Operador estrella de Hodge

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Mapa algebraico exterior tomando tensores de formas p a formas n-p

En matemáticas, el operador estrella de Hodge o estrella de Hodge es un mapa lineal definido en el álgebra exterior de un espacio vectorial orientado de dimensión finita dotado de un bilineal simétrico no degenerado. forma. Aplicar el operador a un elemento del álgebra produce el dual de Hodge del elemento. Este mapa fue presentado por W. V. D. Hodge.

Por ejemplo, en un espacio Euclideano orientado 3 dimensiones, un plano orientado puede ser representado por el producto exterior de dos vectores de base, y su doble Hodge es el vector normal dado por su producto transversal; por el contrario, cualquier vector es dual al plano orientado perpendicular a él, dotado con un bivector adecuado. Generalizar esto a un $n$ -dimensional espacio vectorial, la estrella Hodge es un mapa único de $k$ - vencedores a $() n - k)$ -vectores; las dimensiones de estos espacios son los coeficientes binomiales ${displaystyle {tbinom {n}{k}}={tbinom {n}{n-k}}}$ .

La naturalidad del operador estrella significa que puede desempeñar un papel en la geometría diferencial, cuando se aplica al fibrado cotangente de una variedad pseudo-riemanniana y, por lo tanto, a formas k diferenciales. Esto permite la definición de la codiferencial como el adjunto de Hodge de la derivada exterior, lo que lleva al operador de Laplace-de Rham. Esto generaliza el caso del espacio euclidiano tridimensional, en el que la divergencia de un campo vectorial se puede realizar como el codiferencial opuesto al operador de gradiente, y el operador de Laplace en una función es la divergencia de su gradiente. Una aplicación importante es la descomposición de Hodge de formas diferenciales en una variedad riemanniana cerrada.

Definición formal para k-vectores

Vamos $V$ ser un espacio vectorial orientado n-dimensional con una forma bilineal nodegenerada $langle cdotcdot rangle$ , referido aquí como un producto interno. Esto induce un producto interno en k-vectores ${textstyle alphabeta in bigwedge ^{!k}V}$ , para $0leq kleq n$ , definiéndolo en descompuesto $k$ - Véctores ${displaystyle alpha =alpha _{1}wedge cdots wedge alpha _{k}}$ y ${displaystyle beta =beta _{1}wedge cdots wedge beta _{k}}$ igual al determinante de Gram

{displaystyle langle alphabeta rangle =det left(leftlangle alpha _{i},beta _{j}rightrangle _{i,j=1}^{k}right)}

prórroga ${textstyle bigwedge ^{!k}V}$ a través de la linealidad.

La unidad $n$ -vector ${displaystyle omega in {textstyle bigwedge }^{!n}V}$ se define en términos de una base ortonormal orientada ${e_{1},ldotse_{n}}$ de $V$ como:

{displaystyle omega:=e_{1}wedge cdots wedge e_{n}.}

(Nota: En el caso pseudoriemanniano general, la ortonormalidad significa: ${displaystyle forall i,jin {1,ldotsn},,langle e_{i},e_{j}rangle in {delta _{ij},-delta _{ij}}}$ .) El Operador de estrellas Hodge es un operador lineal en el álgebra exterior $V$ , cartografía $k$ - vencedores a ( $n - k$ . $0leq kleq n$ . Tiene la siguiente propiedad, que la define completamente:

{displaystyle alpha wedge ({star }beta)=langle alphabeta rangle ,omega }

para cada par de

k

- Véctores

{displaystyle alphabeta in {textstyle bigwedge }^{!k}V.}

Dualmente, en el espacio ${displaystyle {textstyle bigwedge }^{!n}V^{*}}$ de $n$ -formas (alternación) $n$ - Funciones multilingües sobre ${displaystyle V^{n}}$ ), el doble a $omega$ es la forma de volumen ${displaystyle det }$ , la función cuyo valor ${displaystyle v_{1}wedge cdots wedge v_{n}}$ es el determinante del $ntimes n$ matriz montada de los vectores de columna de $v_{i}$ dentro $e_{i}$ - coordinación.

Aplicar ${displaystyle det }$ a la ecuación anterior, obtenemos la definición dual:

{displaystyle det(alpha wedge {star }beta)=langle alphabeta rangle.}

o equivalente, tomando ${displaystyle alpha =alpha _{1}wedge cdots wedge alpha _{k}}$ , ${displaystyle beta =beta _{1}wedge cdots wedge beta _{k}}$ , y ${displaystyle star beta =beta _{1}^{star }wedge cdots wedge beta _{n-k}^{star }}$ :

{displaystyle det left(alpha _{1}wedge cdots wedge alpha _{k}wedge beta _{1}^{star }wedge cdots wedge beta _{n-k}^{star }right) = det left(langle alpha _{i},beta _{j}rangle right).}

Esto significa que, escribiendo una base ortonormal $k$ - Véctores como ${displaystyle e_{I} = e_{i_{1}}wedge cdots wedge e_{i_{k}}}$ sobre todos los subconjuntos $<math alttext="{displaystyle I={i_{1}<cdots I={}i1.⋯ ⋯ .ik}{displaystyle I={i_{1} 0cdots #<img alt="{displaystyle I={i_{1}<cdots$ de ${displaystyle [n]={1,ldotsn}}$ , el doble Hodge es el ( $n - k$ )-vector correspondiente al conjunto complementario $<math alttext="{displaystyle {bar {I}}=[n]setminus I=left{{bar {i}}_{1}<cdots Ī ̄ =[n]∖ ∖ I={}ī ̄ 1.⋯ ⋯ .ī ̄ n− − k}{displaystyle {bar {}=[n]setminus I=left{bar} {}_{1}cdots {i} {i} {fn-k}right}}<img alt="{displaystyle {bar {I}}=[n]setminus I=left{{bar {i}}_{1}<cdots$ :

${displaystyle {star }e_{I}=scdot tcdot e_{bar {I}},}$

Donde ${displaystyle sin {1,-1}}$ es el signo de la permutación ${displaystyle i_{1}cdots i_{k}{bar {i}}_{1}cdots {bar {i}}_{n-k}}$ y ${displaystyle tin {1,-1}}$ es el producto ${displaystyle langle e_{i_{1}},e_{i_{1}}rangle cdots langle e_{i_{k}},e_{i_{k}}rangle }$ . En el caso Riemanniano, $t=1$ .

Puesto que la estrella Hodge toma una base ortonormal a una base ortonormal, es una isometría en el álgebra exterior ${textstyle bigwedge V}$ .

Explicación geométrica

La estrella Hodge está motivada por la correspondencia entre un subespacial $W$ de $V$ y su subespacio ortogonal (con respecto al producto interior), donde cada espacio está dotado de una orientación y un factor de escala numérico. Específicamente, un no cero descompuesto $k$ -vector ${displaystyle w_{1}wedge cdots wedge w_{k}in textstyle bigwedge ^{!k}V}$ corresponde al Plücker incrustando al subespacial $W$ con base orientada ${displaystyle w_{1},ldotsw_{k}}$ , dotado con un factor de escalado igual al $k$ - volumen dimensional del paralelepípedo abarcado por esta base (igual al Gramian, el determinante de la matriz de productos interiores ${displaystyle langle w_{i},w_{j}rangle }$ ). La estrella Hodge actuando en un vector descompuesto puede ser escrita como descompuesta ( $n - k$ )-vector:

${displaystyle star (w_{1}wedge cdots wedge w_{k}),=,u_{1}wedge cdots wedge u_{n-k},}$

Donde ${displaystyle u_{1},ldotsu_{n-k}}$ forma una base orientada del espacio ortogonal ${displaystyle U=W^{perp }!}$ . Además, el ( $n - k$ )-volumen del $u_{i}$ -paralepípedo debe igualar $k$ - volumen del $w_{i}$ -paralepípedo, y ${displaystyle w_{1},ldotsw_{k},u_{1},ldotsu_{n-k}}$ debe constituir una base orientada $V$ .

un general $k$ -vector es una combinación lineal de descomposición $k$ -vectores, y la definición de la estrella de Hodge se extiende a los vectores generales $k$ -vectores definiéndolo como lineal.

Ejemplos

Dos dimensiones

en dos dimensiones con la métrica y orientación euclidianas normalizadas dadas por el orden $(x, y)$ , el Hodge Star en $k$ -Forms está dada por

{displaystyle {begin{aligned}{star },1&=dxwedge dy\{star },dx&=dy\{star },dy&=-dx\{star }(dxwedge dy)&=1.end{aligned}}}

En el plano complejo considerado como un espacio vectorial real con la forma sesquilineal estándar como métrica, la estrella de Hodge tiene la notable propiedad de que es invariante bajo cambios holomorfos de coordenadas. Si $z = x + iy$ es una función holomorfa de $w = u + iv$ , entonces por las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos que $\partial x / \partial u = \partial y / \partial v$ y $\partial y / \partial u = - \partial x / \partial v$ . En las nuevas coordenadas

{displaystyle alpha = p,dx+q,dy = left(p{frac {partial x}{partial u}}+q{frac {partial y}{partial u}}right),du+left(p{frac {partial x}{partial v}}+q{frac {partial y}{partial v}}right),dv = p_{1}du+q_{1},dv,}

{displaystyle {begin{aligned}{star }alpha &=-q_{1},du+p_{1},dv\[4pt]&=-left(p{frac {partial x}{partial v}}+q{frac {partial y}{partial v}}right)du+left(p{frac {partial x}{partial u}}+q{frac {partial y}{partial u}}right)dv\[4pt]&=-qleft({frac {partial x}{partial u}}du+{frac {partial x}{partial v}}dvright)+pleft({frac {partial y}{partial u}}du+{frac {partial y}{partial v}}dvright)\[4pt]&=-q,dx+p,dy,end{aligned}}}

Tres dimensiones

Un ejemplo común del operador estrella Hodge es el caso $n = 3$ , cuando se puede tomar como la correspondencia entre vectores y bivectores. Específicamente, para Euclidean R³ con la base ${displaystyle dx,dy,dz}$ de una forma utilizada a menudo en el cálculo vectorial, se encuentra que

{displaystyle {begin{aligned}{star },dx&=dywedge dz\{star },dy&=dzwedge dx\{star },dz&=dxwedge dy.end{aligned}}}

La estrella de Hodge relata el exterior y el producto cruzado en tres dimensiones:

{displaystyle {star }(mathbf {u} wedge mathbf {v})=mathbf {u} times mathbf {v} qquad {star }(mathbf {u} times mathbf {v})=mathbf {u} wedge mathbf {v}.}

$a$ $A$ ${displaystyle mathbf {A} ={star }mathbf {a} mathbf {a} ={star }mathbf {A} }$

La estrella Hodge también se puede interpretar como una forma de la correspondencia geométrica entre un eje y una rotación infinitesimal alrededor del eje, con velocidad igual a la longitud del vector del eje. Un producto interior en un espacio vectorial $V$ da un isomorfismo ${displaystyle Vcong V^{*}!}$ identificación $V$ con su espacio dual, y el espacio vectorial ${displaystyle L(V,V)}$ es naturalmente isomorfo al producto tensor ${displaystyle V^{*}!!otimes Vcong Votimes V}$ . Así pues, Failed to parse (SVG (MathML se puede activar a través del plugin del navegador): Respuesta inválida ("la extensión máxima no puede conectarse a Restbase".) del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/": {displaystyle V = mathbb{R}^3}, la asignación de estrellas ${textstyle textstyle star:Vto bigwedge ^{!2}!Vsubset Votimes V}$ toma cada vector $mathbf {v}$ a un bivector ${displaystyle star mathbf {v} in Votimes V}$ , que corresponde a un operador lineal ${displaystyle L_{mathbf {v} }:Vto V}$ . Específicamente, ${displaystyle L_{mathbf {v} }}$ es un operador simétrico, que corresponde a una rotación infinitesimal: es decir, las rotaciones macroscópicas alrededor del eje ${displaystyle mathbb {v} }$ son dados por la matriz exponencial ${displaystyle exp(tL_{mathbf {v} })}$ . Con respecto a la base ${displaystyle dx,dy,dz}$ de $mathbb{R} ^{3}$ , el tensor ${displaystyle dxotimes dy}$ corresponde a una matriz de coordenadas con 1 en $dx$ fila y $dy$ columna, etc. ${displaystyle dxwedge dy,=,dxotimes dy-dyotimes dx}$ es la matriz simétrica ${displaystyle scriptscriptstyle left[{begin{array}{rrr},0!!&!!1&!!!!0!!!!!!\[-.5em],!-1!!&!!0!!&!!!!0!!!!!!\[-.5em],0!!&!!0!!&!!!!0!!!!!!end{array}}!!!right]}$ , etc. Es decir, podemos interpretar al operador estrella como:
${displaystyle mathbf {v} =a,dx+b,dy+c,dzquad longrightarrow quad star {mathbf {v} } cong L_{mathbf {v} } =left[{begin{array}{rrr}0&-c&b\c&0&-a\-b&a&0end{array}}right].}$ ${displaystyle L_{mathbf {u} times mathbf {v} }=L_{mathbf {u} }L_{mathbf {v} }-L_{mathbf {v} }L_{mathbf {u} }}$
Cuatro dimensiones
En caso $n=4$ , la estrella Hodge actúa como un endomorfismo de la segunda potencia exterior (es decir, mapea 2-formas a 2-formas, ya que $4 - 2 = 2$ ). Si la firma del tensor métrico es positiva, es decir, en un manifold riemanniano, entonces la estrella Hodge es una involución. Si la firma es mezclada, es decir, pseudo-Riemannian, luego aplicar el operador dos veces devolverá el argumento a un signo – ver § Dualidad abajo. Esta propiedad endomorfismo particular de 2 formas en cuatro dimensiones hace que los objetos geométricos naturales de dos formas se autodual y anti-self-dual estudien. Es decir, se puede describir el espacio de 2 formas en cuatro dimensiones con una base que "diagonaliza" el operador estrella Hodge con eigenvalues $pm 1$ (o $pm i$ , dependiendo de la firma).
Para concreto, discutimos el operador estrella Hodge en Minkowski espaciotime donde $n=4$ con firma métrica $(+- + +)$ y coordenadas $(t,x,y,z)$ . La forma de volumen está orientada como $varepsilon _{0123}=1$ . Para una forma,
${displaystyle {begin{aligned}star dt&=-dxwedge dywedge dz,,\star dx&=-dtwedge dywedge dz,,\star dy&=dtwedge dxwedge dz,,\star dz&=-dtwedge dxwedge dy,,end{aligned}}}$ ${displaystyle {begin{aligned}star (dtwedge dx)&=-dywedge dz,,\star (dtwedge dy)&=-dzwedge dx,,\star (dtwedge dz)&=-dxwedge dy,,\star (dxwedge dy)&=dtwedge dz,,\star (dxwedge dz)&=-dtwedge dy,,\star (dywedge dz)&=dtwedge dx,.end{aligned}}}$
Estos se resumen en la notación de índice como
${displaystyle {begin{aligned}star (dx^{mu })&=eta ^{mu lambda }varepsilon _{lambda nu rho sigma }{frac {1}{3!}}dx^{nu }wedge dx^{rho }wedge dx^{sigma },,\star (dx^{mu }wedge dx^{nu })&=eta ^{mu kappa }eta ^{nu lambda }varepsilon _{kappa lambda rho sigma }{frac {1}{2!}}dx^{rho }wedge dx^{sigma },.end{aligned}}}$
Hodge dual of three- and four-forms can be easily deduced from the fact that, in the Lorentzian signature, ${displaystyle (star)^{2}=1}$ para formas extrañas y ${displaystyle (star)^{2}=-1}$ para formas de incluso-rechazo. Una regla fácil de recordar para estas operaciones de Hodge es que dada una forma $alpha$ , su doble Hodge ${displaystyle {star }alpha }$ se puede obtener por escrito los componentes no involucrados $alpha$ en un orden tal que ${displaystyle alpha wedge (star alpha)=dtwedge dxwedge dywedge dz}$ . Un signo de menos adicional entrará sólo si $alpha$ contiene $dt$ . (Para) $(+ - - -)$ , uno pone en un signo menos sólo si $alpha$ implica un número extraño de las formas asociadas al espacio $dx$ , $dy$ y $dz$ .)
Tenga en cuenta que las combinaciones
${displaystyle (dx^{mu }wedge dx^{nu })^{pm }:={frac {1}{2}}{big (}dx^{mu }wedge dx^{nu }mp istar (dx^{mu }wedge dx^{nu }){big)}}$ $pm i$ ${displaystyle star (dx^{mu }wedge dx^{nu })^{pm }=pm i(dx^{mu }wedge dx^{nu })^{pm },}$
Invariancia conforme
La estrella Hodge es consistentemente invariante en formas n en un espacio vectorial 2n dimensional V, es decir, si $g$ es una métrica $V$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">λ λ ■0{displaystyle lambda }0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;"/>$ , entonces las estrellas inducidas Hodge
${displaystyle star _{g},star _{lambda g}colon Lambda ^{n}Vto Lambda ^{n}V}$
Ejemplo: Derivadas en tres dimensiones
La combinación de la $star$ operador y derivado exterior $d$ genera los operadores clásicos $grad$ , $curl$ , y $div$ en campos vectoriales en el espacio Euclideano tridimensional. Esto funciona como sigue: $d$ toma un 0-form (una función) a una 1-form, una 1-form a una 2-form, y una 2-form a una 3-form (y toma una 3-form a cero). Para una forma 0 ${displaystyle f=f(x,y,z)}$ , el primer caso escrito en los componentes da:
${displaystyle df={frac {partial f}{partial x}},dx+{frac {partial f}{partial y}},dy+{frac {partial f}{partial z}},dz.}$
El producto interior identifica 1-formas con campos vectoriales como ${displaystyle dxmapsto (1,0,0)}$ , etc. $df$ se convierte en ${textstyle operatorname {grad} f=left({frac {partial f}{partial x}},{frac {partial f}{partial y}},{frac {partial f}{partial z}}right)}$ .
En el segundo caso, un campo vectorial ${displaystyle mathbf {F} =(A,B,C)}$ corresponde a la 1-forma ${displaystyle varphi =A,dx+B,dy+C,dz}$ , que tiene derivado exterior:
${displaystyle dvarphi =left({frac {partial C}{partial y}}-{frac {partial B}{partial z}}right)dywedge dz+left({frac {partial C}{partial x}}-{frac {partial A}{partial z}}right)dxwedge dz+left({partial B over partial x}-{frac {partial A}{partial y}}right)dxwedge dy.}$
La aplicación de la estrella de Hodge da la forma 1:
${displaystyle star dvarphi =left({partial C over partial y}-{partial B over partial z}right),dx-left({partial C over partial x}-{partial A over partial z}right),dy+left({partial B over partial x}-{partial A over partial y}right),dz,}$ ${textstyle operatorname {curl} mathbf {F} =left({frac {partial C}{partial y}}-{frac {partial B}{partial z}},,-{frac {partial C}{partial x}}+{frac {partial A}{partial z}},,{frac {partial B}{partial x}}-{frac {partial A}{partial y}}right)}$
En el tercer caso, ${displaystyle mathbf {F} =(A,B,C)}$ de nuevo corresponde a ${displaystyle varphi =A,dx+B,dy+C,dz}$ . Aplicar estrella Hodge, derivada exterior y estrella Hodge de nuevo:
${displaystyle {begin{aligned}star varphi &=A,dywedge dz-B,dxwedge dz+C,dxwedge dy,\d{star varphi }&=left({frac {partial A}{partial x}}+{frac {partial B}{partial y}}+{frac {partial C}{partial z}}right)dxwedge dywedge dz,\star d{star varphi }&={frac {partial A}{partial x}}+{frac {partial B}{partial y}}+{frac {partial C}{partial z}}=operatorname {div} mathbf {F}.end{aligned}}}$
Una ventaja de esta expresión es que la identidad $d 2 = 0$ , que es cierto en todos los casos, tiene como casos especiales otras dos identidades: 1) $curl grad f = 0$ , y 2) $Curva div F = 0$ . En particular, las ecuaciones de Maxwell toman una forma particularmente simple y elegante, cuando se expresa en términos de la derivación exterior y la estrella Hodge. La expresión ${displaystyle star dstar }$ (multiplicado por un poder apropiado de -1) se llama el codifferential; se define en la generalidad plena, para cualquier dimensión, más adelante en el artículo siguiente.
También se puede obtener el laplaciano $Δ f = div grad f$ en términos de las operaciones anteriores:
${displaystyle Delta f=star d{star df}={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}.}$
El Laplaciano también se puede ver como un caso especial del operador más general de Laplace-deRham ${displaystyle Delta =ddelta +delta d}$ Donde ${displaystyle delta =(-1)^{k}star dstar }$ es el codiferencial para $k$ -formas. Cualquier función $f$ es una forma 0, y ${displaystyle delta f=0}$ y así esto reduce al laplaciano ordinario. Para el 1-form $varphi$ arriba, el codifferential es ${displaystyle delta =-star dstar }$ y después de algunos cálculos directos uno obtiene el Laplaciano actuando en $varphi$ .
Dualidad
Aplicar la estrella Hodge dos veces deja una $k$ -vector sin cambio excepto por su signo: para ${displaystyle eta in {textstyle bigwedge }^{k}V}$ en una $n$ - espacio dimensional $V$ , uno tiene
${displaystyle {star }{star }eta =(-1)^{k(n-k)}seta}$
donde $s$ es la paridad de la firma del producto interno en $V$ , es decir, el signo del determinante de la matriz del producto interior con respecto a cualquier base. Por ejemplo, si $n = 4$ y la firma del producto interno es $(+ - - -)$ o $(- + + +)$ luego $s = -1$ . Para las variedades de Riemann (incluidos los espacios euclidianos), siempre tenemos $s = 1$ .
La identidad anterior implica que el inverso de $star$ se puede dar como
${displaystyle {begin{aligned}{star }^{-1}:~{textstyle bigwedge }^{!k}V&to {textstyle bigwedge }^{!n-k}V\eta &mapsto (-1)^{k(n-k)}!s{star }eta end{aligned}}}$
Si $n$ es impar entonces $k (n - k)$ es incluso para cualquier $k$ , mientras que si $n$ es par entonces $k (n - k)$ tiene la paridad de $k$ . Por lo tanto:
${displaystyle {star }^{-1}={begin{cases}s{star }&n{text{ is odd}}\(-1)^{k}s{star }&n{text{ is even}}end{cases}}}$
donde $k$ es el grado del elemento operado.
En colectores
Para un n- pirueta pseudo-riemanniana orientada dimensional M, aplicamos la construcción arriba a cada espacio cotangente ${displaystyle {text{T}}_{p}^{*}M}$ y sus poderes exteriores ${textstyle bigwedge ^{k}{text{T}}_{p}^{*}M}$ , y por lo tanto a la diferencia k-formas ${textstyle zeta in Omega ^{k}(M)=Gamma left(bigwedge ^{k}{text{T}}^{*}!Mright)}$ , las secciones globales del paquete ${textstyle bigwedge ^{k}mathrm {T} ^{*}!Mto M}$ . La métrica Riemanniana induce un producto interno en ${textstyle bigwedge ^{k}{text{T}}_{p}^{*}M}$ en cada punto $pin M$ . Definimos el Hodge dual of a k-forme $zeta$ , definición ${displaystyle {star }zeta }$ como único (n – k)-forma satisfactoria
${displaystyle eta wedge {star }zeta = langle etazeta rangle ,omega }$ k $eta$ ${displaystyle langle etazeta rangle }$ $M$ $omega$ $M$ $L^{2}$ ${displaystyle int _{M}eta wedge {star }zeta = int _{M}langle etazeta rangle omega.}$
Más generalmente, si $M$ no es conveniente, se puede definir la estrella Hodge de una k- como unn – k)-pseudo forma diferencial; es decir, una forma diferencial con valores en el paquete de línea canónica.
Cálculo en notación de índice
Computamos en términos de notación de índice de tensor con respecto a una base (no necesariamente ortonormal) ${textstyle left{{frac {partial }{partial x_{1}}},ldots{frac {partial }{partial x_{n}}}right}}$ en un espacio tangente ${displaystyle V=T_{p}M}$ y su doble base ${displaystyle {dx_{1},ldotsdx_{n}}}$ dentro ${displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$ , teniendo la matriz métrica ${textstyle (g_{ij})=left(leftlangle {frac {partial }{partial x_{i}}},{frac {partial }{partial x_{j}}}rightrangle right)}$ y su matriz inversa ${displaystyle (g^{ij})=(langle dx^{i},dx^{j}rangle)}$ . El doble Hodge de un descompuesto k- La forma es:
${displaystyle star left(dx^{i_{1}}wedge dots wedge dx^{i_{k}}right) = {frac {sqrt {left|det[g_{ij}]right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}cdots g^{i_{k}j_{k}}varepsilon _{j_{1}dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}wedge dots wedge dx^{j_{n}}.}$
Aquí. ${displaystyle varepsilon _{j_{1}dots j_{n}}}$ es el símbolo Levi-Civita con ${displaystyle varepsilon _{1dots n}=1}$ , y tomamos implícitamente la suma sobre todos los valores de los índices repetidos ${displaystyle j_{1},ldotsj_{n}}$ . El factorial ${displaystyle (n-k)!}$ cuentas para el doble recuento, y no está presente si los índices de sumación están restringidos para que $<math alttext="{displaystyle j_{k+1}<dots jk+1.⋯ ⋯ .jn{displaystyle j_{k+1}traducidodots<img alt="{displaystyle j_{k+1}<dots$ . El valor absoluto del determinante es necesario ya que puede ser negativo, en cuanto a los espacios tangentes a los múltiples lorentzianos.
Una forma diferencial arbitraria se puede escribir de la siguiente manera:
$<math alttext="{displaystyle alpha = {frac {1}{k!}}alpha _{i_{1},dotsi_{k}}dx^{i_{1}}wedge dots wedge dx^{i_{k}} = sum _{i_{1}<dots α α =1k!α α i1,...... ,ikdxi1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ dxik=.. i1.⋯ ⋯ .ikα α i1,...... ,ikdxi1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ dxik.{displaystyle alpha = {fnMicroc ¡Alpha! {i_{1},dotsi_{k}dx^{i_{1}wedge dots wedge dx^{i_{k} =sum ¿Qué? ¿Por qué?<img alt="{displaystyle alpha = {frac {1}{k!}}alpha _{i_{1},dotsi_{k}}dx^{i_{1}}wedge dots wedge dx^{i_{k}} = sum _{i_{1}<dots$
El factorial $k!$ se incluye de nuevo para contabilizar el doble conteo cuando permitimos los índices no crecientes. Quisiéramos definir la dualidad del componente ${displaystyle alpha _{i_{1},dotsi_{k}}}$ para que el doble Hodge de la forma sea dado por
${displaystyle star alpha ={frac {1}{(n-k)!}}(star alpha)_{i_{k+1},dotsi_{n}}dx^{i_{k+1}}wedge dots wedge dx^{i_{n}}.}$
Usando la expresión anterior para el doble Hodge ${displaystyle dx^{i_{1}}wedge dots wedge dx^{i_{k}}}$ , encontramos:
${displaystyle (star alpha)_{i_{k+1},dotsi_{n}}={frac {sqrt {left|det[g_{ab}]right|}}{k!}}alpha ^{i_{1},dotsi_{k}},,varepsilon _{i_{1},dotsi_{n}}.}$
Aunque uno puede aplicar esta expresión a cualquier tensor $alpha$ , el resultado es antisimétrico, ya que la contracción con el símbolo Levi-Civita completamente antisimétrico cancela todo menos la parte totalmente antisimétrica del tensor. Es así equivalente a la antisymmetrización seguida de aplicar la estrella Hodge.
El volumen de la unidad ${textstyle omega =star 1in bigwedge ^{n}V^{*}}$ es dado por:
${displaystyle omega ={sqrt {left|det[g_{ij}]right|}};dx^{1}wedge cdots wedge dx^{n}.}$
Codiferencial
La aplicación más importante de la estrella Hodge en los manifolds es definir la codifferential $delta$ on k-formas. Vamos
${displaystyle delta =(-1)^{n(k-1)+1}s {star }d{star }=(-1)^{k},{star }^{-1}d{star }}$ $d$ $s=1$ ${displaystyle d:Omega ^{k}(M)to Omega ^{k+1}(M)}$ ${displaystyle delta:Omega ^{k}(M)to Omega ^{k-1}(M).}$
La codiferencial no es una antiderivación del álgebra exterior, a diferencia de la derivada exterior.
La codiferencial es el adjunto de la derivada exterior con respecto al producto interior cuadrado integrable:
${displaystyle langle !langle etadelta zeta rangle !rangle = langle !langle detazeta rangle !rangle}$ $zeta$ $() k + 1)$ $eta$ $k$ ${displaystyle 0 = int _{M}d(eta wedge {star }zeta) = int _{M}left(deta wedge {star }zeta -eta wedge {star }(-1)^{k+1},{star }^{-1}d{star }zeta right) = langle !langle detazeta rangle !rangle -langle !langle etadelta zeta rangle !rangle}$ M $eta$ ${displaystyle star zeta }$ ${displaystyle zeta _{i}to zeta }$ $ito infty$ ${displaystyle langle !langle etadelta zeta _{i}rangle !rangle to langle !langle etadelta zeta rangle !rangle }$ $eta$
Desde los satisfios diferenciales $d^2 = 0$ , el codifferential tiene la propiedad correspondiente
${displaystyle delta ^{2}=s^{2}{star }d{star }{star }d{star }=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{star }d^{2}{star }=0.}$
El operador de Laplace-deRham viene dado por
${displaystyle Delta =(delta +d)^{2}=delta d+ddelta }$ ${displaystyle langle !langle Delta zetaeta rangle !rangle =langle !langle zetaDelta eta rangle !rangle }$ ${displaystyle langle !langle Delta etaeta rangle !rangle geq 0.}$
La estrella de Hodge envía formas armónicas a formas armónicas. Como consecuencia de la teoría de Hodge, la cohomología de De Rham es naturalmente isomorfa al espacio de formas $k$ armónicas, por lo que Hodge estrella induce un isomorfismo de grupos de cohomología
${displaystyle {star }:H_{Delta }^{k}(M)to H_{Delta }^{n-k}(M),}$ $H k () M)$
En coordenadas, con notación como arriba, la codiferencial de la forma $alpha$ puede ser escrito como
${displaystyle delta alpha = -{frac {1}{k!}}g^{ml}left({frac {partial }{partial x_{l}}}alpha _{m,i_{1},dotsi_{k-1}}-Gamma _{ml}^{j}alpha _{j,i_{1},dotsi_{k-1}}right)dx^{i_{1}}wedge dots wedge dx^{i_{k-1}},}$ ${displaystyle Gamma _{ml}^{j}}$ ${textstyle left{{frac {partial }{partial x_{1}}},ldots{frac {partial }{partial x_{n}}}right}}$
Lema de Poincaré para codiferenciales
En analogía con el lema de Poincaré para derivada exterior, se puede definir su versión para codiferencial, que dice
Si ${displaystyle delta omega =0}$ para ${displaystyle omega in Lambda ^{k}(U)}$ , donde $U$ es un dominio estrella en un múltiple, entonces hay ${displaystyle alpha in Lambda ^{k+1}(U)}$ tales que ${displaystyle omega =delta alpha }$ .
Una manera práctica de encontrar $alpha$ es utilizar el operador de cohomotopy $h$ , que es un inverso local $delta$ . Uno tiene que definir un operador de homotopy
Error al analizar (SVG (MathML se puede habilitar a través del complemento del navegador): Respuesta no válida ("La extensión matemática no se puede conectar a Restbase.") del servidor &# 34;http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {displaystyle Hbeta = int_{0}^{1} mathcal{K}lrcornerbeta |_{F(t,x)}t^{k}dt,}
Donde ${displaystyle F(t,x)=x_{0}+t(x-x_{0})}$ es la homotopia lineal entre su centro ${displaystyle x_{0}in U}$ y un punto $xin U$ , y el vector (Euler) ${displaystyle {mathcal {K}}=sum _{i=1}^{n}(x-x_{0})^{i}partial _{x^{i}}}$ para ${displaystyle n=dim(U)}$ se inserta en la forma ${displaystyle beta in Lambda ^{*}(U)}$ . Entonces podemos definir el operador de cohomotopy como
${displaystyle h:Lambda (U)rightarrow Lambda (U),quad h:=eta star ^{-1}Hstar }$ ,
Donde ${displaystyle eta beta =(-1)^{k}beta }$ para ${displaystyle beta in Lambda ^{k}(U)}$ .
El operador de cohomotopía cumple con la fórmula de invariancia de (co)homotopía
${displaystyle delta h+hdelta =I-S_{x_{0}}}$ ,
Donde ${displaystyle S_{x_{0}}=star ^{-1}s_{x_{0}}^{*}star }$ , y ${displaystyle s_{x_{0}}^{*}}$ es el retroceso a lo largo del mapa constante ${displaystyle s_{x_{0}}:xrightarrow x_{0}}$ .
Por lo tanto, si queremos resolver la ecuación ${displaystyle delta omega =0}$ , aplicando fórmula de invariancia de cohomotopia obtenemos
${displaystyle omega =delta homega +S_{x_{0}}omega}$ Donde ${displaystyle homega in Lambda ^{k+1}(U)}$ es una forma diferencial que estamos buscando, y 'constant of integration ' ${displaystyle S_{x_{0}}omega }$ desaparece a menos que $omega$ es una forma superior.
El operador de Cohomotopy cumple las siguientes propiedades: ${displaystyle h^{2}=0,quad delta hdelta =deltaquad hdelta h=h}$ . Hacen posible utilizarlo para definir anticoexact formularios sobre $U$ por ${displaystyle {mathcal {Y}}(U)={omega in Lambda (U)|omega =hdelta omega }}$ , que junto con formas exactas ${displaystyle {mathcal {C}}(U)={omega in Lambda (U)|omega =delta homega }}$ hacer una suma directa descomposición
${displaystyle Lambda (U)={mathcal {C}}(U)oplus {mathcal {Y}}(U)}$ .
Esta suma directa es otra manera de decir que la fórmula de invariancia de cohomotopy es una descomposición de la unidad, y los operadores de proyectores en los sumos cumplen fórmulas de idempotencia: ${displaystyle (hdelta)^{2}=hdeltaquad (delta h)^{2}=delta h}$ .
Estos resultados son una extensión de resultados similares para la derivada exterior.

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