Operador delta

En matemáticas, a delta operator es un operador lineal equivariante Q:: K[x]restablecimiento restablecimiento K[x]{displaystyle Qcolon mathbb {K} [x]longrightarrow mathbb {K} [x] en el espacio vectorial de polinomios en una variable x{displaystyle x} sobre un terreno K{displaystyle mathbb {K} que reduce los grados por uno.

Decir eso Q{displaystyle Q} es cambio-equivariante significa que si g()x)=f()x+a){displaystyle g(x)=f(x+a)}, entonces

()Qg)()x)=()Qf)()x+a).{displaystyle {(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.,}

En otras palabras, si f{displaystyle f} es un "shift" de g{displaystyle g}, entonces Qf{displaystyle Qf. es también un cambio de Qg{displaystyle Qg., y tiene el mismo "marcador de cambios" a{displaystyle a}.

Decir que un operador reduce el grado por uno significa que si f{displaystyle f} es un polinomio de grado n{displaystyle n}, entonces Qf{displaystyle Qf. es un polinomio de grado n− − 1{displaystyle n-1}, o, en caso n=0{displaystyle n=0}, Qf{displaystyle Qf. es 0.

A veces... delta operator se define como una transformación lineal cambiante-equivariante en polinomios en x{displaystyle x} que mapas x{displaystyle x} a una constante no cero. Aparentemente más débil que la definición dada anteriormente, esta última caracterización puede demostrar ser equivalente a la definición declarada cuando K{displaystyle mathbb {K} tiene la característica cero, ya que la equivariancia del cambio es una condición bastante fuerte.

Ejemplos

• El operador de la diferencia de avance

()Δ Δ f)()x)=f()x+1)− − f()x){displaystyle (Delta f)(x)=f(x+1)-f(x),}

es un operador delta.

• Diferenciación con respecto a x, escrito como D, es también un operador delta.
• Cualquier operador del formulario

.. k=1JUEGO JUEGO ckDk{displaystyle sum _{k=1}{infty - Sí.

(donde) Dⁿ(años) =⁽⁾ⁿ⁾ es n^T derivado) con c1ل ل 0{displaystyle c_{1}neq 0} es un operador delta. Se puede demostrar que todos los operadores delta pueden ser escritos en este formulario. Por ejemplo, el operador de diferencia dado anteriormente puede ampliarse como

Δ Δ =eD− − 1=.. k=1JUEGO JUEGO Dkk!.{displaystyle Delta =e^{D}-1=sum ¿Qué? {D^{k} {k}}}}}

• El derivado generalizado del cálculo de escala de tiempo que unifica al operador de diferencia de avance con el derivado del cálculo estándar es un operador del delta.
• En la informática y la cibernética, el término "operador delta de tiempo de descreto" (δ) generalmente se toma para significar una diferencia de operador

()δ δ f)()x)=f()x+Δ Δ t)− − f()x)Δ Δ t,{displaystyle {(delta f)(x)={f(x+Delta t)-f(x)} {Delta t}}}}

la aproximación Euler del derivado habitual con un tiempo de muestra discreto Δ Δ t{displaystyle Delta t}. La formación delta obtiene un número significativo de ventajas numéricas en comparación con el operador de cambio en el muestreo rápido.

Polinomios básicos

Cada operador del delta Q{displaystyle Q} tiene una secuencia única de "polinomios básicos", una secuencia polinomio definida por tres condiciones:

• p0()x)=1;{displaystyle p_{0}(x)=1;}
• pn()0)=0;{displaystyle p_{n}(0)=0;}
• ()Qpn)()x)=npn− − 1()x)para todosn▪ ▪ N.{displaystyle (Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){text{ for all }nin mathbb {N}

Tal secuencia de polinomios básicos es siempre de tipo binomial y se puede demostrar que no existen otras secuencias de tipo binomial. Si se eliminan las dos primeras condiciones anteriores, entonces la tercera condición dice que esta secuencia polinomial es una secuencia de Sheffer, un concepto más general.