Existe una sorprendente similitud entre la ecuación de Helmholtz (2.3) anterior, que puede escribirse

{displaystyle left(nabla ^{2}+k^{2}right)f=0,}

{displaystyle left(mathbf {A} -lambda mathbf {I} right)mathbf {x} =0,}

especialmente desde el escalar Laplacian $nabla ^{2}$ y la matriz A son operadores lineales en sus respectivas funciones / espacios vectoriales. (El signo menos en esta ecuación matriz es, para todos los propósitos y propósitos, inmaterial. Sin embargo, el signo más en la ecuación de Helmholtz es significativo.) Tal vez vale la pena señalar que las soluciones eigenfunction / soluciones eigenvector a la ecuación de Helmholtz / la ecuación de matriz, a menudo producen un conjunto ortogonal de las eigenfunctions / los eigenvectores que abarcan (es decir, forman una base para) el espacio de función / espacio vectorial bajo consideración. El lector interesado puede investigar otros operadores lineales funcionales (también para diferentes ecuaciones que la ecuación de Helmholtz) que dan lugar a diferentes tipos de eigenfunciones ortogonales tales como polinomios Legendre, polinomios Chebyshev y polinomios Hermite.

En el caso de la ecuación matriz A es una matriz cuadrada, eigenvalues $lambda$ puede encontrarse estableciendo el determinante de la matriz igual a cero, es decir, encontrando donde la matriz no tiene inverso. (Se dice que tal matriz cuadrada es singular.) Las matrices finitas tienen sólo un número finito de eigenvalues/eigenvectores, mientras que los operadores lineales pueden tener un número contablemente infinito de eigenvalues/eigenfunctions (en regiones confinadas) o un espectro incontablemente infinito (continua) de soluciones, como en regiones sin límites.

En ciertas aplicaciones de física, como en el cálculo de bandas en un volumen periódico, a menudo ocurre que los elementos de una matriz serán funciones muy complicadas de frecuencia y número de onda, y la matriz no será singular (es decir,, tiene la matriz inversa.) para la mayoría de las combinaciones de frecuencia y número de onda, pero también será singular (es decir, no tiene la matriz inversa.) para ciertas combinaciones específicas. Al encontrar qué combinaciones de frecuencia y número de onda llevan el determinante de la matriz a cero, se pueden determinar las características de propagación del medio. Las relaciones de este tipo, entre frecuencia y número de onda, se conocen como relaciones de dispersión y algunos sistemas físicos pueden admitir muchos tipos diferentes de relaciones de dispersión. Un ejemplo del electromagnetismo es una guía de ondas ordinaria, que puede admitir numerosas relaciones de dispersión, cada una asociada con un modo de propagación único de la guía de ondas. Cada modo de propagación de la guía de onda se conoce como solución de función propia (o solución de modo propio) de las ecuaciones de Maxwell en la guía de onda. El espacio libre también admite soluciones de modo propio (modo natural) (conocidas más comúnmente como ondas planas), pero con la distinción de que para cualquier frecuencia dada, el espacio libre admite un espectro modal continuo, mientras que las guías de ondas tienen un espectro de modo discreto. En este caso, la relación de dispersión es lineal, como en la sección 1.3.

Espacio K

Para un dado $k$ tales como $k={omega over c}={2pi over lambda }$ para un espacio de vacío homogéneo, la condición de separación,

{displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}}

{displaystyle mathbf {k} ~=~k_{x}mathbf {hat {x}} +k_{y}mathbf {hat {y}} +k_{z}mathbf {hat {z}} }

${textstyle k_{x}=k~sin theta ~cos phi }$
${textstyle k_{y}=k~sin theta ~sin phi }$
${textstyle k_{z}=k~cos theta ~}$

Se hará uso de estas relaciones del sistema de coordenadas esféricas en la siguiente sección.

La noción de espacio k es fundamental para muchas disciplinas de la ingeniería y la física, especialmente en el estudio de volúmenes periódicos, como la cristalografía y la teoría de bandas de materiales semiconductores.

La transformada bidimensional de Fourier

Ecuación de un espectro de análisis (calculando el espectro de una función $u(x,y)$ ):

{displaystyle U(k_{x},k_{y})=int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }u(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}

Una ecuación de síntesis (reconstruyendo la función $u(x,y)$ de su espectro):

{displaystyle u(x,y)={frac {1}{(2pi)^{2}}}int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}

El factor de normalización ${displaystyle {1}/{(2pi)^{2}}}$ está presente cuando se utiliza frecuencia angular (radianos), pero no cuando se utiliza la frecuencia ordinaria (ciclos).

Sistemas ópticos: descripción general y analogía con los sistemas de procesamiento de señales eléctricas

En una descripción general de alto nivel, un sistema óptico consta de tres partes; un plano de entrada, un plano de salida y un conjunto de componentes entre estos planos que transforman una imagen f formada en el plano de entrada en una imagen diferente g formada en el plano de salida. La imagen de salida del sistema óptico g está relacionada con la imagen de entrada f mediante la convolución de la imagen de entrada con la función de respuesta de impulso óptico del sistema óptico, h (conocida como la función de dispersión de puntos, para sistemas ópticos enfocados). La función de respuesta de impulso define de forma única el comportamiento de entrada-salida del sistema óptico. Por convención, el eje óptico del sistema se toma como el eje z. Como resultado, las dos imágenes y la función de respuesta al impulso son todas funciones de las coordenadas transversales, x e y.

{displaystyle g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)}

La respuesta de impulso de un sistema de imágenes ópticas es el campo del plano de salida que se produce cuando una fuente de luz puntual de campo óptico matemático ideal, es decir, una entrada de impulso al sistema, se coloca en el plano de entrada (generalmente en el eje, es decir, en el eje óptico). En la práctica, no es necesario tener una fuente puntual ideal para determinar una respuesta de impulso exacta. Esto se debe a que cualquier ancho de banda de fuente que se encuentre fuera del ancho de banda del sistema óptico bajo consideración no importará de todos modos (ya que ni siquiera puede ser capturado por el sistema óptico), por lo que no es necesario para determinar el impulso. respuesta. La fuente solo necesita tener al menos tanto ancho de banda (angular) como el sistema óptico.

Los sistemas ópticos suelen pertenecer a una de dos categorías diferentes. El primero son los sistemas ordinarios de formación de imágenes ópticas enfocadas (por ejemplo, cámaras), en los que el plano de entrada se denomina plano de objeto y el plano de salida se denomina plano de imagen. Se desea que un campo óptico en el plano de la imagen (el plano de salida del sistema de imágenes) sea una reproducción de alta calidad de un campo óptico en el plano del objeto (el plano de entrada del sistema de imágenes). Se desea que la función de respuesta al impulso de un sistema de imágenes ópticas se aproxime a una función delta 2D, en la ubicación (o una ubicación escalada linealmente) en el plano de salida correspondiente a la ubicación del impulso (una fuente puntual ideal) en el plano de entrada. La función de respuesta al impulso real de un sistema de imágenes normalmente se asemeja a una función de Airy, cuyo radio es del orden de la longitud de onda de la luz utilizada. En este caso, la función de respuesta de impulso se suele denominar función de dispersión de puntos, ya que el punto de luz matemático en el plano del objeto se ha dispersado en una función de Airy en el plano de la imagen.

El segundo tipo son los sistemas de procesamiento de imágenes ópticas, en los que se debe ubicar y aislar una característica importante en el campo óptico del plano de entrada. En este caso, se desea que la respuesta al impulso de dicho sistema sea una réplica cercana (imagen) de la característica que se está buscando en el campo del plano de entrada, de modo que una convolución de la respuesta al impulso (una imagen de la característica deseada) contra el campo del plano de entrada producirá un punto brillante en la ubicación de la característica en el plano de salida. Este último tipo de sistema óptico de procesamiento de imágenes es el tema de esta sección. La sección 6.2 presenta una implementación de hardware de las operaciones de procesamiento de imágenes ópticas descritas en esta sección.

Plano de entrada

El plano de entrada se define como el lugar geométrico de todos los puntos tales que z = 0. Por lo tanto, la imagen de entrada f es

{displaystyle f(x,y)=U(x,y,z){big |}_{z=0}}

Plano de salida

El plano de salida se define como el lugar geométrico de todos los puntos tales que z = d. La imagen de salida g es por lo tanto

{displaystyle g(x,y)=U(x,y,z){big |}_{z=d}}

La convolución 2D de la función de entrada contra la función de respuesta de impulso

{displaystyle g(x,y)~=~h(x,y)*f(x,y)}

{displaystyle g(x,y)=int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }h(x-x',y-y')~f(x',y')~dx'dy'}

()4.1)

El lector alerta notará que la integral anterior asume tácitamente que la respuesta al impulso NO es una función de la posición (x',y') del impulso de luz en el plano de entrada (si esto no fuera el caso, este tipo de convolución no sería posible). Esta propiedad se conoce como invariancia de desplazamiento (Scott [1998]). Ningún sistema óptico es perfectamente invariable al cambio: a medida que el punto de luz matemático ideal se aleja del eje óptico, las aberraciones eventualmente degradarán la respuesta de impulso (conocida como coma en los sistemas de imágenes enfocadas). Sin embargo, los sistemas ópticos de alta calidad a menudo son "lo suficientemente invariantes al cambio" sobre ciertas regiones del plano de entrada que podemos considerar la respuesta de impulso como una función de solo la diferencia entre las coordenadas del plano de entrada y de salida y, por lo tanto, usar la ecuación anterior con impunidad.

Además, esta ecuación asume la ampliación de la unidad. Si la magnificación está presente, entonces la ecuación. (4.1) se convierte en

{displaystyle g(x,y)=int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }h_{M}(x-Mx',y-My')~f(x',y')~dx'dy'}

()4.2)

que básicamente traduce la función de respuesta al impulso, h_M(), de x′ a x = Mx′. En la ecuación. (4.2), h_M será una versión ampliada de la función de respuesta al impulso h de una función similar, sin aumento sistema, de modo que h_M(x,y) = h(x/M,y/M).

Derivación de la ecuación de convolución

La extensión a dos dimensiones es trivial, excepto por la diferencia de que la causalidad existe en el dominio del tiempo, pero no en el dominio espacial. Causalidad significa que la respuesta al impulso h(t − t′) de un sistema eléctrico, debido a un impulso aplicado en el tiempo t& #39;, necesariamente debe ser cero para todos los tiempos t tales que t − t′ < 0.

Obtener la representación de convolución de la respuesta del sistema requiere representar la señal de entrada como una superposición ponderada sobre un tren de funciones de impulso mediante el uso de la propiedad de tamizado de las funciones delta de Dirac.

{displaystyle f(t)=int _{-infty }^{infty }delta (t-t')f(t')dt'}

Entonces se supone que el sistema bajo consideración es lineal, es decir que la salida del sistema debido a dos entradas diferentes (posiblemente en dos tiempos diferentes) es la suma de las salidas del sistema a las dos entradas, cuando se introducen individualmente. Por lo tanto, el sistema óptico puede no contener materiales no lineales ni dispositivos activos (excepto, posiblemente, dispositivos activos extremadamente lineales). La salida del sistema, para una sola entrada de función delta, se define como la respuesta de impulso del sistema, h(t − t′). Y, según nuestra suposición de linealidad (es decir, que la salida del sistema a una entrada de tren de pulsos es la suma de las salidas debidas a cada pulso individual), ahora podemos decir que la función de entrada general f(t) produce la salida:

{displaystyle g(t)=int _{-infty }^{infty }h(t-t')f(t')dt'}

httδttt '

La misma lógica se utiliza en relación con el principio de Huygens-Fresnel, o la formulación de Stratton-Chu, en la que la "respuesta de impulso" se conoce como la función de Green del sistema. Entonces, la operación de dominio espacial de un sistema óptico lineal es análoga al principio de Huygens-Fresnel.

Función de transferencia del sistema

Si la última ecuación anterior se transforma por Fourier, se convierte en:

{displaystyle G(omega)~=~H(omega)cdot F(omega)}

${displaystyle G(omega)}$ es el espectro de la señal de salida
${displaystyle H(omega)}$ es la función de transferencia del sistema
$F(omega)$ es el espectro de la señal de entrada

De la misma manera, la ecuación. (4.1) puede transformarse en Fourier para producir:

{displaystyle G(k_{x},k_{y})~=~H(k_{x},k_{y})cdot F(k_{x},k_{y})}

La función de transferencia del sistema, $H(omega)$ . En la imagen óptica esta función es mejor conocida como la función de transferencia óptica (Buen hombre).

Una vez más, se puede notar a partir de la discusión sobre la condición del seno de Abbe, que esta ecuación asume la ampliación de la unidad.

Esta ecuación adquiere su verdadero significado cuando el Fourier se transforma, $~G(k_{x},k_{y})$ se asocia con el coeficiente de la onda de avión cuyo número de onda transversal son $~(k_{x},k_{y})$ . Por lo tanto, el espectro de onda plana de entrada se transforma en el espectro de ondas planas de salida a través de la acción multiplicativa de la función de transferencia del sistema. Es en esta etapa de entendimiento que el fondo anterior en el espectro de ondas planas se vuelve inestimable a la conceptualización de sistemas ópticos Fourier.

Aplicaciones de los principios de la óptica de Fourier

La óptica de Fourier se utiliza en el campo del procesamiento de información óptica, cuyo elemento básico es el procesador 4F clásico.

Las propiedades de la transformada de Fourier de una lente brindan numerosas aplicaciones en el procesamiento de señales ópticas, como el filtrado espacial, la correlación óptica y los hologramas generados por computadora.

La teoría óptica de Fourier se usa en interferometría, pinzas ópticas, trampas atómicas y computación cuántica. Los conceptos de la óptica de Fourier se utilizan para reconstruir la fase de la intensidad de la luz en el plano de frecuencia espacial (ver algoritmo adaptativo-aditivo).

Propiedad de transformada de Fourier de las lentes

Si un objeto transmisivo se coloca a una distancia focal frente a una lente, su transformada de Fourier se formará a una distancia focal detrás de la lente. Considere la figura a la derecha (haga clic para ampliar)

En esta figura, se asume una onda plana incidente desde la izquierda. La función de transmitancia en el plano focal frontal (es decir, Plano 1) modula espacialmente la onda del plano incidente en magnitud y fase, como en el lado izquierdo de la ecuación (2.1) (especificado en z = 0), y al hacerlo, produce un espectro de ondas planas correspondiente a la FT de la función de transmitancia, como en el lado derecho de la ecuación. (2.1) (para z > 0). Los diversos componentes de onda plana se propagan en diferentes ángulos de inclinación con respecto al eje óptico de la lente (es decir, el eje horizontal). Cuanto más finas sean las características de la transparencia, más amplio será el ancho de banda angular del espectro de ondas planas. Consideraremos uno de esos componentes de onda plana, que se propaga en un ángulo θ con respecto al eje óptico. Se supone que θ es pequeño (aproximación paraxial), por lo que

{displaystyle {frac {k_{x}}{k}}=sin theta simeq theta }

{displaystyle {frac {k_{z}}{k}}=cos theta simeq 1-{frac {1}{2}}theta ^{2}}

{displaystyle {frac {1}{cos theta }}simeq {frac {1}{1-{frac {1}{2}}theta ^{2}}}simeq 1+{frac {1}{2}}theta ^{2}}

En la figura, la fase onda plana, moviéndose horizontalmente desde el plano focal frontal al plano de la lente, es

{displaystyle e^{ikfcos theta }}

onda esférica

{displaystyle e^{ikf/cos theta }}

fSilencio²Silencio²fSilencio

Todos los componentes de FT se calculan simultáneamente, en paralelo, a la velocidad de la luz. Por ejemplo, la luz viaja a una velocidad de aproximadamente 0,30 m (1 pie) por nanosegundo, por lo que si una lente tiene una distancia focal de 0,30 m (1 pie), se puede calcular un FT 2D completo en aproximadamente 2 ns (2 × 10 ⁻⁹ segundos). Si la distancia focal es de 1 pulgada, entonces el tiempo es inferior a 200 ps. Ninguna computadora electrónica puede competir con este tipo de números o tal vez esperar hacerlo, aunque las supercomputadoras en realidad pueden resultar más rápidas que la óptica, por improbable que parezca. Sin embargo, su velocidad se obtiene combinando numerosos ordenadores que, individualmente, siguen siendo más lentos que la óptica. La desventaja de la FT óptica es que, como muestra la derivación, la relación FT solo es válida para ondas planas paraxiales, por lo que esta FT 'computadora' es inherentemente de banda limitada. Por otro lado, dado que la longitud de onda de la luz visible es tan pequeña en relación incluso con las dimensiones de las características visibles más pequeñas de la imagen, es decir,

{displaystyle k^{2}gg k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}

k_xk_Sí.k_zk

El procesamiento óptico es especialmente útil en aplicaciones en tiempo real donde se requiere un procesamiento rápido de cantidades masivas de datos 2D, particularmente en relación con el reconocimiento de patrones.

Truncamiento de objetos y fenómeno de Gibbs

El campo eléctrico espacialmente modulado, que se muestra en el lado izquierdo de la ecuación. (2.1), normalmente solo ocupa una apertura finita (normalmente rectangular) en el plano x,y. La función de apertura rectangular actúa como un filtro superior cuadrado 2D, donde se supone que el campo es cero fuera de este rectángulo 2D. Las integrales de dominio espacial para calcular los coeficientes FT en el lado derecho de la ecuación. (2.1) se truncan en el límite de esta apertura. Este truncamiento de pasos puede introducir imprecisiones tanto en los cálculos teóricos como en los valores medidos de los coeficientes de onda plana en el lado derecho de la ecuación. (2.1).

Siempre que una función se trunca de forma discontinua en un dominio FT, se introducen ensanchamiento y ondulación en el otro dominio FT. Un ejemplo perfecto de la óptica está relacionado con la función de dispersión de puntos, que para la iluminación de ondas planas en el eje de una lente cuadrática (con apertura circular), es una función de Airy, J₁(x)/x. Literalmente, la fuente puntual ha sido "extendida" (con ondas añadidas), para formar la función de dispersión de puntos de Airy (como resultado del truncamiento del espectro de ondas planas por la apertura finita de la lente). Esta fuente de error se conoce como fenómeno de Gibbs y se puede mitigar simplemente asegurándose de que todo el contenido significativo se encuentre cerca del centro de la transparencia, o mediante el uso de funciones de ventana que reduzcan gradualmente el campo a cero en los límites del marco. Por el teorema de convolución, la FT de una función de transparencia arbitraria - multiplicada (o truncada) por una función de apertura - es igual a la FT de la función de transparencia no truncada convolucionada contra la FT de la función de apertura, que en este caso se convierte en una tipo de "Función de verdes" o "función de respuesta de impulso" en el dominio espectral. Por lo tanto, la imagen de una lente circular es igual a la función del plano del objeto convolucionado contra la función de Airy (el FT de una función de apertura circular es J₁(x )/x y el FT de una función de apertura rectangular es un producto de funciones sinc, sinx/x).

Análisis de Fourier y descomposición funcional

Aunque la transparencia de entrada solo ocupa una porción finita del plano x-y (Plano 1), las ondas planas uniformes que componen el espectro de ondas planas ocupan el todo el plano x-y, por lo que (para este propósito) sólo la fase de onda del plano longitudinal (en el z, del plano 1 al plano 2), y no la fase transversal a la dirección z. Por supuesto, es muy tentador pensar que si una onda plana que emana de la apertura finita de la transparencia se inclina demasiado lejos de la horizontal, de alguna manera se 'perderá'. la lente por completo, pero nuevamente, dado que la onda plana uniforme se extiende infinitamente lejos en todas las direcciones en el plano transversal (x-y), los componentes de la onda plana no pueden pasar por alto la lente.

Este problema plantea quizás la dificultad predominante con el análisis de Fourier, a saber, que la función del plano de entrada, definida sobre un soporte finito (es decir, sobre su propia apertura finita), se aproxima con otras funciones (sinusoides) que tienen infinito soporte (es decir, están definidos sobre todo el plano infinito x-y). Esto es increíblemente ineficiente desde el punto de vista computacional y es la razón principal por la que se concibieron las wavelets, es decir, para representar una función (definida en un intervalo o área finita) en términos de funciones oscilatorias que también se definen en intervalos o áreas finitas. Por lo tanto, en lugar de obtener el contenido de frecuencia de toda la imagen de una sola vez (junto con el contenido de frecuencia del resto completo del plano x-y, sobre el cual la imagen tiene valor cero), el resultado es en cambio el contenido de frecuencia de diferentes partes de la imagen, que suele ser mucho más simple. Desafortunadamente, las ondículas en el plano x-y no corresponden a ningún tipo conocido de función de onda de propagación, de la misma manera que las sinusoides de Fourier (en el plano x-y) corresponden a funciones de onda planas en tres dimensiones. Sin embargo, los FT de la mayoría de las ondículas son bien conocidos y posiblemente se podría demostrar que son equivalentes a algún tipo útil de campo de propagación.

Por otro lado, las funciones sinc y las funciones de Airy, que no son solo las funciones de dispersión de puntos de las aberturas rectangulares y circulares, respectivamente, sino que también son funciones cardinales comúnmente utilizadas para la descomposición funcional en la teoría de interpolación/muestreo [Scott 1990] - do corresponden a ondas esféricas convergentes o divergentes y, por lo tanto, podrían implementarse potencialmente como una descomposición funcional completamente nueva de la función del plano del objeto, lo que llevaría a otro punto de vista de naturaleza similar a la óptica de Fourier. Esto sería básicamente lo mismo que la óptica de rayos convencional, pero con efectos de difracción incluidos. En este caso, cada función de dispersión de puntos sería un tipo de "píxel suave," de la misma manera que un solitón en una fibra es un "pulso suave".

Quizás una figura de mérito de la lente en esta "función de dispersión de puntos" punto de vista sería preguntar qué tan bien una lente transforma una función de Airy en el plano del objeto en una función de Airy en el plano de la imagen, en función de la distancia radial desde el eje óptico, o en función del tamaño del plano del objeto Función de Airy. Esto es algo así como la función de dispersión de puntos, excepto que ahora realmente la vemos como una especie de función de transferencia de plano de entrada a salida (como MTF), y no tanto en términos absolutos, en relación con un punto perfecto.. De manera similar, las ondículas gaussianas, que corresponderían a la cintura de un haz gaussiano que se propaga, también podrían usarse potencialmente en otra descomposición funcional del campo del plano del objeto.

Rango de campo lejano y el criterio 2D2 / λ

En la figura anterior, que ilustra la propiedad transformante de Fourier de las lentes, la lente está en el campo cercano de la transparencia del plano del objeto, por lo tanto, el campo del plano del objeto en la lente puede considerarse como una superposición de ondas planas, cada una de las cuales que se propaga en algún ángulo con respecto al eje z. En este sentido, el criterio de campo lejano se define vagamente como: Rango = 2D²/λ donde D es la extensión lineal máxima de las fuentes ópticas y λ es la longitud de onda (Scott [1998]). La D de la transparencia es del orden de cm (10⁻² m) y la longitud de onda de la luz es del orden de 10⁻⁶ m, por lo que D/λ para toda la transparencia es del orden de 10⁴. Este tiempo D es del orden de 10² mo cientos de metros. Por otro lado, la distancia de campo lejano desde un punto PSF es del orden de λ. Esto se debe a que D para el punto está en el orden de λ, por lo que D/λ está en el orden de la unidad; esto multiplicado por D (es decir, λ) es del orden de λ (10⁻⁶ m).

Dado que la lente está en el campo lejano de cualquier punto PSF, el campo que incide sobre la lente desde el punto puede considerarse como una onda esférica, como en la ecuación. (2.2), no como un espectro de ondas planas, como en la ecuación. (2.1). Por otro lado, la lente está en el campo cercano de toda la transparencia del plano de entrada, por lo tanto, la ecuación. (2.1), el espectro de onda plano completo, representa con precisión el campo que incide en la lente desde esa fuente más grande y extendida.

Lente como filtro de paso bajo

Una lente es básicamente un filtro de onda plana de paso bajo (consulte Filtro de paso bajo). Considere un "pequeño" fuente de luz ubicada en el eje en el plano del objeto de la lente. Se supone que la fuente es lo suficientemente pequeña como para que, según el criterio de campo lejano, la lente se encuentre en el campo lejano del campo "pequeño" fuente. Entonces, el campo radiado por la fuente pequeña es una onda esférica modulada por la FT de la distribución de la fuente, como en la ecuación. (2.2), luego, la lente pasa, desde el plano del objeto al plano de la imagen, solo la parte de la onda esférica radiada que se encuentra dentro del ángulo del borde de la lente. En este caso de campo lejano, el truncamiento de la onda esférica radiada es equivalente al truncamiento del espectro de onda plana de la fuente pequeña. Por lo tanto, los componentes de onda plana en esta onda esférica de campo lejano, que se encuentran más allá del ángulo del borde de la lente, no son capturados por la lente y no se transfieren al plano de la imagen. Nota: esta lógica es válida solo para fuentes pequeñas, de modo que la lente esté en la región de campo lejano de la fuente, de acuerdo con el criterio 2D²/λ mencionado anteriormente. Si la transparencia de un plano de objeto se imagina como una suma de fuentes pequeñas (como en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon, Scott [1990]), cada una de las cuales tiene su espectro truncado de esta manera, entonces cada punto de la transparencia de todo el plano de objeto sufre los mismos efectos de este filtrado de paso bajo.

La pérdida del contenido de alta frecuencia (espacial) provoca desenfoque y pérdida de nitidez (consulte la discusión relacionada con la función de dispersión de puntos). El truncamiento del ancho de banda hace que una fuente puntual (ficticia, matemática, ideal) en el plano del objeto se desdibuje (o se extienda) en el plano de la imagen, dando lugar al término "función de dispersión de puntos". Cada vez que se expande o contrae el ancho de banda, el tamaño de la imagen generalmente se contrae o expande en consecuencia, de tal manera que el producto espacio-ancho de banda permanece constante, según el principio de Heisenberg (Scott [1998] y la condición sinusoidal de Abbe).

Coherencia y transformada de Fourier

Mientras se trabaja en el dominio de la frecuencia, con una supuesta dependencia del tiempo e^jωt (ingeniería), se asume implícitamente la luz coherente (láser), que tiene una dependencia de la función delta en el dominio de la frecuencia. La luz a diferentes frecuencias (función delta) "rociará" el espectro de onda plana sale en diferentes ángulos y, como resultado, estos componentes de onda plana se enfocarán en diferentes lugares en el plano de salida. La propiedad de transformación de Fourier de las lentes funciona mejor con luz coherente, a menos que haya alguna razón especial para combinar luz de diferentes frecuencias para lograr algún propósito especial.

Implementación de hardware de la función de transferencia del sistema: el correlador 4F

La teoría de las funciones de transferencia óptica presentada en la sección 5 es algo abstracta. Sin embargo, existe un dispositivo muy conocido que implementa la función de transferencia del sistema H en hardware utilizando solo 2 lentes idénticas y una placa de transparencia: el correlador 4F. Aunque una aplicación importante de este dispositivo sería sin duda implementar las operaciones matemáticas de correlación cruzada y convolución, este dispositivo, de 4 distancias focales, en realidad sirve para una amplia variedad de operaciones de procesamiento de imágenes que van mucho más allá de lo que su nombre implica. En la siguiente figura se muestra un diagrama de un correlador 4F típico (haga clic para ampliar). Este dispositivo se puede comprender fácilmente combinando la representación del campo eléctrico del espectro de ondas planas (sección 1.5) con la propiedad de transformación de Fourier de las lentes cuadráticas (sección 6.1) para producir las operaciones de procesamiento de imágenes ópticas descritas en la sección 5.

El correlador 4F se basa en el teorema de convolución de la teoría de la transformada de Fourier, que establece que la convolución en el dominio espacial (x,y) es equivalente a la multiplicación directa en el dominio de frecuencia espacial (k_x, k_y) (también conocido como: dominio espectral). Una vez más, se asume una onda plana incidente desde la izquierda y se coloca una transparencia que contiene una función 2D, f(x,y). en el plano de entrada del correlador, ubicado una distancia focal por delante de la primera lente. La transparencia modula espacialmente la onda del plano incidente en magnitud y fase, como en el lado izquierdo de la ecuación. (2.1), y al hacerlo, produce un espectro de ondas planas correspondientes a la FT de la función de transmitancia, como en el lado derecho de la ecuación. (2.1). Ese espectro se forma entonces como una "imagen" una distancia focal detrás de la primera lente, como se muestra. Una máscara de transmisión que contiene la FT de la segunda función, g(x,y), se coloca en este mismo plano, una distancia focal detrás la primera lente, haciendo que la transmisión a través de la máscara sea igual al producto, F(k_x,k_y) × G(k_x,k_y). Este producto ahora se encuentra en el "plano de entrada" de la segunda lente (una distancia focal al frente), de modo que la FT de este producto (es decir, la convolución de f(x,y) y g(x,y)), se forma en el plano focal posterior de la segunda lente.

Si una fuente de luz puntual matemática ideal se coloca en el eje en el plano de entrada de la primera lente, entonces se producirá un campo colimado uniforme en el plano de salida de la primera lente. Cuando este campo colimado uniforme se multiplica por la máscara del plano FT y luego se transforma por Fourier con la segunda lente, el campo del plano de salida (que en este caso es la respuesta de impulso del correlador) es simplemente nuestro función de correlación, g(x,y). En aplicaciones prácticas, g(x,y) será algún tipo de característica que debe identificarse y ubicarse dentro del campo del plano de entrada (ver Scott [1998]). En aplicaciones militares, esta característica puede ser un tanque, un barco o un avión que debe identificarse rápidamente dentro de una escena más compleja.

El correlacionador 4F es un dispositivo excelente para ilustrar los "sistemas" aspectos de los instrumentos ópticos, a los que se alude en el apartado 5 anterior. La función de máscara del plano FT, G(k_x,k_y) es la función de transferencia del sistema del correlador, que en general denotaremos como H(k_x,k_y), y es el FT de la función impulso respuesta del correlador, h(x,y) que es solo nuestra función de correlación g(x,y). Y, como se mencionó anteriormente, la respuesta de impulso del correlacionador es solo una imagen de la característica que estamos tratando de encontrar en la imagen de entrada. En el correlacionador 4F, la función de transferencia del sistema H(k_x,k_y) se multiplica directamente por el espectro F(k_x,k_y) de la función de entrada, para producir el espectro de la función de salida. Así es como operan los sistemas de procesamiento de señales eléctricas en señales temporales 1D.

Restauración de imágenes

Imagen borrosa por una función de difusión de puntos se estudia extensamente en el procesamiento de información óptica, una manera de aliviar el desdibujo es adoptar el filtro Wiener. Por ejemplo, asuma que ${displaystyle o(x,y)}$ es la distribución de intensidad de un objeto incoherente, ${displaystyle i(x,y)}$ es la distribución de intensidad de su imagen que se desdibuja por una función de punto-spread invariante espacio ${displaystyle s(x,y)}$ y un ruido ${displaystyle n(x,y)}$ introducido en el proceso de detección:

{displaystyle i(x,y)=o(x,y)otimes s(x,y)+n(x,y)}

El objetivo de la restauración de imágenes es encontrar un filtro de restauración lineal que reduzca al mínimo el error de media entre la verdadera distribución y la estimación ${displaystyle {hat {o}}(x,y)}$ . Es decir, para minimizar

{displaystyle varepsilon ^{2}=|o-{hat {o}}|^{2}}

La solución de este problema de optimización es el filtro Wiener:

{displaystyle Hleft(f_{X},f_{Y}right)={frac {S^{*}left(f_{X},f_{Y}right)}{left|Sleft(f_{X},f_{Y}right)right|^{2}+{frac {Phi _{n}left(f_{X},f_{Y}right)}{Phi _{o}left(f_{X},f_{Y}right)}}}},}

{displaystyle Sleft(f_{X},f_{Y}right)}

{displaystyle Phi _{o}left(f_{X},f_{Y}right)}

{displaystyle Phi _{n}left(f_{X},f_{Y}right)}

Ragnarsson propuso un método para realizar filtros de restauración Wiener ópticamente mediante una técnica holográfica como la configuración que se muestra en la figura. La derivación de la función de la configuración se describe a continuación.

Supongamos que hay una transparencia como el plano de grabación y un impulso emitido desde una fuente de punto S. La onda de impulso se colisiona por la lente L1, formando una distribución igual a la respuesta del impulso $h$ . Luego la distribución $h$ se divide en dos partes:

La parte superior se centra por primera vez (es decir, Fourier transformado) por una lente L2 a un punto en el plano frontal focal de la lente L3, formando una fuente de puntos virtuales generando una onda esférica. La onda es entonces colimada por la lente L3 y produce una onda de plano inclinada con la forma ${displaystyle r_{0}e^{-j2pi alpha y}}$ en el plano de grabación.
La parte inferior está directamente colimada por el objetivo L3, produciendo una distribución de amplitud ${displaystyle {frac {1}{lambda f}}H{left({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)}}$ .

Por lo tanto, la distribución de intensidad total es

{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {I}}left(x_{2},y_{2}right)&=left|r_{o}exp left(-j2pi alpha y_{2}right)+{frac {1}{lambda f}}Hleft({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)right|^{2}\&=r_{o}^{2}+{frac {1}{lambda ^{2}f^{2}}}left|Hleft({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)right|^{2}+{frac {r_{o}}{lambda f}}Hleft({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)exp left(j2pi alpha y_{2}right)+{frac {r_{o}}{lambda f}}H^{*}left({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)exp left(-j2pi alpha y_{2}right)end{aligned}}}

Assume $H$ tiene una distribución de amplitud $A$ y una distribución gradual $psi$ tales que

{displaystyle Hleft({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)=Sleft({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)exp left[jpsi left({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)right],}

entonces podemos reescribir la intensidad de la siguiente manera:

{displaystyle Ileft(x_{2},y_{2}right)=r_{o}^{2}+{frac {1}{lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}left({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)+{frac {2r_{o}}{lambda f}}Sleft({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)cos left[2pi alpha y_{2}+psi left({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)right].}

Tenga en cuenta que para el punto en el origen del plano de película ( ${displaystyle (x_{2},y_{2})=mathbf {0} }$ ), la onda registrada de la porción inferior debe ser mucho más fuerte que la de la porción superior porque la onda que pasa por el sendero inferior se centra, lo que conduce a la relación ${textstyle r_{0}ll {frac {1}{lambda f}}}$ .

Did you mean:

In Ragnarsson ' s work, this method is based on the following postulates:

Supongamos que hay una transparencia, con su transmisión de amplitud $t$ proporcional a ${displaystyle s(x,y)}$ , que ha registrado la respuesta de impulso conocida del sistema borroso.
La fase máxima $phi$ cambio introducido por el filtro es mucho más pequeño que $2pi$ radian así ${displaystyle e^{jphi }approx 1+jphi }$ .
El cambio de fase de la transparencia después del blanqueamiento es linealmente proporcional a la densidad de plata $D$ presente antes de blanquear.
La densidad es linealmente proporcional al logaritmo de la exposición ${displaystyle I=r_{o}^{2}+{frac {1}{lambda ^{2}f^{2}}}S^{2}.}$
La exposición media ${bar {I}}$ es mucho más fuerte que la exposición variable ${displaystyle Delta Ileft({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)={frac {2r_{o}}{lambda f}}Sleft({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)cos left[2pi alpha y_{2}+psi left({frac {x_{2}}{lambda f}},{frac {y_{2}}{lambda f}}right)right].}$

Por estos postulados, tenemos la siguiente relación:

{displaystyle Delta tpropto Delta phi propto Delta Dpropto Delta (log I)approx {frac {Delta I}{I}}.}

Finalmente, obtenemos una transmitancia de amplitud con la forma de un filtro Wiener:

{displaystyle Delta tpropto {frac {S^{ast }}{r_{0}^{2}lambda ^{2}f^{2}+leftvert Srightvert ^{2}}}.}

Epílogo: espectro de ondas planas en el contexto más amplio de la descomposición funcional

Los campos eléctricos se pueden representar matemáticamente de muchas maneras diferentes. En los puntos de vista Huygens-Fresnel o Stratton-Chu, el campo eléctrico se representa como una superposición de fuentes puntuales, cada una de las cuales da lugar a una función de campo de Green. El campo total es entonces la suma ponderada de todos los campos de función de Green individuales. Esa parece ser la forma más natural de ver el campo eléctrico para la mayoría de las personas, sin duda porque la mayoría de nosotros, en un momento u otro, hemos dibujado los círculos con transportador y papel, de la misma manera que lo hizo Thomas Young en su obra clásica. artículo sobre el experimento de la doble rendija. Sin embargo, de ninguna manera es la única forma de representar el campo eléctrico, que también puede representarse como un espectro de ondas planas que varían sinusoidalmente. Además, Frits Zernike propuso otra descomposición funcional basada en sus polinomios de Zernike, definidos en el disco unitario. Los polinomios de Zernike de tercer orden (e inferiores) corresponden a las aberraciones normales de la lente. Y aún se podría hacer otra descomposición funcional en términos de funciones Sinc y funciones de Airy, como en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon y el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon. Todas estas descomposiciones funcionales tienen utilidad en diferentes circunstancias. El científico óptico que tiene acceso a estas diversas formas de representación tiene disponible una visión más rica de la naturaleza de estos maravillosos campos y sus propiedades. Estas diferentes formas de ver el campo no son conflictivas ni contradictorias; más bien, al explorar sus conexiones, a menudo se puede obtener una visión más profunda de la naturaleza de los campos de ondas.

Descomposición funcional y funciones propias

Los temas gemelos de las expansiones de funciones propias y la descomposición funcional, a los que se alude brevemente aquí, no son completamente independientes. Las expansiones de funciones propias a ciertos operadores lineales definidos sobre un dominio dado, a menudo producirán un conjunto infinitamente numerable de funciones ortogonales que abarcarán ese dominio. Según el operador y la dimensionalidad (y la forma y las condiciones de contorno) de su dominio, en principio, son posibles muchos tipos diferentes de descomposiciones funcionales.

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