Óptica de cristal

La óptica de los cristales es la rama de la óptica que describe el comportamiento de la luz en medios anisotrópicos, es decir, medios (como los cristales) en los que la luz se comporta de forma diferente dependiendo de en qué dirección se propaga la luz. El índice de refracción depende tanto de la composición como de la estructura del cristal y se puede calcular utilizando la relación Gladstone-Dale. Los cristales suelen ser naturalmente anisotrópicos y en algunos medios (como los cristales líquidos) es posible inducir la anisotropía aplicando un campo eléctrico externo.

Medios isotrópicos

Los medios transparentes típicos, como los vidrios, son isotrópicos, lo que significa que la luz se comporta de la misma manera sin importar en qué dirección viaja en el medio. En términos de las ecuaciones de Maxwell en un dieléctrico, esto da una relación entre el campo de desplazamiento eléctrico D y el campo eléctrico E:

${displaystyle mathbf {D} = 'varepsilon ♪♪Mathbf {E} +mathbf {P}$

donde ε₀ es la permitividad del espacio libre y P es la polarización eléctrica (el campo vectorial correspondiente a los momentos dipolares eléctricos presentes en el medio). Físicamente, el campo de polarización puede considerarse como la respuesta del medio al campo eléctrico de la luz.

Susceptibilidad eléctrica

En un medio isotrópico y lineal, este campo de polarización P es proporcional y paralelo al campo eléctrico E:

${displaystyle mathbf {P} =chi varepsilon ♪♪Mathbf {E}$

donde χ es la susceptibilidad eléctrica del medio. La relación entre D y E es así:

${displaystyle mathbf {D} = 'varepsilon ♪♪Mathbf {E} +chi varepsilon ♪♪Mathbf {E} =varepsilon _{0}(1+chi)mathbf {E} =varepsilon mathbf {E}$

dónde

${displaystyle varepsilon =varepsilon _{0}(1+chi)}$

es la constante dieléctrica del medio. El valor 1+χ se denomina permisividad relativa del medio, y está relacionado con el índice de refracción n, para medios no magnéticos, por

${displaystyle No. {1+chi }}$

Medios anisotrópicos

En un medio anisotrópico, como un cristal, el campo de polarización P no está necesariamente alineado con el campo eléctrico de la luz E. En una imagen física, esto se puede considerar como los dipolos inducidos en el medio por el campo eléctrico que tiene ciertas direcciones preferidas, relacionadas con la estructura física del cristal. Esto se puede escribir como:

${displaystyle mathbf {P} = 'varepsilon Mathbf.$

Aquí χ no es un número como antes sino un tensor de rango 2, el tensor de susceptibilidad eléctrica. En términos de componentes en 3 dimensiones:

${displaystyle {begin{pmatrix}P_{x}P_{y}p_{z}end{pmatrix}=varepsilon {0}{begin {pmatrix}chi - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? - ¿Qué? - ¿Qué? ¿Por qué? - ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {begin{pmatrix}E_{x}E_{y}E_{y}E_{z}end{pmatrix}}}$

o usando la convención de suma:

${displaystyle P_{i}=varepsilon _{0}sum _{jin {x,y,z}chi - ¿Qué?$

Dado que χ es un tensor, P no es necesariamente colineal con E.

En materiales no magnéticos y transparentes, χ_ij = χ_ji, es decir, la χ el tensor es real y simétrico. De acuerdo con el teorema espectral, es posible diagonalizar el tensor eligiendo el conjunto apropiado de ejes de coordenadas, poniendo a cero todos los componentes del tensor excepto χ_xx, χ_yy y χ_zz. Esto da el conjunto de relaciones:

${displaystyle P_{x}=varepsilon ¿Por qué?$

${displaystyle P_{y}=varepsilon ¿Por qué? ¿Qué?$

${displaystyle P_{z}=varepsilon ¿Qué?$

Las direcciones x, y, z se conocen en este caso como los ejes principales del medio. Tenga en cuenta que estos ejes serán ortogonales si todas las entradas en el tensor χ son reales, lo que corresponde a un caso en el que el índice de refracción es real en todas las direcciones.

Se sigue que D y E también están relacionados por un tensor:

${displaystyle mathbf {D} = 'varepsilon ♪♪Mathbf {E} +mathbf {P} = 'varepsilon ♪♪Mathbf {E} +varepsilon ¿Qué? ♪♪ {E} =varepsilon _{0}(I+{boldsymbol {chi })mathbf {E} =varepsilon - Sí.$

Aquí ε se conoce como tensor de permitividad relativa o tensor dieléctrico. En consecuencia, el índice de refracción del medio también debe ser un tensor. Considere una onda de luz que se propaga a lo largo del eje principal z polarizada de tal manera que el campo eléctrico de la onda es paralelo al eje x. La onda experimenta una susceptibilidad χ_xx y una permitividad ε_xx. El índice de refracción es así:

${displaystyle n_{xx}=(1+chi _{xx})^{1/2}=(varepsilon _{xx})^{1/2}$

Para una onda polarizada en la dirección y:

${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? - Sí.$

Por lo tanto, estas ondas verán dos índices de refracción diferentes y viajarán a diferentes velocidades. Este fenómeno se conoce como birrefringencia y ocurre en algunos cristales comunes como la calcita y el cuarzo.

Si χ_xx = χ_yy ≠ χ_zz, el cristal se conoce como uniaxial. (Ver Eje óptico de un cristal.) Si χ_xx ≠ χ_yy y χ_yy ≠ χ_zz el cristal se llama biaxial. Un cristal uniaxial exhibe dos índices de refracción, uno "ordinario" índice (n_o) para la luz polarizada en las direcciones x o y, y un índice "extraordinario" índice (n_e) para la polarización en la dirección z. Un cristal uniaxial es "positivo" si n_e > n_o y "negativo" si n_e < n_o. La luz polarizada en algún ángulo con respecto a los ejes experimentará una velocidad de fase diferente para diferentes componentes de polarización y no puede describirse mediante un solo índice de refracción. Esto a menudo se representa como un elipsoide de índice.

Otros efectos

Ciertos fenómenos ópticos no lineales, como el efecto electroóptico, provocan una variación del tensor de permitividad de un medio cuando se aplica un campo eléctrico externo, proporcional (al orden más bajo) a la intensidad del campo. Esto provoca una rotación de los ejes principales del medio y altera el comportamiento de la luz que lo atraviesa; el efecto se puede utilizar para producir moduladores de luz.

En respuesta a un campo magnético, algunos materiales pueden tener un tensor dieléctrico que es hermitiano complejo; esto se denomina efecto giromagnético o magnetoóptico. En este caso, los ejes principales son vectores de valores complejos, correspondientes a la luz polarizada elípticamente, y la simetría de inversión temporal puede romperse. Esto se puede utilizar para diseñar aisladores ópticos, por ejemplo.

Un tensor dieléctrico que no sea hermitiano da lugar a autovalores complejos, lo que corresponde a un material con ganancia o absorción a una determinada frecuencia.