Operador positivo (espacio de Hilbert)

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En matemáticas (específicamente álgebra lineal, teoría del operador y análisis funcional) así como física, un operador lineal $A$ actuar en un espacio interior del producto se llama positivo-semidefinito (o no negativoSi, por cada uno ${displaystyle xin mathop {text{Dom}} (A)}$ , ${displaystyle langle Ax,xrangle in mathbb {R} }$ y ${displaystyle langle Ax,xrangle geq 0}$ , donde ${displaystyle mathop {text{Dom}} (A)}$ es el dominio de $A$ . Los operadores de cifrado positivo son denotados como ${displaystyle Ageq 0}$ . Se dice que el operador es positivo-definido, y escrito $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A■0{displaystyle A título0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232a94dbd97f2ce670d4987c5ad8ad82b072861b" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.004ex; height:2.176ex;"/>$ , si $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. Ax,x.. ■0,{displaystyle langle Ax,xrangle }0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66efd3aacea719b0edfe2e105050627861b112d" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.153ex; height:2.843ex;"/>$ para todos ${displaystyle xin mathop {mathrm {Dom} } (A)setminus {0}}$ .

En física (específicamente en mecánica cuántica), estos operadores representan estados cuánticos, a través del formalismo de la matriz de densidad.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Si ${displaystyle Ageq 0,}$ entonces

{displaystyle left|langle Ax,yrangle right|^{2}leq langle Ax,xrangle langle Ay,yrangle.}

De hecho, vamos $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0.{displaystyle varepsilon }0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5711261a9c1289128cc9a4e728125933ca0538" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.991ex; height:2.176ex;"/>$ Aplicando la desigualdad Cauchy–Schwarz al producto interno

{displaystyle (x,y)_{varepsilon }{stackrel {text{def}}{=}} langle (A+varepsilon cdot mathbf {1})x,yrangle }

como ${displaystyle varepsilon downarrow 0}$ prueba la reclamación.

De ello se desprende que ${displaystyle mathop {text{Im}} Aperp mathop {text{Ker}} A.}$ Si $A$ se define en todas partes, y ${displaystyle langle Ax,xrangle =0,}$ entonces ${displaystyle Ax=0.}$

En un espacio de Hilbert complejo, si A ≥ 0 entonces A es simétrico

Sin pérdida de generalidad, deja que el producto interior $langle cdotcdot rangle$ ser anti-linear en primero argumento y lineal en el segundo. (Si el reverso es cierto, entonces trabajamos con ${displaystyle langle x,yrangle _{text{op}}{stackrel {text{def}}{=}} langle y,xrangle }$ en su lugar). Para ${displaystyle x,yin mathop {text{Dom}} A,}$ la identidad de polarización

{displaystyle {begin{aligned}langle Ax,yrangle ={frac {1}{4}}({}&langle A(x+y),x+yrangle -langle A(x-y),x-yrangle \[1mm]&{}-ilangle A(x+iy),x+iyrangle +ilangle A(x-iy),x-iyrangle)end{aligned}}}

y el hecho de que ${displaystyle langle Ax,xrangle =langle x,Axrangle}$ para operadores positivos, mostrar que ${displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,Ayrangle}$ Así que... $A$ es simétrico.

En contraste con el caso complejo, un operador positivo en un espacio Hilbert real ${displaystyle H_{mathbb {R} }}$ puede no ser simétrico. Como contraejemplo, definir ${displaystyle A:mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} ^{2}}$ ser un operador de rotación por un ángulo agudo ${displaystyle varphi in (-pi /2,pi /2).}$ Entonces... $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. Ax,x.. =.. Ax.. .. x.. #⁡ ⁡ φ φ ■0,{displaystyle langle Ax,xrangle = eternaAxfnciónfnximidadfnxfsis varphi ¢0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbef0503d64919159be1bb5f00fd2558e7f9e0a5" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.71ex; height:2.843ex;"/>$ pero ${displaystyle A^{*}=A^{-1}neq A,}$ Así que... $A$ no es simétrico.

Si A ≥ 0 y Dom A = h C {displaystyle H_{mathbb {C} }} , entonces A es autoadjunto y acotado

La simetría de $A$ implica que ${displaystyle mathop {text{Dom}} Asubseteq mathop {text{Dom}} A^{*}}$ y ${displaystyle A=A^{*}|_{mathop {text{Dom}} (A)}.}$ Para $A$ para estar unido, es necesario que ${displaystyle mathop {text{Dom}} A=mathop {text{Dom}} A^{*}.}$ En nuestro caso, la igualdad de dominios tiene porque ${displaystyle H_{mathbb {C} }=mathop {text{Dom}} Asubseteq mathop {text{Dom}} A^{*},}$ Así que... $A$ es ciertamente auto-adjunto. El hecho de que $A$ está atado ahora sigue del teorema de Hellinger-Toeplitz.

Esta propiedad no se mantiene ${displaystyle H_{mathbb {R} }.}$

Orden en operadores autoadjuntos en h C {displaystyle H_{mathbb {C} }}

Una orden natural de operadores autónomos surge de la definición de operadores positivos. Define ${displaystyle Bgeq A}$ si la siguiente espera:

$A$ y $B$ son autoadjuntos
${displaystyle B-Ageq 0}$

Se puede ver que un resultado similar al del teorema de convergencia monótona se cumple para operadores monótonos crecientes, acotados y autoadjuntos en espacios de Hilbert.

Aplicación a la física: estados cuánticos

La definición de un sistema cuántico incluye un espacio separable complejo Hilbert ${displaystyle H_{mathbb {C} }}$ y un set ${displaystyle {cal {S}}}$ of positive trace-class operators $rho$ on ${displaystyle H_{mathbb {C} }}$ para la cual ${displaystyle mathop {text{Trace}} rho =1.}$ El set ${displaystyle {cal {S}}}$ es el conjunto de estados. Cada uno ${displaystyle rho in {cal {S}}}$ se llama estado o a operador de densidad. Para ${displaystyle psi in H_{mathbb {C} },}$ Donde ${displaystyle |psi |=1,}$ el operador ${displaystyle P_{psi }}$ de proyección en el lapso de $psi$ se llama estado puro. (Ya que cada estado puro es identificable con un vector unitario ${displaystyle psi in H_{mathbb {C} },}$ algunas fuentes definen estados puros como elementos unitarios de ${displaystyle H_{mathbb {C} }).}$ Estados que no son puros se llaman mixto.

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