Operador unitario

En análisis funcional, un operador unitario es un operador sobreyectivo acotado en un espacio de Hilbert que conserva el producto interno. Los operadores unitarios generalmente se toman como operando en un espacio de Hilbert, pero la misma noción sirve para definir el concepto de isomorfismo entre espacios de Hilbert.

Un elemento unitario es una generalización de un operador unitario. En un álgebra unitaria, un elemento U del álgebra se llama elemento unitario si U*U = UU* = I, donde I es el elemento de identidad.

Definición

Definición 1. Un operador unitario es un operador lineal acotado U: H → H en un espacio de Hilbert H que satisface U*U = UU* = I, donde U* es el adjunto de U y I: H → H es el operador de identidad.

La condición más débil U*U = I define una isometría . La otra condición, UU* = I, define una coisometría. Por lo tanto, un operador unitario es un operador lineal acotado que es tanto una isometría como una coisometría o, de manera equivalente, una isometría sobreyectiva.

Una definición equivalente es la siguiente:

Definición 2. Un operador unitario es un operador lineal acotado U: H → H en un espacio de Hilbert H para el cual se cumple lo siguiente:

• U es subjetivo, y
• U preserva el producto interior del espacio Hilbert, H. En otras palabras, para todos los vectores x y Sí. dentro H tenemos:

  .. Ux,USí... H=.. x,Sí... H.{displaystyle langle Ux,Uyrangle ¿Qué?

La noción de isomorfismo en la categoría de espacios de Hilbert se captura si se permite que el dominio y el rango difieran en esta definición. Las isometrías conservan las secuencias de Cauchy, por lo que se conserva la propiedad de integridad de los espacios de Hilbert.

La siguiente definición, aparentemente más débil, también es equivalente:

Definición 3. Un operador unitario es un operador lineal acotado U: H → H en un espacio de Hilbert H para el cual se cumple lo siguiente:

• la gama de U es denso en H, y
• U preserva el producto interior del espacio Hilbert, H. En otras palabras, para todos los vectores x y Sí. dentro H tenemos:

  .. Ux,USí... H=.. x,Sí... H.{displaystyle langle Ux,Uyrangle ¿Qué?

Para ver que las definiciones 1 y 3 son equivalentes, observe que U preservar el producto interno implica U es una isometría (por lo tanto, un operador lineal acotado). El hecho de que U tenga un rango denso asegura que tiene un inverso acotado U⁻¹. Está claro que U⁻¹ = U*.

Por lo tanto, los operadores unitarios son solo automorfismos de los espacios de Hilbert, es decir, conservan la estructura (la estructura del espacio lineal, el producto interno y, por lo tanto, la topología) del espacio en el que actúan. El grupo de todos los operadores unitarios de un espacio de Hilbert dado H a sí mismo a veces se denomina grupo de Hilbert de H, denotado Hilb(H) o U(H).

Ejemplos

• La función de identidad es trivialmente un operador unitario.
• Rotaciones en R² son el ejemplo más simple de operadores unitarios. Las rotaciones no cambian la longitud de un vector o el ángulo entre dos vectores. Este ejemplo puede ampliarse R³.
• En el espacio vectorial C de números complejos, multiplicación por un número de valor absoluto 1, es decir, un número de la forma eⁱ para Silencio ▪ REs un operador unitario. Silencio se conoce como una fase, y esta multiplicación se conoce como multiplicación por una fase. Note que el valor de Silencio modulo 2π no afecta el resultado de la multiplicación, y por lo tanto los operadores unitarios independientes en C están parametrizados por un círculo. El grupo correspondiente, que, como conjunto, es el círculo, se llama U(1).
• Más generalmente, las matrices unitarias son precisamente los operadores unitarios en los espacios finitos-dimensionales de Hilbert, por lo que la noción de un operador unitario es una generalización de la noción de una matriz unitaria. Las matrices ortogonales son el caso especial de matrices unitarias en las que todas las entradas son reales. Son los operadores unitarios en Rⁿ.
• El cambio bilateral en el espacio de secuencia l² indexado por los enteros es unitario. En general, cualquier operador en un espacio Hilbert que actúa permutando una base ortonormal es unitario. En el caso dimensional finito, tales operadores son las matrices de permutación.
• El cambio unilateral (derecho) es una isometría; su conjugado (desplazamiento izquierdo) es una coisometry.
• El operador Fourier es un operador unitario, es decir, el operador que realiza la transformación Fourier (con la normalización adecuada). Esto sigue del teorema de Parseval.
• Los operadores unitarios se utilizan en representaciones unitarias.
• Las puertas lógicas cuánticas son operadores unitarios. No todas las puertas son Hermitian.

Linealidad

El requisito de linealidad en la definición de un operador unitario se puede eliminar sin cambiar el significado porque se puede derivar de la linealidad y la definición positiva del producto escalar:

.. λ λ U()x)− − U()λ λ x).. 2=.. λ λ U()x)− − U()λ λ x),λ λ U()x)− − U()λ λ x).. =.. λ λ U()x).. 2+.. U()λ λ x).. 2− − .. U()λ λ x),λ λ U()x).. − − .. λ λ U()x),U()λ λ x).. =Silencioλ λ Silencio2.. U()x).. 2+.. U()λ λ x).. 2− − λ λ ̄ ̄ .. U()λ λ x),U()x).. − − λ λ .. U()x),U()λ λ x).. =Silencioλ λ Silencio2.. x.. 2+.. λ λ x.. 2− − λ λ ̄ ̄ .. λ λ x,x.. − − λ λ .. x,λ λ x.. =0################################################################################################################################################################################################################################################################ {lambda }}langle U(lambda x),U(x)rangle -lambda langle U(x),U(lambda x)rangle \\club= habitlambda Н^{2} eternax eterna^{2}+ eternalambda x WordPress^{2}-{overline {lambda }}langle lambda x,xrangle -lambda langle x,lambda xrangle \=0end{aligned}}}}}

Análogamente se obtiene

.. U()x+Sí.)− − ()Ux+USí.).. =0.{displaystyle sufrimientoU(x+y)-(Ux+Uy) imperme=0.}

Propiedades

• El espectro de un operador unitario U yace en el círculo de la unidad. Es decir, para cualquier número complejo λ en el espectro, uno tiene SilencioλSilencio = 1. Esto se puede ver como consecuencia del teorema espectral para los operadores normales. Por el teorema, U es unitariamente equivalente a la multiplicación por un Borel-measurable f on L²()μ), para un espacio de medida finita ()X, μ). Ahora UU* I implicación Silenciof()x)² = 1, μ- a.e. Esto demuestra que la gama esencial de f, por lo tanto el espectro de U, está en el círculo de la unidad.
• Un mapa lineal es unitario si es subjetivo e isométrico. (Utilice la identidad de polarización para mostrar la única parte.)